Formule di quadratura composite
I
Formula del punto medio con N sottointervalli:
Z
ba
f (x ) dx ≈ H
N
X
i =1
f x
i −1+ x
i2
.
I
Formula del trapezio con N sottointervalli:
Z
ba
f (x ) dx ≈ H 2
"
f (x
0) + 2
N−1
X
i =1
f (x
i) + f (x
N)
# .
I
Formula di Cavalieri-Simpson con N sottointervalli:
Z
ba
f (x ) dx ≈ H 6
N
X
i =1
f (x
i −1) + 4f x
i −1+ x
i2
+ f (x
i)
.
H = (b − a)/N, x
i= a + iH, i = 0, 1, . . . , N.
Esercizio
Scrivere tre funzioni di Matlab che approssimino Z
ba
f (x ) dx
usando le formule composite con N sottointervalli
I
del punto medio,
I
dei trapezi,
I
di Simpson,
rispettivamente.
Il comando quad
>> Q = quad(FUN,A,B)
“Tries to approximate the integral of scalar-valued function FUN
from A to B to within an error of 1.e-6 using recursive adaptive
Simpson quadrature. FUN is a function handle. The function
Y=FUN(X) should accept a vector argument X and return a vector
result Y, the integrand evaluated at each element of X.”
Stima a posteriori dell’errore - I
Errore con passo H
I (f ) − I
HS= − b − a 180
H
42
4f
(iv )(ζ) Errore con passo H/2
I (f ) − I
H/2S= − b − a 180
(H/2)
42
4f
(iv )(b ζ) Quindi
I (f ) − I
HS≈ 2
4h
I (f ) − I
H/2Si
if f
(iv )(ζ) ≈ f
(iv )(b ζ).
Stima a posteriori dell’errore - II
Stima dell’errore usando |I
H/2S− I
HS|:
I (f ) − I
HS= I (f ) − I
H/2S+ I
H/2S− I
HS. 2
4h
I (f ) − I
H/2Si
≈ I (f ) − I
H/2S+ I
H/2S− I
HS. (2
4− 1) h
I (f ) − I
H/2Si
≈ I
H/2S− I
HS|I (f ) − I
H/2S| ≈ 1
2
4− 1 |I
H/2S− I
HS| .
Esercizio
I
Scrivere una funzione di Matlab per approssimare Z
ba
f (x ) dx
con errore stimato minore di toll usando la formula di
Simpson.
Esercizio
I
Scrivere una funzione di Matlab che implementi la formula di Gauss a due punti composita
Z
b af (x ) dx ≈ H 2
N
X
i =1
