Insiemi convessi con spessore costante

(1)

Insiemi convessi con spessore costante

Marino Belloni Dipartimento di Matematica

Universit` a di Parma

12 giugno 2008

Marino Belloni Dipartimento di Matematica Universit`a di Parma Insiemi convessi con spessore costante

(2)

Alcune semplici domande...

Domanda

Se un sottoinsieme Ω del piano ha spessore costante secondo una qualsiasi direzione, allora Ω `e un cerchio?

Domanda

Esistono motori a scoppio che non utilizzano il meccanismo biella-manovella?

Domanda

Si possono fare buchi quadrati (o esagonali, ottagonali, ...)?

(3)

Alcune nozioni preliminari

Definizione

d (x , y ) =p(x1− y1)²+ (x2− y2)²

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

-1 -0,5 0,5 1 1,5 2

X=(x1,x2) (y1,x2)

Y=(y1,y2) d(X,Y)

Definizione

Br(x ) ≡ {(x1, x2) ∈ IR² : (x1− x1)²+ (x2− x^-4,5 ^-4 2^-3,5)^-3²^-2,5< r^-2 ^-1,5²}^-1 ^-0,5 ⁰ ^0,5 ¹ ^1,5 ² ^2,5 ³ ^3,5 ⁴ ^4,5 ⁵

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

Definizione

X + Y = (X1+ Y^-3,2 1, X^-2,4 2+ Y^-1,6 2^-0,8) ⁰ ^0,8 ^1,6 ^2,4 ^3,2 ⁴ ^4,8 ^5,6 ^6,4

-1,6 -0,8 0,8 1,6 2,4 3,2 4

X Y

X+Y

(4)

Definizione

C ⊂ IR²`e convesso se, presi P, Q ∈ C , il segmento (PQ) `e contenuto in C

!

"

#

C

Q P

IMPORTANTE Nel seguito considereremo solo insiemiCONVESSI

Definizione

Sia ~v (θ) = (cos θ, sin θ) con θ ∈ [0, 2π]; lo spessore di C relativo alla direzione

~v (θ) `e ωC(θ) = fC(cos θ, sin θ) = d (r , s). Nella figura ~v (π/2) = (0, 1)

-3.25! -3! -2.75! -2.5!-2.25! -2! -1.75! -1.5!-1.25! -! -0.75! -0.5!-0.25!0 0.25! 0.5! 0.75! ! 1.25! 1.5! 1.75! 2! 2.25! 2.5! 2.75! 3!

0.25!

0.5!

0.75!

! 1.25!

d r

C

(5)

Al variare di ~v (θ) lo spessore ωC(θ) cambia

-5 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5

Definizione

d (C ) = maxθ∈[0,2π]ωC(θ) = maxx ,y ∈Cd (x , y ) = diametro dell⁰insieme C .

Osservazione

Il cerchio Br(x ) `e un insieme convesso con spessore costante, ovvero ωB_r(θ) = 2r qualunque sia θ ∈ [0, 2π].

Domanda

Esistono insiemi convessi - diversi dal cerchio - aventi spessore costante?

(6)

Il triangolo di Reuleaux

IlTriangolo di ReuleauxR3`e un sottoinsieme convesso di IR²con spessore costante d = d (R3), ovvero ωR₃(θ) = d per ogni ~v (θ)

!"#$ !%#& !%#% !% !'#( !'#$ !$#& !$#% !$ !)#( !)#$ !*#& !*#%* *#% *#& )#$ )#( $ $#% $#& '#$ '#( % %#%

!)#$

!*#&

!*#%

*#%

*#&

)#$

)#(

$

$#%

$#&

'#$

-9.6 -8.8 -8 -7.2 -6.4 -5.6 -4.8 -4 -3.2 -2.4 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8 5.6 6.4 7.2 8 8.8 9.6

-3.2 -2.4 -1.6 -0.8 0.8 1.6 2.4 3.2

Osservazione

Il triangolo di Reuleaux hasolo3 assi di simmetria perimetro: p(R3) = πd = p(Bd /2);

area: Area(R3) = Area(T ) + 3 ·`_π

6d²− Area(T )´ = d²“

π

2−

√ 3 2

” Area(R3) < π`_d

2

´2

= Area(Bd /2)

(7)

Un poco di storia ...

