Modelli Probabilistici Prima parte Leo Pasquazzi

Leo Pasquazzi∗

Dipartimento di Statistica e Metodi Quantitativi Universit`a degli Studi di Milano - Bicocca

17 maggio 2019

1

Introduzione

Un modello probabilistico `e una descrizione di un

esperimento casuale, ovvero di un processo che si

∗_{Questa dispensa riassume gli argomenti trattati dall’autore}

svolge nel mondo reale il cui esito `e incerto. Modelli probabilistici sono spesso utili per prendere decisioni in situazioni di incertezza, ovvero quando non si `e sicuri su come si evolveranno eventi futuri.

Secondo l’impostazione assiomatica di Kolmogo-rov1, un modello probabilistico `e composto da tre elementi:

1) Da uno spazio campionario Ω, ovvero da un

insieme che contiene tutti gli eventi elementa-ri che potrebbero verificarsi al termine di un esperimento casuale. Lo spazio campionario Ω deve essere esaustivo nel senso che ad ogni possibile esito finale dell’esperimento casuale di riferimento deve corrispondere un evento ele-mentare ω P Ω, e gli eventi elementari ω P Ω

devono essere mutuamente esclusivi (ad ogni

esito possibile deve corrispondere esattamente un evento elementare ω P Ω).

1_{La teoria moderna della probabilit`a si fonda sull’impostazione}

2) Da uno spazio degli eventi A, ovvero da una classe (o collezione) di sottoinsiemi di Ω che rappresentano eventi. Pi`u avanti si vedr`a che lo spazio degli eventi A di un modello proba-bilistico deve soddisfare determinate condizioni che lo qualificano come una σ-algebra.

il modello non possono verificarsi, che il valore P pAq “ 1 sia riservato ad eventi che secondo il modello si verificheranno con assoluta certezza, e che valori intermedi di P pAq siano riservati ad eventi che secondo il modello potrebbero verificarsi o meno. In particolare, assicuran-do che le probabilit`a siano additive2, gli assio-mi di Kolmogorov assicurano che un modello probabilistico associ probabilit`a pi`u elevate a eventi che forniscono una descrizione pi`u gene-rale dell’esito finale dell’esperimento casuale di riferimento.

In quanto segue, per indicare un modello probabi-listico con spazio campionario Ω, spazio degli eventi A e funzione di probabilit`a P : A ÞÑ r0, 1s si scriver`a pΩ, A, P q.

Prima di procedere con i dettagli tecnici della definizione di un modello probabilistico pΩ, A, P q, conviene rimarcare che qualunque modello

stico `e sempre solo una creazione delle mente umana e come tale pu`o fornire una descrizione pi`u o meno ”realistica” di un esperimento casuale e quindi pu`o essere pi`u o meno utile per formulare delle previsio-ni sull’esito finale dell’esperimento casuale a cui si riferisce.

2

Lo spazio degli eventi

possi-bile, si cercher`a di definire un modello probabilisti-co probabilisti-con A “ PpΩq, dove PpΩq indica il probabilisti-cosiddetto

insieme delle parti di Ω, ovvero l’insieme di tutti i sottoinsiemi di Ω.

A P A. Non `e difficile intuire che la definizione di una funzione di probabilit`a ”coerente” e ”realisti-ca” sia un’operazione tanto pi`u complicata quanto pi`u ampio `e lo spazio degli eventi A.

Le precedenti considerazioni suggeriscono in ogni caso di scegliere uno spazio di eventi A abbastanza ampio da essere ”chiuso” rispetto ad alcune opera-zioni fondamentali che spesso si applicano agli eventi. Le operazioni fondamentali in questione comprendo-no:

a) L’operazione di negazione, che ad ogni evento

A associa il cosiddetto evento

complementa-re A definito come l’insieme di tutti gli even-ti elementari ω P Ω che non appartengono all’evento A.

Si osservi che l’evento complementare A si ve-rifica se e solo se non si verifica l’evento A. b) L’operazione di unione, che ad ogni coppia di

eventi A1 e A2 associa la loro unione A1 Y

elementari ω P Ω che appartengono ad almeno uno dei due eventi A1 oppure A2.

