Capitolo2: Comportamento meccanico degli elementi strutturali.

Capitolo2:

Comportamento meccanico degli elementi strutturali.

In questo capitolo si spiega nel primo paragrafo il comportamento meccanico di elementi monodimensionali quali travi e pilastri in cemento armato soggetti a carico ciclico, mentre nel secondo paragrafo si spiega il comportamento dei nodi trave-pilastro.

2.1 Comportamento ciclico di travi e pilastri

In una struttura intelaiata le membrature resistenti si possono suddividere in travi, che devono resistere principalmente a flessione, ed in pilastri che devono resistere a sollecitazioni di flessione e sforzo normale. Prima di spiegare il comportamento meccanico di una trave soggetta ad un carico ciclico, illustriamo brevemente come si costruisce un diagramma momento-curvatura di una sezione i C.A.

2.1.1 - Diagramma Momento – Curvatura di una sezione in C.A.

La costruzione del diagramma momento curvatura si esegue utilizzando equazioni d’equilibrio, leggi costitutive dei materiali, ipotesi sulla deformazione.

L’ipotesi sulla deformazione è quella di Bernoulli-Eulero: durante il processo deformativo la sezione rimane piana. Per quanto riguarda le leggi costitutive nella letteratura tecnica, si trovano diversi modelli di comportamento per l’acciaio ed il calcestruzzo come abbiamo visto nel precedente capitolo. Le equazioni d’equilibrio sono:

• equilibrio alla traslazione che consiste nell’uguagliare la risultante delle tensioni allo sforzo normale agente sulla sezione

N σ_{c y}( ) b y⋅ ( ) y ⌠ ⎮ ⎮ ⌡ d i As i ysi⋅

∑

• equilibrio alla rotazione che consiste nell’uguagliare il momento delle tensioni rispetto al baricentro della sezione lorda in calcestruzzo al momento flettente che agisce sulla sezione

M σ_{c y}( ) b y⋅ ( )⋅y y ⌠ ⎮ ⎮ ⌡ d i As i ysi⋅ 2

∑

La determinazione del diagramma momento curvatura avviene per punti: si fissa una distribuzione lineare delle ε(y), questa distribuzione dipende da due parametri ad esempio la curvatura χ e la deformazione della corda baricentrica εG. Mediante

i legami costitutivi si ricavano le distribuzioni di tensione nei due materiali, quindi si controlla se è soddisfatto l’equilibrio alla traslazione, in genere al primo tentativo non è soddisfatta, quindi si cambia il valore di εG, finché la risultante delle tensioni

interne non è uguale allo sforzo normale applicato sulla sezione. Trovato il valore di εG che soddisfa l’equilibrio alla traslazione, il valore del momento che si ottiene

dall’equazione d’equilibrio alla rotazione è quello relativo alla curvatura fissata.

Si assegna la distribuzione di ε(y) ε y( ) ε_G+χ y⋅ Si ricavano le distribuzioni di tensione σ_{c y}( ) σ_{s y}( ) Si ricava il valore di M dall’equazione di equilibrio alla traslazione χ, M Assegnare un nuovo valore di εG Si No Assegnare un altro valore di χ Diagramma momento curvatura L’equilibrio alla traslazione è soddisfatto? εc<εcu o εs<εsu ? Si No

fig. 2- 2: diagramma di flusso per il calcolo del diagramma momento-curvatura

Nella fig. 2- 2 è rappresentato il diagramma di flusso per il calcolo del diagramma del momento curvatura, mentre nella fig. 2- 4 invece è rappresentato una serie di diagrammi momenti curvatura di una sezione rettangolare utilizzando per il calcestruzzo il modello parabola-rettangolo e per l’acciaio il modello elasto-plasto-incrudente. Dalla fig. 2- 4 si nota che lo sforzo normale influisce sulla risposta flessionale della sezione: all’aumentare dello sforzo normale aumenta il valore del momento resistente, ma diminuisce la rotazione ultima. Per grossi valori di sforzo normale si riduce sia il valore del momento flettente che della rotazione ultima.

2.1.2 - Comportamento meccanico di una trave

Analizziamo il comportamento meccanico di una sezione d’interfaccia fra una trave ed un pilastro. La sezione ha un’armatura simmetrica.

