C APITOLO 4

C

APITOLO

4

RISULTATI

4.1. Introduzione

In questo capitolo si riportano i risultati ottenuti in simulazione dei vari algoritmi proposti.

In primis, si presenta il modello del sistema utilizzato in simulazione, successivamente si confronteranno gli algoritmi presentati al capitolo 3 evidenziando vantaggi e svantaggi degli uni rispetto agli altri e su tali si farà la selezione dell’ algoritmo prestazionalmente migliore e su questo faremo un’analisi dettagliata delle prestazioni del sistema WIFI 802.11g in presenza di trasmissione interferente bluetooth.

Nel seguito utilizzeremo il termine “numero di iterazioni” dove l’iterazione numero 1 è l’applicazione della (3.20), di seguito riportata:

1

ˆ

H

N

=

h

F X

(4.1)

4.2 Modello del sistema utilizzato in simulazione

Il modello implementato segue la (3.4), qui riportata:

=

+

che può essere riscritta come segue:

X = F h + w

(4.3)

Quando lavoriamo con segnali aleatori, gli algoritmi implementati hanno delle prestazioni medie e una deviazione standard non nulla per l’aleatorietà del segnale ricevuto; dunque risulta indispensabile andare a valutarne il valore medio generando un gran numero di segnali espressi dalla (4.2) e andando calcolare un errore quadratico medio (MSE) della nostra stima mediando (secondo la media aritmetica) su Nb blocchi OFDM (dove questa variabile altro non è che il numero di blocchi OFDM generati dal programma di simulazione sui quali andiamo a calcolare la media).

Durante la generazione di Nb blocchi, la risposta impulsiva del canale dovrà essere un invariante affinché il risultato ottenuto abbia un significato; in realtà, il canale è tempo variante ma ora siamo interessati a valutare la prestazioni medie degli algoritmi presentati e quindi il canale deve essere costante durante la simulazione.

Inoltre, la generazione di rumore e interferenza, sarà casuale (rispettando le statistiche di tali processi) per ogni blocco generato perché la media deve essere fatta su blocchi indipendenti, quindi, se il disturbo non variasse, ci sarebbe una totale correlazione tra i blocchi al punto che da ogni stima successiva alla prima non otterremmo nessuna informazione in più; l’MSE così ottenuto non sarebbe medio.

La matrice F e FH possono facilmente essere implementate in maniera matriciale fissando L = 8 e N = 64.

Sappiamo che N = 64 perché è lo standard della WIFI 802.11g, ora dobbiamo capire perché il canale ha 8 tappi.

4.2.1 Modello del canale

I segnali wireless (a parte le comunicazioni via satellite) si propagano in un canale multipath (cammini multipli): il segnale ricevuto può essere visto come una sommatoria di più segnali che in generale hanno fase, ritardi e ampiezze diverse per le riflessioni, rifrazioni e diffusioni che interessano il segnale trasmesso durante il generico cammino che influisce in maniera indipendente dagli altri sul segnale.

I cammini, sono indipendenti e quindi il generico campione al ricevitore è una somma di campioni dei vari segnali che, per i ritardi subiti, non presentano nessuna correlazione anche se il segnale di partenza è lo stesso.

Da queste considerazioni, a seconda che ci sia una componente dominante sulle altre, ne derivano due modelli; di nostro interesse è il NLOS, che sta appunto per no line of sight (nessuna componente dominante).

In questa maniera i diversi contributi del canale, possono essere modellati come realizzazioni di un processo aventi le stesse statistiche e richiamando il teorema del limite centrale, si conclude che il ricevitore vede un canale dove ogni generica presa è una realizzazione di un processo gaussiano complesso:

( )R ( )I k

=

k

+

j

k

h

h

h

k=1,2,…….L (4.4)

(

)

(

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

,....,

1

,

0

,....,

1 R R R I I I k

=

h

h

L− k

=

h

h

L−

h

h

sono statisticamente equivalenti e ogni

elemento 2 ,

0,

2

k h

σ





∈ Ν









dove _       Ν 2 , 0 2 ,h k σ

rappresenta una variabile aleatoria gaussiana a media nulla e varianza

2

2 ,h

k

σ

dove σ_k2_,h è la varianza del generico campione complesso del canale.

