V.c. di Bernoulli

(1)

V.c. di Bernoulli

Consideriamo un esperimento casuale che pu`o presentare solo 2 risultati (V o F, riuscito o non riuscito, Si o No).

Supponiamo che l’evento “successo” si verifichi con una probabilit`a p

Possiamo associare all’esperimento la v.c.

X 0 1

pi 1-p p

(2)

V.c. binomiale

Supponiamo di ripetere l’esperimento di prima (due possibili risultati) n volte, tutte nelle stesse condizioni e in amaniera indipendente

Abbiamo n prove indipendenti e identiche e in ciascuna prova si verifica l’evento “successo” con una certa probabilit`a p Sia X =numero di successi

Se Xi rappresenta la v.c. di Bernoulli associata alla prova

i −esima, possiamo scrivere

X =

n

X

i =1

(3)

V.c. binomiale (2)

X assume i valori 0, 1, . . . , n

P(X = 0) = P(0 successi nelle n prove) = (1 − p)n P(X = 0) = P(n successi nelle n prove) = pn In generale P(X = x ) =n x px(1 − p)n−x Si scrive X ∼ B(n, p) EX = np, var X = np(1 − p)

(4)

Esercizio 5.35 pag. 175

Soluzione:

p =P(un pezzo risulti difettoso)=0.05, n = 6 X =numero di pezzi difettosi

X ∼ B(6, 0.05) 1 _{P(X = 0) =} 6 0(0.05) 0_(0.95)6_{= 0.73} 2 _{P(X = 1) =} 6 1(0.05) 1_(0.95)5_{= 0.23} 3 _{P(X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − 0.73 − 0.23 = 0.04} 4 _{EX =?, var X =?}

(5)

Esercizio 5.43 pag. 177

Soluzione:

X =numero diauto restituite p = 0.15, n = 50 X ∼ B(50, 0.15) Y = costo di rimborso Y = 250X 1 _{EX =?, σ}_X _=? 2 _{EY =?, σ}_Y _=?

(6)

V.c. di Poisson

Si assuma che un intervallo [0, T ] sia diviso in un numero molto grande, n (n → ∞), di sottointervalli, in modo che la probabilit`a p del verificarsi di un evento E in ogni sottointervallo sia molto piccola (p → 0).

Ipotesi:

La probabilit`a del verificarsi di un evento `e costante per tutti i sottointervalli

La probabilità che un evento si possa verificare più di una volta in un sottointervallo è trascurabile

Eventi che si verificano in intervalli disgiunti sono indipendenti Sia

(7)

V.c. di Poisson (2)

X ∼ B(n, p), n → ∞ e p → 0 Posto λ = np (λ < 7) P(X = x ) = e −λ_λx x ! per x = 0, 1, . . . Si scrive X ∼ P(λ) EX = λ, var X = λ.

(8)

Esercizi

Esercizio 5.67 pag. 185 Esercizio 5.68 pag. 185 Esercizio 5.69 pag. 185

(9)

Distribuzioni congiunte di due v.c. discrete

Siano X e Y due v.c. discrete. La distribuzione di probabilit`a congiunta di X e Y `e P(x , y ) = P(X = x ∩ Y = y ) come funzione di X e Y . 0 ≤ P(x , y ) ≤ 1 P x ,yP(x , y ) = 1

A partire dalla distribuzione congiunta si possono ottenere le due distribuzioni marginali di X e Y

P(x ) =X y P(x , y ) P(y ) =X x P(x , y )

(10)

Distribuzione di probabilit`

a condizionata

Siano X e Y due v.c. discrete di cui sia nota la distribuzione congiunta. La distribuzione di probabilit`a condizionata di Y , subordinata ad un valore x di X , `e

P(y |x ) = P(Y = y |X = x ) = P(x , y )

P(x ) con P(x ) > 0 Analogamente, la distribuzione di probabilit`a condizionata di X , subordinata ad un valore y di Y , `e

P(x |y ) = P(X = x |Y = y ) = P(x , y )

(11)

Esempio

Un consulente finanziario `e interessato a valutare la relazione tra la scadenza (in anni) dei titoli obbligazionari acquistati (X ) e il numero di componenti del nucleo familiare che risultano occupati (Y ).

Familiari occupati (Y ) Anni di scadenza (X )

1 2 3 P(y )

1 0.10 0.20 0.10 0.40 2 0.25 0.25 0.10 0.60 P(x ) 0.35 0.45 0.20 1

Calcoliamo la probabilit`a di acquisto di una famiglia monoreddito di acquisto data la scadenza a 2 anni delle obbligazioni:

P(Y = 1|X = 2) = P(2, 1) PX(2)

= 0.20

(12)

Media e varianza condizionate

La distribuzione condizionata P(y |x ) `e una distribuzione di probabilit`a univariata (funzione di y )