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 Curvature (1/m) M o me nti ( k N m ) N=0 kN N=-1000 kN N=-2000 kN N=-4000 kN N=-6000 kN N=-9000 kN

fig. 2- 4:diagrammi momenti curvatura per diversi valore dello sforzo normale

6 4 5 2 1 M θ

M<0

M=0

M>0

fig. 2- 5: andamento qualitativo di una prova ciclica

0 2 4 6 8 10 12 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 curvatura ( 1/m) as s e neutr o ( c m )

fig. 2- 3: andamento dell’asse neutro al variare della curvatura

Cominciando ad applicare un momento, sperimentalmente si osserva la formazione di una fessura, la cui ampiezza e profondità aumenta all’aumentare del carico, a causa della deformazione dei materiali e dello scorrimento relativo fra armature e calcestruzzo. Arrivati alla soglia dello snervamento dell’acciaio (tratto 2 di fig. 2- 5 ) si osserva un brusco abbattimento della rigidezza. Nel tratto 1 di fig. 2- 5 la capacità resistente della sezione è dovuta essenzialmente all’aumento delle forze interne, invece nel tratto 3 il piccolo aumento di resistenza è dovuto all’incrudimento dell’acciaio e all’aumento del braccio delle forze interne, infatti per valori elevati la posizione dell’asse neutro si avvicina al bordo compresso.

Effettuando uno scarico quando le armature sono snervate, si registra a carico nullo una rotazione residua, cioè la fessura rimane aperta perché l’acciaio è entrato nel campo plastico e lo scorrimento fra barre e calcestruzzo non è reversibile.

Quando applichiamo una coppia di segno opposto, tratto 5 di fig. 2- 5, la zona reagente compressa che nel precedente step di carico era tesa, è costituita dalle barre nude, perciò basta una piccola forza per recuperare la deformazione in elastica dell’acciaio e chiudere la fessura. Quando la fessura è chiusa si ha un recupero di rigidezza, perché reagisce il calcestruzzo che prima era teso, tratto 6 di fig. 2- 5 Incrementando ancora la sollecitazione, l’effetto softening si manifesta prima rispetto al primo ramo di carico a causa dell’effetto bauschinger sull’armature, infatti le armature che adesso sono tese prima erano compresse ed analogamente che adesso sono compresse prima erano snerva a trazione. Effettuando lo scarico si osserva ancora una deformazione residua come nel tratto 5, proseguendo con la prova inizia il secondo ciclo e si ripresenta qualitativamente la situazione del primo ramo di carico. Diagrammando i risultati di una prova ciclica si osserva una degradazione di resistenza e rigidezza , cioè dopo i cicli iniziali si nota una diminuzione del valore di picco del momento ed i rami di dei cicli sono via via meno pendenti.

La diminuzione di resistenza e rigidezza sono dovute essenzialmente a due cause:

a) L’apertura e chiusura delle fessure produce un degrado del Calcestruzzo b) Durante l’azione ciclica il legame di aderenza diminuisce, per cui si hanno

maggiori scorrimenti e quindi apertura di fessura più grandi.

Nel caso in cui la disposizione delle armature non simmetrica o la sezione è dissimetrica, si ottengono dei momenti resistenti diversi, cioè ad esempio il momento negativo è più grande del momento resistente positivo. In un diagramma

M-θ per una sezione di questo tipo i semicicli di ogni ciclo sono notevolmente diversi (fig. 2- 6 ). Da indagini sperimentali su di una trave rettangolare con armatura per i momenti negativi maggiore da quella per i momenti positivi, risulta che se prima vengono tesi i ferri per i momenti negativi, poi quando s’inverte il verso della sollecitazione, la fessura che si è formata nel primo semiciclo continua a chiudersi mentre si forma la fessura sull’altra base della sezione, cosicché tutta la sezione è lesionata e la resistenza è affidata alle sole barre. Questa situazione di comportamento è stata giustificata dicendo che a causa della diversa quantità di armatura ai due lembi, la forza per recuperare la deformazione delle armature tese nel primo ramo di carico è più grande della forza che tende le armature a momento positivo.

La crisi di una sezione in C.A. si manifesta con una frantumazione ed espulsione del calcestruzzo in zona compressa, mentre nella zona tesa, se la sezione è progettata correttamente, l’acciaio è snervato con grosse deformazioni.