In letteratura, L è comunemente scelto pari a:

10

_rms

L

T

τ

=

(4.5) dove rms

τ è la radice quadrata del ritardo medio delle componenti di segnale (infatti sta per root-mean-squared delay spread);

T è l’intervallo di campionamento del segnale ricevuto e quindi pari alla velocità di segnalazione dei dati informativi in uscita al mappatore in trasmissione (dove appunto è stata fatta una codifica per aumentare l’efficienza energetica e successivamente una mappatura per aumentare l’efficienza spettrale).

La varianza del generico elemento del canale è esprimibile tramite:

/ 2 2 , 0, rms kT k h h

e

τ

σ

₌

σ

− (4.6) e rms T h e τ σ2 / , 0 1 − − = (4.7)

Da qui, segue che, assumendo un delay spread tipico delle comunicazioni WIFI in ambiente INDOOR di 40 ns, si ricava L = 8.

4.2.2 Modello del rumore AWGN

Il rumore termico è modellato Gaussiano e bianco, bianco perché nelle frequenze di utilizzo della WIFI, lo spettro è costante.

( )R ( )I

j

=

+

w

w

w

(4.8)

(

)

(

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

,....,

1

,

0

,....,

1 R R R I I I N N

w

w

₋

w

w

₋

=

=

w

w

sono statisticamente equivalenti e

ogni elemento 2

0,

2

w

σ





∈ Ν 







dove 2 w

σ si ricava dal rapporto segnale rumore SNR:

2 2

(

)

10log

S dB w

SNR

σ

σ





=









(4.9)

e σ_S2 è la potenza del generico campione di segnale ricevuto.

4.2.3 Modello dell’interferenza

Come spiegato al capitolo 1, durante la trasmissione di un blocco OFDM, possono al massimo essere interferite 3 sottoportanti dal bluetooth; poiché vogliamo realizzare un sistema robusto e conservativo nei confronti dell’interferenza, mettiamoci nelle condizioni peggiori considerando nel nostro modello sempre 4 sottoportanti interferite (causa l’aritmetica finita, il troncamento dei segnali).

I risultati ottenuti vanno interpretati sapendo che con una buona probabilità otterremo prestazioni in generali migliori.

A questo punto in maniera analoga al rumore termico, definiamo: ( )R ( )I

I

=

I

+

j I

(4.10)

(

)

(

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

,....,

1

,

0

,....,

1 R R R I I I N N

I

I

₋

I

I

₋

=

=

I

I

sono statisticamente equivalente e ogni

elemento 2

0,

2

I

σ





∈ Ν 







dove 2 I

σ si ricava dal SIR (signal interference ratio):

2 2

(

)

10log

S dB I

SIR

σ

σ





=









(4.11)

valutata solo sulle sottoportanti interferite.

In conclusione è importante notare che la σ2, già definita al capitolo 3, risulta essere la somma della varianza del rumore più interferenza (sulle sottoportanti interferite).

4.3 Risultati di simulazione

Ottenere un indice di prestazione medio, vuol dire generare tanti blocchi OFDM, fare la stima e mediare i risultati; salvo dove indicato, la media sarà effettuata su 1000 blocchi. Abbiamo visto che in assenza di interferenza tramite la (4.1) siamo sul CRB; questo lo si osserva in Fig. 4.1 mentre in figura 4.2 è presente interferenza con un SIR = -5 dB.

0 5 10 15 20 25 30 10−4 10−3 10−2 10−1 100 SNR dB MSE mse CRB

Fig. 4.1. Error quadratico medio di h e rispettivo CRB in funzione del rapporto segnale rumore in assenza di interferenza

Introduciamo ora l’interferenza, dovuta ad una sola trasmissione bluetooth e quindi un solo interferente.

Si riporta a titolo di esempio in Fig. 4.3, la stima di H ottenuta tramite la (4.1) in presenza di interferenza.

Da qui in seguito saranno riportati i grafici per la sola h per non essere ridondanti poichè le informazioni che possiamo trarre rispetto ad H sono le stesse; l’unica cosa che vale la pena di evidenziare, è, che per quanto riguarda la stima di H, ci aspettiamo errori più grandi in quanto lo stesso CRB risulta più “alto” rispetto a quello di h.

Da qui in avanti, considereremo sempre il caso di un solo interferente salvo diversa indicazione.

