Esercizi di Matematica Finanziaria

Esercizi di Matematica Finanziaria

a cura di Gianluca Fusai e Giovanni Longo SEMEQ - Università del Piemonte Orientale

October 24, 2006

Esercizio 1

Dato un tasso bimestrale del 5%, determinare gli equivalenti tassi men- sile, semestrale, biennale ed annuale in regime di interesse semplice

Esercizio 2

Dato un capitale pari a 100 ed un tasso semplice annuo del 5%, deter- minare il numero di anni necessario a¢ nché il capitale raddoppi.

Esercizio 3

Dato un capitale pari a 100 e i = 5%,determinare gli interessi maturati tra il quarto e il quinto anno di investimento (in regime di interesse semplice).

Esercizio 4

Si supponga di aver fatto un investimento di durata complessiva 9 mesi.

Sui primi tre mesi l’investimento promette un tasso semplice mensile del 2%.

Sul quarto e quinto mese un tasso del 4% semplice mensile. Sui rimanenti mesi un tasso semplice mensile del 5%.

Determinare, sapendo che il capitale iniziale è di 100 milioni, il mon- tante …nale in regime di interesse semplice.

Determinare il tasso medio mensile.

Determinare il tasso medio annuo.

Esercizio 5

Si supponga di aver fatto un investimento di durata 3 anni. Il primo anno i= 5%, il secondo anno i = 10% e nel terzo anno i = 6%

Determinare, sapendo che il capitale iniziale è di 100 milioni, il mon- tante …nale in regime di interesse semplice.

Quale il montante dopo 3 anni?

Determinare il tasso medio.

Determinare il montante dopo 2 anni utilizzando il tasso medio del 7%

e i tre tassi variabili.

Esercizio 6

Acquistiamo oggi un BOT al prezzo di 95 e con vita residua 3 mesi (90gg).

All’emissione il BOT aveva prezzo pari a 94 e durata 6 mesi. All’acquisto paghiamo una commissione dello 0.2% sul prezzo d’acquisto. L’imposta è

1

pari al 12.5%. Tra 2 mesi (60 gg) lo rivendiamo. Prezzo di vendita 97. Su questo la banca trattiene una commissione dello 0.2%.

Determinare il rendimento lordo e al netto delle tasse e delle commis- sioni dell’operazione, nel caso di regime di interesse semplice.

Ripetere nel caso di regime di interesse composto.

Esercizio 7

Dato un tasso d’interesse semestrale del 5% e rate di 1 milione da ver- sarsi trimestralmente, determinare il numero di anni necessario per ottenere un montante non inferiore a 20 milioni, assumendo un regime di interesse semplice.

Esercizio 8

Una società di gestione promette di restituire 500E in 5 anni, e¤et- tuando versamenti trimestrali di E 20. Determinare il tasso di rendimento dell’operazione (in regime di interesse semplice).

Esercizio 9

Si supponga di investire 1 milione per 5 anni.

Calcolare il tasso medio in regime di interesse composto, sapendo che nel corso del primo anno il tasso d’interesse annuo è del 2% e poi cresce di un punto percentuale ogni anno.

Esercizio 10

Si supponga di investire un capitale di 1 milione. I tassi annui applicati sono i seguenti:

1 anno: i = 5%

2 anno: i = 4%

3 anno: i = 6%

Determinare il montante dopo 2.5 anni nei tre casi di capitalizzazione semplice, composta e composta con convenzione lineare.

Determinare il tasso d’interesse medio se t = 2.5 ed è prevista la capi- talizzazione annua degli interessi.

Esercizio 11

Determinare il rendimento di un’operazione in $ supponendo di aver investito oggi 100 milioni di euro, che il tasso di cambio corrente è pari a 1 euro/dollaro. Si supponga inoltre che il tasso di cambio dopo due anni è pari a 1.05 euro/dollaro e che il tasso di interesse sulla valuta straniera sia pari al 3%.

Esercizio 12

Dato un tasso di rendimento delle operazioni in euro del 3%, un tasso di rendimento delle operazioni in dollari del 5%:

determinare il tasso atteso di svalutazione che rende indi¤erente fare l’investimento in lire o quello in dollari.

dato che il tasso di cambio corrente è pari a 1 Euro/dollaro e dato che si realizzerà esattamente quel tasso di svalutazione atteso, calcolare il tasso di cambio tra 3 anni.

Esercizio 13

Dato un tasso d’interesse bimestrale pari al 3%, determinare il tasso d’interesse trimestrale, (regime di interesse composto)

Esercizio 14

Una banca preleva da un conto corrente la somma di £ . 29.583.829 con valuta 31/1/2001. Restituirà in data 30/3/2001 la somma di £ . 30.034.454.

Determinare il tasso d’interesse semplice e composto su base annua utilizzando sia la convenzione dell’anno civile e quella dell’anno commerciale.

Esercizio 15

Una banca propone un investimento di £ . 99.071.208 che garantisce dopo 5 anni il capitale incrementato di £ . 58.204.334.

Data una ritenuta …scale del 12.5%, la banca dichiara un rendimento netto dell’operazione del 10.28% e un rendimento lordo dell’11.75%.

Determinare il regime …nanziario utilizzato dalla banca Esercizio 16

Determinare il valore attuale in regime di sconto composto di una ren- dita annua posticipata di durata 3 anni con rate pari a 5 milioni e costo opportunità del 10%.

Scambiereste la rendita con 12 milioni alla data iniziale?

Come cambierebbe il valore attuale della rendita se le rate fossero anticipate?

Esercizio 17

Dato d=15% annuo in regime di sconto commerciale, determinare il tasso di sconto mensile nello stesso regime.

Esercizio 18

In regime di sconto commerciale, calcolare il valore attuale di un’operazione di nominale pari a 500 e durata 1,5 anni dato che:

in un primo periodo di lunghezza 0,5 anni è praticato un tasso annuo di sconto del 9%

in un second periodo di lunghezza 1 anno è praticato un tasso annuo di sconto del 10%

Determinare inoltre il tasso di sconto medio.

