MEDIE PESATE
Serie di misure della stessa grandezza x1, x2, x3, …, xn
misurate ognuna con una propria precisione:
σ1, σ2, σ3,…, σn
La miglior stima del valor medio è data da
2n 22
12
2n n 22
2 12 1 n
1
i 2
i n
1
i 2
i i
best 1 1 1
x x
x
1 x x
in cui ogni termine è PESATO con un fattore che è inversamente proporzionale al quadrato della
relativa deviazione standard (i termini con errore minore sono quelli che contano di più).
La deviazione standard della media pesata è data da:
n2 22
21 n
1
i 2
i
xbest 1 1 1
1 1
1
Nel caso in cui σ1= σ2= …= σn, queste formule vengono ovviamente a coincidere con le
definizioni generali di valor medio e di deviazione standard della media.
VERIFICA DI UNA RELAZIONE LINEARE Relazione funzionale y = f(x)
Vengono effettuate misure y1, y2,…, yn in
corrispondenza delle variabili indipendenti x1, x2,…, xn.
y1=f(x1); y2=f(x2); y3=f(x3); …; yn=f(xn) f(x) = ax+b
X Data
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Y Data
0 10 20 30 40 50 60 70
PROBABILITA’ PER LA MISURA yi
2i
2 i i 2
i 2 0 i
i 0
2 b x a y
i 2
y y
i i ,
y e
2 e 1
2 y 1
f
PROBABILITA’ PER LA SERIE y1, y2, yn
i 2i
2 i i
i 0
2 b x a y
n
i i i
i ,
y e
2 y 1
f
TROVO I VALORI DEI COEFFICIENTI a E b PER I QUALI QUESTA PROBABILITA’ E’ MASSIMA:
2
i 2 i i i 2 i 2 i
i 2i
i 2 i i i 2
i ii i 2
i i i 2
i 2i
2
i 2 i
i i 2 i 2 i
i 2i
i 2 i i i 2
i i i 2 i 2 i
i ii
1 x x
x yx y x b 1 x
x
y 1 x
yx a
2
i 2 i
i i 2
i 2 i i 2i
i 2 i i2
2b 2
i 2 i
i i 2
i 2 i i 2i
i 2 i 2a
1 x x
x
1 x x
1
NEL CASO IN CUI LE MISURE SIANO FORNITE SENZA ERRORE:
2 i
i i
2i
i i i
i i i
i i
2i 2
i i i
2i
i i i
i i
i i
x x
n
x y x y
x b
x x
n
y x y
x n a
i
2 i 2 i
y
2 i
i i
2i i
2i 2y 2b
2 i
i i
i2 2y 2a
b x a 2 y
n 1
x x
n
x
x x
n n
TERMINE DI COVARIANZA:
2
i 2
i i
i 2
i 2 i i 2i
i 2
i i
ab x 1 x
x
ESEMPIO
i xi yi i 1/i^2 xi/i^2 yi/i^2 xi*yi/i^2 xi^2/i^2
1 1 1.27 0.12 69.44 69.44 88.19 88.19 69.44
2 3 8.31 0.32 9.77 29.30 81.15 243.46 87.89
3 6 19 0.75 1.78 10.67 33.78 202.67 64.00
X Data
0 5 10 15 20
Y Data
0 10 20 30 40 50 60 70
4 9 28.8 1.06 0.89 8.01 25.63 230.69 72.09
5 10 33.1 0.97 1.06 10.63 35.18 351.79 106.28
6 12 40 1 1.00 12.00 40.00 480.00 144.00
7 16 52.1 1 1.00 16.00 52.10 833.60 256.00
8 19 61 1.2 0.69 13.19 42.36 804.86 250.69
85.64 169.24 398.40 3235.26 1050.40
169.24 0.0028
64 . 85
* 4 . 1050
24 . 169
13 . 24 0 . 169 64 . 85
* 4 . 1050
4 . 1050
037 . 24 0 . 169 64 . 85
* 4 . 1050
64 . 85
10 . 24 2
. 169 64 . 85
* 4 . 1050
24 . 169
* 26 . 3235 4
. 398
* 4 . b 1050
42 . 24 3
. 169 64 . 85
* 4 . 1050
4 . 398
* 24 . 169 64 . 85
* 26 . a 3235
ab 2 b 2 a 2
2 2
PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI PER UN VALORE ESTRAPOLATO DA UNA RELAZIONE LINEARE:
2 ab 2 b 2 a
2 ab b 2 2
a 2 2
y
x 2 x
b y a 2 y b
y a
y
VERIFICA DELLA BONTA' DEL FIT
Probabilità di avere la serie di misure y1, y2, …, yn nell'ipotesi di esistenza di relazione lineare y = ax+b:
i 2i
2 i i
i 0
2 b x a y
n
i i i
i ,
y e
2 y 1
f
Consideriamo la sommatoria che è presente all'esponente, e che ci aspettiamo essere il più piccola possibile:
i 2
i 2 i
2 yi a x b
In realtà, la differenza a numeratore tra valore misurato e valore atteso sarà dello stesso ordine di grandezza dell'errore sperimentale, quindi ogni termine contribuisce alla somma un valore che è circa 1.
La grandezza di cui sopra segue la cosiddetta distribuzione del CHIQUADRO.
FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' PER LA FUNZIONE CHIQUADRO
u
0 5 10 15 20 25
f(u,)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 10
La funzione risulta diversa a seconda del numero di gradi di libertà, che si calcolano, in generale, facendo la differenza tra il numero di misure effettuate ed il numero di parametri determinati a partire da tali misure (nel caso della verifica di una relazione lineare, i parametri
determinati sono due: il coefficiente angolare a ed il termine noto b).
La bontà di un fit si può valutare andando a calcolare la probabilità di trovare un valore di 2 maggiore di quello trovato mediante il fit stesso. Tale probabilità, che dipende dal numero di gradi di libertà del
problema in questione, si ricava facendo l'integrale, tra il 2 trovato e
, dell'area sottostante la corrispondente curva.
Per facilità di confronto, tali probabilità sono tabulate in funzione dei diversi valori del CHIQUADRO RIDOTTO, definito come:
g 2 2
n
~ (ng=numero di gradi di libertà).
Nel caso della relazione lineare, ng = n-2:
2 n
~2 2
