Massimizzazione del profitto Appunti - Bozza

Massimizzazione del profitto Appunti - Bozza

Indice

1 Premessa 1

2 Massimizzazione del profitto 1

2.1 Introduzione . . . . 1

2.2 Il costo . . . . 2

2.3 Il ricavo . . . . 4

2.4 Il profitto (o guadagno) . . . . 7

2.4.1 Primo metodo . . . . 8

2.4.2 Secondo metodo . . . . 12

1 Premessa

Gli appunti che seguono sono una bozza. Non vogliono sostituire il testo, ma solo rac- cogliere in maniera organica e compatta le principali formule e nozioni riguardanti le funzioni costo, ricavo e profitto, e le applicazioni delle derivate al calcolo della massimiz- zazione del profitto.

In caso di (possibili) discordanze con quanto scritto sul libro di testo, ci` o pu` o essere dovuto ad errori di stampa (di questi appunti); il riferimento fondamentale ` e il libro di testo!

2 Massimizzazione del profitto

2.1 Introduzione

La quantit` a prodotta di un certo bene sar` a indicata con q (con q ≥ 0). Il prezzo unitario di tale prodotto sar` a indicato con p (con p ≥ 0).

Esempio 1 Una pizzeria produce 500 pizze al giorno, e le vende a 3, 50 euro

ciascuna. Pertanto: p = 3, 50 euro, q = 500 pizze.

2.2 Il costo

Un’impresa produce una quantit` a q di un certo bene. Essa deve sopportare dei costi di due tipi:

• costi che non dipendono dalla quantit` a q di bene prodotto (per esem- pio: spese per gli stipendi dei dipendenti stabili, spese di affitto dei locali, quote di ammortamento degli impianti, ...; sino ad un certo punto tali costi non aumentano ma quando ` e necessario introdurre un nuovo impianto o assumere un nuovo dipendente, o prendere in affitto un nuovo magazzino, i costi fissi aumentano di una quantit` a fissa pre- sentando un tipico andamento a gradino); tali costi sono detti costi fissi, e li indicheremo con C

;

• costi che aumentano con l’aumentare della quantit` a q di bene prodotto (per esempio: costo delle materie prime, consumo di corrente, ...); tali costi sono detti costi variabili, e li indicheremo con C

(q);.

Definizione 1 Si chiama costo totale la somma dei costi fissi e dei costi variabili, e si indica con C(q):

C(q) = C

+ C

(q) ;

ovviamente, il costo totale, dipende dalla quantit` a q.

Definizione 2 Si chiama costo medio il rapporto tra costo totale C(q) e la quantit` a q di prodotto, e si indica con C

(q):

C

(q) = C(q)

q ;

il costo medio, dipende generalmente dalla quantit` a q.

Il costo medio rappresenta quindi il costo di una unit` a del bene prodotto.

Inoltre, poich´ e

C

(q) = C(q)

q = C

+ C

(q)

q = C

q + C

(q) q ,

generalmente, all’aumentare delle quantit` a prodotte, si abbattono (in media) costi fissi ( C

q diminuisce all’aumentare di q).

Esempio 2 Sia C(q) = q

+ 1; in tal caso C

= 1 e C

(q) = q

. Se q = 10

o q = 100, si ottengono i seguenti valori:

q 10 100

C

1 1

C

(q) 100 10000

C(q) 101 10001

C

(q) 101

10 = 10, 1 10001

100 = 100, 01

C

medio 1

10 = 0, 1 1

100 = 0, 01

Con l’aumentare delle quantit` a prodotte da 10 a 100, si abbatte il costo fisso (in media) da 0, 1 a 0, 01.

Dato un qualunque punto A del grafico della funzione che rappresenta il costo totale C(q), il valore del costo medio ` e dato dal coefficiente angolare ella retta OA, dove O ` e l’origine degli assi (ricordare la determinazione del coefficiente angolare di una retta

).

——————– Inserire grafico ———————–

Definizione 3 Si chiama costo marginale la derivata prima del costo to- tale C(q), e si indica con C

(q):

C

(q) = D(C(q)) ;

il costo marginale, dipende generalmente dalla quantit` a q.

Inoltre, poich´ e

C

(q) = D(C(q)) = D(C

+ C

(q)) = D(C

) + D(C

(q)) = D(C

(q)),

1

quindi, il valore del costo medio ` e legato alla pendenza della retta OA.

il costo marginale non dipende dal costo fisso (poich´ e la derivata di una costante ` e nulla, allora D(C

) = 0).