0 5 10 15 20 25 30 10−4 10−3 10−2 10−1 100 SNR dB MSE

Fig. 4.2. Error quadratico medio di h e rispettivo CRB in funzione del rapporto segnale rumore con SIR = - 5 dB

0 5 10 15 20 25 30 10−3 10−2 10−1 100 101 SNR dB MSE MSE di h CRB di H

Come si osserva dalle figure 4.2, 4.3, all’aumentare di SNR, si ottiene un floor dovuto al fatto che le prestazioni sono limitate dall’interferenza perché il rumore è trascurabile rispetto ad essa, quindi anche aumentando la potenza del segnale rispetto al rumore non si migliora.

Per migliorare le prestazioni, si deve aumentare il SIR come si osserva in figura 4.4. In Fig. 4.4 si rappresenta il CRB per il caso SIR=5 dB perché al variare del SIR esso non varia apprezzabilmente sui valori di interesse (5,0,-5) dB, infatti si ottiene sempre la stessa curva con variazioni minime che risulta shiftata verso l’alto di una quantità molto piccola rispetto al caso di interferenza assente.

A bassi SNR, interferenza e rumore sono confrontabili in potenza, quindi le prestazioni saranno limitate da entrambi e come si osserva in Fig. 4.2 siamo addirittura vicini al CRB mentre ad alti rapporti segnale rumore l’interferenza risulta dominante diventando così la causa del floor della stima.

0 5 10 15 20 25 30 10−4 10−3 10−2 10−1 100 SNR dB MSE SIR=−5dB SIR=0dB SIR=5dB CRB

I valori di SIR in legenda sono tipici.

Focalizziamo per il momento la nostra attenzione sul primo algoritmo presentato al capitolo 3, espresso dalla (3.30) e riportato nella (4.12).

( ) ( 1) ( )

ˆ

i

_{( )}

ˆ

i

_{( )}

H

_ˆ

i a

h

l

h

−

l

γ

=

+ F e

i

∈

(4.12) ( ) ( ) 2 ( )

ˆ ( )

ˆ

ˆ ( )

i i a i

e

n

e

n

δ

=

+

e

n = 1,2,….N-1 (4.13) (0)

1

ˆ

H

N

=

h

F X

(4.14)

Ci concentriamo su di esso perché è il più veloce in simulazione, in quanto non presenta inversioni matriciali:

• la (3.44), relativa al 2° algoritmo, riportata qui di seguito nella (4.15), implica l’inversione matricole riportata nella (4.16):

( )

_ˆ

( -1) -1 -1

_ˆ

( -1) -1

ˆ

i

₍

H

_[

i

_]

₎

H

_[

i

_]

=

h

F

C

F

F

C

X

i

∈

(4.15) ( -1) -1 -1

ˆ

(

F

H

[

C

i

]

F

)

(4.16)

come già spiegato alla nota n°1 del paragrafo 3.4, la matrice

F

H

[

C

ˆ

( -1) -1i

]

F

risulta diagonale se l’interferenza è nulla; in caso contrario, C pur essendo sempre diagonale, non ha tutti gli elementi uguali; di conseguenza moltiplicando per F o

premoltiplicando per la versione hermitiana di F, non otteniamo più una matrice diagonale.

Questo comporta tempi molto più lunghi di simulazione.

• La (3.50), relativa al 3° algoritmo, riportata nella (4.17), relativa al terzo algoritmo presentato, presenta l’inversione della matrice C stimata che seppur diagonale, produce anch’essa tempi di calcolo lunghi.

( ) ( -1)

ˆ

( -1) -1

ˆ

i

ˆ

i H

_[

i

_{] (}

_-

ˆ

₎

γ

=

+

h

h

F

C

X F h

i

∈

(4.17)

• L’obiettivo lo raggiungiamo lo raggiungiamo col primo algoritmo che non presenta inversioni matriciali e quindi risulta molto più veloce.

Ulteriori informazioni riguardo le performance di tali algoritmi, saranno riportate nel paragrafo 4.4.

Utilizzando valori tipici di δ = 0.5 e γ = 0.01 salvo dove indicato, vediamo come varia la stima di canale in funzione del numero di iterazioni.

