COGNOME: NOME: CANALE: Scrivere su questo foglio A4, fronte e retro: lo si consegna come parte A. È vietato tenere libri, appunti, telefoni.

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COGNOME: NOME: CANALE:

ANALISI MATEMATICA 1

Ingegneria Gestionale, dell’Innovazione del Prodotto e Meccatronica Docenti: V. Casarino, F. Rossi e S. Zoccante

Vicenza, 13 gennaio 2020

Scrivere su questo foglio A4, fronte e retro: lo si consegna come parte A.

È vietato tenere libri, appunti, telefoni.

TEMA 1, Turno 1

(1) Dopo aver definito le derivate direzionali di una funzione di due variabili in un punto (x₀, y₀), calcolarle nel punto (2, 1) per la funzione

F (x, y) = x²y.

(2) Enunciare e dimostrare la condizione necessaria per la convergenza delle serie.

Stabilire se tale condizione è anche sufficiente, esibendo eventualmente un controesempio.

Tempo per la parte A: 20 minuti.

1

(2)

(3)

ANALISI MATEMATICA 1

Vicenza, 13 gennaio 2020 Seconda prova in itinere

Nella prima pagina del foglio di bella, sotto lo spazio riservato alla Com- missione, ogni studente deve riassumere i risultati ottenuti.

La brutta copia, sul foglio protocollo a quadretti, non si consegna.

È vietato avere con sé telefoni o calcolatrici, né accesi né spenti né riposti.

È vietato usare appunti di ogni tipo e parlare durante il compito.

TEMA 1 Esercizio 1. (11 punti)

Si consideri la funzione

f (x) = arctan x sinh x + x³ − sin x + x³ .

(a) Scrivere lo sviluppo di Taylor con centro in x = 0 (detto anche di McLaurin) del quarto ordine di f .

(b) Dedurre dallo sviluppo ottenuto in (a) il valore della derivata terza e della derivata quarta di f in x = 0.

(c) Determinare per quali α ∈ R la serie

+∞

X

n=1

n^α+7

arctan 1 n

sinh 1 n + 1

n³

− sin 1 n + 1

n³

converge.

Esercizio 2. (11 punti) Sia

f (x) = e^x e^2x+ e^x− 2.

(a) Dopo avere verificato che f è positiva sull’intervallo (1, 2), si calcoli l’area della regione del piano definita da

A = {(x, y) ∈ R² : x ∈ [1, 2], 0 ≤ y ≤ f (x)}

(b) Si discuta inoltre la convergenza dei due integrali generalizzati Z 1

0

f (x) dx e Z 1

0

√x f (x) dx.

Tempo: 1h e 30 minuti, complessive di Parte A—20 minuti—e B—70 minuti. Formulario sul retro.

(4)

Formulario per gli appelli ufficiali

Analisi Matematica 1 a.a. 2019-2020 — V. Casarino, F. Rossi, S. Zoccante Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Innovazione del Prodotto—Vicenza Formule trigonometriche e iperboliche

sin(x ± y) = sin(x) cos(y) ± cos(x) sin(y) cos(x ± y) = cos(x) cos(y) ∓ sin(x) sin(y) sinx

2

= ±

r1 − cos(x)

2 cosx

2

= ±

r1 + cos(x) 2 SettTanh(x) = 1

2log 1 + x 1 − x

tan(2x) = 2 tan(x) 1 − tan²(x) SettSh(x) = log

x +√

x²+ 1

SettCh(x) = log x +√

x²− 1

Formule parametriche per funzioni trigonometriche: sia x 6= π + 2kπ e t = tan ^x₂, si ha:

sin(x) = 2t

1 + t², cos(x) = 1 − t²

1 + t², tan(x) = 2t 1 − t²

x 6= π

2 + kπ

Sviluppi di McLaurin: per x → 0 valgono le seguenti relazioni

e^x = 1 + x + x²

2 + · · · + xⁿ

n! + o(xⁿ) a^x= 1 + x(log a) + x²(log a)²

2 + · · · + xⁿ(log a)ⁿ

n! + o(xⁿ) per a > 0 sin(x) = x − x³

6 +x⁵ 5! − x⁷

7! +x⁹

9! + · · · + (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n + 1)! + o(x²ⁿ⁺²) cos(x) = 1 − x²