Dato un qualunque punto A del grafico della funzione che rappresenta il costo marginale C

(q), il valore del costo marginale ` e dato dal coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto A (ricordare la deter- minazione del coefficiente angolare di una retta

).

——————– Inserire grafico ———————–

Il costo marginale C

(q) rappresenta la variazione del costo totale C(q) che si verifica in seguito ad una variazione (infinitesima) della quantit` a q prodotta. In termini pi` u semplici, il costo marginale rappresenta l’incremento del costo totale legato all’incremento di una unit` a del bene prodotto, e fornisce informazioni su come aumenta il costo totale in conseguenza di un incremento unitario della quantit` a prodotta.

2.3 Il ricavo

Un’impresa produce una quantit` a q di un certo bene, che vende ad un prezzo unitario p.

Il prezzo unitario di vendita p pu` o essere determinato da un’opportuna combinazione di due condizioni di mercato:

• monopolio: il produttore ha un potere di mercato tale da consentirgli di determinare i prezzi in base alla propria produzione. In tal caso il prezzo di vendita p dipende dalla quantit` a q di bene prodotto (per cui, in realt` a, dobbiamo scrivere p(q) in luogo di p).

• concorrenza perfetta: il produttore non ha un potere di mercato, ed i prezzi sono determinati dalle leggi di mercato della domanda e dell’offerta. In tal caso il prezzo di vendita p non dipende dalla quantit` a q di bene prodotto.

Definizione 4 Si chiama ricavo totale il prodotto tra il prezzo unitario di vendita p, e la quantit` a di bene venduto

q, e si indica con R(q):

• in condizione di monopolio:

R(q) = p(q) · q ;

2

quindi, il valore del costo marginale ` e legato alla pendenza della retta tangente in A.

3

supporremo che le quantit` a prodotte e le quantit` a vendute coincidano.

• in condizione di concorrenza perfetta:

R(q) = p · q ;

ovviamente, il ricavo totale, dipende dalla quantit` a q, in entrambi i casi.

Esempio 3 Sempre la stessa pizzeria di cui si ` e gi` a detto, che produce le 500 pizze al giorno, e le vende a 3, 50 euro ciascuna. Poich´ e p = 3, 50 euro, q = 500, si avr` a R = 1750 euro.

Definizione 5 Si chiama ricavo medio il rapporto tra il ricavo totale R(q) e la quantit` a q stessa di prodotto, e si indica con R

(q):

R

(q) = R(q)

q ;

il ricavo medio, come vedremo, dipende dalla quantit` a q solo in caso di monopolio.

Inoltre, si ha:

• in condizione di monopolio:

R

(q) = p(q) · q

q = p(q), cio` e

R

(q) = p(q);

• in condizione di concorrenza perfetta:

R

(q) = p · q q = p, cio` e

R

= p,

quindi, in concorrenza perfetta, R

non dipende da q.

Il ricavo medio rappresenta il ricavo di una unit` a del bene venduto; in pratica, come si vede dalle formule, e come era facilmente intuibile, rappre- sennta il prezzo unitario di quel bene.

Dato un qualunque punto A del grafico della funzione che rappresenta il

ricavo totale R(q), il valore del ricavo medio ` e dato dal coefficiente angolare

della retta OA, dove O ` e l’origine degli assi (ricordare la determinazione del coefficiente angolare di una retta

).

——————– Inserire grafico ———————–

Definizione 6 Si chiama ricavo marginale la derivata prima del ricavo totale R(q), e si indica con R

(q):

R

(q) = D(R(q)) ;

il ricavo marginale, dipende dalla quantit` a q, solo in caso di monopolio.

Inoltre,

• in condizione di monopolio:

R

(q) = D(p(q) · q) = D(p(q)) · q + p(q) · D(q) = p

(q) · q + p(q), cio` e

R

(q) = p

(q) · q + p(q).

5

• in condizione di concorrenza perfetta:

R

(q) = D(p · q) = D(p) · q + p · D(q) = p, cio` e

R

(q) = p.

Dato un qualunque punto A del grafico della funzione che rappresenta il ricavo marginale R

(q), il valore del ricavo marginale ` e dato dal coefficiente angolare ella retta tangente alla funzione nel punto A (ricordare la determi- nazione del coefficiente angolare di una retta

).

