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TRIGONOMETRIA 1 TRIGONOMETRIA

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Academic year: 2022

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TRIGONOMETRIA

Introduzione

La trigonometria è la parte della matematica che studia le relazioni tra gli angoli e i lati di un triangolo. A partire dai primi anni del XIX secolo, per merito del matematico J.B. Fourier, la trigonometria si è rivelata molto utile anche per la descrizione di tutti i fenomeni ondulatori, tra cui i fenomeni acustici.

Definizione di circonferenza goniometrica

Dato un sistema di assi cartesiani, una circonferenza goniometrica è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a 1.

Mediante la circonferenza goniometrica, si può definire il concetto di angolo orientato, ossia un angolo che può avere sia misura positiva che negativa.

Mostriamo quindi come su di una circonferenza goniometrica si definiscono gli angoli orientati.

Consideriamo un punto P sulla circonferenza e la semiretta OP O

O

P

Semiretta OP

(2)

Consideriamo ancora il punto Q di intersezione tra la circonferenza e la parte positiva dell'asse x.

La semiretta OP definisce due angoli: un angolo α ed un angolo β, nel seguente modo:

se noi, partendo dal punto Q e camminando sulla circonferenza, raggiungiamo il punto P procedendo in senso antiorario, allora descriviamo l'angolo α, che, per definizione è positivo; se invece, partendo nuovamente dal punto Q, camminando sulla circonferenza, raggiungiamo il punto P procedendo in senso orario, definiamo l'angolo β, che, per definizione, è negativo.

O

P

Q

(3)

In definitiva, per convenzione, un angolo sulla circonferenza goniometrica è positivo se, per descriverlo si procede in senso antiorario.

Viceversa, un angolo è negativo se per descriverlo si procede in senso orario.

Esempio

Nella figura seguente il punto P definisce un angolo di 90° e un altro angolo di -270°

Osservazione 1

Per definire un angolo di 0 gradi, occorre che il punto P si sovrapponga al punto Q.

(4)

Osservazione 2

Un giro completo in senso antiorario, partendo da Q e arrivando a P coincidente con Q, definisce un angolo di 360 gradi.

Osservazione 3

Un giro completo in senso orario, partendo da Q e arrivando a P coincidente con Q, definisce un angolo di -360 gradi.

(5)

Osservazione 4

È possibile anche definire angoli maggiori di 360°. Ad esempio, un angolo di 390 gradi si definisce partendo da Q, facendo dapprima un giro completo sulla circonferenza in senso antiorario (tracciando così un angolo di 360°) e poi continuando a camminare tracciando un ulteriore angolo di 30 gradi.

Allo stesso modo, procedendo in senso orario, è possibile definire angoli minori di -360°.

Seno e coseno Definizione di seno.

Dato un angolo α, fissato da un punto P sulla circonferenza goniometrica, si definisce seno di α (e si scrive sen(α)) l'ordinata del punto P.

sen(α) = ordinata di P

(6)

Osservazione

Denotiamo con H la proiezione di P sull'asse x.

Allora, se α è compreso tra 0° e 180° (o, in altro parole, se il punto P sta sulla circonferenza al di sopra dell'asse x), allora sen(α) coincide proprio con la lunghezza del segmento PH.

Se invece l'angolo α è compreso tra 180° e 360° (in altre parole, se il punto P si trova sulla semicirconferenza al di sotto dell'asse x), allora sen(α) è un numero negativo ed è uguale all'opposto della lunghezza di PH.

(7)

In particolare si ha:

1) Se α = 0 allora il punto P sta sull'asse x (e coincide con il punto Q e con H), quindi P ha ordinata uguale a zero. Si ha perciò sen(0°) = 0

2) Se α è compreso tra 0° e 90° (ossia 0° < α < 90°) allora sen(α) è un numero maggiore di zero e minore di 1 (ossia 0 < sen(α) < 1)

3) Se α = 90°, allora il punto P sta sull'asse y (e il punto H coincide con l'origine). Poiché il raggio della circonferenza goniometrica è 1, allora P ha ordinata 1, quindi sen(90°) = 1.

(8)

4) Se α è compreso tra 90° e 180° (ossia 90° < α < 180°), sen(α) è nuovamente compreso tra 0 e 1 (ossia 0 < sen(α) < 1)

5) Se α = 180°, allora il punto P sta sull'asse x (e il punto H coincide con P). Quindi P ha ordinata 0, ossia sen(180°) = 0.

6) Se α è compresa tra 180° e 270° (ossia 180°< α < 270°), sen(α) è compreso tra -1 e 0 (ossia -1 < sen(α) < 0)

(9)

7) Se α = 270°, allora il punto P sta sull'asse y al di sotto dell'asse x (e il punto H coincide con l'origine). Il punto P ha ordinata -1, quindi sen(270°) = -1.