2 + x⁴ 4! −x⁶

6! + x⁸

8! + · · · + (−1)ⁿ x²ⁿ

(2n)! + o(x²ⁿ⁺¹) tan(x) = x + x³

3 + 2

15x⁵+ 17

315x⁷+ o(x⁸) sinh(x) = x + x³

6 + x⁵

5! + · · · + x²ⁿ⁺¹

(2n + 1)! + o(x²ⁿ⁺²) cosh(x) = 1 + x²

2 +x⁴

4! + · · · + x²ⁿ

(2n)! + o(x²ⁿ⁺¹) tanh(x) = x − x³

3 + 2

15x⁵− 17

315x⁷+ o(x⁸) log(1 + x) = x − x²

2 + x³

3 + · · · + (−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n + o(xⁿ) (1 + x)^α = 1 + αx + α(α − 1)

2 x²+α(α − 1)(α − 2)

3! x³+ · · · +α n

xⁿ+ o(xⁿ) esempio: √

1 + x = 1 + x 2 − x²

8 + x³

16+ · · · +1/2 n

xⁿ+ o(xⁿ) arcsin(x) = x + x³

6 + 3

40x⁵+ 5

112x⁷+ · · · +−¹₂ n

(−1)ⁿ

2n + 1x²ⁿ⁺¹+ o(x²ⁿ⁺²) arccos(x) = π

2 − x −x³ 6 − 3

40x⁵− 5

112x⁷− · · · −−¹₂ n

(−1)ⁿ

2n + 1x²ⁿ⁺¹ + o(x²ⁿ⁺²) arctan(x) = x − x³

3 +x⁵

5 + · · · + (−1)ⁿ

(2n + 1)x²ⁿ⁺¹+ o(x²ⁿ⁺²) Si è usata la notazione ^α_n := α(α−1)...(α−n+1)

n! per α ∈ R e n ∈ N.

(5)

ANALISI MATEMATICA 1

Scrivere su questo foglio A4, fronte e retro: lo si consegna come Parte A.

TEMA 2

(a) Scrivere la definizione di funzione differenziabile per una funzione di due variabili, in modo esplicito nel caso della funzione

F (x, y) = x²+ y²

nel punto (0, 0). Enunciare poi il legame fra differenziabilità e continuità.

(b) Scrivere la definizione di primitiva. Dimostrare che due primitive di una stessa funzione f definite su un intervallo I differiscono al più per una costante.

Tempo per la Parte A: 20 minuti.

(6)

(7)

ANALISI MATEMATICA 1

f (x) = log(1 + x³) cosh 2x + x³ − cos 2x + x³ .

(a) Scrivere lo sviluppo di Taylor con centro in x = 0 (detto anche di McLaurin) del quinto ordine di f .

(b) Dedurre dallo sviluppo ottenuto in (a) il valore della derivata quarta e della derivata quinta di f in x = 0.

(c) Determinare per quali β ∈ R la serie

+∞

X

n=1

n^β−2

log

1 + 1

n³

cosh 2 n + 1

n³

− cos 2 n + 1

n³

converge.

f (x) = 2e^x e^2x+ 6e^x− 7.

A = {(x, y) ∈ R² : x ∈ [2, 3], 0 ≤ y ≤ f (x)}

(b) Si discuta inoltre la convergenza dei due integrali generalizzati Z +∞

1

f (x)dx e

Z +∞

1

e^x/2 f (x) dx.

Tempo: 1h e 30 minuti, complessive di Parte A—20 minuti—e B—70 minuti.

