meccanica dei sistemi

(1)

meccanica dei sistemi

• corpi rigidi estesi (non in programma), sistemi a molti corpi, …

• quanti valori per identificare la posizione di un corpo ? concetto di grado di libertà;

• sistema a molti corpi : n punti materiali di massa m _i e posizione r _i (i = 1,2,3,...,n);

→ “3n” gradi di libertà (x _i , y _i , z _i , i=1,…n).

(2)

centro di massa

definizione di centro di massa :

...

3 2

1 3 3 2

2 1

1 + +

+

+ +

= +

= ∑ ∑

m m

m

r m r

m r

m m

r m r

i i i

cm

→

→ → → →

→ M _TOT r _CM = Σ ^m ⁱ ^r ⁱ ^;

M _TOT → v _CM = Σ ^m ⁱ → ^v ⁱ ^; .... segue ...

→

(3)

Sistemi di punti materiali (2)

= 0

Principio di azione e reazione

... segue ...

→ M _TOT r _CM = Σ ^m ⁱ ^r ⁱ ^;

M _TOT v _CM = Σ ^m ⁱ ^v ⁱ ^;

M _TOT a _CM = Σ ^m ⁱ â ⁱ ⁼ Σ ^f ⁱ ^TOT ⁼ Σ ^f ⁱ ÊXT ⁺ Σ ^f ⁱ ÎNT

→ →

→ → → → →

Teorema del centro di massa : il moto (virtuale) del c.m. è deteminato dalle sole forze esterne al sistema; le forze interne determinano i moti relativi dei membri del sistema :

M _TOT a ^→ _CM = Σ ^→ ^f ⁱ ^EXT ^{= F} ^→ ^TOT ^EXT

(4)

quantità di moto

definizione : p = m v

→ F [= ma = m dv/dt = d (mv) / dt ] = dp / dt

[spesso citata come espressione corretta della 2ª legge, include i sistemi a massa variabile, per cui dm/dt ≠ 0].

Nei sistemi a molti corpi, definiamo :

P = Σ ^p ⁱ ⁼ Σ ^m ⁱ ^v ⁱ ^{= M} ^TOT ^v ^CM

Possiamo scrivere il teorema del centro di massa :

F _TOT ^EXT = dP / dt F _TOT ^EXT =0 → dP / dt = 0

→ P = Σ ^m ⁱ ^v ⁱ ^{= costante}

→ →

→ _→ _→ _→ →

→ → → →

→ →

(5)

Urti

Ø l’urto avviene in un tempo piccolo (qualche ms);

Ø pertanto, le forze d’urto sono molto intense;

Ø pertanto, durante l’urto, possiamo trascurare le altre forze (ex.

gravità, forze elastiche, attriti);

Ø poiché le forze d’urto sono interne al sistema di corpi che collidono e le forze esterne sono trascurabili, durante l’urto si conserva sempre la quantità di moto totale dei corpi che si urtano [ → P _INI = P _FIN ];

Ø se le forze d’urto sono conservative, poiché l’energia potenziale

prima e dopo l’urto è la stessa (forze d’urto nulle fuori della

collisione), anche l’energia cinetica si conserva durante l’urto

[ → K _INI = K _FIN ].

(6)

urti elastici (1)

Ø si chiamano u.e. quelli in cui si conserva l’energia cinetica;

Ø anche la quantità di moto si conserva (vedi sopra);

Ø studiamo il caso (semplice) in cui le forze d’urto sono collineari con la linea che congiunge i CM dei corpi che si urtano (urti

“centrali”, cfr. due palle da biliardo che si “spizzano”);

Ø semplifichiamo al caso in cui le velocità dei corpi prima dell’urto siano parallele (urti unidimensionali);

Ø abbiamo quindi (in una sola dimensione) le seguenti variabili :

• masse (M, m);

• velocità prima dell’urto (V, v) e dopo l’urto (W, w);

Ø ... e le seguenti equazioni :

§ conservazione della quantità di moto (in una dimensione);

§ conservazione dell’energia cinetica.

... segue ...