8) Se α è compresa tra 270° e 360° (ossia 270°< α < 360°), allora sen(α) è compreso tra -1 e 0 (ossia -1 < sen(α) < 0).

9) Se α = 360°, allora il punto P sta sull'asse x (e coincide con il punto Q). Quindi ci troviamo nella stessa situazione di α = 0°, perciò sen(360°) = 0.

(10)

Definizione di coseno.

Dato un angolo α, fissato da un punto P sulla circonferenza goniometrica, si definisce coseno di α (e si scrive cos(α)) l'ascissa del punto P.

Osservazione

Denotiamo con H la proiezione di P sull'asse x.

Se α è compreso tra 0° e 90° oppure tra 270° e 360° (o, in altro parole, se il punto P sta sulla semicirconferenza alla destra dell'asse y), allora cos(α) coincide proprio con la lunghezza del segmento OH.

cos(α) = ascissa di P

(11)

Se invece l'angolo α è compreso tra 90° e 270° (in altre parole, se il punto P si trova sulla semicirconferenza alla sinistra dell'asse y), allora cos(α) è un numero negativo ed è uguale all'opposto della lunghezza di OH.

In particolare si ha:

1) Se α = 0 allora il punto P sta sull'asse x (e coincide con i punti Q ed H), quindi P ha ascissa uguale a uno. Si ha perciò cos(0°) = 1

(12)

2) Se α è compreso tra 0° e 90° (ossia 0° < α < 90°) allora cos(α) è uguale alla lunghezza del segmento OH ed è un numero maggiore di zero e minore di 1 (ossia 0 < cos(α) < 1)

3) Se α = 90°, allora il punto P sta sull'asse y. Poiché il punto H coincide con l'origine, allora P ha ascissa uguale a 0, quindi cos(90°) = 0.

4) Se α è compresa tra 90° e 180° (ossia 90° < α< 180°), il punto P si trova alla sinistra dell'asse y, quindi ha ascissa negativa. Si ha perciò che cos(α) è uguale all'opposto della lunghezza di OH ed è compreso tra -1 e 0 (ossia -1 < cos(α) < 0)

(13)

5) Se α = 180°, allora il punto P sta sull'asse x alla sinistra dell'asse y (e il punto H coincide con P).

Quindi P ha ascissa -1, ossia cos(180°) = -1.

6) Se α è compresa tra 180° e 270° (ossia 180°< α < 270°), allora il punto P sta alla sinistra dell'asse y ed ha ascissa negativa. Quindi cos(α) è uguale all'opposto della lunghezza di OH ed è compreso tra -1 e 0 (ossia -1 < cos(α) < 0)

7) Se α = 270°, allora il punto P sta sull'asse y (e il punto H coincide con l'origine). Il punto P ha ascissa uguale a zero, quindi cos(270°) = 0.

(14)

8) Se α è compresa tra 270° e 360° (ossia 270°< α < 360°), allora il punto P, essendo alla destra dell'asse y, ha ascissa positiva. Quindi cos(α) è uguale alla lunghezza di OH ed è compreso tra 0 e 1 (ossia 0 < cos(α) < 1).

9) Se α = 360°, allora il punto P sta sull'asse x (e coincide con i punti H e Q). Quindi ci troviamo nella stessa situazione di α = 0°, perciò cos(360°) = 1.

(15)

OSSERVAZIONE

Si noti che due angoli che differiscono di 360 gradi, ossia l'angolo α e l'angolo β = (360°+ α), implicano la stessa posizione del punto P.

In altre parole, l'ascissa e l'ordinata del punto P sono le stesse per i due angoli α e β. Quindi sen(α) = sen(360°+α) e cos(α) = cos(360°+α).

Questo significa che, sia i valori del seno sia quelli del coseno non cambiano se aumentiamo l'angolo di 360 gradi o di un multiplo di 360°. In parole povere, possiamo dire che i valori del seno e del coseno si ripetono ogni 360 gradi. Per questo si dice che il seno e il coseno sono due funzioni periodiche di periodo 360°. Più avanti spiegheremo perché il seno ed il coseno possono considerarsi funzioni.

Angoli in radianti

In molte applicazioni della trigonometria è preferibile esprimere gli angoli in radianti (e non in gradi decimali come abbiamo fatto fino ad ora).

Definizione di misura in radianti

Consideriamo un angolo α definito da un punto P in una circonferenza goniometrica, e denotiamo con Q l'intersezione tra il semiasse positivo dell'asse x e la circonferenza goniometrica.

(16)

Allora, la misura in radianti dell'angolo α è la lunghezza dell'arco di circonferenza sotteso dai punti P e Q.