Esercizio 19

In regime di sconto commerciale determinare il tasso di sconto annuo di …nanziamento dato che si intende ripagare un debito di 200E con rate mensili di 10E per 2 anni.

Esercizio 20

Un debito di 100 milioni viene ripagato in 3 anni con rate semestrali. Il tasso d’interesse annuo è del 10%.

Costruire il piano di ammortamento italiano

Dopo 2 anni il debito viene rinegoziato: si estingue il vecchio piano di ammortamento e se ne redige uno nuovo che prevede il pagamento del debito in 3 anni con rate annuali e tasso annuo del 12%.

Costruire il nuovo piano di ammortamento (amm.to francese)

Esercizio 21

Dato j₂= 4%, determinare i e i₂. Dato i = 10%, determinare j4 e i4. Esercizio 22

Ripeti esercizio 2 in caso di regime di interesse composto e commerciale con un tasso annuo del 5%

R. t = ln (2) = ln (1 + i) e t = 1= (2d) = (1 + i) = (2i). Se i = 5%;

t=14.2067 (composto) e t = 10:5 anni.

Esercizio 23

Dato un …nanziamento di 200E al tasso annuo di sconto d = 5%, deter- minare l’importo della rata bimestrale da pagare per i prossimi due anni.

Si utilizzi il regime dello sconto commerciale. Quindi si ripeta con il regime dello sconto composto, assumendo che il tasso di interesse annuo composto è pari a 5:2632%:

Esercizio 24

Volendo costituire un capitale di 1000E con versamenti mensili di 80E per un anno, determinare a quale tasso si dovrebbero investire i versamenti utilizzando un regime di interesse semplice.

Esercizio 25

Dato un …nanziamento di 5000E lo si può ripagare utilizzando un regime di sconto commerciale in due modi di¤erenti:

a) rate semestrali di 1000E per 3 anni;

b) rate bimestrali di 500E per 2 anni.

Quale tra le due modalità è preferibile?

Esercizio 26

Determinare la rata per ripagare un …nanziamento di 1000E al tasso composto annuo del 7% dato che lo si può ripagare in 5 anni mediante

a) rate annuali posticipate b) rate annuali anticipate c) rate bimestrali posticipate Esercizio 27

Un’impresa deve scegliere tra due o¤erte che le consentono di prendere un bene del valore di 18000E in leasing.

a) anticipo di 4000E, riscatto pari al 5% del valore del bene, durata 2 anni, canone 7500E annuo:

b) anticipo del 50% del valore del bene, riscatto pari al 5% del valore del bene, durata 1 anno, canoni semestrali di 5000E

Esercizio 28

Come cambiereste l’importo del canone nell’opzione b nell’esercizio 27 per rendere l’impresa indi¤erente tra le due alternative?

Esercizio 29

Una società propone un piano di accumulo che comporta versamenti mensili di 3E per un anno e prevede la restituzione dopo 1 anno un capitale di 40E. Assumendo l’utilizzo del regime di interesse semplice:

a) determinare il rendimento di questa operazione e la si confronti con quello derivante dall’acquisto di un BOT di vita residua 1 anno al prezzo di sottoscrizione 80. Si e¤ettui la valutazione al lordo di tasse e commissioni.

b) riconsiderare la valutazione al netto delle tasse dato che nell’investimento proposto è prevista in via posticipata la tassazione del 12.5% della di¤erenza tra montante e ammontare delle rate complessivamente versate, mentre nel caso del BOT la tassazione opera in via anticipata.

c) tenere conto che al momento dell’acquisto del BOT si pagano com- missioni pari allo 0.3%.

Esercizio 30

Si consideri un …nanziamento concesso da una banca per un ammontare di 5000, contro pagamento di quattro rate semestrali posticipate al tasso semestrale del 4%. Le prime tre quote di capitale sono: C₁ = 1000; C₂ = 1500; C3 = 1200.

(a) Ricavare l’ultima quota di capitale.

(b) Determinare i debiti residui del …nanziamento.

(c) Costruire il piano d’ammortamento

Alla …ne del primo anno la banca concede un ulteriore …nanziamento di 1500 con le seguenti modalità di rimborso: 6 rate costanti semestrali, tasso semestrale del 4; 25% e penale del 10% da calcolare sul debito residuo.

(d) Stabilire l’ammontare costante della rata di rimborso.

(e) Costruire il nuovo piano d’ammortamento.

[Risposta. (a) C4 = 1300; (b) D0 = 5000; D1 = 4000; D2 = 2500;

D₃ = 1300; (c) R₁= 1200; R₂ = 1660; R₃ = 1300; R₄ = 1352; (d) R =]

Esercizio 31

Un’operazione di …nanziamento presenta i seguenti movimenti (annui) di cassa:

Date 0 1 2 3

Flussi 1000 300 380 R

(a) Ricavare R in modo che il tasso interno di rendimento per il …nanzia- mento sia 10%.

(b) Determinare la sequenza dei debiti residui utilizzando la nota relazione di ricorrenza.

(c) Costruire il piano d’ammortamento per il …nanziamento.

Esercizio 32

Un contratto di leasing è caratterizzato dalle seguenti condiizoni: (1) valore di fornitura 2000; (2) durata di 15 mesi; (3) tasso d’interesse con- trattuale 10%; (4) anticipo in contanti pari al 10% del valore di fornitura;

(5) valore di riscatto pari al 5% del valore di fornitura; (6) quattro canoni trimestrali costanti posticipati.

(a) Ricavare il canone di leasing.

(b) Costruire il piano di ammortamento …nanziario e indicare il credito residuo della società dopo l’incasso del secondo canone.

(c) Stabilire il monte interessi dell’operazione.

(d) Calcolare il VAN del contratto di leasing al 7%.