(8)

2

= ±

r1 − cos(x)

2 cosx

2

= ±

2log 1 + x 1 − x

x +√

x²+ 1

x²− 1

sin(x) = 2t

1 + t², cos(x) = 1 − t²

1 + t², tan(x) = 2t 1 − t²

x 6= π

2 + kπ

e^x = 1 + x + x²

2 + · · · + xⁿ

2 + · · · + xⁿ(log a)ⁿ

n! + o(xⁿ) per a > 0 sin(x) = x − x³

6 +x⁵ 5! − x⁷

7! +x⁹

9! + · · · + (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n + 1)! + o(x²ⁿ⁺²) cos(x) = 1 − x²

2 + x⁴ 4! −x⁶

6! + x⁸

8! + · · · + (−1)ⁿ x²ⁿ

(2n)! + o(x²ⁿ⁺¹) tan(x) = x + x³

3 + 2

15x⁵+ 17

315x⁷+ o(x⁸) sinh(x) = x + x³

6 + x⁵

5! + · · · + x²ⁿ⁺¹

(2n + 1)! + o(x²ⁿ⁺²) cosh(x) = 1 + x²

2 +x⁴

4! + · · · + x²ⁿ

(2n)! + o(x²ⁿ⁺¹) tanh(x) = x − x³

3 + 2

15x⁵− 17

315x⁷+ o(x⁸) log(1 + x) = x − x²

2 + x³

3 + · · · + (−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n + o(xⁿ) (1 + x)^α = 1 + αx + α(α − 1)

2 x²+α(α − 1)(α − 2)

3! x³+ · · · +α n

1 + x = 1 + x 2 − x²

8 + x³

16+ · · · +1/2 n

6 + 3

40x⁵+ 5

112x⁷+ · · · +−¹₂ n

(−1)ⁿ

2 − x −x³ 6 − 3

40x⁵− 5

112x⁷− · · · −−¹₂ n

(−1)ⁿ

3 +x⁵

5 + · · · + (−1)ⁿ

(9)

ANALISI MATEMATICA 1

TEMA 3

(a) Data una funzione f : R² → R, scrivere la definizione di funzione derivabile in un punto (x, y). Scrivere poi la definizione di gradiente di f in un punto (x, y) in cui f è derivabile.

(b) Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale. Posto poi f (x) = |x|,

determinare la media integrale di f nell’intervallo [−1, 2].

(10)

(11)

ANALISI MATEMATICA 1

f (x) = arctan(x²) sinh 3x + x³ − sin 3x + x³ .

(a) Scrivere lo sviluppo di Taylor con centro in x = 0 (detto anche di McLaurin) del quinto ordine di f .

(b) Dedurre dallo sviluppo ottenuto in (a) il valore della derivata quarta e della derivata quinta di f in x = 0.

(c) Determinare per quali α ∈ R la serie

+∞

X

n=1

n^3−α

arctan 1 n²

sinh 3 n + 1

n³

− sin 3 n + 1

n³

converge.

f (x) = e^x e^2x+ 4e^x− 5.

A = {(x, y) ∈ R² : x ∈ [1, 4], 0 ≤ y ≤ f (x)}

(b) Si discuta inoltre la convergenza dei due integrali generalizzati Z 1

0

f (x) dx e Z 1

0

x^3/4 f (x) dx.

(12)

2

= ±

r1 − cos(x)

2 cosx

2

= ±

2log 1 + x 1 − x

x +√

x²+ 1

x²− 1

sin(x) = 2t

1 + t², cos(x) = 1 − t²

1 + t², tan(x) = 2t 1 − t²

x 6= π

2 + kπ

e^x = 1 + x + x²

2 + · · · + xⁿ

2 + · · · + xⁿ(log a)ⁿ

n! + o(xⁿ) per a > 0 sin(x) = x − x³

6 +x⁵ 5! − x⁷

7! +x⁹

9! + · · · + (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n + 1)! + o(x²ⁿ⁺²) cos(x) = 1 − x²

2 + x⁴ 4! −x⁶

6! + x⁸

8! + · · · + (−1)ⁿ x²ⁿ

(2n)! + o(x²ⁿ⁺¹) tan(x) = x + x³

3 + 2

15x⁵+ 17

315x⁷+ o(x⁸) sinh(x) = x + x³

6 + x⁵

5! + · · · + x²ⁿ⁺¹

(2n + 1)! + o(x²ⁿ⁺²) cosh(x) = 1 + x²

2 +x⁴

4! + · · · + x²ⁿ

(2n)! + o(x²ⁿ⁺¹) tanh(x) = x − x³

3 + 2

15x⁵− 17

315x⁷+ o(x⁸) log(1 + x) = x − x²

2 + x³

3 + · · · + (−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n + o(xⁿ) (1 + x)^α = 1 + αx + α(α − 1)