0 5 10 15 20 25 30 10−4 10−3 10−2 10−1 100 SNR dB MSE 1 iterazione 2 iterazioni 4 iterazioni 6 iterazioni 10 iterazioni 6 iterazioni 20 iterazioni CRB 6 iterazioni e delta = 0.1 20 iterazioni e gamma = 0.001 delta=0.1

Fig. 4.5. Error quadratico medio di h e rispettivo CRB in funzione del rapporto segnale rumore al variare del numero di iterazioni con SIR = -5 dB, δ = 0.5 e γ = 0.01

Dalla figura 4.5, si possono fare diverse considerazioni:

1. aumentando il numero di iterazioni, la stima migliora fino a saturare.

La saturazione avviene intorno alle 6 iterazioni; si vede bene che con 10 le prestazioni sono le stesse (con 5 iterazioni, si va leggermente peggio; non si riporta la curva per evitare incomprensibilità grafica);

2. in prima ipotesi possiamo pensare di diminuire δ da 0.5 a 0.1 mantenendo γ=0.01 ma come si osserva dalla figura i risultati sono catastrofici.

3. si deve notare che per SNR bassi i vari risultati sono molto vicini e si vanno a diradare per valori elevati di segnale; questo ci fa intuire che là dove la stima è già di per se buona (SNR elevati), conviene ridurre il γ cioè la finezza con la quale iteriamo. Riducendo di 1/10 tale parametro e congiuntamente ridurre δ da 0.5 a 0.1 si

ottengono risultati non buoni, infatti l’andamento risulta simile a quello di figura 4.5 con 2 iterazioni).

Da tali risultati, si può dedurre che lo step size per SNR elevati deve essere opportunamente piccolo e allo stesso tempo la scelta del valore ottimo è dipendente dai valori assunti dal δ.

4. Rifacendosi alla (3.24), che riportiamo di seguito, possiamo dedurre anche una conclusione sul δ: 2 1 2 / 0

( )

ln

( )

l L

( )

j nl N l

h

δ

X n

= −

h l e

− π =





Γ

=



+

−

∑



=









2 1 2 / 2 ( ) 0

( )

( )

_{ˆ ( )}

ln

1

ln

ln 1

l L j nl N i l

X n

h l e

π

_e

_n

δ

δ

δ

δ

= − − =









−

∑

















_

_

=





+





=

+

+











_

_



_

_















(4.18)

quando la stima è buona l’errore è piccolo, quindi utilizzare un δ grande, fa si che la (4.18) tenda a lnδ e falsi la stima

In particolare ad alti rapporti segnale rumore, dove le prestazioni vengono a dipendere dal SIR, la (4.12) fornisce un informazione notevole riguardo alla bontà dell’utilizzo di un sistema multiportante in questo tipo di applicazioni.

L’algoritmo numero 1,espresso dalla (4.12), può essere scritto anche in forma scalare secondo la (3.28) e riportato nella (4.19).

( 1) 2 / 1 ( ) ( 1) 2 ( 1) 0

ˆ

( )

ˆ

_{( )}

ˆ

_{( )}

ˆ

( )

i j nl N N i i i n

e

n e

h

l

h

l

e

n

π

γ

δ

− − − − =

=

+

∑

+

i

∈

(4.19)

Quando la stima è fortemente corrotta per colpa dell’interferenza, la (4.19), sulle sottoportanti interferite tende a:

* ) 1 ( )] ( ˆ [ 1 n ei− (4.20)

il che vuol dire che più basso il SIR, più tale sottoportante viene poco pesata nell’aggiornamento perché l’errore è grande; in pratica, l’algoritmo, riconosce le sottoportanti interferite e le pesa tanto meno quanto più la potenza dell’interferenza è elevata.

Questo fenomeno si osserva in figura 4.6 dove sono state lanciate 12 iterazioni con δ=0.1 e γ=0.001.

Tale comportamento è un indice di robustezza del sistema multiportante nei confronti dell’interferenza; infatti possiamo considerare il segnale totale come un insieme di segnali e pesare meno le informazioni pervenute da quelli più interferiti (cosa che in un sistema a singola portante è impossibile).

In conclusione a questa analisi sul δ, si può dire che esso serve alle sottoportanti non interferite in quanto l’errore è piccolo e dalla (4.19) si capisce che in mancanza di tale parametro la frazione (4.20) tende a valori elevati che falsano la stima; inserendo δ, la (4.19) sulle sottoportanti non interferite tende a 1/δ che ne limita il valore.

