CAPITOLO: NUMERI 3ATT. 08. Il calcolo letterale

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CALCOLO LETTERALE

1) LETTURA

I simboli e i nuovi numeri Anche "algebra" è una parola araba

Aritmetica è una parola greca (vuol dire scienza dei numeri perché arithmos in greco significa numero): abbiamo visto, però, che il nostro modo di scrivere i numeri, e di conseguenza il nostro modo di fare con essi le quattro operazioni, e in generale i calcoli, non risale agli antichi greci, bensì agli assai più moderni arabi. Non è, dunque, una scienza tanto antica quanto si potrebbe credere: infatti, se vogliamo fissare delle date, arriviamo a poco più di mille anni fa per gli arabi, con lo studioso al–Khuwarizmi, vissuto attorno all'800 dopo Cristo, e addirittura al 1200 per l'Europa, con Leonardo Pisano.

Se il modo più comodo di scrivere i numeri è, quindi, una faticosa conquista dell'uomo che si è cominciata a diffondere nell'Europa solo sei secoli fa, ancora più giovane è l'algebra che richiede, oltre alla numerazione moderna (indiana–arabica), anche altre cose; l'introduzione di simboli chiari, precisi, comodi per rappresentare operazioni ed "espressioni" contenenti non soltanto numeri dati, ma anche numeri indeterminati o incogniti.

Se si domandasse oggi a uno studioso di algebra: "Che cosa è l'algebra? Me lo spieghi in poche parole semplici e chiare", egli sarebbe molto imbarazzato a rispondere, tali e tanti sono stati gli sviluppi di questo ramo della matematica negli ultimi cento anni. Se invece la stessa domanda potesse essere rivolta allo spirito del vecchio al–Khuwarizmi (di nuovo lui!), egli avrebbe forse qualche difficoltà a riconoscere la parola araba al–giabr, dalla quale per deformazione è venuta fuori la nostra parola "algebra", ma non sarebbe affatto imbarazzato a rispondere. Per lui, infatti, l'al–giabr non era altro che una certa regola per trasformare uguaglianza in un'altra uguaglianza avente lo stesso valore (cioè "equivalente"), regola molto semplice e facile da capirsi, che spieghiamo subito. Se io so che A–B = C , allora sono anche sicuro che A = B+C , e viceversa;

se, insomma, prima del segno di "uguale", cioè nel primo membro dell'uguaglianza, una quantità viene sottratta, la si può invece aggiungere dall'altra parte (al secondo membro dell'uguaglianza).

Se guardiamo solo i simboli, possiamo dire che una quantità può essere trasportata dal primo al secondo membro di un'uguaglianza cambiando il segno meno nel segno più (o viceversa). La cosa si capisce anche col buon senso; la possiamo giustificare con il fatto che, se a ciascuna di due

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quantità uguali fra loro aggiungiamo una stessa quantità, abbiamo ancora due nuove quantità che sono uguali. Perciò, se le quantità A–B e C sono uguali, saranno anche uguali le nuove quantità che si ottengono aggiungendo all'una e all'altra la quantità B ; insomma se A–B = C, anche A–B+B = C+B ; ma A–B+B = A (se aggiungo prima, e poi tolgo, una stessa quantità, faccio e disfo, cioè lascio le cose tali e quali); perciò A = B+C.

Se per lo studioso moderno la parola algebra significa troppe cose (troppe, dico, per spiegarle in breve), per al–Khuwarizmi significava troppo poco. Per gli scopi che ora ci

proponiamo, possiamo definire l'algebra come il ramo della matematica che studia le uguaglianze che contengono delle grandezze incognite, uguaglianze che possono essere verificate o no a seconda dei valori che si danno alle grandezze incognite. L'algebra è cioè la scienza delle uguaglianze condizionate, o equazioni.

Lucio Lombardo Radice

"La matematica da Pitagora a Newton"

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2) INTRODUZIONE

Il calcolo letterale può essere utile per generalizzare una soluzione di un problema, elaborare un calcolo complesso, impostare dei ragionamenti, risolvere dei teoremi, ... .

Un numero è sostituito da una lettera; di solito si usano le prime lettere dell’alfabeto con carattere minuscolo (a ; b ; c ; d ;...).

In una espressione letterale la medesima lettera rappresenta pure il medesimo numero.