2 x²+α(α − 1)(α − 2)

3! x³+ · · · +α n

1 + x = 1 + x 2 − x²

8 + x³

16+ · · · +1/2 n

6 + 3

40x⁵+ 5

112x⁷+ · · · +−¹₂ n

(−1)ⁿ

2 − x −x³ 6 − 3

40x⁵− 5

112x⁷− · · · −−¹₂ n

(−1)ⁿ

3 +x⁵

5 + · · · + (−1)ⁿ

(13)

ANALISI MATEMATICA 1

TEMA 4

(a) Data f : R² → R definita in un intorno di (3, 2), scrivere la definizione di lim

x→(3,2)

f (x) = 4 .

(b) Enunciare e dimostrare il corollario del Teorema fondamentale del Calcolo integrale ("Se G è una qualsiasi primitiva di f su [a, b], risulta Rb

a f (x)dx = ...").

(14)

(15)

ANALISI MATEMATICA 1

f (x) = log(1 + 1

3x²) cosh 3x + x³ − cos 3x + x³ .

(a) Scrivere lo sviluppo di Taylor con centro in x = 0 (detto anche di McLaurin) del quarto ordine di f .

(b) Dedurre dallo sviluppo ottenuto in (a) il valore della derivata terza e della derivata quarta di f in x = 0.

(c) Determinare per quali β ∈ R la serie

+∞

X

n=1

n^5−β

log

1 + 1

3n²

cosh 3 n + 1

n³

− cos 3 n + 1

n³

converge.

f (x) = 4e^x e^2x+ 2e^x− 3.

A = {(x, y) ∈ R² : x ∈ [2, 4], 0 ≤ y ≤ f (x)}

(b) Si discuta inoltre la convergenza dei due integrali generalizzati Z +∞

2

f (x)dx e

Z +∞

2

e^x/4 f (x) dx.

(16)

2

= ±

r1 − cos(x)

2 cosx

2

= ±

2log 1 + x 1 − x

x +√

x²+ 1

x²− 1

sin(x) = 2t

1 + t², cos(x) = 1 − t²

1 + t², tan(x) = 2t 1 − t²

x 6= π

2 + kπ

e^x = 1 + x + x²

2 + · · · + xⁿ

2 + · · · + xⁿ(log a)ⁿ

n! + o(xⁿ) per a > 0 sin(x) = x − x³

6 +x⁵ 5! − x⁷

7! +x⁹

9! + · · · + (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n + 1)! + o(x²ⁿ⁺²) cos(x) = 1 − x²

2 + x⁴ 4! −x⁶

6! + x⁸

8! + · · · + (−1)ⁿ x²ⁿ

(2n)! + o(x²ⁿ⁺¹) tan(x) = x + x³

3 + 2

15x⁵+ 17

315x⁷+ o(x⁸) sinh(x) = x + x³

6 + x⁵

5! + · · · + x²ⁿ⁺¹

(2n + 1)! + o(x²ⁿ⁺²) cosh(x) = 1 + x²

2 +x⁴

4! + · · · + x²ⁿ

(2n)! + o(x²ⁿ⁺¹) tanh(x) = x − x³

3 + 2

15x⁵− 17

315x⁷+ o(x⁸) log(1 + x) = x − x²

2 + x³

3 + · · · + (−1)ⁿ⁺¹xⁿ

n + o(xⁿ) (1 + x)^α = 1 + αx + α(α − 1)

2 x²+α(α − 1)(α − 2)

3! x³+ · · · +α n

1 + x = 1 + x 2 − x²

8 + x³

16+ · · · +1/2 n

6 + 3

40x⁵+ 5

112x⁷+ · · · +−¹₂ n

(−1)ⁿ

2 − x −x³ 6 − 3

40x⁵− 5

112x⁷− · · · −−¹₂ n

(−1)ⁿ

3 +x⁵

5 + · · · + (−1)ⁿ

(17)

Svolgimento

Esercizio 1, tema 1 (a) Data

f (x) = arctan x sinh x + x³ − sin x + x³ , si ha

f (x) = arctan x sinh x + x³ − sin x + x³

=

x − 1

3x³+ o(x⁴)

x + x³ +1

6 x + x³3

− x + x³ +1

6 x + x³3

+ o(x⁴)

=

x − 1

3x³+ o(x⁴) 2

6 x + x³3

+ o(x⁴)

=

x − 1

3x³+ o(x⁴) 1

3x³+ o(x⁴)

=

x − 1

3x³+ o(x⁴) 1

3x³+ o(x⁴)

= 1

3x⁴+ o(x⁴).

