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Introduzione al Calcolo delle Variazioni Roberto Monti

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Introduzione al Calcolo delle Variazioni

Roberto Monti

Matematica – Anno Accademico 2016-17 Appunti del Corso – 30 Maggio 2017 E-mail address: monti@math.unipd.it

Impaginazione e file pdf a cura di Marco De Zotti

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Indice

(1) Metodo diretto del Calcolo delle variazioni p.1 (2) Funzionali classici

(a) Equazioni di Eulero-Lagrange p.6

(b) Equazione di Du Bois-Reymond p.11

(c) Metodo di convessit`a (metodi indiretti) p.13 (d) Principio di Fermat per l’ottica geometrica p.15

(e) Problema della brachistocrona p.20

(f) Funzionali del solo gradiente. Condizione di pendenza limitata p.26 (3) Funzionali sugli spazi di Sobolev

(a) Elementi essenziali sugli spazi di Sobolev p.39 (b) Convessit`a e semicontinuit`a inferiore in W1,p p.48

(c) Esistenza dei minimi in W1,p p.53

(d) Esempi p.55

(4) Funzioni a variazione limitata

(a) Definizione e Teorema di Riesz p.66

(b) Decomposizione della misura gradiente distribuzionale p.75 (c) Semicontinuit`a inferiore e approssimazione p.78 (d) Teorema di compattezza e disuguaglianza di Poincar´e p.82

(e) Tracce ed estensioni p.87

(f) Propriet`a fini e funzioni SBV p.89

(g) Funzionale di Mumford-Shah p.93

(5) Insiemi di perimetro finito

(a) Definizione ed esempi p.98

(b) Una soluzione del problema di Plateau p.103 (c) Frontiera ridotta e stime di densit`a p.107

(d) Blow-up della frontiera ridotta p.115

(e) Struttura della frontiera ridotta p.119

(6) Formule di integrazione geometrica

(a) Formula dell’area p.120

(b) Formula di coarea p.127

(7) Γ-convergenza

(a) Rilassamento p.130

(b) Γ-limiti p.132

(c) Convergenza dei minimi p.134

(d) Funzionale di Modica-Mortola p.138

(4)

(8) Teorema isoperimetrico e applicazioni

(a) Riarrangiamento di Steiner p.146

(b) Propriet`a isoperimetrica della sfera p.155 (c) Problema della frequenza fondamentale minima p.159

(d) Riarrangiamento di Schwarz p.162

(9) Cenni di teoria del trasporto ottimo

(a) Problema di Monge p.170

(b) Formulazione di Kantorovic p.173

(c) Problema duale p.177

(d) Teorema di Brenier p.183

(e) Applicazione alla disuguaglianza isoperimetrica p.183 (10) Cenni sulla teoria delle correnti

(a) Richiami sulle algebre esterne p.186

(b) Correnti, massa e bordo p.188

(c) Correnti rettificabili. Problema di Plateau p.194

(d) Teorema di deformazione p.201

(e) Cenni sulla regolarit`a p.209

(f) Coni di Simon. Subcalibrazioni p.210

(g) Le variet`a olomorfe sono minime p.217

(11) Superfici minime

(a) Superfici minime p.221

(b) Formula di rappresentazione di Weierstrass p.223 (12) Esercizi

(13) Bibliografia

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Riferimenti

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