(7)

urti elastici (2)

M m ^{crash !!!}

prima dell’urto M V ^→ ^→ v m

M m w

W

→ →

w ? W ? ^→ ^→

(8)

MV + mv = MW + mw

½MV ² + ½mv ² = ½MW ² + ½mw ²

urti elastici (3)

m (v - w) = M (W - V)

m (v - w) (v + w) = M (W - V) (W + V)

w = [ 2MV + v (m - M) ] / (M + m) W = [ 2mv + V (M - m) ] / (M + m) v + w = W + V → W = v + w - V

m (v - w) = M (v + w - V - V) w (m + M) = mv - Mv + 2MV

p } equazioni iniziali E

algebra →

← algebra

soluzioni →

(9)

urti elastici (4)

soluzioni

w = [ 2MV + v (m - M) ] / (M + m) W = [ 2mv + V (M - m) ] / (M + m)

Casi particolari :

Ø M=m → w = V, W = v (inversione delle velocità);

Ø M>>m, V=0 → w = - v; W ≈ 0 (rimbalzo) ^.

conseguenza : Leggi della riflessione

1. l’angolo di incidenza θ e quello di riflessione θ ’ sono uguali;

2. la traiettoria incidente, quella riflessa e la normale al piano di riflessione giacciono nello stesso piano.

θ θ ’

(10)

urti anelastici (1)

MV + mv = (M + m) w

w = (MV + mv) / (M + m)

Ø l’energia cinetica NON si conserva [forze non conservative] ; Ø la quantità di moto si conserva [sistema isolato] ;

Ø studiamo solamente il caso estremo : i due corpi restano attaccati dopo l’urto.

∆ K = K _FIN - K _INI = ½ (M+m) w ² - ½ MV ² - ½ mv ² =

= - ½ mM (V - v) ² / (M + m) < 0

l’energia cinetica diminuisce

(si disperde, ex. in calore o

deformazioni)

(11)

urti anelastici (2)

M m ^{crash !!!}

prima dell’urto

w ? →

M V ^→ ^→ v m

M+m w

→

(12)

• si definisce momento di un vettore v rispetto a un punto P :

m = r ∧ v

• il momento è correlato con il concetto di rotazione attorno ad un asse;

• definiamo il momento della forza τ ^: τ ⁼ r ∧ f

momento delle forze

→ v P

→ r

m (verso ×

il basso)

(13)

Equilibrio dei corpi

• i corpi puntiformi in quiete sono in equilibrio se f _TOT = Σ i f _i = 0

• i corpi estesi richiedono in più :

τ _TOT ⁼ Σ i τ _i = Σ i r _i ^∧ f _i = 0

Ex., f _TOT = 0, τ _TOT ^≠ ^0,

il corpo ruota :

f ₁

f ₂

(14)

Tipi di equilibrio

Ø stabile, se il corpo, allontanato dalla posizione di equilibrio, vi torna;

Ø instabile, se si allontana ulteriormente;

Ø indifferente, se resta nella nuova posizione;

Attenzione in più dimensioni,

ex. un “punto di sella”.

(15)

Forza di gravitazione

• le masse (gravitazionali) si attraggono :

2 11 3

2 12

2 1 ; 6 . 67 10

s kg

G m r

m F Gm

× ⋅

=

= ⁻

m ₁ F F m ₂

stesso modulo, stessa direzione,

(16)

Gravità e forza peso

• se r ₁₂ ≈ r _terra , m ₁ ≈ m _terra →

F = [Gm _T /r _T ² ] × m = m g

cioè la forza peso mg è solo un caso particolare della forza di gravità, g dipende solo da m _T e r _T ;

• la forza di gravità è conservativa (facile da dimostrare);

• l’energia potenziale vale :

U(r ₁₂ ) = - G m ₁ m ₂ / r ₁₂ + cost

[dimostrare per esercizio : U(r ₁₂ ) partendo da F;

U(r ₁₂ ) ≈ mgh, se sulla superficie della terra]

(17)

Le leggi di Keplero

1. i pianeti percorrono orbite ellittiche; il sole occupa uno dei fuochi dell’ellisse;

2. il raggio vettore tra sole e pianeta spazza aree uguali in tempi uguali;

3. il rapporto tra il quadrato del periodo e il cubo del semiasse maggiore è lo stesso per tutti i pianeti.