Lo sviluppo richiesto è quindi f (x) = 1

3x⁴ + o(x⁴).

(b) Ricordiamo che il coefficiente k-imo dello sviluppo di Taylor con centro in x = 0 soddisfa la relazione

a_k = f^(k)(0) k! . Poiché a₃ = 0 e a₄ = ¹₃, si ha

f⁽³⁾(0) = 0 e

f⁽⁴⁾(0) = 4! · 1 3 = 8.

(c) Scriviamo la serie

+∞

X

n=1

n^α+7

arctan 1 n + 1

n⁵

sinh 1 n + 1

n³

− sin 1 n + 1

n³

come +∞

X

n=1

n^α+7bn, ove

b_n =

arctan 1 n + 1

n⁵

sinh 1 n + 1

n³

− sin 1 n + 1

n³

Sappiamo dal punto (a) che b_n è positivo e che b_n∼ 1

3n⁻⁴+ o(n⁻⁴) per n → +∞.

Quindi il termine ennesimo della serie è asinotico a 1

3n^α+3 e la serie converge se e solo se α < −4.

(18)

Esercizio 1, tema 2 (a) Lo sviluppo richiesto è

f (x) = 4x⁵+ o(x⁵).

(b) Si ha

f⁽⁴⁾(0) = 0 e

f⁽⁵⁾(0) = 5! · 4 = 480.

(c) La serie converge se e solo se β < 6.

f (x) = 9x⁵+ o(x⁵).

(b) Si ha

f⁽⁴⁾(0) = 0 e

f⁽⁵⁾(0) = 5! · 9 = 1080.

(c) La serie converge se e solo se α > −1.

f (x) = 3x⁴+ o(x⁴).

(b) Si ha

f⁽³⁾(0) = 0 e

f⁽⁴⁾(0) = 4! · 3 = 72.

(c) La serie converge se e solo se β > 2.

(19)

Esercizio 2, tema 1

(a) Osserviamo innanzitutto che e^x

e^2x+ e^x− 2 = e^x

(e^x− 1)(e^x+ 2) e che

e^x

(e^x− 1)(e^x+ 2) > 0 ⇐⇒ e^x− 1 > 0 ⇐⇒ x > 0.

La funzione è quindi positiva sull’intervallo (1, 2) e l’area richiesta è data da A =

Z 2 1

e^x

e^2x+ e^x− 2dx.

Calcoliamo prima l’integrale indefinito attraverso il cambio di variabile e^x = dt e il metodo dei fratti semplici:

I =

Z e^x

e^2x+ e^x− 2dx

=

Z 1

t²+ t − 2dt

=

Z 1

(t + 2)(t − 1)dt

= 1

3log(e^x− 1) − 1

3log(e^x+ 2) + C.

Risulta quindi

A = 1

3log(e^x− 1) − 1

3log(e^x+ 2)

2 1

= 1

3log(e²− 1) − 1

3log(e²+ 2)

− 1

3log(e − 1) − 1

3log(e + 2)

= 1

3log(e + 1) −1

3loge²+ 2 e + 2. (b) L’integrale generalizzato

Z 1 0

f (x) dx

è divergente, perché l’integranda f (x) soddisfa la stima asintotica f (x) ∼ 1

3x per x → 0

(abbiamo qui usato lo sviluppo di e^x e il fatto che e^x+ 2 ∼ 3 per x → 0).

Al contrario, l’integrale generalizzato Z 1

0

√x f (x) dx

è convergente, perché l’integranda g(x) = √

x f (x) soddisfa la stima asintotica g(x) ∼ x^1/2

3x ∼ 1

3x^1/2 per x → 0.

