CAPITOLO 9

CAPITOLO 9

PROGETTO DEGLI ALBERI PORTA

DISCO

Si è fatta una stima preliminare in prima approssimazione per determinare quale sia il fattore critico per l'albero tra la resistenza a fatica e la freccia.

Per effettuare le prove con la macchina a dischi è necessario che gli alberi porta disco raggiungano velocità di rotazione molto elevate, di conseguenza si ritiene che il fattore più critico sia la freccia.

Dunque la progettazione di massima per l'albero porta disco eseguita in questo capitolo è basata su tale fattore mentre la resistenza a fatica sarà verificata alla fine quando si studierà il dimensionamento radiale.

9.1 DIMENSIONAMENTO ASSIALE

9.1.1 DINAMICA DELL'ALBERO PORTA DISCO

A causa della realizzazione tecnologica e del montaggio, il baricentro del sistema rotante non può mai trovarsi esattamente sull'asse di rotazione.

Perciò quando la velocità di rotazione dell'albero aumenta, la forza centrifuga agente nel baricentro tende ad inflettere l'albero in maniera progressiva. Con il procedere dell'inflessione maggiore diviene l'eccentricità e più grande è la forza centrifuga. Al di sotto del più basso valore della velocità di rotazione critica, la forza centrifuga e la reazione elastica dell'albero sono in equilibrio per una freccia finita dell'albero.

Alla velocità di rotazione critica l'equilibrio richiede teoricamente uno spostamento infinito del baricentro. Lo smorzamento dovuto ai cuscinetti dell'albero, all'attrito e all'isteresi interna del materiale dell'albero fa sì che l'equilibrio si abbia con uno spostamento finito. Tuttavia questo spostamento è spesso abbastanza grande da portare a rottura l'albero o causare forze sui cuscinetti rotanti di grandezza eccessiva, se non distruttiva.

E' necessario perciò garantire che la velocità di rotazione sia sufficientemente al di sotto della velocità critica in modo che l'albero sia in una posizione di equilibrio soddisfacente, ossia tale che il baricentro si sposti verso l'asse di rotazione.

La valutazione della velocità di rotazione critica si può ricavare sperimentalmente con l'albero porta disco fermo andando a calcolare la freccia statica in corrispondenza del punto di attacco del disco; questo calcolo verrà fatto nel prossimo paragrafo.

9.1.2

CALCOLO

DELLA

FRECCIA

STATICA

IN

CORRISPONDENZA DEL PUNTO DI ATTACCO DEL

DISCO

9.1.2.1 CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI SUI

CUSCINETTI E DELLE CARATTERISTICHE DELLA

SOLLECITAZIONE

SULL'ALBERO

PORTA

DISCO

DOVUTE AL PESO DEL PROVINO

Si procede al calcolo delle reazioni vincolari, del momento flettente e del taglio dovuto al peso P del provino schematizzando, in figura 9-1, l'albero porta disco come una trave semplicemente appoggiata sui cuscinetti soggetta ad una forza di sbalzo P:

R

R

P

R

y

Y

Z

G

H

F

T

M

Figura 9-1. Albero porta disco come trave semplicemente appoggiata sui cuscinetti e soggetta ad una forza di sbalzo P.

Il valore della distanza "c" tra il provino a disco e il cuscinetto anteriore deve essere il più piccolo possibile. Questo accorgimento, infatti, riduce le frecce consentendo un aumento del valore delle velocità critiche e riduce i valori dei momenti flettenti consentendo una diminuzione del diametro dell'albero porta disco.

Tenendo conto della larghezza b = 12 mm del provino, dell'ingombro del carter protettivo, della dimensione assiale media B = 30 mm del cuscinetto anteriore, allora un valore accettabile è circa c = 33 mm.

Il peso massimo del disco è:

P = mg = π * [(Dmax) 2

/4] * bρg dove

Dmax = 0.080 m diametro massimo del disco

b = 0.012 m larghezza del disco ρ = 7700 Kg/m3

densità dell'acciaio AISI 4320 con cui è fatto il disco Pertanto sostituendo i valori risulta P = 4.6 N .

Imponendo all'albero porta disco l'equilibrio alla traslazione lungo l'asse Z e Y e alla rotazione attorno al polo G si ottengono i valori delle reazioni vincolari dei cuscinetti anteriore e posteriore dovuti al peso massimo del provino:

RY = 0 ;

RG = - Pc/a ;

RH = PL/a .