0 5 10 15 20 25 30 10−4 10−3 10−2 10−1 100 SNR dB MSE SIR = −5 dB SIR = 0 dB CRB

Fig. 4.6. Error quadratico medio di h e rispettivo CRB in funzione del rapporto segnale rumore al variare del rapporto segnale interferenza con 12 iterazioni e γ = 0.001, δ = 0.1

4.3.1 Dimensionamento di δ e γ

Per la scelta ottima di δ e γ si dovrebbe condurre uno studio bidimensionale dell’errore quadratico medio della (4.19) (notare che h l’abbiamo generata e quindi la conosciamo) alla ricerca della coppia di valori che lo minimizzano.

Questa difficoltà può essere aggirata andando a cercare il δ ottimo simulando l’MSE con uno step size piccolo e un numero di iterazioni molto elevato.

Quello che si vuol capire è vedere se esiste un δ comune per ogni valore tipico di SIR al variare di SNR che minimizza l’MSE; facendo un gran numero di iterazioni con un γ molto piccolo, siamo sicuri di massimizzare l’accuratezza della nostra stima e contemporaneamente ci sganciamo dal dover fissare il numero di iterazioni e il valore dello step size individuando così il valore ottimo del delta.

I grafici seguenti sono stati realizzati con 100 iterazioni e γ = 10-4 e mediando su 10000 blocchi.

La scelta di tale step size, non è casuale; negli esempi di figura 4.5 si è visto che con un γ=0.001 si potevano fare una tranquillamente una ventina di iterazioni; è stato sufficiente fare una prova con un valore più piccolo di 1/10 e fissare 100 iterazioni.

La simulazione è stata lanciata per valori di δ= [0 0.01 0.03 0.05 0.08 0.1 0.2 0.3 0.4].

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 10−3 10−2 10−1 100 SNR = 5 dB SNR = 10 dB SNR = 15 dB SNR = 20 dB

Fig. 4.7. Error quadratico medio di h in funzione del delta al variare del rapporto segnale rumore con SIR = -5 dB e mediando su 10000 blocchi

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 10−3 10−2 10−1 100 SNR = 5 dB SNR = 10 dB SNR = 15 dB SNR = 20 dB

Fig. 4.8. Error quadratico medio di h in funzione del delta al variare del rapporto segnale rumore con SIR = 0 dB e mediando su 10000 blocchi 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 10−3 10−2 10−1 100 SNR = 5 dB SNR = 10 dB SNR = 15 dB SNR = 20 dB

Fig. 4.9. Error quadratico medio di h in funzione del delta al variare del rapporto segnale rumore con SIR = 5 dB e mediando su 10000 blocchi

SIR=0 dB

L’obiettivo delle iterazioni, è quello di far convergere la stima al valore ottimo ottenibile con l’algoritmo implementato; una cattiva scelta dello step size, può comportare una mancata convergenza perché se scelto troppo grande, iterando, non solo l’algoritmo non convergerà mai, anzi la stima trovata può anche divergere; in opposto un valore troppo piccolo pur assicurando la convergenza, porta a tempi di simulazione elevati.

Dai grafici sopra riportati si capisce che δ = 0.03 è ottimo al variare di SNR e SIR e si deduce che tale paramentro è un invariante al variare delle condizioni tipiche di lavoro del sistema.

A titolo di esempio riportiamo la Fig. 4.10 (mantenendo γ = 0.001).

0 5 10 15 20 25 30 10−4 10−3 10−2 10−1 100 SNR dB MSE delta = 0.03 delta = 0.1 CRB

Fig. 4.10. Error quadratico medio di h in funzione rapporto segnale rumore con SIR = -5 dB con 20 iterazioni e γ = 0.001

Trovato il δ ottimo, si vuole trovare il γ ottimo al variare del rapporto segnale rumore, del rapporto segnale interferenza e al variare del numero di iterazioni, cercando di dedurre

Nelle seguenti simulazioni, ci limitiamo a simulare valori tipici di SNR: 5 dB, 10 dB, 15 dB, 20 dB. 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 10−3 10−2 10−1 100 101 102 step size MSE SNR = 5 dB SNR = 15 dB SNR = 10 dB SNR = 20 dB

Fig. 4.11. Error quadratico medio di h in funzione dello step size al variare del rapporto segnale rumore con SIR = -5 dB e 30 iterazioni

Osservando figura 4.11, si nota che, all’aumentare dello step size per SNR più alti, la stima peggiora; come abbiamo già detto, più la stima è buona (SNR maggiori) più l’aggiornamento influisce sulla stima e quindi γ deve essere piccolo.