[Risposta. (a) 453; 91; (b) D₀ = 1800; D₁ = 1389; 49; D₂ = 969; 09;

D₃ = 5238; 55; D₄= 97; 63. Il credito residuo richiesto è 969; 09; (c) 115; 64;

(d) G(0; 07) ' 34; 9044.]

Esercizio 33

Un bene, con prezzo A = 2000, viene venduto a rate contro il pagamento di un anticipo in contanti pari al 10% di A e di quattro rate mensili posticipa- te. Il tasso di sconto contrattuale è 2% mensile. Determinare le rate del contratto nell’ipotesi che siano:

(a) costanti;

(b) variabili in base al pro…lo 1 0; 5 0; 5 1; 2 :

[Risposta. (a) 473,68; (b) R1 = 593; 28, R2 = R3 = 296; 64, R4 = 711; 94.]

Esercizio 34

Le condizioni di una rateazione sono: (a) Valore di fornitura A; (b) Quota in contanti B; (c) 6 rate costanti posticipate quadrimestrali; (d)

(t) = 1 dt,con d > 0. Mostrare che d = 1

7 6 A B

R Esercizio 35

Un investimento genera i seguenti movimenti di cassa alle date corrispon- denti:

Date 0 1 2 3

Flussi 5000 1600 2480 2240

(a) Veri…care che il tasso interno di rendimento dell’investimento è 12%.

(b) Stabilire la convenienza dell’investimento ipotizzando che il costo di opportunità del capitale propio sia 10%.

L’esborso iniziale è coperto per il 60% da un …nanziamento bancario con le seguenti caratteristiche: (1) durata del …nanziamento tre anni; (2) rimborso con quote costanti di capitale; (3) tasso passivo di …nanziamento 10%.

(c) Costruire il piano d’ammortamento del …nanziamento.

(d) Ricavare il ‡usso netto di cassa dei mezzi propri impiegati nell’operazione.

(e) Sulla base del costo di opportunità del capitale proprio de…nito in (b), stabilire attraverso un indice globale la convenienza dell’investimento.

(f) Mostrare che l’indice globale calcolato al punto (e) può ottenersi come somma di due valori attuali netti.

[Risposta. (a) G(0; 12) = 0; (b) G(0; 10) > 0; (c) Il piano d’ammortamento del …nanziamento è:

t R_t C_t I_t D_t

0 3000

1 1300 1000 300 2000 2 1200 1000 200 1000 3 1100 1000 100 0

(d) I ‡ussi di capitale proprio sono 2000, 300, 1289, 1140; (e) (0; 10) =.]

Esercizio 36

Si vuole incassare oggi 100 da un cliente che, relativamente ad un suo acquisto presso di noi, intende pagare con una cambiale a 90 giorni (anno commerciale). Se la nostra banca ci pratica un tasso di sconto commerciale del 10% (annuo) quale deve essere l’importo della fattura?

Risposta:L’importo incognito deve soddisfare:

x = 100

1 0:1 ₃₆₀⁹⁰

.

Soluzioni esercizi assegnati in classe

Esercizio 1

Si ha i₆= 5%: Ricordando che i = mi_m, il tasso annuo è quindi:

i = 6 5% = 30%

Il tasso mensile è quindi:

i₁₂= i

12 = 6 i₆ 12 = i₆

2 = 5%

2 = 2:5%

cioè il tasso mensile è la metà di quello bimestrale.

Il tasso semestrale sarà quindi 3 volte il tasso bimestrale:

i2 = 3i6= 3 5% = 15%

Il tasso biennale sarà pari a 4 volte il tasso semestrale:

i_0:5 = 4 i₂ = 4 15% = 60%

In generale dati due tassi periodali di periodo m e k rispettivamente si ha:

mim= i = kik

per cui:

im = k mik

che permette di collegare tassi periodali di¤erenti.

Esercizio 2

Si deve trovare t tale per cui:

M (t) = 2C Poichè M (t) = Cf (t), e f (t) = 1 + it si ha:

C (1 + it) = 2C da cui risolvendo rispetto a t si ha:

t = 2 1

i = 1

0:05 = 20 Esercizio 3

Ricordando che gli interessi sono proporzionali alla durata e al capitale investito, gli interessi maturati sino al 5 anno saranno dati da:

I5 = 0:05 100 5 = 25

Quelli maturati sino al 4 anno saranno dati da:

I4 = 0:05 100 4 = 20

La di¤erenza da gli interessi maturati tra il quarto e il quinto anno:

I₅ I₄= 25 20 = 5 Esercizio 4

Il montante …nale è dato da:

M = C + 2% C 3 + 4% C 2 + 5% C 4

= C (1 + 2% 3 + 4% 2 + 5% 4)

= 100 (1 + 0:34)

= 134

Il tasso medio mensile è tale per cui:

M = C (1 + {₁₂9) da cui:

134 = 100 (1 + {₁₂9) e risolvendo rispetto a { si ha:

{₁₂= 1 9

134 100

100 = 3:7778%

o in modo equivalente:

{₁₂= 2% 3 + 4% 2 + 5% 4

3 + 2 + 4 = 34%

9 = 3:7778%

Il tasso medio annuo sarà quindi dato da:

{ = 12{₁₂= 12 3:7778% = 45:334%

Si mostri infatti che usando questo tasso annuo il montante dopo 9 mesi è esattamente 134E.

Esercizio 5

Il montante …nale è dato da:

M = C + 5% C 1 + 10% C 1 + 6% C 1

= C (1 + 5% + 10% + 6%)

= 100 (1 + 0:21)

= 121

Il tasso medio annuo è tale per cui:

M = C (1 + {3) da cui si ha immediatamente:

{ = 0:21

3 = 0:07

Il montante dopo 2 anni usando il tasso medio è:

M (2) = 100 (1 + 0:07 2) = 114 Usando i tassi variabili:

M (2) = 100 (1 + 5% 1 + 10% 1) = 115

che risulta essere diverso da quello calcolato usando { = 7%: Questo tasso medio infatti dava lo stesso montante sui tre anni e non sui due anni. Se il periodo di riferimento fosse 2 anni dovrei calcolare un nuovo tasso medio.