Eulero (1778): viene introdotto il Triangolo di Reuleaux;

Reuleaux (1875)(vedi il libro “Kinematics of Machinery”): studia alcune propriet`a delle curve a spessore costante, in particolare introduce i cosidetti Poligoni di Reuleaux;

Barbier (18..) dimostra che tutti gli insiemi a spessore costante d hanno perimetro πd ;

Meissner (1912): costruisce alcuni modelli 3− dimensionali di insiemi a spessore costante (tra cui l’insieme detto di Meissner);

Lebesgue (1914) e (1921)Il triangolo di Reuleaux `e l’insieme a spessore costante avente area minima in IR²;

Blaschke (1915)dimostra rigorosamente i risultati di Lebesgue.

IlTeorema di Blaschke-Lebesguein IR²`e stato successivamente dimostrato da vari autori (Fujiwara, 1931; Eggleston, 1952; Besicovich, 1963; Harrell 2002; Lachand-Robert 2005).

Quale sia l’insieme a spessore costante in IR³di volume minimo `e ancora un problema aperto. Si congettura che sia l’insieme studiato da Meissner.

(8)

L’epitrocoide

(9)

L’ipotrocoide

(10)

La turbina Wankel

(11)

Confronto motore 4 tempi - Motore Wankel

(12)

Pregi

un motore a scoppio a 3 tempi avente cilindrata 1300 cc e potenza 170 cv viene montato dalla Mazda RX8. Questo motore risulta equivalente a un motore di 2600 cc a 4 tempi.

motore rotativo, silenzioso e con poche vibrazioni non necessita di valvole

non necessita di particolari configurazioni (tipo cilindri a “V” o cose analoghe)

Difetti

problemi di lubrificazione consumi piuttosto elevati

non `e realizzabile il motore diesel perch`e non si possono ottenere rapporti di compressione abbastanza elevati

richiede estrema precisione nella realizzazione statore e rotore

(13)

Altre applicazioni Si possono realizzare fori “quadrati”

19/02/08 00:43 Reuleaux Triangle -- from Wolfram MathWorld

Pagina 1 di 3 http://mathworld.wolfram.com/ReuleauxTriangle.html

Algebra Applied Mathematics Calculus and Analysis Discrete Mathematics Foundations of Mathematics Geometry History and Terminology Number Theory Probability and Statistics Recreational Mathematics Topology

Alphabetical Index Interactive Entries Random Entry New in MathWorld MathWorld Classroom About MathWorld Contribute to MathWorld Send a Message to the Team MathWorld Book 12,792 entries Last updated: Sun Feb 17 2008

Geometry > Curves > Plane Curves > Roulettes >

Interactive Entries > Animated GIFs >

Reuleaux Triangle

A curve of constant width constructed by drawing arcs from each polygon vertex of an equilateral triangle between the other two vertices. The Reuleaux triangle has the smallest area for a given width of any curve of constant width. Let the arc radius be . Since the area of each meniscus-shaped portion of the Reuleaux triangle is a circular segment with

opening angle ,

(1) (2)

But the area of the central equilateral triangle with is

(3) so the total area is then

(4)

Because it can be rotated inside a square, as illustrated above, it is the basis for the Harry Watt square drill bit.

Other Wolfram Sites:

Wolfram Research Demonstrations Site Integrator Tones Functions Site Wolfram Science more…

Mathematica Home Page

Show off your math savvy with a MathWorld T-shirt.

SEARCH MATHWORLD

19/02/08 00:43 Reuleaux Triangle -- from Wolfram MathWorld

Pagina 2 di 3 http://mathworld.wolfram.com/ReuleauxTriangle.html

When rotated inside a square of side length 2 having corners at ), the envelope of the Reuleaux triangle is a region of the square with rounded corners. At the corner , the envelope of the boundary is given by the segment of the ellipse with parametric equations

(5) (6)

for , extending a distance from the corner (Gleißner and Zeitler 2000). The ellipse has center , semimajor axis , semiminor axis

, and is rotated by , which has Cartesian equation

(7) The fractional area covered as the Reuleaux triangle rotates is

(8)

(Sloane's A066666). Note that Gleißner and Zeitler (2000) fail to simplify their equivalent equation, and then proceed to assert that (8) is erroneous.

