UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PISA - FACOLTA' DI INGEGNERIA

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PISA - FACOLTA' DI INGEGNERIA

INGEGNERIA AEROSPAZIALE

CORSO DI FISICA GENERALE II E ELETTRONICA

Soluzioni

III 1)

Detta e_r= 2 la costante dielettrica relativa, la capacità di un tratto di linea di lunghezza h vale:

C= ²_ln^{p e}_Ha^re0h

2êa1L (condensatore cilindrico)

quindi la capacità per unità di lunghezza della linea vale:

# =^„C_„x = _ln²_Ha^{p ere0}

2êa1L.

Analogamente, l’induttanza per unità di lunghezza vale:

, = ^„L_„x = ^lnHa2êa₂¹_p^{L mrm0} (dall’induttanza di una linea coassiale) La velocità di propagazione della linea è:

v = lêDt = _{, #}¹ = _m ¹

re_rm₀e₀

da cui infine si ricava la permeabilità magnetica del dielettrico:

m_rm₀= ¹ ere0

Dt² l² 2)

L’impedenza caratteristica della linea è:

Z= ^,

# =^lnHa₂^2êa1L p

mrm₀

ere0 =₂^lnHa2êa1L p ere0v

e questa è anche l’impedenza su cui deve essere terminata la linea per evitare riflessioni.

Poichè l’impedenza di ingresso dell’amplificatore vale R1, affinché la potenza riflessa sia nulla deve essere:

R1= Z = ₂^ln_{p e}^Ha2êa1L

re₀v

R₂ può assumere qualsiasi valore.

3)

La risoluzione di un ADC a N= 8 bit che misura una tensione compresa tra V_inf= 0 e V_sup= 5 V vale:

d_VADC=^Vsup-Vinf

2^N

=

Nel nostro caso la tensione in input all’ADC è Vs= ^R_R²

1 V0 e quindi una unità dell’ADC corrisponde a un intervallo di tensione del generatore d_V0= ^R_R¹

2 d_VADC= ^R_R¹

2

5

256 V. Al crescere di R₂ si riduce quindi la minima variazione d_V0 della tensione V0 rivelabile dall’ADC, ma R2 trova un limite superiore sia nella satu- razione dell’amplificatore operazionale che nella massima tensione Vsup misurabile dall’ADC; detta Vsat la tensione di saturazione e considerato che V_inf= 0, deve essere:

V_s< V_sup Vs< V_sat

\ R₂

R1 V0< Vsup

R2

R₁ V0< V_sat

\ R2< ^V_V^sup

0 R1

R2< ^V_V^sat

0 R1

Infine, da V0§ Vmax, si ricava:

R2< _V^Vsup

max R1= 2500 R₁ R2< _V^Vsat

max R1

4)

Per mantenere una risoluzione dell’1% del valore massimo da misurare, è necessario che tale intervallo corrisponda almeno a un conteggio di ADC. D’altra parte, per rendere minimo il tempo di conversione, un conteggio di ADC deve corrispondere al più grande intervallo possibile (così che la rampa arrivi alla massima tensione misurabile col minimo numero di cicli).

Pertanto un conteggio di ADC deve corrispondere alla risoluzione desiderata:

1

100 Vmax= d_V0= ^R_R¹

2 d_VADC= ^R_R¹

2

1 256 Vsup

\ R₂= ^{100 Vsup}

256 Vmax R1=^{15 625}

16 R1

Il tempo massimo di conversione sarà naturalmente pari a quello di 100 cicli (ogni gradino vale l’1% della massima tensione da misurare):

Tconv= 100*100 ns = 10 ms 5)

Leggeri scostamenti dalla linearità non modificano la monotonia della funzione di trasferimento f del circuito:

a parte l’effetto della risoluzione finita, per il quale l’output non cambia se l’input all’ADC varia meno della risoluzione, la funzione che fa corrispondere l’output OUT_ADC all’input V₀ è biunivoca (per correttezza dovremmo dire che la corrispondenza tra intervalli di V0 e valori dell’output dell’ADC è biunivoca):

f : V0¨ OUTADC

Naturalmente anche la funzione lineare ideale flin è biunivoca (nello stesso senso precisato sopra):

2 a10-11_3s.nb

f_lin: V₀¨ OUT_ideale

Esiste quindi una funzione f_corr di correzione ottenuta per composizione delle due funzioni:

fcorr= fliné f^-1: OUTADCØ OUTideale

Trattandosi di funzione digitale essa può essere realizzata con una ROM.

La figura rappresenta graficamente una particolare f e la f_lin e illustra una semplice procedura per deter- minare il programma della ROM. Per ogni indirizzo ADD della ROM, si determina il valore di f^-1HADDL (cioè la tensione V0 che viene convertita dal sistema nel valore OUTADC= ADD). Il dato (DATA), da inserire nella ROM all’indirizzo ADD, è flinHV0L = flinI f^-1HADDLM. In tal modo, per ciascun valore di V0, nonostante

fHV0L non sia lineare, l’ouput della ROM ci restituisce sempre flinHV0L.

Vmax

V0

2^N OUT

f

f_lin OUTADC

OUT_ideale DATA

ADD

Poiché la correzione avviene per intervalli discreti d_V0 di V0, nel caso in cui gli effetti non lineari siano grandi può accadere che la medesima correzione non sia accettabile per l’intero intervallo di risoluzione. In tal caso sarà necessario rimpicciolire gli intervalli. Per questo motivo il caso più favorevole alla correzione è quello della domanda 3) ove l’intervallo di risoluzione è il minimo possibile.

Si noti che, di conseguenza, a parità di altri parametri il sistema di conversione più preciso è anche quello più lento.

a10-11_3s.nb 3