Da tale figura si capisce che il valore ottimo dello step size è 0.001 ma poiché è il valore più piccolo con cui la simulazione è stata lanciata e per altro la curva si presenta decrescente verso sinistra, conviene andare ad investigare anche per valori più piccoli di γ; il risultato lo si osserva nelle figure 4.12, 4.13, 4.14 simulate con γ=[0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.004 0.007].

E’ importante inoltre far notare che la figura 4.11 rimane pressoché equivalente (non si riportano tutte le figure per ridondanza) anche con valori di SIR pari a 0dB, 5dB al variare del numero di iterazioni (10, 20, 30).

0 1 2 3 4 5 6 7 x 10−3 10−3 10−2 10−1 100 step size MSE SNR = 5 dB SNR = 10 dB SNR = 15 dB SNR = 20 dB

Fig. 4.12. Error quadratico medio di h in funzione dello step size al variare del rapporto segnale rumore con SIR = -5 dB con 10 iterazioni e δ = 0.03 0 1 2 3 4 5 6 7 x 10−3 10−3 10−2 10−1 100 step size MSE SNR = 5 dB SNR = 10 dB SNR = 15 dB SNR = 20 dB

Fig. 4.13. Error quadratico medio di h in funzione dello step size al variare del rapporto segnale rumore con SIR = 0 dB con 10 iterazioni e δ = 0.03

SIR=-5 dB

0 1 2 3 4 5 6 7 x 10−3 10−3 10−2 10−1 100 SNR = 5 dB SNR = 10 dB SNR = 15 dB SNR = 20 dB

Fig. 4.14. Error quadratico medio di h in funzione dello step size al variare del rapporto segnale rumore con SIR = 5 dB con 10 iterazioni e δ = 0.03

Osservando le figure 4.12, 4.13, 4.14, si possono ricavare i vari γ ottimi al variare della

SIR e del SNR; sulla base di tali, si può costruire la tabella 4.1 (dove δ = 0.03 e 10 iterazioni).

Per SNR = 5 dB e 10 dB, in alcuni casi, può sembrare da tali figure, che la funzione continui a decrescere verso step size più piccoli non riportati in figura; per non “affollare” troppo in figure sul γ, non riportiamo i grafici dell’indagine condotta in tale ambito perché il valore ottimo del parametro non cambia (si ha un floor e poi addirittura un peggioramento).

Tabella 4.1: valore ottimo dello step size al variare del rapporto segnale rumore e segnale interferenza con 10 iterazioni SNR _{dB SIR dB γ ottimo} 5 -5 0.0003 5 0 0.0003 5 5 0.0001 10 -5 0.0008 10 0 0.0008 10 5 0.0001 15 -5 0.001 15 0 0.001 15 5 0.001 20 -5 0.001 20 0 0.001 20 5 0.0006

Dalle figure 4.12, 4.13, 4.14, si può notare che nell’intorno del valore ottimo, le variazioni prestazionali sono insignificanti.

Studiando il valore dello step size che minimizza l’errore quadratico medio, si osserva che le prestazioni che si possono ottenere con le 10 iterazioni, raffigurate nelle figure 4.12, 4.13, 4.14, non migliorano all’aumentare del numero di iterazioni (una volta raggiunta la stima ottima, pur riducendo lo step size e aumentando il numero di iterazioni, questa non può essere superata).

0 1 2 3 4 5 6 7 x 10−3 10−3 10−2 10−1 100 step size MSE SNR = 5 dB SNR = 10 dB SNR = 15 dB SNR = 20 dB

Fig. 4.15. Error quadratico medio di h in funzione dello step size al variare del rapporto segnale rumore con SIR = -5 dB con 30 iterazioni

Le prestazioni sono pressoché le stesse del caso con 10 iterazioni.

Nella figura 16, si riportano i risultati ottenibili con l’algoritmo (4.12) (finora analizzato) al variare di γ quando δ = 0.03 e 10 iterazioni (meglio non si può fare) considerando il caso in cui la SIR vale –5 dB.

