VERIFICA DI MATEMATICA – 2^D Liceo Linguistico – impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il giorno 16 aprile 2019
NOME E COGNOME _____________________________________________________________
1
Statistica
Le età dei giocatori titolari di una squadra di rugby sono le seguenti: 23, 24, 24, 25, 23, 22, 29, 24, 26, 28, 25, 26, 26, 22, 22. Determina: l’età media, il campo di variazione, lo scarto semplice medio, la deviazione standard. [esercizio 21 pag. alfa38]
2
Sistemi lineari
Il proprietario di un ristorante ha comperato 300 bottiglie di vino e 50 di liquore, spendendo
€ 450,00. Ora compera 600 bottiglie della stessa qualità di vino e 120 bottiglie di liquore, spendendo € 960,00. Trovare il costo di una bottiglia di vino e il costo di una bottiglia di liquore.
3
Radicali
Semplificare la seguente espressione, descrivendo dettagliatamente i passaggi.
(
√
2−3)2+√
18+√
8+12
√
50− 1√
2+√
32+(3+√
2)2−3√
50+3√
984
Piano cartesiano
Disegnare nel piano cartesiano i punti seguenti. Poi calcolare il perimetro del quadrilatero formato dai punti medi dei segmenti AB, BC, CD, AD.
A(1 ;3) B(−2 ; 4) C (−4 ;−6) D(3 ;−5)
5
Piano cartesiano
Disegnare nel piano cartesiano le rette con le seguenti equazioni:
r : y=2 x s : 2 y+ x−3=0 t : x=5 u : y=4
Successivamente determinare algebricamente le coordinate di tutti i punti di intersezione fra le rette.
(Si noti che le coppie di rette sono 6)
Obiettivi: ripasso sugli argomenti di statistica (cap.”alfa”); riuscire a risolvere un problema mediante un sistema lineare (cap.13); semplificare un'espressione con radicali utilizzando le varie proprietà (cap.14-15); disegnare correttamente i punti nel piano cartesiano, calcolare distanze e punti medi, disegnare rette conoscendone le equazioni. (cap.16)
Valutazione
Valutazione delle risposte.
2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale.
1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità.
1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.
1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.
1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.
1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.
0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.
0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno.
0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno.
0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto.
I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http:// www.lacella.it/profcecchi Nel BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it si trovano preziosi consigli specifici per questa prova
Seguendo la pagina facebook https://www.facebook.com/profcecchi si possono avere notizie sugli aggiornamenti.
1
Statistica
Le età dei giocatori titolari di una squadra di rugby sono le seguenti: 23, 24, 24, 25, 23, 22, 29, 24, 26, 28, 25, 26, 26, 22, 22. Determina: l’età media, il campo di variazione, lo scarto semplice medio, la deviazione standard. [esercizio 21 pag. alfa38]
Può essere molto comodo l'utilizzo di un foglio elettronico.
Utilizzando soltanto carta, penna e calcolatrice, elaboriamo i dati che ci sono stati forniti e cominciamo a compilare una tabella che associ ad ogni età la sua frequenza assoluta. (La frequenza relativa non è richiesta e non ci è utile, nelle tabelle elaborate col foglio elettronico c'è soltanto per completezza e perché non occorre fatica per calcolarla).
L'età media è ovviamente la media aritmetica delle età di tutti i giocatori e risulta 24,6.
Il campo di variazione è la differenza tra l'età massima e quella minima, quindi 29 – 22 = 7
Per calcolare lo scarto semplice medio occorre calcolare tutti gli scarti, ovvero i valori assoluti delle differenza tra le singole età e l'età media. Potete vedere i valori nella seconda tabella.
Lo scarto semplice medio è la media aritmetica degli scarti e risulta circa 1,70.
(Praticamente nella media aritmetica già calcolata prima sostituiamo le età di ciascuno con lo scarto di ciascuno: ad ogni giocatore corrisponde un'età e quindi anche uno scarto).
Non ci è stata richiesta la varianza, ma è comunque un passaggio necessario per calcolare la deviazione standard. Ci servono prima di tutto gli scarti quadratici, ovvero gli scarti al quadrato.
Anche questi li potete leggere nella seconda tabella. La varianza è la media aritmetica degli scarti quadratici (attenzione: a ogni giocatore corrisponde uno scarto quadratico!) e risulta 4,24.
La deviazione standard è semplicemente la radice quadrata della varianza e risulta circa 2,06.
età freq.ass. freq.rel.
22 3 20,00% età media: 24,6
23 2 13,33% campo di variazione: 7
24 3 20,00% scarto semplice medio 1,7066666667
25 2 13,33% varianza: 4,24
26 3 20,00% deviazione standard 2,0591260282
28 1 6,67%
29 1 6,67%
15 100,00%
età scarti sem. scarti qua.
22 2,6 6,76
23 1,6 2,56
24 0,6 0,36
25 0,4 0,16
26 1,4 1,96
28 3,4 11,56
29 4,4 19,36
2
Il proprietario di un ristorante ha comperato 300 bottiglie di vino e 50 di liquore, spendendo€ 450,00. Ora compera 600 bottiglie della stessa qualità di vino e 120 bottiglie di liquore, spendendo € 960,00.
Trovare il costo di una bottiglia di vino e il costo di una bottiglia di liquore.
Indichiamo con x il costo di una bottiglia di vino e con y il costo di una bottiglia di liquore.
Traducendo in formula quanto ci viene chiesto, per quanto riguarda la prima spesa:
300 x+50 y=450
per quanto riguarda la seconda spesa:
600 x+120 y=960
Per determinare i valori di x e di y risolveremo un sistema lineare con due equazioni e due incognite.