The geometric centroid does not stay fixed as the triangle is rotated, nor does it move along a circle. In fact, the path consists of a curve composed of four arcs of an ellipse (Wagon 1991). For a bounding square of side length 2, the ellipse in the lower-left quadrant has parametric equations

(9) (10)

for . The ellipse has center , semimajor axis ,

semiminor axis , and is rotated by , which has Cartesian equation (11) The area enclosed by the locus of the centroid is given by

(12)

(Gleißner and Zeitler 2000; who again fail to simplify their expression). Note that the geometric centroid's path can be closely approximated by a superellipse

(13)

with and .

SEE ALSO: Curve of Constant Width, Delta Curve, Equilateral Triangle, Flower of Life,

Le monete da 50 pence.

I rubinetti degli idranti utilizzati a Philadelphia.

(14)

Domanda

Si possono costruire ruote a forma di triangolo di Reuleaux?

(15)

I poligoni di Reuleaux Definizione

Per ogni n = 3, 5, 7... si possono costruire gli insiemi Rn, formati da n archi di cerchio e aventi spessore costante d , che sono detti “Poligoni di Reuleaux”

!"#$ !" !%#& !&#" !'#( !)#$ ) )#$ '#( &#" %#& " "#$

!&#"

!'#(

!)#$

)#$

'#(

&#"

%#&!

"

$ #

%

Osservazione

Rn possiede n assi di simmetria.

perimetro: p(Rn) = πd = p(B_{d /2}) area: Area(Rn) = ^π₂

»

1 −(^1−cos(^πn)) (^π_n^sin(^π_n)) –

d²7−→π`_d

2

´2

= Area(Bd /2) per n = 3, 5, 7... Area(R3) ≤ Area(Rn) < π`d

2

´2

= Area(Bd /2)

(16)

Osservazione

Fori esagonali, ottagonali, ..., 2n−gonali

!"#$%&'#(%')#**%(+%$'#,*%('#'-%."%#./'*(0#+1"%2' ' 3',"%/0!"%'#/0&'#""45&'*6%'!"#$%&'*4'(4*#*%'50*60+'

#' &)#7%' 74+,0+%$' !8' *6%' 70(7.9,%(%+7%' 4,' #'

&:.#(%'#&'&645+'0+';01.(%'<2=!2' ' 3'&:.#(%'64"%' (%&."*&2'

;01.(%'<2=!

'

>60&' $(0""' ?;01.(%' <2@#A' 6#&' !"#$%&' )#**%(+%$'

#,*%('#'-%."%#./')%+*#14+2' ' >6%'#/0&'0&',"%/0!"%'

#&' '

;01.(%'<2@#

50*6'*6%'&:.#(%'$(0""2' ' >6%'!"#$%&'(4*#*%'50*60+'

#' &)#7%' 74+,0+%$' !8' *6%' 70(7.9,%(%+7%' 4,' #' 6%/#14+'*4',4(9'#'6%/#14+#"'64"%?;01.(%'<2@!A2'

;01.(%'<2@!' '

7A'B%607"%&'50*6'C6%%"&'4,'D4+&*#+*'C0$*6&' 3'!4#($')"#7%$'4+'*4)'4,'*54'"41&'0&'&49%*09%&' .&%$' *4' 94E%' 6%#E8' "4#$&2' ' >6%' 70(7."#(' 7(4&&F&%7*04+&' 4,' *6%' "41&' #""45' *6%9' *4' (4""'

&944*6"82' ' >6%' &#9%' 7#+' !%' &#0$' #!4.*' (4""%(&' 564&%' 7(4&&F&%7*04+&' #(%' 4*6%(' ,01.(%&' 50*6'

(17)

Domanda

Esistono poligoni di Reuleaux aventi un numero pari di archi di circonferenza?

Risposta NO!

Si prenda un vertice u e si consideri l’arco (vw ) corrispondente.

si consideri la retta r che passa per u e taglia nel mezzo l’arco (vw ) (1) The boundary of a Reuleaux polygon consists of an odd number of circular arcs.