Esempio geometrico:

È dato il seguente trapezio isoscele:

Si vuole calcolare la misura del suo perimetro.

In questo caso le misure dei lati del trapezio dipendono dai valori assegnati alle lettere a e b.

Ø Se a = 7 e b = 19 avremo:

Perimetro = 19 • 2 + 28,5 + 33 = ……

Ø Se a = 18 e b = 18 avremo:

Perimetro = 18 •2 + 54 + 27 = ……

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Osservazione 1):

In un problema di geometria come questo è necessario porre delle condizioni. Ad esempio tutti i lati devono essere positivi e questo significa che si deve porre la seguente condizione:

b > 0 e 2a+b > 0

a e b possono assumere lo stesso valore.

La soluzione generalizzata del problema per il calcolo del perimetro sarà la seguente:

Perimetro = b • 2 + 1,5 • b + (2a + b) = 2b + 1,5b + 2a + b = 2a + 4,5b

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3) Convenzioni

L'esempio visto in precedenza ci dà la possibilità di ricordare quali sono le prime regole basi del calcolo letterale.

Nella addizione si ha: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 volte 5 = 7 • 5 = 35 analogamente: a + a + a + a + a + a + a = 7 volte a = 7 • a = 7a

Nella moltiplicazione si ha: 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 5⁷= 78'125 analogamente: a • a • a • a • a • a • a = a⁷

Convenzione di scrittura:

Il segno di moltiplicazione tra due lettere o tra un numero e una lettera può essere tralasciato.

Inoltre in un prodotto di più lettere, grazie alla proprietà commutativa, tutte le lettere vanno sempre scritte in ordine alfabetico.

Esempi:

3 • a • b diventa 3ab a • 3 • 5 • b diventa 15ab

b² • 3 • b • a diventa 3ab³ 2a • p • 3b diventa 6pab ac • a • 2 • c diventa ... 2p • 3a • b diventa ...

a • b • 5 • a • 3 diventa ... 3 • p • a² • b • 2 • a diventa ...

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1 • a = a in questo caso si scrive soltanto a.

Il numero che moltiplica la lettera (o un prodotto di lettere) si chiama coefficiente.

Esempi: 3a 3 è il coefficiente di a

2ab 2 è il coefficiente di ab è il coefficiente di a –b –1 è il coefficiente di b

è il coefficiente di c

Quando si dice “tre a” si intende 3a, mentre quando si dice “a tre” si intende a³. 4 a

- 3

4 - 3

3 c

3 1

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4) Addizione e sottrazione

Definizione:

Due termini si dicono simili quando hanno la stessa parte letterale, cioè le stesse lettere con gli stessi esponenti. Questi termini vengono anche denominati monomi.

Esempi:

a) 3b 2,5b –20b

b) ab³ –3 ab³ 3,5 ab³

Definizione:

Se due termini sono simili si possono addizionare o sottrarre.

Esempi:

a) 2a + 5a = (2+5)a = 7a b) 3ab + 5ab = (3+5)ab = 8ab

Osservazione:

La somma di due o più termini simili è ancora un termine simile avente per coefficiente la somma dei coefficienti dei rispettivi termini. In pratica si fa uso della proprietà distributiva

[a•(b+c) = a•b + a•c = ab+ac]

Altri esempi:

c) 3a – 2a + 6a – a = ... d) 3c + 2,5c – 7c = ...

e) 3ab + 2a – ab = ... f) 2a + 3b – 7a – 5b = ...

g) 2ab – 2a + 3ab – b + 3b – 5ab + 7 = ...

h) 2ac + b + 3ac + 3 – 14b – ac + 4 = ...

i) 2x + 2y + x = ……….

l) 4a² – 4 – 3a² + 12a – 16 = ……….

8 3 b 5 7 ab³

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m)

= ……… = ………..

n) 3a + 6ab – 3a + 2ab² – 18ab = ...

o) ... =

= ...

3 2 3 2

2a 1a a 3a 1a 1a 3a 12

3 -3 + -4 -2 +6 - + =

1

3 a 2ab 3 5 a 7

2 ab

+ − + =

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5) La moltiplicazione

È sempre possibile determinare un prodotto fra due o più termini letterali ( o monomi ) grazie alla proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione.