Il momento flettente MP lungo l'albero dovuto al peso massimo del provino è:

MP = RG * y = - (Pc/a) * y per 0 < y < a

MP = (RG * y) + RH * (y - a) = - [(Pc/a) * y] + (PL/a) * (y - a) per a < y < L

Il taglio TP lungo l'albero dovuto al peso massimo del provino è:

TP = RG = - (Pc/a) per 0 < y < a

TP = RG + RH = P per a < y < L

In figura 9-2 è mostrata la trave inflessa sotto il carico di sbalzo P con relativi diagrammi del momento flettente MP e del taglio TP.

M

T

- Pc

δ

δ

s

PL/a

Pc/a

F

H

G

Z

Y

y

P

Figura 9-2. Albero porta disco come trave inflessa sotto il carico di sbalzo P.

9.1.2.2 DETERMINAZIONE DELLA FRECCIA STATICA

derivano e integrano le seguenti equazioni differenziali fondamentali per ottenere una qualsiasi delle quantità precedenti da una qualsiasi delle altre:

Sforzo di taglio dovuto al peso del provino, in un punto generico, TP =

(d3δ/dy3) * EJ.

Momento flettente dovuto al peso del provino, in un punto generico, MP =

(d2δ/dy2) * EJ.

Rotazione, in un punto generico, θ = dδ/dy.
Spostamento (freccia), in un punto generico, δ.

Infatti, dalle equazioni appena scritte si vede che per ricavare la linea elastica (ovvero le freccie δ) occorre integrare la curva delle rotazioni (ovvero le rotazioni delle sezioni θ) che a sua volta si ottiene integrando il rapporto MP/EJ :

a a L L

δ = [(1/EJ) * ∫ dy ∫ MP * dy] + [(1/EJ) * ∫ dy ∫ MP * dy] .

0 0 a a

Sviluppando gli integrali e facendo riferimento alla figura 9-2 si può quindi esprimere la freccia statica δ in un punto generico y nel seguente modo:

δ = [(Pcy) * (y2

- a2)]/(6aEJ) per 0 < y < a δ = P[s3

- c(2L + c)s + 2c2L]/6EJ per 0 < s < c s = coordinata scalare misurata a partire dal punto F.

Dalle relazioni precedenti si ricava il valore della freccia statica in F δstF = (PLc

2

)/(3EJ) che è funzione della sola variabile "L".

Si nota come il valore massimo della freccia statica si ha proprio nel punto F. Assumendo

J = 8.59059 * 10-8 [m4] E = 2.07 * 1011 [N/m2]

ed esprimendo in metri il valore di "L" e "c" si trova δstF = δmax = (PLc2)/(3EJ) [m].

9.1.3 LUNGHEZZA MASSIMA DELL'ALBERO PORTA

DISCO

La formula per ricavare la velocità, giri al minuto, di rotazione critica più bassa o fondamentale per una configurazione dell'albero porta disco a singola massa è:

ncrit = (30/π) * (g/δstF) 1/2

[rpm] con g accelerazione di gravità.

Sostituendo il valore trovato in precedenza per la freccia statica si ottiene:

ncrit = (30/π) * [g * (3EJ)/(PLc 2

)]1/2 funzione della sola variabile "L".

In figura 9-3 è riportato il grafico della velocità di rotazione critica più bassa in funzione di "L". 3 4 5 6 7 8 58.8 50.9 45.5 41.6 38.5 36

lunghezza albero porta disco [m]

v

el

o

ci

tà

r

o

ta

zi

o

n

e

cr

it

ic

a

fo

n

d

am

en

ta

le

[

rp

m

]

Figura 9-3. Velocità di rotazione critica più bassa in funzione di L.

Tale distanza "L" deve essere ottimizzata in modo da garantire che ncrit sia maggiore

della velocità di rotazione massima dell'albero porta disco (da specifica pari a 48000 rpm). L'andamento del grafico di figura 9-3 mostra un valore di soglia molto ampio della lunghezza dell'albero porta disco di Lmax = 4.5 metri (177 inch) dove la velocità

di rotazione critica fondamentale è pari a ncrit = 48900 rpm. Al di sotto di questa

soglia, infatti, si garantisce il valore maggiore della velocità critica di rotazione ncrit

rispetto alla velocità massima di rotazione dell'albero (48000 rpm) in modo che l'albero sia in una posizione di equilibrio soddisfacente tra la forza centrifuga e la reazione elastica per una freccia finita.

Per contenere il più possibile gli ingombri e per rispettare la limitazione, del resto poco restrittiva, del valore di soglia scaturito dalla studio della dinamica, si assume una lunghezza L dell'albero porta disco di 140 mm.

9.2 REAZIONI VINCOLARI E CARATTERISTICHE

DELLA SOLLECITAZIONE

9.2.1 ANALISI DEI CARICHI

In figura 9-4 è rappresentata la vista delle forze massime agenti nell'accoppiamento disco-contro-disco della macchina di prova.