Esercizio 2, tema 2

(a) Vale f (x) = _e2x+6e^2e^x^x−7 = _(ex−1)(e^2e^x^x+7), da cui segue che e^x

(e^x− 1)(e^x+ 7) > 0 ⇐⇒ e^x− 1 > 0 ⇐⇒ x > 0.

(20)

Z 3 2

2e^x

e^2x+ 6e^x− 7dx.

L’integrale indefinito è dato da I = 1

4log(e^x− 1) − 1

4log(e^x+ 7) + C.

Risulta quindi

A = 1

4log(e^x− 1) − 1

4log(e^x+ 7)

3 2

= 1

4log(e³− 1) − 1

4log(e³+ 7)

− 1

4log(e²− 1) − 1

4log(e²+ 7)

= 1

4log (e³− 1)(e²+ 7) (e²− 1)(e³+ 7). (b) L’integrale generalizzato

Z +∞

1

f (x) dx

è convergente, perché l’integranda f (x) soddisfa la stima asintotica f (x) ∼ 2

e^x per x → +∞.

L’integrale generalizzato Z +∞

1

e^x/2 f (x) dx

è anch’esso convergente, perché l’integranda g(x) = e^x/2f (x) soddisfa la stima asintotica

g(x) ∼ 2e^x/2

e^x ∼ 1 2e^x/2 per x → +∞.

Esercizio 2, tema 3 (a) Vale

e^x

e^2x+ 4e^x− 5 = e^x

(e^x− 1)(e^x+ 5), da cui segue che

e^x

(e^x− 1)(e^x+ 2) > 0 ⇐⇒ e^x− 1 > 0 ⇐⇒ x > 0.

Z 4 1

e^x

e^2x+ e^x− 2dx.

L’integrale indefinito è dato da I = 1

6log(e^x− 1) − 1

6log(e^x+ 5) + C.

Risulta quindi

A = 1

6log(e^x− 1) − 1

6log(e^x+ 5)

4 1

= 1

6log(e⁴− 1) − 1

6log(e⁴+ 5)

− 1

6log(e − 1) − 1

6log(e + 5)

(21)

= 1

6log(e⁴− 1)(e + 5) (e − 1)(e⁴+ 5). (b) L’integrale generalizzato

Z 1 0

f (x) dx

è divergente, perché l’integranda f (x) soddisfa la stima asintotica f (x) ∼ 1

6x

per x → 0 (abbiamo qui usato lo sviluppo di e^x per x → 0 e il fatto che e^x+ 5 ∼ 6 per x → 0).

Al contrario, l’integrale generalizzato Z 1

0

x^3/4 f (x) dx

è convergente, perché l’integranda g(x) = x^3/4f (x) soddisfa la stima asintotica g(x) ∼ x^3/4

6x ∼ 1 6x^1/4 per x → 0.

Esercizio 2, tema 4

(a) Vale f (x) = _e2x+2e^4e^x^x−3 = _(ex−1)(e^4e^x^x+3), da cui segue che 4e^x

(e^x− 1)(e^x+ 3) > 0 ⇐⇒ e^x− 1 > 0 ⇐⇒ x > 0.

Z 4 2

2e^x

e^2x+ 2e^x− 3dx.

L’integrale indefinito è dato da

I = log(e^x− 1) − log(e^x+ 3) + C.

Risulta quindi

A = (log(e^x− 1) − log(e^x+ 3))

4

2

= log(e⁴ − 1) − log(e⁴+ 3) − log(e²− 1) − log(e²+ 3)

= log(e⁴− 1)(e²+ 3) (e²− 1)(e⁴+ 3). (b) L’integrale generalizzato

Z +∞

2

f (x) dx

è convergente, perché l’integranda f (x) soddisfa la stima asintotica f (x) ∼ 4

e^x per x → +∞.

L’integrale generalizzato Z +∞

2

e^x/4 f (x) dx

è anch’esso convergente, perché l’integranda g(x) = e^x/4f (x) soddisfa la stima asintotica

g(x) ∼ 4e^x/4

e^x ∼ 4e⁻³⁴^x per x → +∞.