Esempi:

a) (3a) • (5ab) = 3 • a • 5 • a • b = 3 • 5 • a • a • b = 15a²b

b) (2ab) • (3ac) • (7bc) =...

c) ...

d) ...

e) ...

Osservazione:

Quando si esegue una espressione letterale, come con i numeri, bisogna dare la precedenza alla moltiplicazione. Una volta risolte tutte le moltiplicazioni si procede ad addizionare o sottrarre tutti i termini simili (se ce ne sono).

Altri esempi:

f) ...

g) ...

h) ...

i) ...

l) ...

m) ...

2

3 ab 27 15 c

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⋅ =

( 5a b) 3 40 abc

− 2 ⋅⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ =

2a 1

2 a 2

3 ab

2+ ⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⋅⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ =

( )

2a b 3a 2

7 b a b

2 3 2 3 3

+ ⋅ + =

( )(

^{2a 3abc}

)

⁺^⎛_⎝^⎜ ⁷₅ ^ac^⎞_⎠^{⎟ ⋅}^15ab ⁼

2ab 7

3 a 3ab 16

5 a 3

18 b + −⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⋅ − ⋅ =

3a 5

18 ab 5a b² b ( 2a )² 8a

⋅ + − ⋅ − + =

2

3 a 9

5 1

5 ab 3

5 a 3 a

⋅ −⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ + − + − =

4 3

9

2 5a 1

4 a 2b 7

4 1 3 b

⋅ + − − ⋅ −⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ + =

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6) La divisione

In genere:

Per eventuali semplificazioni si applicano di regola le proprietà delle potenze già viste in precedenza.

Esempi:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

l)

m)

=a ¹

a : b , con b 0 b

3 4 4 7

7 a

a a a :

a = =

=

× =

4 10 4

3 7

b b b

b b

× = c

c

c² ³

× =

10 5 4

d d d

× ² =

3

a a

2a

× ⁶ =

8

b b

6b

(

^9a²^b²

)

^÷

⁽

^-^3ab

⁾

⁼ ^9a_-_3ab²^b² ⁼

(

^-^3a⁴^b³

) (

^÷ ^18a²^b²

)

⁼

(

^5a⁴^b⁵^c²

) (

^÷ ^-^2a⁴^b²

)

⁼

÷= ø ç ö

è

÷æ

÷ø ç ö

è

æ 2 5 3 a2b5c3

2 c 3

b 3 a 2

÷= ø ç ö

è

÷æ

÷ø ç ö

èæ- ² ⁴ bc⁴

3 c 4

3 ab 4

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7) La proprietà distributiva

Dati tre numeri a, b, c vale:

Applicazioni al calcolo numerico:

a) 34 • 5 = (30 + 4) • 5 = 30 • 5 + 4 • 5 = 150 + 20 = 170 b) 99 • 7 = (100 – 1) • 7 = 100 • 7 – 1 • 7 = 700 – 7 = 693

Applicazioni al calcolo letterale, proprietà necessaria per poter sciogliere le parentesi:

c) 3 • (a + 3) = 3a + 9 d) a • (a + b) = a² + ab

e) (a + 2) • 4 = 4 • (a+2) = 4a + 8 f) 3a + 4(a – 2) = 3a + 4a – 8 = 7a – 8

g) 4(a – 1) + 3(3 – a) = 4a – 4 + 9 – 3a = a + 5

Casi particolari:

L'addizione è associativa, per cui vale: a + (b + c) = a + b + c = a + ( b + c )

La sottrazione invece non è associativa, quindi bisogna fare attenzione ad applicare in modo corretto la proprietà distributiva.

a – ( b + c) = a –1( b + c) = a – b – c a – ( b – c) = a –1( b – c) = a – b + c a – (–b + c) = a –1(–b + c) = a + b – c a – (–b – c) = a –1(–b – c) = a + b + c

( )

• + = • + •

a b c a b a c

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Semplificare le seguenti espressioni:

h) 4a + (2a+3) = ………..

i) 7b – (b+5) = ………..

l) 13 – (7+3a) = ………..

m) 9a – (3a+5) = ………..

n) 5a – (a+3) – (2a+1)= ………..

o) 3b²– (2b+3) – (b+1) + 5 = ………..

p) c²– (c²+1) + (3+c²) =………..

q) 4a – (–3–2a) = ………..

r) 4a + (2a–1) – (5+3a) =………..