NB :

§ le leggi sono “dimostrabili” a partire dalla legge di gravità;

§ valgono per qualsiasi sistema gravitazionale, il sistema solare è solo un esempio;

§ approssimazione m(sole) >> m(pianeti).

(18)

ellisse § ellisse : ;

§ s ₁ + s ₂ = d ₁ + d ₂ = cost.

§ f ₁ , f ₂ “fuochi”.

il cerchio è un caso particolare con a = b = s ₁ = s ₂ = d ₁ = d ₂ = R.

1

2 2  =



 

 + 

 

 





b y a

x

x y

s ₁

s ₂

d ₁

d ₂

f ₂ f ₁

b

a

(19)

1ª legge di Keplero

ellisse : (x/a) ² + (y/b) ² = 1

(generalizzazione del cerchio, a = b = R).

NB : è un’esagerazione, le orbite reali dei pianeti sono

§ a, b = semiassi (maggiore, minore);

§ comete periodiche : ellissi schiacciate;

§ altri corpi celesti : ellissi oppure iperboli, parabole

x y

sole

pianeta

(20)

• i due triangoli ( 5 e 5 ) corrispondono a tempi uguali, ed hanno area uguale; pertanto :

2ª legge di Keplero

sole

r’, θ ’ r, θ

x

y ∆ A = ½ × r × r θ

= ½ r ² ω δ t

= costante;

ω r ² = v r

= costante;

v ∼ 1 / r.

(21)

3ª legge di Keplero

dati due pianeti :

T ² / a ³ = T’ ² / a’ ³ ^Dim. (caso particolare, orbite circolari):

m ₁ ω 1 2 r ₁ = m ₁ [2 π /T ₁ ] ² r ₁ =

= G m _s m ₁ / r ₁ ² ;

→ ^T ₁ ² ^{/ r} ₁ ³ ^{= 4} π ² / [G m _s ] ;

→ ^T 2 2 / r ₂ ³ = 4 π ² / [G m _s ] ; T ₁ ² / r ₁ ³ = T ₂ ² / r ₂ ³ = 4 π ² / [G m _s ]

meccanica dei sistemi

meccanica dei sistemi

• corpi rigidi estesi (non in programma), sistemi a molti corpi, …

• quanti valori per identificare la posizione di un corpo ? concetto di grado di libertà;

• sistema a molti corpi : n punti materiali di massa m i e posizione r i (i = 1,2,3,...,n);

→ “3n” gradi di libertà (x i , y i , z i , i=1,…n).

centro di massa

definizione di centro di massa :

...

...

3 2

1

3 3 2

2 1

1

+ +

+

+ +

= +

= ∑ ∑

m m

m

r m r

m r

m m

r m r

i i i

cm

→

→ → → →

→ M TOT r CM = Σ m i r i ;

M TOT → v CM = Σ m i → v i ; .... segue ...

→

→

Sistemi di punti materiali (2)

= 0

Principio di azione e reazione

... segue ...

→ M TOT r CM = Σ m i r i ;

M TOT v CM = Σ m i v i ;

M TOT a CM = Σ m i a i = Σ f i TOT = Σ f i EXT + Σ f i INT

→ →

→ →

→ → → → →

Teorema del centro di massa : il moto (virtuale) del c.m. è deteminato dalle sole forze esterne al sistema; le forze interne determinano i moti relativi dei membri del sistema :

M TOT a → CM = Σ → f i EXT = F → TOT EXT

quantità di moto

definizione : p = m v

→ F [= ma = m dv/dt = d (mv) / dt ] = dp / dt

[spesso citata come espressione corretta della 2ª legge, include i sistemi a massa variabile, per cui dm/dt ≠ 0].