Esercizio 6

Acquistiamo oggi un BOT al prezzo di 95 e con vita residua 3 mesi (90gg).

All’emissione il BOT aveva prezzo pari a 94 e durata 6 mesi. All’acquisto paghiamo una commissione dello 0.2% sul prezzo d’acquisto e le ritenute

…scali. L’imposta è pari al 12.5%. Tra 2 mesi (60 gg) lo rivendiamo. Prezzo di vendita 97. Su questo la banca trattiene una commissione dello 0.2%.

Determinare il rendimento lordo e al netto delle tasse e delle commis- sioni dell’operazione, nel caso di regime di interesse semplice.

Ripetere nel caso di regime di interesse composto.

Se A è il prezzo di acquisto, N il valore nominale, la durata in anni del BOT, il rendimento semplice lordo è:

r = 1 N A

A :

Per calcolare il rendimento al netto delle tasse, in caso si consideri l’acquisto del titolo all’emissione, calcoliamo il prezzo di acquisto compren- sivo di ritenuta …scale sullo scarto d’emissione:

A = A +~ (N A) ;

dove è la ritenuta …scale (in Italia = 0; 125). Il rendimento ~r al netto di tasse risulta quindi:

~

r = 1 N A~ A~ :

Se invece il titolo si acquista sul mercato secondario, occorre riconoscere al venditore la frazione di imposte che ha pagato all’emissione sullo scarto

tra prezzo di emissione e nominale. Per il principio di competenza, va rim- borsata al venditore la frazione di tasse riferita alla durata rimanente. In tal caso se RF è la trattenuta …scale all’emissione:

RF = 0:125 (100 94) = 0:75;

di questo ammontare occorre restituire al venditore l’ammontare IS (imposta sostitutiva):

IS = RF vita residua del BOT alla data di acq. sul mkt secondario vita residua del BOT all’emissione

Si osservi che il Sole 24 h pubblica nella colonna Imposta Sostitutiva esat- tamente questo importo, che noi non potremmo calcolare senza conoscere il prezzo del BOT all’emissione. Il rendimento al netto di tasse risulta quindi:

~

r = 1 N (A + IS) (A + IS) :

Per calcolare il rendimento al netto di tasse e commissioni, distinguiamo ancora acquisto all’emissione e acquisto sul mercato secondario. Nel caso di acquisto all’emissione il prezzo di acquisto comprensivo di ritenuta …scale e commissione:

A^^em= A + (N A) + cA;

dove c è la commissione in percentuale sul prezzo d’acquisto. Il rendimento al netto di tasse e commissioni risulta quindi:

^

r = 1 N A^^em A^^em :

Nel caso di acquisto sul mercato secondario il prezzo di acquisto com- prensivo di ritenuta …scale e commissione:

A^^sec= A + IS + cA;

dove c è la commissione in percentuale sul prezzo d’acquisto (in Italia le commissioni massime sono di¤erenziate per durata del BOT). Il rendimento al netto di tasse e commissioni risulta quindi:

^

r = 1 N A^^sec A^^sec : Valutazione al lordo di tasse e commissioni:

r_lordo= 360 60

97 95

95 = 0:12632

e non c’è di¤erenza tra acquisto all’emissione ed acquisto sul mercato sec- ondario.

Per la valutazione al netto di tasse e commissioni consideriamo la seguente tabella:

tempo Prezzo IS Prezzo+IS Prezzo+IS+Comm (Acq) Prezzo+IS-Comm (Vend) 0 94 0.125*(100 94) = 0:75 94+0.75=94.75 94.75+₁₀₀^0:294 = 94:938

3m 95 0:75 ³₆ = 0:375 95+0.375=95.375 95.375+₁₀₀^0:295 = 95:565

5m 97 0.75*¹₆ = 0:125 97+0.125=97.125 97+0.125-₁₀₀^0:297 = 96:931

6m 100 - 100 100

Il rendimento al netto di tasse e lordo di commissioni è:

360 60

97:125 95:375

95:375 = 11:0 09%

Il rendimento al netto di tasse e di commissioni è rnetto= 360

60

96:931 95:565

95:565 = 8:576 4%

Nel caso di regime di interesse composto si avrebbe:

95 (1 + r_lordo)³⁶⁰⁶⁰ = 97 da cui:

r_lordo= 97 95

360 60

1 = 0:13315;

il rendimento netto-lordo sarebbe dato da:

r_netto= 97:125 95:375

360 60

1 = 0:115 27;

ed in…ne il rendimento netto-netto:

r_netto= 96:931 95:565

360 60

1 = 0:0888:

Esercizio 7

Si ricorda la relazione che fornisce il montante di una rendita in regime di interesse semplice:

M = nR 1 + inm 1 2m

dove R è l’ammontare annuo delle rate, m il numero di versamenti annui e n il numero di anni, i il tasso annuo. Si ha:

m = 4 r = 1

R = m r = 4 i = 2 i2 = 10%

M = 20

Quindi devo trovare n che soddisfa:

20 = n 4 1 + 0:14 n 1 8 da cui:

20 = 3:95n + 0:2n²

e risolvendo rispetto ad n si ha che l’unica soluzione accettabile è n = 4:179, che signi…ca che serve e¤ettuare versamenti almeno per 4 anni ed un trimestre, cioè complessivamente 17 versamenti.

Esercizio 8

Sempre con riferimento all’esercizio precedente si usa la formula:

M = nR 1 + inm 1 2m

e l’incognita sarebbe il tasso. Risolvendo rispetto a i :

i = M

n m r 1 2 m

n m 1

Sostituendo le diverse grandezze, si ha:

i = 500

5 4 20 1 2 4

5 4 1 = 2

19 = 0:105 26 cioè un rendimento semplice del 10.526% annuo.