——————– Inserire grafico ———————–

Il ricavo marginale R

(q) rappresenta la variazione del ricavo totale R(q) che si verifica in seguito ad una variazione (infinitesima) della quantit` a q ven- duta. In termini pi` u semplici, il ricavo marginale rappresenta la variazione

4

quindi, il valore del ricavo medio ` e legato alla pendenza della retta OA.

5

Si noti che p

(q) < 0, perch´ e il prezzo unitario diminuisce con l’aumentare della pro- duzione; inoltre q > 0, perch´ e rappresenta quantit` a di beni prodotte. Pertanto: p

(q)·q < 0 .

6

quindi, il valore del ricavo marginale ` e legato alla pendenza della retta tangente in A.

del ricavo totale legato all’incremento di una unit` a del bene venduto, e fornisce informazioni su come aumenta il ricavo totale in conseguenza di un incremento unitario della quantit` a venduta. In condizioni di concorrenza per- fetta, la variazione del ricavo totale dovuta all’incremento unitario di quantit` a venduta, ` e pari al prezzo unitario.

Confrontando ricavi marginali e ricavi medi, si ha:

• in condizione di monopolio:

R

(q) = p

(q) · q + p(q) < p(q) = R

(q), (si rammenti che p

(q) · q < 0), quindi:

R

(q) < R

(q).

• in condizione di concorrenza perfetta:

R

(q) = p = R

(q), quindi:

R

(q) = R

(q).

2.4 Il profitto (o guadagno)

Definizione 7 Si chiama profitto totale (o guadagno totale) la dif- ferenza tra il ricavo totale ed il costo totale, e si indica con Π(q):

Π(q) = R(q) − C(q) ;

ovviamente, il ricavo totale, dipende dalla quantit` a q.

Esempio 4 ...

...

L’obiettivo di ogni impresa non ` e quello di minimizzare i costi (si potrebbe

tollerare un incremento dei costi, se compensato da un adeguato aumento

dei ricavi), o di massimizzare i ricavi (che potrebbero essere dovuti ad un

aumento non tollerabile di costi); l’obiettivo di ogni impresa ` e di massimizzare

i guadagni (profitti). Quindi vogliamo capire quali sono le condizioni che ci

consentono di massimizzare la funzione profitto Π(q). Per fare ci` o, si pu` o

operare in due modi.

2.4.1 Primo metodo

Le funzioni Π(q) che incontreremo, saranno generalmente dei polinomi, per cui ci soffermeremo su quel tipo di funzioni.

I massimi della funzione Π(q) si trovano per quei valori della variabile q che soddisfano alla condizione Π

(q) = 0 (la retta tangente alla curva in quei punti (q; Π(q)) ` e orizzontale, e quindi il coefficiente angolare di tale retta ` e pari a zero

) e

Π

(q) < 0.

Ora, poich´ e

Π

(q) = R

(q) − C

(q), allora Π

(q) = 0 implica

R

(q) = C

(q) ; inoltre, poich´ e

Π

(q) = R

(q) − C

(q), allora Π

(q) < 0 implica

R

(q) < C

(q) . In particolare si ha:

• in condizione di monopolio

:

R

(q) = C

(q) R

(q) < C

(q).

• in condizione di concorrenza perfetta

: C

(q) = p C

(q) > 0.

Il ricavo marginale ed il costo marginale rappresentano rispettivamente l’incremento di ricavo e l’incremento di di costo per l’impresa per ogni unit` a nuova di prodotto; se il costo marginale ed il ricavo marginale si uguagliano, l’aggravio di costi e l’incremento di ricavi che genera un nuovo prodotto, si compensano e danno un incremento di profitto pari a zero. Quindi il massimo profitto si trova in corrispondenza di un incremento dei profitti nullo (il valore ` e massimo - o minimo - quando la variabile non pu` o pi` u aumentare - o diminuire -).

7

Richiamo al significato geometrico della derivata; in particolare, al legame tra derivata prima e crescita di una funzione.

8

Richiamo al legame tra derivata seconda e concavit` a di una funzione.

9

in realt` a, queste condizioni vanno bene anche per il caso di concorrenza perfetta.

10

ricordiamo che, in tal caso, R

= p e R

(q) = D(R

(q)) = D(p) = 0

Esercizio 1 Sia

p(q) = 100 − 2q il prezzo unitario di un bene, e

C(q) = 50 + 40q il costo totale.

Nota: siccome p ` e funzione di q, ci troviamo in condizione di monopolio.