F

F

R

= 40mm

DISCO

M

Figura 9-4. Forze agenti nell'accoppiamento disco-contro-disco della macchina di prova

Nei capitoli precedenti si è ricavato il carico normale di compressione massimo FNmax

applicato ai provini dal dispositivo di carico ed il carico tangenziale massimo FTmax

generato dall'attrito presente tra le superfici a contatto dei dischi: FNmax = 65900 N = 13100 lb

FTmax = 1300 N = 260 lb .

Con le notazioni di figura si può ricavare anche il momento torcente massimo MTmax

dovuto a FTmax che agisce sul provino a disco di massimo raggio Rmax = 40 mm:

Rmax = 40 mm = 1.5 in

9.2.2 CALCOLO

Si faccia riferimento allo schema di figura 9-5 dove l'albero porta disco è schematizzato come una trave semplicemente appoggiata sui cuscinetti soggetta alla forza normale di compressione massima FNmax applicata ai provini dal dispositivo di

carico, alla forza tangenziale massima FTmax generata dall'attrito presente tra le

superfici a contatto dei dischi e al momento torcente massimo MTmax dovuto a FTmax :

c = 1.3 in a = 4.2 in FNmax = 13100lb FTmax =260lb MTmax =390 lb*in 0.35 in 0.25 in LT = 7.6 in V = 1.5 in MZ X Y Piano Orizzontale RXG _RXH FNmax RYG G H F MTmax TX MT MTmax Q Q MTmax MT TZ MX MTmax F L = 5.5 in G = cuscinetto posteriore H = cuscinetto anteriore F = attacco disco Q = attacco motore H G Z Y y RYG FTmax RZH RZG

Figura 9-5. Albero porta disco soggetto alla forza FNmax , alla forza FTmax e al

momento MTmax .

Come si vede dalla figura, è stata assunta una lunghezza pari a V = 1.5 in (39 mm) tra il cuscinetto posteriore e l'attacco con l'albero motore in corrispondenza del giunto flessibile. E' stata scelta in precedenza una lunghezza dell'albero porta disco di L = 5.5 in (140 mm) in modo da contenere gli ingombri e da rispettare il valore di soglia scaturito dalla studio della dinamica. Il valore della distanza "c" tra il cuscinetto anteriore ed il provino a disco è stato definito in modo che sia il più piccolo possibile onde ridurre le frecce e i valori dei momenti flettenti, tale valore è posto pari a c = 1.3

in (33 mm). Di conseguenza la distanza "a" tra il cuscinetto posteriore ed il cuscinetto anteriore sarà a = L - c = 4.2 in (107 mm).

Verranno di seguito calcolati i valori delle reazioni vincolari dei cuscinetti anteriore e posteriore e le caratteristiche della sollecitazione sulla lunghezza totale LT = 7.6 in (194 mm) dell'albero porta disco dovute alle forze massime rappresentate in figura 9-5. Questi calcoli saranno utili per la scelta appropriata dei cuscinetti e per il dimensionamento radiale degli stessi alberi.

Equilibrio lungo Y: RYG = 0 [lb].

Equilibrio alla rotazione attorno all'asse Z (polo G): RXH = -(FNmax * L)/a [lb] = - 17000 [lb].

Equilibrio lungo X:

RXG + RXH = - FNmax [lb] ⇒ RXG = 3900 [lb].

Equilibrio alla rotazione attorno all'asse X (polo G): RZH = (FTmax * L)/a [lb] = 330 [lb].

Equilibrio lungo Z:

RZG + RZH = FTmax [lb] ⇒ RZG = - 70 [lb].

Momento flettente nel piano orizzontale XY (asse Z): MZ(Q) = 0 [lb*in].

MZ(G) = 0 [lb*in].

MZ(H) = - RXG * a [lb*in] = - 16300 [lb*in].

MZ(F) = - (RXG * L) - (RXH * c) [lb*in] = 0 [lb*in].

Momento flettente nel piano verticale YZ (asse X): MX(Q) = 0 [lb*in].

MX(H) = RZG*a [lb*in] = - 290 [lb*in].

MX(F) = (RZG * L) + (RZH * c) [lb*in] = 0 [lb*in].

Taglio nel piano orizzontale XY (asse X):

TX(Q÷G) = 0 [lb].

TX(G÷H) = - RXG [lb] = -3900 [lb].

TX(H÷F) = - RXG - RXH [lb] = 13100 [lb].

Taglio nel piano verticale YZ (asse Z):

TZ(Q÷G) = 0 [lb].

TZ(G÷H) = RZG [lb] = -70 [lb].

TZ(H÷F) = RZG + RZH [lb] = 260 [lb].