Esercizio 9

Si ricorda che il tasso medio in regime di interesse composto deve dare, alla …ne del periodo di investimento, lo stesso montante che si avrebbe uti- lizzando tassi variabili:

(1 + {)ⁿ= Yn s=1

1 + i_(s)

e quindi:

{ = Yn s=1

1 + i_(s)

!_n¹ 1 Nell’esercizio si ha:

i_(s)= 0:02 + (s 1) 0:01 con s = 1; 2; :::; 5 per cui:

{ = ((1 + 0:02) (1 + 0:03) (1 + 0:04) (1 + 0:05) (1 + 0:06))¹⁵ 1

= 0:03990 4

Esercizio 10

a) Capitalizzazione semplice:

I = 0:05 1 + 0:04 1 + 0:06 1

2 = 0:12 M = C + I = 1:12

Il tasso medio annuo risulta essere:

{ =0:05 1 + 0:04 1 + 0:06 ¹₂

1 + 1 +¹₂ = 0:048 b) Capitalizzazione composta:

M = 1 (1 + 0:05) (1 + 0:04) (1 + 0:06)¹² = 1:124 3 Il tasso medio risulta essere:

{ = (1 + 0:05) (1 + 0:04) (1 + 0:06)¹²

1

2:5 1 = 0:047973 c) Capitalizzazione composta con convenzione lineare:

M = 1 (1 + 0:05) (1 + 0:04) 1 + 0:06 1

2 = 1:124 8 Il tasso medio risolve:

(1 + {) (1 + {) 1 + { 1

2 = (1 + 0:05) (1 + 0:04) 1 + 0:06 1 2 cioè:

5

2{ + 2{²+1

2{³+ 1 = 1:124 8

la cui unica soluzione accettabile, trovata per via numerica, fornisce:

{ = 0:04805 1 Esercizio 11

Il tasso di svalutazione medio annuo dell’euro è dato da:

ex = 1:05 1

1 2

1 = 0:024695

Il rendimento e¤ettivo di operazioni in euro deve quindi essere dato da:

i_{ef f} = r_f + ex + r_f ex

= 0:03 + 0:024695 + 0:024695 0:03

= 0:055436

Esercizio 12

Il tasso di svalutazione di equilibrio è ottenibile dalla relazione:

r_d= r_f + ex + r_f ex dove r_d (r_f) è il tasso domestico (straniero) da cui:

ex = r_d r_f 1 + rf

= 0:03 0:05

1 + 0:05 = 0:01905

e quindi l’euro si rivaluterà nei confronti del dollaro. La rivalutazione dovrebbe compensare per il minore rendimento delle operazioni in valuta domestica.

Il tasso di cambio Euro/$ tra 3 anni sarà dato da:

S3 = S0(1 0:01905)³

= 0:943 93E=$

Esercizio 13

Si deve determinare i4:

i₆ = 0:03 > i₄=?

Si richiede che al termine di un investimento di durata un anno i due tassi permettano di conseguire lo stesso montante:

(1 + i₆)⁶= (1 + i₄)⁴ e quindi:

i₄ = (1 + i₆)⁶⁴ 1

= (1 + 0:03)⁶⁴ 1

= 0:04533 6 Esercizio 14

I ‡ussi sono descritti dalla seguente tabella:

30=1=2001 30=3=2001

>

+29583829$ 30034454$

Regime interesse semplice (anno civile):

i = 365 58

30034454 29583829

29583829 = 0:09585 7

Regime interesse composto (anno civile):

i = 30034454 29583829

365 58

1 = 0:099807 Regime interesse semplice (anno commerciale):

i = 360 60

30034454 29583829

29583829 = 0:091393 Regime interesse composto (anno civile):

i = 30034454 29583829

360 60

1 = 0:094945 Esercizio 15

Se il regime fosse quello semplice, il rendimento lordo sarebbe:

r_lordo= 1 5

58204334

99071208 = 0:11750 e quello netto:

rnetto = 1 5

58204334 (1 0:125)

99071208 = 0:102 81

cioè la Banca ha usato una legge …nanziaria dell’interesse semplice. Se avesse usato quella composta:

r_lordo= 99071208 + 58204334 99071208

1 5

1 = 0:09683 9 e quello netto:

r_netto= 99071208 + 58204334 (1 0:125) 99071208

1 5

1 = 0:08649 8 e se ne è guardata bene dal farlo, ma non ha detto che legge stava usando.

E’pubblicità ingannevole.

Esercizio 16

Nel caso di rate posticipate, si utilizza la relazione:

A = R a_nji dove:

a_nji= 1 (1 + i) ⁿ i

Di conseguenza il valore attuale della rendita è dato da:

A = 51 (1 + 0:1) ³ 0:1

= 5 2: 486 9

= 12: 435

e ovviamente non conviene scambiarla con 12 milioni alla data iniziale.

Nel caso di rate anticipate, si utilizza la relazione:

A = R a•_nji dove:

•

a_nji= (1 + i) a_nji= (1 + i)1 (1 + i) ⁿ i

Di conseguenza il valore attuale della rendita è dato da:

A = 5 (1 + 0:1)1 (1 + 0:1) ³ 0:1

= 5:5 2: 486 9

= 13: 678

e ovviamente non conviene scambiarla con 12 milioni alla data iniziale.

Esercizio 17 Si ricorda che

d = md_m per cui:

d₁₂= 0:15

12 = 0:0125:

Esercizio 18

Il tasso di sconto medio in regime di sconto commerciale deve lasciare invariato il valore attuale di un dato importo. Per cui:

N 1 d

Xn s=1

s

!