Proof. Suppose that R is a Reuleaux polygon with diameter d, and that v and w are adjacent vertices of R having distance d from another vertex u. Draw a circular arc of radius d centered at each of u, v, and w to obtain the dashed shape shown in Figure 3, which encompasses R. Draw the vertical dashed line from u to the middle of the arc vw. Then every vertex of R on one side of this line must have distance d from exactly two vertices on the other side of the line, except for v and w, which each have one such vertex on the line. It follows that R has the same number of vertices on each side of the line, and adding u makes an odd number.

v w

u

Figure 3.

(2) A Reuleaux polygon with diameter d has perimeter πd.

Proof. The set of line segments of length d that connect two vertices of such a Reuleaux polygon is a circuit forming a star with n points, and the sum of the angles at the points of such a star is π.

(3) If P is a polygon with diameter d, then there exists a Reuleaux polygon with diam- eter d containing P.

Proof. Let x and y be vertices of P that are distance d apart, and draw the line L that passes through x and y. Choose a side of L (henceforth called the “left” side), and draw circular arcs to that side of L with centers x, y, and those vertices of P to the right of L, as in Figure 4a. Mark the points of intersection. Then draw arcs of radius d on the right side of L centered at the intersection points of the arcs to the left side of L, as in Figure 4b. The figure composed of all the circular arcs is a Reuleaux polygon of diameter d that contains P.

Figure 5 shows the Reuleaux polygons constructed by this method using some regular polygons. It’s evident that the figures obtained when the number of sides is even are quite different from those made when it is odd, and this discrepancy is ultimately the source of the difference in the even and odd cases of the isodiametric problem for the area. We next look at Reinhardt’s results for these problems.

4. ISODIAMETRIC PROBLEMS AND KARL REINHARDT. Reinhardt pre- sented a nice geometric solution to the perimeter problem when the number of sides is odd.

May 2006] A $1 PROBLEM 389

ogni vertice a sinistra di r avr`a distanza d da due vertici che stanno a destra (facendo eccezione per v ), e quindi ci sono tanti vertici a sinistra come a destra di r

(18)

Domanda

Esistono altri insiemi a spessore costante?

Definizione (Insieme Somma)

A + B = {(x1, x2) + (y1, y2) : (x1, x2) ∈ A, (y1, y2) ∈ B}

-3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,6 6,4

-1,6 -0,8 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

20/02/08 11:00 The Theorem of Barbier

CTK Software, Inc.

Supporting lines (Rotate cursor around O)

Central symmetry (Right is reflection of left in O)

Labels (Left from left, right from right) 4

Right : 3 Left :

Properties of Minkowski's Addition

1. The shape of the sum does not depend on the location of the origin.

When the origin is shifted, the sum moves in the opposite direction by the same distance.

2. The sum of convex figures is convex.

Due to the idiosyncrasies of implementation, in the applet above, the sum is always convex even when the addend are not. In fact the result shown is the convex hull of the sum. This is quite sufficient for my purposes as the shapes of constant width are, by definition, convex.

3. The width of the sum in any direction equals the sum of widths of the addends in that

-5 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 2,5

T T

T+T'

(19)

Teorema

A, B poligoni convessi. Allora C = A + B `e un poligono convesso e p(C ) = p(A) + p(B)

(i)A ha n lati e B ha m lati;(ii)A e B non hanno lati paralleli.

Allora A + B ha n + m lati.

20/02/08 11:00 The Theorem of Barbier

Pagina 3 di 6 http://www.maa.org/editorial/knot/Barbier.html

CTK Software, Inc.

Supporting lines (Rotate cursor around O)

Central symmetry (Right is reflection of left in O)

Labels (Left from left, right from right) 4

Right : 3 Left :

Properties of Minkowski's Addition

1. The shape of the sum does not depend on the location of the origin.

When the origin is shifted, the sum moves in the opposite direction by the same distance.

2. The sum of convex figures is convex.

Due to the idiosyncrasies of implementation, in the applet above, the sum is always convex even when the addend are not. In fact the result shown is the convex hull of the sum. This is quite sufficient for my purposes as the shapes of constant width are, by definition, convex.

3. The width of the sum in any direction equals the sum of widths of the addends in that direction.

This is quite clear when the two figures are polygons. Indeed, the sum is a polygon whose vertices are obtained as the sums of vertices of the addends. We may claim more.