Nota: si osserva subito che C

= 50 e C

(q) = 40q.

Quale ` e la quantit` a q che rende massimo il profitto?

Siccome Π(q) = R(q) − C(q), dobbiamo innanzitutto ricavare R(q).

R(q) = p(q) · q = (100 − 2q)q = 100q − 2q

. La funzione profitto ` e:

Π(q) = 100q − 2q

− (50 + 40q) = 100q − 2q

− 50 − 40q = −2q

+ 60q − 50 Dobbiamo valutare per quale valore di q si possono avere dei massimi. Per- tanto imponiamo:

R

(q) = C

(q), cio` e, poich´ e

R

(q) = D(100q − 2q

) = 100 − 4q, e

C

(q) = D(50 + 40q) = 40, si ha:

100 − 4q = 40;

quest’ultima, ` e un’equazione di primo grado in q, ed ha per soluzione q = 15.

Ma non sappiamo se tale valore di q rappresenti un massimo. A tal fine si deve verificare

R

(q) < C

(q);

poich´ e

R

(q) = D(R

(q)) = D(100 − 4q) = −4, e

C

(q) = D(C

(q)) = D(40) = 0, si ha:

−4 < 0.

Poich´ e tale relazione ` e verificata, allora q = 15 rappresenta il valore che massimizza la funzione profitto.

Quanto vale il massimo di Π(q)? Basta valutare Π(15) :

Π(q

) = Π(15) = −2(15)

+ 60(15) − 50 = −2(225) + 60(15) − 50 =

= −450 + 900 − 50 = 400

Esercizio 2 Sia

p(q) = 132 − 3q il prezzo unitario di un bene, e

C(q) = 2q

− 51q

+ 300q + 540 il costo totale.

Nota: siccome p ` e funzione di q, ci troviamo in condizione di monopolio.

Nota: si osserva subito che C

= 540 e C

(q) = 2q

− 51q

+ 300q.

Quale ` e la quantit` a q che rende massimo il profitto?

Siccome Π(q) = R(q) − C(q), dobbiamo innanzitutto ricavare R(q).

R(q) = p(q) · q = (132 − 3q)q = 132q − 3q

. La funzione profitto ` e:

Π(q) = 132q − 3q

− (2q

− 51q

+ 300q + 540) =

= 132q − 3q

− 2q

+ 51q

− 300q − 540 = −2q

+ 48q

− 168q − 540.

Dobbiamo valutare per quale valore di q si possono avere dei massimi. Per- tanto imponiamo:

R

(q) = C

(q), cio` e, poich´ e

R

(q) = D(132q − 3q

) = 132 − 6q, e

C

(q) = D(2q

− 51q

+ 300q + 540) = 6q

− 102q + 300, si ha:

132 − 6q = 6q

− 102q + 300;

quest’ultima, ` e un’equazione di secondo grado in q,

6q

− 96q + 168 = 0.

Le soluzioni sono: q

= 2 e q

= 14. Ma non sappiamo se tali valore di q rappresentino massimi. A tal fine si deve verificare

R

(q) < C

(q) per ciascuno dei due valori q

e q

.

Poich´ e

R

(q) = D(R

(q)) = D(132 − 6q) = −6, e

C

(q) = D(C

(q)) = D(6q

− 102q + 300) = 12q − 102, si ha:

−6 < 12q − 102.

Verifichiamola per q

= 2:

−6 < 12(2) − 102.

−6 < −74.

Poich´ e tale relazione non ` e verificata, allora q

= 2 rappresenta il valore che minimizza la funzione profitto.

Verifichiamola per q

= 14:

−6 < 12(14) − 102.

−6 < 66.

Poich´ e tale relazione ` e verificata, allora q

= 14 rappresenta il valore che massimizza la funzione profitto.

Quanto vale il massimo di Π(q)? Basta valutare Π(14) :

Π(q

) = Π(14) = −2(14)

+ 48(14)

− 168(14) − 540 =

= −5488 + 9408 − 2352 − 540 = 1028

2.4.2 Secondo metodo

Il metodo, che introduciamo qui, pi` u generale di quello gi` a trattato.

Per determinare il massimo della funzione Π(q), si pu` o studiare la posi- tivit` a della derivata prima.

Si ha un massimo quando, in un punto ¯ q in cui la funzione sia definita, si ha Π(q) crescente prima (a sinistra) di ¯ q, decrescente dopo (a destra di) ¯ q.