= N 1 Xn s=1

d_{(s) s}

!

e quindi:

d = Pn s=1

d_{(s) s} Pn s=1

s

= 0:5 0:09 + 1 0:1

0:5 + 1 = 0:09666 7 Esercizio 19

Il valore attuale di una rendita col regime di sconto commerciale è dato da:

A = nmr 1 dnm + 1 2m

dove A = 200, r = 10, m = 12; n = 2 per cui l’incognita è il tasso annuo di sconto d :

200 = 2 12 10 1 d2 12 + 1 2 12 da cui:

20 = 24 d25 > d = 4

25 = 0:16 Il corrispondente tasso annuo di interesse è:

i = d

1 d = 0:16

1 0:16 = 0:190476 Esercizio 20

L’ammortamento italiano prescrive quote capitali costanti. Avendo com- plessivamente 6 quote capitali, si ha che l’ammontare della singola quota è dato da:

C = D0

3 2 = 100

6 = 16: 667 e il debito residuo ad ogni data è:

D_t= D_{t 1} C

Le quote interesse possono essere calcolate mediante la ricursione:

It= i2Dt 1

dove si è utilizzato un tasso semestrale in quanto le rate sono semestrali. In particolare:

i2 = (1 + 0:1)¹² 1 = 0:04880 9 In…ne le rate saranno date da Rt= It+ Ct.

t C I_t R_t D_t

0 - - - 100

0.5 16.667 4:880 9 16:667 + 4:880 9 = 21: 548 100 16:667 = 83: 333 1 16.667 0:04880 9 83: 333 = 4: 067 4 16:667 + 4: 067 4 = 20: 734 83: 333 16:667 = 66: 666 1.5 16.667 0:04880 9 66: 666 = 3: 253 9 16:667 + 3: 253 9 = 19: 921 66: 666 16:667 = 50

2 16.667 0:04880 9 50 = 2: 440 5 16:667 + 2: 440 5 = 19: 108 50 16:667 = 33: 333 2.5 16.667 0:04880 9 33: 333 = 1: 627 0 16:667 + 1: 627 0 = 18: 294 33: 333 16:667 = 16: 666

3 16.667 0:04880 9 16: 666 = 0:813 45 16:667 + 0:813 45 = 17: 48 16: 666 16:667 = 0 Dopo 2 anni il debito viene rinegoziato estinguendo il vecchio piano di

ammortamento e redigenendone uno nuovo che prevede il pagamento del debito in 3 anni con rate annuali e tasso annuo del 12%. Si ha che il debito

alla …ne del secondo anno ammonta a 33.333E. La rata dell’ammortamento francese deve soddisfare:

33:333 = Ra_3j0:12 da cui:

R = 33:333

a_3j0:12 = 33:333

1 (1+0:12) ³ 0:12

= 13:878 Lasciamo a voi la costruzione del piano francese.

Esercizio 21

In regime di interesse composto, si ha

(1 + i) = (1 + im)^m = 1 +jm

m

m

per cui, con m = 2:

i = 1 +j2

2

2

1

= 1 +0:04 2

2

1

= 0:0404 e:

i₂ = j₂

2 = 0:02 Viceversa con i = 10% e con m = 4, si ha:

j₄ = m (1 + i)^m1 1

= 4 (1 + 0:1)¹⁴ 1

= 0:096455 e quindi:

i4= j4

4 = 0:096455

4 = 0:024114:

Esercizio 22

a) Interesse composto: si deve trovare t tale per cui:

M (t) = 2C Poichè M (t) = Cf (t), e f (t) = (1 + i)^t si ha:

C (1 + i)^t= 2C

da cui, sempli…cando C e prendendo il logaritmo si ottiene:

t ln (1 + i) = ln 2

e risolvendo rispetto a t si ha:

t = ln 2

ln (1 + i) = ln 2

ln (1 + 0:05) = 14: 207

b) Sconto commerciale: poichè M (t) = Cf (t), e f (t) = 1= (1 dt) si ha:

C 1

1 dt = 2C da cui, sempli…cando C si ottiene:

1 dt = 1 2 e risolvendo rispetto a t si ha:

t = 1 2d Poichè:

d = i

1 + i = 0:05

1 + 0:05 = 0:04761 9 si ha :

t = 1

2 0:04761 9 = 10: 5 Esercizio 23

In regime di sconto commerciale si ha che il valore attuale (l’importo

…nanziato) di una rendita (le rate da pagare) è dato dalla formula:

A = nmr 1 dnm + 1 2m

dove n numero di anni, m numero di versamenti nell’anno, r importo della singola rata, d tasso di sconto. Nel nostro caso la quantità da determinare è r, per cui:

r = A

nm 1 d^nm+1_2m = 200

2 6 1 0:05^{2 6+1}_{2 6} = 17:621 è quindi l’importo della singola rata.

In regime di interesse composto, si deve tenere presente che siamo in presenza di una rendita frazionata e che si deve individuare il corretto tasso periodale. In particolare conviene prendere come unità di misura del tempo il bimestre e pensare di avere complessivamente 2*6 rate e che il tasso di

…nanziamento è un tasso bimestrale. Dato il tasso di interesse composto annuo del 5:2632%, calcoliamo il tasso bimestrale:

i₆= (1 + i)¹⁶ 1 = (1 + 0:052631)¹⁶ 1 = 0:0085855

L’importo della singola rata lo individuiamo in base alla relazione:

A = mra^(m)_nji = ra_{n mj im} e quindi:

r = A

a_{n mj im} = A

1 (1+im) ^nm im

= 200

1 (1+0:0085855) ¹² 0:0085855

= 17:611

Esercizio 24

Si sfrutta la relazione che da il montante di una rendita in regime di interesse semplice:

M = nmr 1 + inm 1 2m e si risolve rispetto a i :

i = M

nmr 1 2m

nm 1

= 1000

1 12 80 1 2 12

1 12 1

= 0:090909 Esercizio 25

Si osserva che in entrambi i casi l’importo che il debitore dovrà restituire ammonta a 6000E. Si può quindi dire immediatamente che la prima opzione dovrebbe risultare preferibile, perchè si pagherebbe lo stesso importo ma a date più distanti nel tempo.