Esempio 1

L'angolo che misura un radiante è l'angolo che corrisponde ad un arco di lunghezza 1 su di una circonferenza goniometrica.

Esempio 2

L'angolo di 360° equivale a 2π radianti. Infatti l'arco corrispondente ad un angolo di 360 gradi corrisponde a tutta la circonferenza goniometrica, quindi la misura in radianti di un angolo di 360° è per definizione la lunghezza di tutta la circonferenza goniometrica, ossia 2π.

Infatti, in generale, in un cerchio qualsiasi di raggio r, la circonferenza è lunga 2π r, ma, la circonferenza goniometrica, avendo raggio 1, è lunga 2π.

Per passare dai decimali ai radianti e viceversa

Per passare dalla misura in decimali alla misura in radianti e viceversa, occorre fare una proporzione di questo tipo:

(angolo in decimali) : 360° = (angolo in radianti) : 2π

(17)

Esempio 1

Supponiamo di voler calcolare qual è la misura in radianti di un angolo di 30°. Applichiamo la suddetta proporzione ponendo come incognita la misura dell'angolo in radianti.

30° : 360 = x : 2π

da cui si ha:

x = 360 2 30 π e, semplificando, si ricava

x = 6 π

Quindi, un angolo di 30 gradi decimali corrisponde ad un angolo di 6

π radianti.

Esempio 2

Supponiamo di voler calcolare qual è la misura in decimali di un angolo di 2.5 radianti.

Applichiamo la proporzione ponendo come incognita la misura dell'angolo in decimali.

x : 360 = 2.5 : 2π da cui si ha:

x = 2π 360 5 . 2 Da ciò si ricava

x = 143.2394...

Osservazione

Dalla proporzione è facile ricavare le seguenti relazioni che è importante ricordare:

1) 90 gradi decimali equivalgono a 2

π radianti.

2) 180 gradi decimali equivalgono a π radianti.

3) 270 gradi decimali equivalgono a 2

3 π radianti.

4) 360 gradi decimali equivalgono a 2 π radianti.

Le funzioni seno e coseno

Il seno e il coseno sono delle funzioni reali. Infatti sono delle "leggi" che ad un numero (che rappresenta la misura di un angolo), associano un altro numero (che rappresenta il valore del seno o del coseno).

Ad esempio, esprimendo gli angoli in decimali, il seno è una funzione che:

a 0 fa corrispondere 0 (perché sen(0°) = 0);

a 90° fa corrispondere 1 (perché sen(90°) = 1);

a 180° fa corrispondere 0 (perché sen(180°) = 1);

a 270° fa corrispondere -1 (perché sen(270°) = -1);

e così via.

(18)

Il periodo delle funzioni seno e coseno

Abbiamo già detto che i valori del seno e del coseno di un angolo non cambiano se a quest'angolo si somma un angolo di 360 gradi (ossia di 2 π radianti).

In altre parole:

sen(α) = sen(α + 360°), cos(α) = cos(α + 360°) oppure, nel caso in cui l'angolo α sia espresso in radianti:

sen(α) = sen(α + 2π), cos(α) = cos(α + 2π)

Ciò si esprime dicendo che il seno e il coseno sono due funzioni periodiche di periodo 360°, oppure, se si preferisce, il seno e il coseno sono due funzioni periodiche di periodo 2π radianti.

I grafici del seno e del coseno: la sinusoide e la cosinusoide

Consideriamo un sistema di assi cartesiani in cui in ascissa sia riportata la misura degli angoli espressa in radianti.

Sapendo che:

1) sen(0) = 0 2) sen 

 

 2

π = 1 (poiché sen 

 

 2

π = sen(90°) )

3) sen π = 0 (poiché sen π = sen(180°) ) 4) sen 

 

 π 2

3 = -1 (poiché sen 

 

 π 2

3 = sen(270°) ) 5) sen(2 π) = 0 (poiché sen(2 π) = sen(360°) )

Considerando anche tutti i valori intermedi, si può verificare che il grafico del seno (detto sinusoide) è il seguente:

Analogamente, si può verificare che il grafico del coseno (detto cosinusoide) è il seguente:

Si noti che la cosinusoide si differenzia dalla sinusoide solamente per una traslazione orizzontale: la cosinusoide appare come una sinusoide traslata di

2

π verso sinistra.

(19)

Confrontando la sinusoide e la cosinusoide solamente lungo il periodo da 0 a 2π, si può notare che la sinusoide ha la forma di una "S" rovesciata e coricata, mentre la cosinusoide è simile ad una coppa. Questa considerazione può essere un utile ausilio per la memorizzazione di questi due grafici.

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