Pertanto, con lo studio del segno della derivata prima, si deve avere in un punto ¯ q in cui la funzione sia definita, Π

(q) > 0 prima (a sinistra) di ¯ q, e Π

(q) < 0 dopo (a destra di) ¯ q.

Esercizio 3 Sia

p(q) = 100 − 2q il prezzo unitario di un bene, e

C(q) = 50 + 40q il costo totale.

Nota: siccome p ` e funzione di q, ci troviamo in condizione di monopolio.

Nota: si osserva subito che C

= 50 e C

(q) = 40q.

Quale ` e la quantit` a q che rende massimo il profitto?

Siccome Π(q) = R(q) − C(q), dobbiamo innanzitutto ricavare R(q).

R(q) = p(q) · q = (100 − 2q)q = 100q − 2q

. La funzione profitto ` e:

Π(q) = 100q − 2q

− (50 + 40q) = 100q − 2q

− 50 − 40q = −2q

+ 60q − 50.

Dobbiamo vedere quando la funzione profitto cresce. Pertanto calcolia- mone la derivata prima, e studiamone il segno.

Π

(q) = D(−2q

+ 60q − 50) = −4q + 60.

• Il profitto ` e crescente quando Π

(q) > 0, cio` e quando

−4q + 60 > 0;

quest’ultima ` e una disequazione di primo grado, che ha per soluzione q < 15;

cio` e la funzione cresce se q < 15.

• Il profitto ` e decrescente quando Π

(q) < 0, cio` e quando

−4q + 60 < 0;

quest’ultima ` e una disequazione di primo grado, che ha per soluzione q > 15;

cio` e la funzione decresce se q > 15.

——————– Inserire grafico/tabella ———————–

Siccome Π(q) cresce per q < 15 e decresce per q > 15, allora q = 15 rapresenta un punto di massimo. Quindi q = 15 rappresenta il valore che massimizza la funzione profitto.

Quanto vale il massimo di Π(q)? Basta valutare Π(15) :

Π(q

) = Π(15) = −2(15)

+ 60(15) − 50 = −2(225) + 60(15) − 50 =

= −450 + 900 − 50 = 400.

Esercizio 4 Sia

p(q) = 132 − 3q il prezzo unitario di un bene, e

C(q) = 2q

− 51q

+ 300q + 540 il costo totale.

Nota: siccome p ` e funzione di q, ci troviamo in condizione di monopolio.

Nota: si osserva subito che C

= 540 e C

(q) = 2q

− 51q

+ 300q.

Quale ` e la quantit` a q che rende massimo il profitto?

Siccome Π(q) = R(q) − C(q), dobbiamo innanzitutto ricavare R(q).

R(q) = p(q) · q = (132 − 3q)q = 132q − 3q

. La funzione profitto ` e:

Π(q) = 132q − 3q

− (2q

− 51q

+ 300q + 540) =

= 132q − 3q

− 2q

+ 51q

− 300q − 540 = −2q

+ 48q

− 168q − 540.

Dobbiamo vedere quando la funzione profitto cresce. Pertanto calcolia- mone la derivata prima, e studiamone il segno.

Π

(q) = D(−2q

+ 48q

− 168q − 540) = −6q

+ 96q − 168.

• Il profitto ` e crescente quando Π

(q) > 0, cio` e quando

−6q

+ 96q − 168 > 0;

quest’ultima ` e una disequazione di secondo grado, che ha per soluzione 2 < q < 14;

cio` e la funzione cresce nell’intervallo 2 < q < 14.

• Il profitto ` e decrescente quando Π

(q) < 0, cio` e quando

−6q

+ 96q − 168 > 0, che ha per soluzione

q < 2; q > 14;

cio` e la funzione decresce se q < 2; q > 14.

——————– Inserire grafico/tabella ———————–

Siccome Π(q) decresce per q < 2 e cresce per 2 < q < 14, allora q = 2 rapresenta un punto di minimo. Quindi q = 2 rappresenta un valore che minimizza la funzione profitto.

Siccome Π(q) cresce per 2 < q < 14 e decresce per q > 14, allora q = 14 rapresenta un punto di massimo. Quindi q = 14 rappresenta un valore che massimizza la funzione profitto.

Quanto vale il massimo di Π(q)? Basta valutare Π(14) :

Π(q

) = Π(14) = −2(14)

+ 48(14)

− 168(14) − 540 =

= −5488 + 9408 − 2352 − 540 = 1028