2.1.2.1 - Influenza dello sforzo normale

La presenza dello sforzo normale di compressione produce effetti diversi che dipendono dall’intensità con cui agisce. Uno sforzo di compressione modesta fa aumentare la zona reagente di calcestruzzo, di conseguenza aumenta il momento resistente, diminuisce l’apertura delle fessure, ma per contro diminuisce la rotazione ultima a rottura. Grandi intensità dello sforzo normale, conduce a valori di momento resistente e curvatura più piccoli che nel caso della flessione pura. La biella compressa si può rompere in modo improvviso con espulsione del calcestruzzo di tipo esplosivo. Inoltre la presenza dello sforzo normale può facilitare l’instabilità locale delle barre compresse.

2.1.2.2 - Influenza del taglio

Lo sforzo di taglio fa aumentare la deformabilità della trave. La propagazione delle fessure da taglio produce una più veloce degradazione del calcestruzzo, poiché il calcestruzzo è soggetto ad uno stato di sollecitazione biassiale di compressione e trazione. Inoltre può facilitare l’instabilità delle barre compresse (vedi fig. 2- 7 b).

fig. 2- 7: possibili modi d’instabilità locale di una barra compressa fig. 2- 8: danneggiamento avanzato di un provino

2.2 Comportamento dei nodi trave-colonna in C.A.

Per poter parlare di “Nodo” è necessario che due aste s’incontrino con un angolo d’incidenza diverso da 180°. Teoricamente in un nodo possono confluire infinite aste, ma nella pratica costruttiva degli edifici in cemento armato il numero di aste è limitato, generalmente l’angolo d’incidenza fra le aste è di 90°, però non mancano esempi in cui le aste convergono nel nodo con angoli diversi dall’angolo retto.

Capire il comportamento di un nodo trave pilastro, soggetto ad un’azione sismica, presenta delle complicazioni a livello concettuale: su ogni asta possono agire tutte e sei caratteristiche della sollecitazione: sforzo normale, tagli, momenti flettenti e torcente. Considerando un nodo tridimensionale con sei aste come in figura s’intuisce la difficoltà nel capire come si distribuiscono le sollecitazioni all’interno del nodo. Un’ulteriore complicazione nel capire il comportamento del nodo è legata alla presenza dei solai.

Nella letteratura tecnica si trova un’ampia documentazione sul comportamento dei nodi piani con tre e quattro aste. Sulla base delle prove di laboratorio che sono state fatte, s’illustrerà qui di seguito il comportamento di nodi trave-pilastri con quattro aste.

2.2.1 - Meccanismo di un nodo piano a quattro vie

Per capire lo stato di sollecitazione sul nodo, immaginiamo di fotografare ad un certo istante lo stato di sollecitazione di un telaio piano soggetto ad un’azione sismica ed estraiamo dal telaio una porzione di edificio composto da un nodo con due mezze travi e due mezzi pilastri adiacenti il nodo come indicato in fig. 2- 10.

Nodo piano a 2 vie Nodo piano a 3 vie Nodo nello spazio a 3 vie Nodo piano a 4 vie Nodo nello spazio a 4 vie

Nodi a 5 vie Nodo a 6 vie aste con angolo ?90°

telaio piano deformata

diagramma del taglio diagramma del momento

fig. 2- 10:azione sismica su un telaio piano

2.2.1.1 - Forze di Taglio sollecitanti il nodo

L’andamento dei momenti nella trave e nel pilastro che attraversano il nodo è come rappresentato in fig.2-11: nel nodo i momenti flettenti nel pilastro e nella trave cambiano di verso, quindi sul nodo si esercitano un taglio verticale Vv che fa

invertire il momento lungo la trave ed un taglio Vh che fa invertire il momento sul

pilastro. Qui di seguito riportiamo la determinazione di Vh e Vv.

Mc Vc⋅Hc₂ Vh⋅ht₂ Equazione di equilibrio alla rotazione della sezione d'nterfaccia Pilastro-Nodo

Vh Vc Hc

ht ⋅

Mt Vt⋅Lt₂ Vv⋅hc₂ Equazione di equilibrio alla rotazione della sezione d'nterfaccia Trave-Nodo

Vv Vt Lt hc ⋅

2.2.1.2 - Forza resistente di Taglio del Nodo

Equazione di Equilibrio alla traslazione

2.2.1.3 - Meccanismi resistenti di nodo

Nella fig. 2- 12 a) è illustrato come le travi e i pilastri sollecitano il nodo.

Paulay-Priestley elaborarono un modello composto da due schemi resistenti che lavorano

in parallelo:

ƒ Meccanismo puntone: dalle zone di calcestruzzo compresso si forma una biella compressa di grosse dimensioni che unisce tale zone. L’inclinazione del puntone, oltre che dalle dimensioni geometriche del nodo, dipende anche dall’intensità dello sforzo normale agente nel pilastro. Più il pilastro è compresso, maggiore è l’area reagente, maggiore è l’inclinazione della biella.