0 5 10 15 20 25 30 10−4 10−3 10−2 10−1 100 SNR dB MSE step size = 0.001 step size = 0.0003 step size = 0.0008 CRB

Fig. 4.16. Error quadratico medio di h in funzione dello dello step size variare del rapporto segnale rumore con SIR = -5 dB e 10 iterazioni

Sono stati raffigurati tre casi: con γ = 0.001 si ottimizza per SNR = 15 e 20 dB mentre con γ = 0.0003 si ottimizza per SNR = 5 dB, infine con γ = 0.0008 si ottimizza per SNR = 10dB.

Dalla figura 4.16, segue che dovendo fissare rigidamente i parametri dell’algoritmo, il miglior comportamento si ha con:

• γ = 0.0008; • δ = 0.03;

indipendentemente dal SIR (la variazione di tali parametri in funzione della SIR è minima come lo si osserva da tabella 4.18)

Con 10 iterazioni abbiamo inoltre le prestazioni ottime; come si osserva in figura 4.17, con 9 iterazioni, andiamo leggermente peggio.

0 5 10 15 20 25 30 10−4 10−3 10−2 10−1 100 SNR dB MSE 10 iterazioni 9 iterazioni

Fig. 4.17. Error quadratico medio di h in funzione del numero di iterazioni al variare del rapporto segnale rumore con SIR = -5 dB e δ =0.03 e γ = 0.0008

La figura mostra che i problemi dovuti al floor intorno ai 30 dB sono scomparsi pur non avendo ottimizzato i parametri per valori così alti di SNR; questa, è un ulteriore conferma alla bontà del comportamento del sistema per ogni valore di SNR.

0 5 10 15 20 25 30 10−4 10−3 10−2 10−1 100 SNR dB MSE SIR = −5 dB SIR = 0 dB SIR = 5 dB CRB

Fig. 4.18. Error quadratico medio di h in funzione del SIR al variare del rapporto segnale rumore con 10 iterazioni e δ =0.03 e γ = 0.0008

A conferma di quanto già detto, diminuendo il SIR, ad alti valori di SNR, il sistema si comporta meglio in quanto il dato derivante dalla sottoportante interferita viene poco pesato dall’algoritmo mentre per SNR < 15 dB la stima migliora all’aumentare della SIR (sono miglioramenti minimi) perché per quei valori, SNR e SIR sono confrontabili e quindi il contributo di rumore non è trascurabile rispetto all’interferenza perciò la stima è migliore dove la potenza di quest’ultima è minore.

Ad esempio, intorno ai 10-15 dB, per SIR=5 dB, la differenza relativa è

≤

10 dB e come già affermato, per tali valori, il rumore non è trascurabile poiché SIR

≥

SNR/10

4.4 Confronti prestazionali

In questo paragrafo, si fa un confronto prestazionale tra il primo algoritmo proposto, finora analizzato e gli altri due presentati sempre al capitolo 3.

Per non perdere troppo tempo, si utilizzano i valori ottimi dei parametri già dimensionati per il primo algoritmo.

Comunque ci aspettiamo che i parametri ottimi per i tre algoritmi siano molto simili se non addirittura uguali.

Questa superficialità d’analisi del secondo e terzo algoritmo deriva appunto dai notevoli tempi di simulazione che essi presentano nei confronti del primo per la presenza di inversioni matriciali.

Notare che la figura 4.19 è stata ottenuta stimando la varianza con la (3.47) e non con la (3.45) per entrambi gli algoritmi cioè con l’aggiunta del δ.

Per completezza, riportiamo qui di seguito la (3.47) nella (4.21).

( 1) 1 2 2 ( 1) 2 / 0

ˆ

ˆ

i

( )

( )

l L i

( )

j nl N l

n

X n

h

l e

π

σ

− = − − −

δ

=

=

−

∑

+

(4.21)

La presenza del parametro δ successivamente aggiunto nella (3.47) per l’algoritmo 2 e 3, permette la convergenza alla stima; in assenza di tale parametro appunto, la stima non converge e ad aumentare del numero delle iterazioni si peggiora rispetto la (4.1).