Call the points common to a convex figure and its supporting line extreme in the direction perpendicular to the supporting line. In any direction their is a pair of (opposing) extreme

(i)A ha n lati e B ha m lati;(ii)1 lato a di A `e parallelo ad 1 lato b di B.

Allora A + B ha n + m − 1 lati, e uno di questi ha lunghezza data dalla somma delle lunghezze di a e b.

-4,8 -4 -3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8

-3,2 -2,4 -1,6 -0,8 0,8 1,6 2,4 3,2

(20)

Approssimando un convesso con poligoni convessi, si ottiene il seguente risultato:

Teorema

A, B convessi. Allora C = A + B `e un convesso e p(C ) = p(A) + p(B)

-1.5! -1.25! -! -0.75! -0.5! -0.25! 0 0.25! 0.5! 0.75! ! 1.25! 1.5!

-0.25!

0.25!

0.5!

0.75!

!

-10 -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10

-5 -2,5 2,5 5

(21)

Teorema

A, B convessi a spessore costante con diametro d (A) e d (B). Allora C = A + B `e un convesso a spessore costante, e d (C ) = d (A) + d (B).

A, B poligoni convessi, allora per ogni ~v = (cos θ, sin θ), ωC(θ) = ωA(θ) + ωB(θ)

quando A, B sono convessi generici, la tesi si ottiene con un procedimento di approssimazione

(22)

Teorema

C insieme convesso a spessore costante. Allora due diametri di C si intersecano in C ∪ ∂C , dove ∂C `e la frontiera di C .

Per assurdoesistano due diametri (PQ), (RS ) ⊂ C , ovvero d (P, Q) = d (R, S ) = d , tali che ((PQ) ∩ (RS )) ∩ ∂Ω = ∅

ne segue che il quadrilatero (PQRS ) ⊂ C . Ma questo `e assurdo poich`e d ((PQRS )) ≥ d (P, S ) > d (P, Q) = d (C ).

P R

Q S

(23)

Teorema

C è un insieme convesso a spessore costante d (C ). Se O ∈ C è centro di simmetria, allora C è un cerchio.

tutti i diametri debbono passare per O

se un diametro passa per O, allora O `e centro di simmetria per il diametro.

(24)

Teorema

C convesso a spessore costante d = d (C ), D ottenuto ruotando C di 180^o. Allora C + D `e un cerchio di diametro 2d .

!"! !#$%! !#! !&$%! !! !'$%! ' '$%! ! &$%! #! #$%! "!

!&$(!

!&$#!

!'$)!

!'$*!

'$*!

'$)!

&$#!

&$(!

! !"

!#!"

Teorema

(Caratterizzazione degli insiemi a spessore costante) C convesso e D ottenuto ruotando C di 180^o.

C + D `e un cerchio se, e soltanto se, C `e a spessore costante.

(25)

Teorema

Teorema di Barbier: Sia C un convesso con spessore costante d = d (C ).

Allora p(C ) = πd (C )

Supponiamo che (0, 0) ∈ ∂C e C ⊂ {(x1, x2) : x1≤ 0}

-3! -2.5! -2! -1.5! -! -0.5! 0 0.5! ! 1.5! 2! 2.5! 3!

-1.5!

-!

-0.5!

0.5!

! 1.5!

C

Sia C⁰= {(x1, x2) : (−x1, x2) ∈ C }; C⁰ ha spessore costante e d (C ) = d (C⁰)

-3! -2.5! -2! -1.5! -! -0.5! 0 0.5! ! 1.5! 2! 2.5! 3!

-1.5!

-!

-0.5!

0.5!

! 1.5!

C C'

B = C + C⁰ha spessore costante e d (B) = 2d (C ) B `e un cerchio di raggio d (C ), e quindi p(B) = π · [2d (C )]

-3! -2.5! -2! -1.5! -! -0.5! 0 0.5! ! 1.5! 2! 2.5! 3!

-1.5!

-!

-0.5!

0.5!

! 1.5!