Da un punto di vista …nanziario, la valutazione di convenienza richiede l’utilizzo del criterio del VAN.

Il debitore, dato un costo opportunità del capitale proprio, sceglierebbe l’opzione che gli darebbe un VAN più elevato. Per esempio nel primo caso:

V AN1(i) = +5000 X6 s=1

1000 (1 + i)^s2

= +5000 1000a_6ji2 e nel secondo caso:

V AN2(i) = +5000 X12 s=1

500 (1 + i)^s6

= +5000 500a_12ji6

Nel gra…co seguente, si osserva l’andamento del VAN al variare del costo opportunità del capitale proprio. Si osserva che nel primo caso il VAN è sempre maggiore, da cui la convenienza indiscussa della prima opzione.

5 3.75 2.5

1.25 0

5000

3750

2500

1250

0

x y

x y

Si osservi che l’informazione sul regime utilizzato, lo sconto commerciale, non è stata utilizzata. Questa sarebbe rilevante nella costruzione del piano di rimborso, non tanto nel confronto di convenienza tra le due opzioni, dove invece avrebbe rilevanza il criterio del VAN. Si veda anche la discussione a seguito dell’esercizio n.27.

Esercizio 26

a) rate annuali posticipate

1000 = ra_5j0:07 per cui:

r = 1000

a_5j0:07 = 1000

1 (1+0:07) ⁵ 0:07

= 243:89

b) rate annuali anticipate

1000 = r•a_5j0:07 per cui:

r = 1000

•

a_5j0:07 = 1000

(1 + 0:07)^{1 (1+0:07)}_0:07 ⁵

= 227:94

c) rate bimestrali posticipate

1000 = 6ra⁽⁶⁾_5j0:07 = ra_30ji6 Avendo:

i₆ = (1 + 0:07)¹⁶ 1 = 0:01134 la rata è data da:

r = 1000

a_30ji6 = 1000

1 (1+0:01134) ³⁰ 0:01134

= 39:511

Esercizio 27

La scelta tra diverse fonti di …nanziamento avviene tramite il criterio del VAN.

Non conoscendo il costo opportunità del capitale proprio, si dovrebbe esaminare l’andamento del VAN del …nanziamento per l’impresa che accede al contratto di leasing al variare del costo opportunità del capitale proprio.

Se x è il costo opportunità del capitale proprio, il VAN nei due casi sarebbe dato da:

V AN₁(x) = 18000 4000 + 7500

1 + x+ 7500

(1 + x)² + 0:05 18000 (1 + x)² e da (indicando con x₂ il costo opportunità su base semestrale):

V AN₂(x) = 18000 9000 + 5000 a_2jx2 + 0:05 18000 (1 + x)

= 18000 0

B@9000 + 5000

1 (1 + x)^{12 2} (1 + x)¹² 1

+ 0:05 18000 (1 + x)

1 CA

Si osserva che per x = 0

V AN1(0) = 18000 (4000 + 7500 + 7500 + 0:05 18000) = 1900:0 V AN2(0) = 18000 (9000 + 5000 2 + 0:05 18000) = 1900:0 cioè l’ammontare degli esborsi è uguale nei due casi. Però nel primo caso i pagamenti sono spalmati su due anni, mentre nel secondo caso su un anno solo. Questo dovrebbe indurre una preferenza, per tassi x ragionevoli, netta per il primo contratto di leasing.

La seguente …gura riporta il VAN dei due contratti al variare del costo opportunità del capitale proprio. Si osservi come la curva in grassetto, che è associata al VAN del primo …nanziamento, sia sempre sopra la curva del VAN del secondo …nanziamento. Anche per costi opportunità molto alti (x > 100%), la prima opzione risulta sempre preferibile.

1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0 1e+4

7500

5000

2500

0

-2500 x

y

x y

Ci potremmo chiedere se per avere un giudizio di convenienza si potrebbe confrontare i TIR dei due …nanziamenti. La risposta è no. Il TIR da solo informazioni sul livello del tasso che rende nullo il valore attuale netto del

…nanziamento. Comunque trattandosi di operazioni di puro …nanziamento (incasso seguito da pagamenti), un’informazione utile è data dal calcolo del TIR del …nanziamento di¤erenziale, cioè del …nanziamento costruito per di¤erenza tra i due. I ‡ussi del …nanziamento di¤erenziale sarebbero:

tempo 0 0.5 1 2

Flussi 4000-9000 -5000 7500-5000-0:05 18000 7500+0:05 18000 e quindi:

tempo 0 0.5 1 2

Flussi -5000 -5000 1600:0 8400:0

Il …nanziamento di¤erenziale ha un unico TIR (esborsi precedono in- cassi). Inoltre la somma dei ‡ussi è pari a 0. Di conseguenza l’unico TIR è pari a 0. Ciò signi…ca che se il costo opportunità>0, allora sarebbe preferi- bile il primo contratto. Altrimenti il secondo. Quindi il confronto deve avvenire non tanto tra i TIR dei due …nanziamenti, quanto tra il livello del costo opportunità e il TIR del …nanziamento di¤erenziale. Tale confronto porta alle stesse conclusioni del criterio del VAN.

Per caso, poi in questo esercizio il TIR del primo …nanziamento è più basso di quello del secondo. Ma ciò non deve indurre a trarre conclusioni indebite.

A scopo di esercizio, calcoliamo il TIR dei due …nanziamenti.