Questo conseguenza è dovuta alle inversioni matriciali presenti in tali algoritmi; la matrice di covarianza della sola interferenza è diagonale con solo 4 non nulli; proprio questa nell’inversione (se non controllata dal δ) porta ad ottenere valori enormi “dell’aggiornamento” con conseguente peggioramento della stima ad ogni iterazione.

Aggiungendo il parametro δ nei tre algoritmi, li “dotiamo” di una conoscenza a priori (appunto di tale parametro che è stato dimensionato) rendendoli per certi versi simili a quello che si otterrebbe seguendo un approccio di tipo baysiano.

Si deve infine notare che ci aspettiamo che il secondo algoritmo funzioni meglio del terzo in quanto quest’ultimo ne è una variante approssimata per evitare l’inversione della matrice

(

F

H

[

C

ˆ

( -1) -1i

]

F

)

-1 in generale non diagonale, applicando l’algoritmo del gradiente.

I grafici sono tutti ottenuti con 10 iterazioni e SIR = -5dB.

0 5 10 15 20 25 30 10−4 10−3 10−2 10−1 100 SNR dB MSE algoritmo 1 algoritmo 2 algoritmo 3 CRB

Fig. 4.19. Error quadratico medio di h variare del rapporto segnale rumore con SIR = -5 dB con 10 iterazioi e δ =0.03 e γ = 0.0008

L’algoritmo 1 e 3 danno prestazioni praticamente identiche salvo dopo i 28 dB dove il primo va leggermente meglio; l’algoritmo 2, è il peggiore fino agli 8 dB dopodiché

4.5 Applicazioni reali

L’algoritmo, in fase di realizzazione nei dispositivi WIFI, dovrà essere settato ad iterare un certo numero di volte oppure decidere quante iterazioni fare e quali parametri utilizzare sulla base della potenza del rumore misurata (l’algoritmo prevede la stima della varianza del segnale ricevuto, conoscendo la potenza utile ricevuta, si può risalire alla potenza di rumore e quindi all’SNR ricevuto).

L’algoritmo che sarà veramente utilizzato e quindi selezionato tra tutti i possibili candidati, sarà tanto migliore quanto a parità di risultati ottenuti il numero di iterazioni richiesto è minore; iterare vuol dire allungare i tempi di stima e quindi rallentare i tempi con i quali possiamo ricevere i dati e quindi trasmettere (se si vuol lavorare in real time). Comunque per poter affermare con certezza tali considerazioni, bisogna andare ad analizzare le velocità col quale lavora il chip che implementa l’algoritmo di stima.; parlando di WIFI 802.11g, il chip è un µprocessore; oggigiorno hanno velocità spaventose, è ovvio che il sistema non sarà “sfruttato” dal solo algoritmo di stima ma comunque possiamo osservare che con le potenze di calcolo di oggi non ci sono problemi di limitazione rispetto alle velocità trasmissive utilizzate dalla scheda di rete.

Inoltre si deve osservare che i risultati ottenuti sono mediati su 1000 blocchi, in realtà la stima sarà fatta su di un blocco e per un solo valore di SNR (e quindi quasi istantanea”) e aggiornata via via ogni Nf blocchi come scritto alla nota n°4 del capitolo 3.

Quanto suddetto è ampiamente verificato dal fatto che l’algoritmo implementato impiega i seguenti tempi di simulazione con un vecchio pentium 3 con clock a 800 MHz e RAM PC133 (quindi molto ma molto più lento dei nuovissimi sistemi QUAD CORE) mediando i risultati su 1000 blocchi:

Tabella 4.2: prestazioni algoritmo n°1

NUMERO ITERAZIONI NUMERO BLOCCHI SU

CUI SI EFFETTUA LA MEDIA NUMERO VALORI DI SNR DI SIMULAZIONE TEMPO DI SIMULAZIONE 10 1000 16 0h 4’ 50’’ 12 centesimi 20 1000 16 0h 5’ 23’’ 96 centesimi

I tempi di simulazione ci rivelano che aumentando il numero di iterazioni, la durata di simulazione viene ad aumentare in una percentuale molto piccola rispetto al numero di iterazioni “aggiunte”.

Questo è un buon indice di merito perché con poco tempo in più possiamo avere risultati più accurati (questo ovviamente dipende dai casi, non sempre è necessario iterare “troppo” perché come nel nostro caso, già con 10 iterazioni,la stima è ottima’).