Prof.ssa M.R. Lancia - Prof.ssa S. Marconi - Prof. E. Di Costanzo Testo A

ANALISI MATEMATICA ING. CIVILE 12 CFU

19/10/2018

Prof.ssa M.R. Lancia - Prof.ssa S. Marconi - Prof. E. Di Costanzo Testo A

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Risolvere per esteso i seguenti esercizi, motivando adeguatamente i procedimenti seguiti e mettendo in evidenza ogni risposta.

1) Stabilire per quali valori di α ∈ R la seguente funzione `e prolungabile per continuit`a in x = 0:

f (x) = arctg x ³ + sen ³ x

|x| ^α .

Per tali valori di α stabilire se la funzione prolungata ` e derivabile in x = 0.

2) Studiare il carattere della seguente serie al variare di x ∈ R ⁺ e se possibile calcolarne la somma:

+∞

X

n=0

2 ⁿ ln ⁿ

 1

√ x

 .

3) Data la forma differenziale

ω = dx

y √

1 − x ² − arcsen x y ² dy

determinare un aperto in cui ` e esatta e calcolarne le primitive.

Calcolare l’integrale R

γ ω, dove γ ` e la curva di equazioni parametriche:

( x(t) = ¹ ₂ cos t

y(t) = ¹ ₂ + 3 sen t t ∈ [0, π]

4) Risolvere il seguente problema di Cauchy:







2y ⁰ = _y(x ^y

⁻¹ −1)

y(0) = √ 2

5) Dare la definizione di funzione differenziabile per funzioni di due variabili.

Enunciare e dimostrare il teorema che lega continuit` a e differenziabilit` a per funzioni

di due variabili.