ƒ Meccanismo traliccio: se è presente un’adeguata armatura nel nodo, costituita dai ferri longitudinali del pilastro e da staffe orizzontali, si instaura un sistema di bielle compresse in calcestruzzo e tiranti in acciaio.

+ +

-+

-Hc

Lt

Andamento del Taglio lungo la trave Andamento del Momento lungo la trave ++ -+

-Andamento del Taglio lungo il pilasstro Andamento del Momento lungo il pilastro Vc Vt Vc Vt hc ht Vt Vc Vh Vv Mc Mt

fig. 2- 11: forze di taglio sollecitanti il nodo

Vh CA TB+ −VC

CA TB TA λ0 Aa⋅ ⋅fy TB λ0 Aa ⎯ ⋅ _fy

Da indagini sperimentali risulterebbe che il meccanismo puntone lavora finché durante i cicli di carico la lesione sulla sezione d’interfaccia trave-nodo non interessi l’intera altezza della trave. A questo punto lavora solo il meccanismo a traliccio fino al collasso del nodo.

2.2.1.4 - Ruolo dell’aderenza nel comportamento del nodo

Il fenomeno dell’aderenza è fondamentale al comportamento meccanico del nodo. Sulle sezioni d’interfaccia del nodo agiscono dei momenti flettenti che mettono in trazione le corrispondenti armature. Se non ci fosse l’aderenza delle barre all’interno del nodo queste si sfilerebbero e le travi non sarebbero capaci di resistere, ma oltre a questo non si innescherebbero i due meccanismi illustrati precedentemente.

Nelle prove di laboratorio per dare un modello analitico della legge d’aderenza, è stato ipotizzato che le tensioni tangenziali siano costanti lungo una circonferenza; invece nel nodo, secondo Pauley - Priestley, le tensioni tangenziali non sono costanti lungo la circonferenza, ma la porzione di barra che sta dalla parte interna del nodo presenta un valore di tensione tangenziale più grande. Ciò è evidenziato da una maggiore apertura delle fessure all’interno del nodo.

MB MA VA VB TB CB CA TA MC VC VC MC Meccanismo

Puntone Meccanismo"Truss"

α

a) b) c)

d)

fig. 2- 12: meccanismi resistenti del nodo

C T

distribuzione circonferenziale delle tensioni tangenziali

La distribuzione longitudinale lungo la barra delle tensioni d’aderenza dipende dal regime tensionale alle estremità delle travi concorrenti nel nodo, e dal danneggiamento causato dall’azione ciclica.

Durante l’azione sismica le barre delle travi che attraversano il nodo sono soggette da un lato ad una tensione di compressione, sull’altro ad una tensione di trazione. Se entrambe queste tensioni sono minori della soglia di snervamento e non si è verificato nessun danneggiamento, la distribuzione delle tensioni longitudinali è lineare, mentre l’andamento delle tensioni tangenziali può essere considerata costante. In questo caso la lunghezza di aderenza è l’altezza del pilastro hc. Quando il livello di

danneggiamento è grande e la barra è snervata a trazione l’andamento delle tensioni longitudinali e tangenziali è rappresentato in fig. 2-14 b), in questo caso la lunghezza di aderenza si è ridotta ad hc’, perché dopo cicli di carico

ad alta intensità il calcestruzzo dei copriferri della trave e pilastro si è rotto e non è più utile per l’aderenza

2.2.1.5 - Deformabilità del nodo

Il nodo non è infinitamente rigido, ma contribuisce alla deformabilità della membratura con due effetti:

1. attraverso uno scorrimento relativo fra la barra della trave che lo attraversa ed il nodo stesso, incrementando così l’apertura della fessura che si forma sulla sezione d’interfaccia trave-nodo.

2. attraverso la deformabilità a taglio, soprattutto quando non è più attivo il meccanismo puntone C T hc' hc σs<fy σs<fy σs>fy Andamento delle tensioni lungitudinali e tangenziali nel caso di barra in campo elastico

Andamento delle tensioni lungitudinali e tangenziali nel caso di barra snervata Barra Trave Barre Pilastro a) a) b) c)

fig. 2- 14: andamento delle tensioni longitudinali e tangenziali lungo la barra