Nei sistemi a molti corpi, definiamo :

P = Σ p i = Σ m i v i = M TOT v CM

Possiamo scrivere il teorema del centro di massa :

F TOT EXT = dP / dt F TOT EXT =0 → dP / dt = 0

→ P = Σ m i v i = costante

→ →

→ → → → →

→ → → →

→ →

→ →

→ →

Urti

Ø l’urto avviene in un tempo piccolo (qualche ms);

Ø pertanto, le forze d’urto sono molto intense;

Ø pertanto, durante l’urto, possiamo trascurare le altre forze (ex.

gravità, forze elastiche, attriti);

Ø poiché le forze d’urto sono interne al sistema di corpi che collidono e le forze esterne sono trascurabili, durante l’urto si conserva sempre la quantità di moto totale dei corpi che si urtano [ → P INI = P FIN ];

Ø se le forze d’urto sono conservative, poiché l’energia potenziale

prima e dopo l’urto è la stessa (forze d’urto nulle fuori della

collisione), anche l’energia cinetica si conserva durante l’urto

[ → K INI = K FIN ].

urti elastici (1)

Ø si chiamano u.e. quelli in cui si conserva l’energia cinetica;

Ø anche la quantità di moto si conserva (vedi sopra);

Ø studiamo il caso (semplice) in cui le forze d’urto sono collineari con la linea che congiunge i CM dei corpi che si urtano (urti

“centrali”, cfr. due palle da biliardo che si “spizzano”);

Ø semplifichiamo al caso in cui le velocità dei corpi prima dell’urto siano parallele (urti unidimensionali);

Ø abbiamo quindi (in una sola dimensione) le seguenti variabili :

• masse (M, m);

• velocità prima dell’urto (V, v) e dopo l’urto (W, w);

• sistema a molti corpi : n punti materiali di massa m _i e posizione r _i (i = 1,2,3,...,n);

→ “3n” gradi di libertà (x _i , y _i , z _i , i=1,…n).

→ M _TOT r _CM = Σ ^m ⁱ ^r ⁱ ^;

M _TOT → v _CM = Σ ^m ⁱ → ^v ⁱ ^; .... segue ...

→ M _TOT r _CM = Σ ^m ⁱ ^r ⁱ ^;

M _TOT v _CM = Σ ^m ⁱ ^v ⁱ ^;

M _TOT a _CM = Σ ^m ⁱ â ⁱ ⁼ Σ ^f ⁱ ^TOT ⁼ Σ ^f ⁱ ÊXT ⁺ Σ ^f ⁱ ÎNT

M _TOT a ^→ _CM = Σ ^→ ^f ⁱ ^EXT ^{= F} ^→ ^TOT ^EXT

P = Σ ^p ⁱ ⁼ Σ ^m ⁱ ^v ⁱ ^{= M} ^TOT ^v ^CM

F _TOT ^EXT = dP / dt F _TOT ^EXT =0 → dP / dt = 0

→ P = Σ ^m ⁱ ^v ⁱ ^{= costante}

→ _→ _→ _→ →

Ø poiché le forze d’urto sono interne al sistema di corpi che collidono e le forze esterne sono trascurabili, durante l’urto si conserva sempre la quantità di moto totale dei corpi che si urtano [ → P _INI = P _FIN ];

[ → K _INI = K _FIN ].

M m ^{crash !!!}

prima dell’urto M V ^→ ^→ v m

w ? W ? ^→ ^→

½MV ² + ½mv ² = ½MW ² + ½mw ²

Ø M>>m, V=0 → w = - v; W ≈ 0 (rimbalzo) ^.

∆ K = K _FIN - K _INI = ½ (M+m) w ² - ½ MV ² - ½ mv ² =

= - ½ mM (V - v) ² / (M + m) < 0

M m ^{crash !!!}

M V ^→ ^→ v m

• definiamo il momento della forza τ ^: τ ⁼ r ∧ f

• i corpi puntiformi in quiete sono in equilibrio se f _TOT = Σ i f _i = 0

τ _TOT ⁼ Σ i τ _i = Σ i r _i ^∧ f _i = 0

Ex., f _TOT = 0, τ _TOT ^≠ ^0,

f ₁

f ₂