Momento torcente (asse Y):

MT(Q÷G) = MTmax = 390 [lb*in].

MT(G÷H) = MTmax = 390 [lb*in].

MT(H÷F) = MTmax = 390 [lb*in].

Sforzo normale (asse Y):

N(Q÷F) = 0 [lb].

9.2.3 DIAGRAMMI

Di seguito sono riportati i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione sulla lunghezza totale LT dell'albero porta disco.

- 16300

Y Momento Flettente MZ [lb*in]

H F

G Q

Figura 9-6. Momento flettente Mz .

Q G H F

Momento Flettente MX [lb*in]

Y

- 290

Figura 9-7. Momento Flettente Mx .

+ 13100 - 3900 Y Taglio TX [lb] H F G Q Figura 9-8. Taglio Tx .

+ 260 - 70 Y Taglio TZ [lb] H F G Q Figura 9-9. Taglio Tz . + 390 Y Momento Torcente MT [lb*in]

H F

G Q

9.3 DIMENSIONAMENTO RADIALE

Sy = 648 MPa resistenza a snervamento.

Dai diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione mostrati nel paragrafo precedente 9.2.3 risulta evidente che la zona critica per determinare il valore minimo del diametro d dell'albero sarà in H, in corrispondenza del cuscinetto anteriore, dove si ha il massimo momento flettente totale in modulo.

Più precisamente le componenti del momento flettente totale in H sono date da: MZ(H) = - 16300 [lb*in] = 1790000 [N*mm] lungo l'asse Z nel piano X-Y

MX(H) = - 290 [lb*in] = 31900 [N*mm] lungo l'asse X nel piano Z-Y.

Il momento torcente massimo è, invece, pari a:

MT(Q÷F)max = 390 [lb*in] = 42900 [N*mm].

Si assume un coefficiente di concentrazione delle tensioni di tentativo pari a: Kf = 1.3 .

Il carico alternato è dovuto alla sola flessione e la tensione alternata equivalente vale [28]:

σea = Kf * [(MZ(H)2 + MX(H)2)1/2]/(πd3) = (0.7 * 106)/d3.

Tenuto in considerazione il fatto che lo sforzo normale N è nullo, allora la tensione media equivalente è dovuta alla sola torsione [28]:

σem = Kf * [MT(Q÷F) max ]/(πd3) = (0.02 * 106)/d3. Pertanto si ha: σea/σem = (0.7 * 10 6 )/(0.02 * 106) = 35 .

Si pone il limite di fatica Sn (definito come il livello più alto di tensione alternata che

Sn = Snr CL CG CS CR

dove

Snr = 0.5 Su = 503 MPa limite di fatica secondo R. R. Moore

CL = 1 fattore di carico per flessione

CG = 0.9 fattore per il gradiente di tensione (supposto 10mm < d < 50mm)

CS = 0.7 fattore di finitura superficiale

CR = 0.814 fattore di affidabilità (99%).

Sostituendo i valori sopra riportati si ottiene: Sn = 503 * 1 * 0.9 * 0.7 * 0.814 = 257.95 MPa .

Con i dati fin qui ricavati è possibile costruire il diagramma di fatica a durata costante di figura 9-11 che fornisce un'utile rappresentazione grafica di varie combinazioni di tensioni medie ed alternate secondo criteri per la definizione delle condizioni di snervamento e per la valutazione della durata a fatica corrispondente a 106 cicli (o "infinita").

10^6 cicli

σ

[Mpa]

σ

[Mpa]

Su

Sy

Sy

Sn

σ

/ σ

= 35

Risolvendo il sistema:

σea/σem = 35

σea = 257.95 - (257.95/1006) * σem

si ottiene σea = 255 MPa.

Il grafico di figura 9-11 indica che per una vita infinita σea è limitata a 255 MPa , ma

questo deve valere per un progetto a sovraccarico che tenga conto di un coefficiente di sicurezza CS pari a 2.5 per un materiale di qualità medio-alta come quello scelto, per cui

(0.7 * 106/d3) * 2.5 = 255 MPa

dalla quale si ricava che il valore del diametro necessario per una vita infinita dell'albero porta disco è

d ≥ 19 mm .

Quindi, tenendo conto delle considerazioni fatte in precedenza, per il diametro dell'albero porta disco si sceglie il valore:

 d = 28 mm in corrispondenza del cuscinetto anteriore che risulta essere la zona critica più sollecitata (zona H).

 d = 17 mm in corrispondenza del cuscinetto posteriore che risulta poco sollecitato (zona G).

 d = 12 mm alle estremità in corrispondenza del mozzo del provino e del mozzo del giunto (zona Q ed F).

9.4 DIMENSIONAMENTO DEGLI ALBERI PORTA DISCO