{
300 x+50 y=450 600 x+120 y=960Insisto nel dire che il metodo di riduzione è il più rapido:
{
−600 x−100 y=−900 600 x +120 y =96020 y =60 y =3
{
360 x+60 y=540−300 x−60 y=−480 60 x=60
x =1
Dunque, secondo i nostri calcoli, le bottiglie di vino costano 1 € e le bottiglie di liquore costano 3 €.
Risoluzione del sistema con altri metodi.
Sono abbastanza sicuro che la maggioranza degli alunni risolverà il sistema col metodo di sostituzione, ovvero facendo più o meno così:
{
600 x+120 y=960x=300450−30050 yovvero
{
600 x+120 y=960x=32−16 yovvero
{
600(32−x=16 y)+120 y=96032−16y ovvero{
900−100 y+120 y=960x=32−16 yovvero
{
x=20 y=6032−16 y ovvero{
x=y=332−16 yovvero
{
x=1y=3Ci possono essere molte altre versioni possibili, per esempio qualcuno poteva avere l'idea di semplificare subito le due equazioni del sistema (applicando i principi di riduzione). La prima equazione si può dividere per 50, mentre la seconda si può dividere per 120.
Il sistema sarebbe diventato
{
6 x+ y =95 x+ y =8 , semplificandone la gestione.In questa versione, fra l'altro, è adatto al metodo del confronto:
{
y=9−6 xy=8−5 x da cui 9−6 x=8−5 x ovvero 9−8=6 x−5 x ovvero x=1 e da una qualsiasi delle due equazioni posso ricavare y=3 .Nella versione semplificata
{
6 x+ y =95 x+ y =8 risulta piuttosto semplice applicare anche il metodo di Cramer.I denominatori risultano essere 6×1−5×1=1 e quindi x=9×1−8×1
1 =1 e anche y=6×8−5×9
1 =3
3
Radicali
Semplificare la seguente espressione, descrivendo dettagliatamente i passaggi.
(
√
2−3)2+√
18+√
8+12
√
50− 1√
2+√
32+(3+√
2)2−3√
50+3√
98Si tratta di un'esercizio alla “vecchia maniera” dove dobbiamo solo rimboccarci le maniche e fare i conti.
Come prima azione, calcolo i quadrati utilizzando le formule dei prodotti notevoli.
(
√
2−3)2+√
18+√
8+12
√
50− 1√
2+√
32+(3+√
2)2−3√
50+3√
98=......=2−6
√
2+9+√
18+√
8+12
√
50− 1√
2+√
32+9+6√
2+2−3√
50+3√
98=...Per alleggerire la scrittura scrivo subito la somma di tutti i numeri senza radicale, inoltre calcolando i quadrati di prima non ho potuto fare a meno di notare che i doppi prodotti sono l'uno l'opposto dell'altro e quindi si annullano a vicenda.
...=22+
√
18+√
8+12
√
50− 1√
2+√
32−3√
50+3√
98=...Per poter semplificare ulteriormente l'espressione vado a cercare, nei radicali, qualcosa da “portare fuori”. Inoltre razionalizzo la frazione col radicale al denominatore.
...=22+3
√
2+2√
2+52
√
2−√
22 +4
√
2−15√
2+21√
2=...Sono stato piuttosto fortunato, adesso posso sommare tra loro i radicali con “radice di 2”.
...=22+17
√
2Abbiamo fatto un buon lavoro.
4
Disegnare nel piano cartesiano i punti seguenti. Poi calcolare il perimetro del quadrilatero formato dai punti medi dei segmenti AB, BC, CD, AD.
A(1 ;3) B(−2 ; 4) C (−4 ;−6) D(3 ;−5)
Può essere utile il programma GeoGebra. Accanto vedete la figura realizzata con tale programma.
Occorre calcolare le coordinate dei quattro punti medi, nominati, nello stesso ordine della domanda, E,F,G,H.
Utilizziamo le formule xM=xA+xB
2 ; yM=yA+yB
2 avendo
indicato con M il punto medio di A e B.
Applicando tale formula ai nostri casi abbiamo:
E (−1 2;7
2) F (−3 ;−1) G(−1 2;−11
2 ) H (2 ;−1)
Per poter calcolare il perimetro del quadrilatero EFGH occorre calcolare le quattro distanze:
EF =
√
(52)2+(92)2=√
532FG=
√
(52)2+(92)2=√
532GH =
√
(52)2+(92)2=√
532EH =
√
(52)2+(92)2=√
532A quanto pare si tratta di un rombo: il perimetro è 4
√
532≈20,59(Sapreste dire perché è un rombo?)
5
Piano cartesiano
Disegnare nel piano cartesiano le rette con le seguenti equazioni:
r : y=2 x s : 2 y+ x−3=0 t : x=5 u : y=4
Successivamente determinare algebricamente le coordinate di tutti i punti di intersezione fra le rette. (Si noti che le coppie di rette sono 6)
Può essere utile il programma Geogebra, di seguito l'immagine realizzata.
Per disegnare la retta s è opportuno passare all'equazione esplicita:
y=−1 2x+3
2
Fra l'altro ci rendiamo pure conto che è perpendicolare alla r.
Per quanto riguarda le intersezioni, è facile ricavare le intersezioni di r ed s con le rette t ed u.
Le intersezioni con la retta t:
B(5 ; 4); E (5 ;−1); F (5 ;10) Le intersezioni con la retta u:
C (2 ;4); D(−5 ; 4); B(5 ;4)
Manca soltanto il punto intersezione tra le rette r ed s. Potremmo risolvere un sistema!
{
y=−y=2 x12x+32 Utilizzando il metodo del confronto: 2 x=−1 2 x+32 ovvero 4 x=−x+3 ovvero x=3
5 e di conseguenza y=6 5
Il punto di intersezione ancora mancante è A(3 5;6
5)