C C'

C+C'

p(B) = p(C + C⁰) = p(C ) + p(C⁰) = 2p(C ) p(C ) = p(B)/2 = πd (C )

(26)

Osservazione

Nel Teorema di Barbier abbiamo provato cheTUTTIgli insiemi a spessore costante aventi diametro = d hanno perimetro = πd , pur non conoscendo tutte le forme che questi insiemi assumono.

Teorema

Teorema di Blaschke-LebesgueIl convesso di diametro d a spessore costante avente area minima `e il triangolo di Reuleaux.

Osservazione

S’`e visto che, tra tutti i poligoni di Reuleaux, il triangolo ha area minima e il cerchio ha area massima.

Si prova che, tra gli insiemi di diametro d a spessore costante, quello di area massima `e il cerchio

(27)

Risultati recenti Definizione

{y ≥ 0} = {(x, y ) ∈ IR² : y ≥ 0}, {y ≤ 0} = {(x, y ) ∈ IR² : y ≤ 0}

I il segmento di estremi (−d /2, 0) e (d /2, 0), ovvero un insieme 1 dimensionale convesso a spessore costante d !

Q ⊂ IR², il “generatore”, tale che I ⊂ Q ⊂ˆ{y ≤ 0} ∩ `T_{x ∈I}B(x , d )´˜

K+= {y ≥ 0} ∩ K = {y ≥ 0} ∩`T

x ∈QB(x , d )´ K−= {y ≤ 0} ∩ K = {y ≤ 0} ∩“

T

x ∈K+B(x , d )”

Esempio

Se Q = I , il segmento congiungente A e B

(28)

Esempio

Se Q `e il triangolo di vertici A, B e C

(29)

Esempio

Se Q `e il quadrilatero di vertici A, B, C e D

(30)

Il caso 3-dimensionale Osservazione

A differenza del caso 2−dimensionale, se si procede per analogia e si opera l’intersezione di 4 sfere di uguale raggio, si ottiene un tetraedro “arrotondato”

e questoNON `Ea spessore costante!

Esempio

Facendo ruotare un poligono di Reuleaux intorno ad un’asse di simmetria, si ottiene un sottoinsieme di IR³ a spessore costante

(31)

Esempio

Utilizzando la costruzione vista in precedenza, se si parte dal “generatore”

Q =triangolo di Reuleaux di diametro d , si trova l’insieme a spessore costante d in IR³detto di Meissner

Figure 1: Two views of one Meissner’s tetrahedron

3.5 Description of Meissner’s tetrahedron A description of this volume can be found in [3],[15] and [8]. We shall give a brief definition of this volume and describe its parametrization.

Meissner’s tetrahedron is geometrically defined in the following way: consider a body Ktobtained as the intersection of four balls of radius α which centers are the vertices of a regular tetrahedron (of edge lengths α). Thus, the boundary of Ktis composed of four pieces of balls connected by six arc of circles. Surprisingly, this set Ktis not of constant width: geometrical considerations show that opposite circular edges are too far away. Meissner proposed to smooth three edges of Ktin order to get a constant width body.

Consider E the union of three circular edges which share a common vertex S. Then, the body K defined as

K =! x∈E

B(x, α)∩ Kt

is a body of constant width called Meissner’s tetrahedron (see figure 3.4).

Notice that it is possible to build an other constant width body based on the regular etrahedron by smoothing a different set of edges.

We give below an analytical representation in terms of its h function based on the parametrization of the sphere described by (22). In order to take benefit of the invariance of the previous body K by rotations of angles

±2π/3, we consider a body K built on a regular tetrahedron which has its vertex S on the z-axes and the others on the plane z = 0. Moreover, we assume that the equilateral triangle formed by other vertices on z = 0 is symmetric with respect to the y-axes. It is straightforward to check that

23

Osservazione

Si osservi che la proiezione su IR²di un insieme 3−dimensionale a spessore costante secondo una qualsiasi direzione, `e un insieme a spessore costante in IR².

Congettura

Si ipotizza che tra tutti gli insiemi a spessore costante in IR³, l’insieme di Meissner sia quello con volume minimo.

(32)

Il caso 4-dimensionale se Q `e l’insieme di Meissner si trova

Figure4:Afourdimensionalbodyofconstantwidth(parallelcross-sections), obtainedusingTheorem6withK0=QaMeissner’sbody. 14