Nel primo caso, l’equazione che il tasso di …nanziamento (TIR) deve soddisfare è data da:

18000 = 4000 + 7500 (1 + i) ¹+ 7500 (1 + i) ²+ 0:05 18000 (1 + i) ² cioè:

8400 (1 + i) ²+ 7500 (1 + i) ¹ 14000 = 0

Ponendo t = (1 + i) ¹ ci si riconduce ad un’equazione di secondo grado:

8400t²+ 7500t 14000 = 0 con soluzione:

t₁ = 1

168

p52 665 25

56 = 1: 812 4 t₂ = 1

168

p52 665 25

56 = 0:919 57

L’unica soluzione accettabile risulta essere t₂ cui corrisponde un tasso annuo pari a:

i = 0:087459

Nel secondo caso, il TIR su base semestrale, e che chiamiamo i₂, soddisfa:

18000 9000 + 5000

(1 + i2) + 5000

(1 + i₂)² + 0:05 18000

(1 + i₂)² = 0 dove il tempo è stato appunto misurato in semestri.

Ponendo t = 1= (1 + i₂), si ha:

18000 9000 + 5000t + 5000t²+ 0:05 18000t² = 0 da cui l’equazione di secondo grado:

5900:0t² 5000t + 9000 = 0 che ha soluzione:

t₁ = 0:882 02 t₂ = 1: 729 5

Solo la prima sarebbe accettabile. Di conseguenza il TIR semestrale è dato da:

i₂= 1

t₁ 1 = 1

0:882 02 1 = 0:133 76 e su base annua diverrebbe:

i = (1 + 0:133 76)² 1 = 0:285 41

che è notevolmente più elevato del TIR del primo …nanziamento. Gra…ca- mente i TIR dei due …nanziamenti danno l’intersezione del gra…co del VAN con l’asse delle ascisse.

Esercizio 28

Si deve cercare l’importo del canone per cui il VAN della seconda opzione è uguale a quello della prima.

L’importo del canone dipenderà dal particolare costo opportunità del capitale proprio che è stato assegnato. Quindi dobbiamo trovare C per cui:

C: V AN₁(x) = V AN₂(x)

Conviene misurare il tempo in semestri e considerare il costo opportunità su base semestrale, x₂. Dobbiamo quindi risolvere rispetto a C la seguente equazione:

18000 4000 + ⁷⁵⁰⁰

(1+x2)² + ⁷⁵⁰⁰

(1+x)⁴ + 0:05 ¹⁸⁰⁰⁰

(1+x2)⁴

= 18000 9000 + C a_2jx2+ 0:05 ¹⁸⁰⁰⁰

(1+x2)²

da cui:

4000+ 7500

(1 + x₂)²+ 7500

(1 + x₂)⁴+0:05 18000

(1 + x₂)⁴ = 9000+C a_2jx2+0:05 18000 (1 + x₂)²

e quindi risolvendo rispetto a C:

C a_2jx2 = 5000 + 7500 0:05 18000

(1 + x₂)² + 7500 (1 + x₂)⁴ e …nalmente:

C (x₂) =

5000 + 7500 0:05 18000

(1+x2)² + ⁷⁵⁰⁰

(1+x)⁴

a_2jx2

=

5000 + ⁶⁶⁰⁰

(1+x2)² + ⁷⁵⁰⁰

(1+x2)⁴ 1 (1+x2) ²

x2

Per esempio con un costo opportunità su base semestrale del 5% (x2 = 5% e x = (1 + 0:05)² 1 = 0:102 5), il canone di rimborso dovrebbe am- montare a:

C (x2 = 0:05) =

5000 + ⁶⁶⁰⁰

(1+0:05)² + ⁷⁵⁰⁰

(1+0:05)⁴ 1 (1+0:05) ²

0:05

= 3848: 9

un importo ben più basso dei 5000E previsti. Il gra…co seguente illustra l’andamento di C che rende indi¤erente tra le due opzioni al variare di x₂.

1 0.75 0.5

0.25 0

4000

2000

0

-2000

-4000

x y

x y

Esercizio 29

a) Calcoliamo il tasso di rendimento dell’operazione proposta dalla soci- età, utilizzando la formula

M = nmr 1 + inm 1 2m

da cui il tasso di rendimento dell’operazione è dato da:

i_{P AC} = M nmr nmr

2m

nm 1

= 40 1 12 3

1 12 3

2 12 1 12 1

= 8

33

= 0:242 42:

Nel caso del BOT, si avrebbe:

i_BOT = 100 80

80 = 0:25

cioè al lordo delle tasse sarebbe conveniente l’acquisto del BOT.

b) La valutazione al netto delle tasse deve considerare che nel caso del piano di accumulo dal montante è detratta un’imposta pari a:

0:125 (M nmr) e quindi la valutazione diviene:

i_{P AC} = M 0:125 (M nmr) nmr nmr

2m

nm 1

= 40 0:125 (40 36) 36 1 12 3

2 12 1 12 1

= 0:212 12:

Nel caso del BOT la trattenuta …scale avviene in via anticipata e si avrebbe quindi:

iBOT = 100 (80 + 0:125 20)

80 + 0:125 20 = 0:212 12 e le due operazioni risulterebbero equivalenti.

c) Se si pagano commissioni al momento dell’acquisto la valutazione del BOT cambierebbe poichè il prezzo di acquisto diverrebbe:

A = A + 0:125^ (N A) + 0:3 100A

= 80 + 0:125 (100 80) + 0:3 100 80

= 82: 74

e il rendimento semplice annuo diviene:

iBOT = 100 82: 74

82: 74 = 0:208 61

e converrebbe il piano proposto dalla società.

Esercizio 31

(a) Si deve risolvere rispetto a R:

1000 300

(1 + 0:1)

380 (1 + 0:1)²

R

(1 + 0:1)³ = 0 da cui si ottiene che la soluzione è:

R = 550

(b+c) Sfruttando la relazione di ricorrenza, possiamo ricostruire le quote interesse e le quote capitale:

t It= iDt 1 Rt Ct= Rt It Dt

0 0 0 0 1000

1 100 300 200 800

2 80 380 300 500

3 50 550 500 0