Si osservi che l’evento unione A1YA2 si verifica

se e solo se si verifica almeno uno dei due eventi A1 oppure A2.

c) L’operazione di intersezione, che ad ogni cop-pia di eventi A₁ e A₂ associa la loro interse-zione A1 X A2 definita come l’insieme di tutti

gli eventi elementari ω P Ω che appartengono contemporaneamente sia ad A1 che ad A2.

Si osservi che l’evento intersezione A1 X A2 si

verifica se e solo se si verificano contempora-neamente sia l’evento A1 che l’evento A2.

Se A1 X A2 ‰ H, allora si dice che A1 e A2

sono due eventi compatibili. Altrimenti si

di-ce che A1 e A2 sono eventi incompatibili o

mutuamente esclusivi.

infini-te numerabili e collezioni infinite non numerabili di eventi.3 Infatti, se C `e una collezione di eventi, allora

l’unione e l’intersezione della collezione di eventi C

sono rispettivamente definite come ď

APC

A “ tω P Ω : ω P A per almeno un evento A P Cu e

č

APC

A “ tω P Ω : ω P A per ogni A P Cu

3_{Si dice che un insieme (o una collezione, classe, famiglia) `e}

”nume-rabile” se contiene un numero finito di elementi oppure se esiste una corrispondenza biunivocatra i numeri naturali e gli elementi dell’insie-me. Nel secondo caso si dice anche che l’insieme (la collezione, la classe o la famiglia) `e ”infinito numerabile” oppure che contiene ”un’infinit`a numerabile” di elementi. Tutti gli elementi di un insieme numerabi-le possono sempre essere disposti in una ”sequenza” o ”successione” scrivendo x1, x2, . . . . Ovviamente, si possono anche definire sequenze o

successioni (numerabili) che ripetono pi`u volte lo stesso elemento. Se si vuole rimarcare che una sequenza `e finita, si pu`o indicare la sequenza aggiungendo un elemento ”finale”: x1, x2, . . . , xn. Chiaramente, si

pos-sono anche definire delle sequenze x1, x2, . . . con elementi presi da un

Avendo introdotto le definizioni di unione e in-tersezione riferite a collezioni di eventi, vale la pena osservare che queste due definizioni sono tra di

lo-ro collegate attraverso le due leggi di De Morgan

secondo le quali ˜ ď APC A ¸ “ č APC A e ˜ č APC A ¸ “ ď APC A.

della collezione possono quindi essere indicati con A1, A2, . . . , An,

mentre nel secondo caso possono essere indicati con A1, A2, . . .

senza un evento ”finale”. L’evento finale viene anche omesso se si vogliono indicare gli eventi di una col-lezione numerabile senza specificare se quest’ultima sia finita o infinita. Usando questo tipo di notazione per indicare gli eventi di una collezione numerabi-le, si potranno indicare l’unione e l’intersezione della collezione scrivendo n ď i“1 Ai ovvero n č i“1 Ai (1)

nel caso di una collezione finita, e scrivendo

nel caso di una collezione infinita. Quando non viene specificato se la collezione `e finita oppure infinita, l’u-nione e l’intersezione della collezione possono essere indicate con ď i Ai ovvero č i Ai. (3)

Le notazioni introdotte nella (1), (2) e nella (3) ver-ranno anche utilizzate per indicare l’unione e l’inter-sezione riferite alla collezione di tutti gli eventi Ai

che appartengono ad una successione di eventi (si noti che in una successione alcuni eventi potrebbero essere ripetuti pi`u volte).

2.1

Algebre e σ-algebre

tut-tavia definire che cosa si intende per un’algebra di eventi.

Definizione 2.1.Una classe di eventi A viene chia-mata algebra (su Ω) se e solo se soddisfa i seguenti requisiti:

a) Ω P A;

b) A `e ”chiusa” rispetto all’operazione di nega-zione nel senso che se A P A, allora A P A;

c) A `e ”chiusa” rispetto all’operazione di unione applicata a due eventi nel senso che se A1 P A

e A2 P A, allora A1 Y A2 P A.

Propriet`a delle algebre di eventi: i) Se A `e un algebra, allora H P A.

algebre si vede dunque che Ω “ H P A.

Siccome al termine di un esperimento casua-le deve verificarsi uno degli eventi ecasua-lementari ω P Ω e siccome l’insieme vuoto H non con-tiene alcun evento elementare, l’insieme vuoto

H viene chiamato evento impossibile mentre

lo spazio campionario Ω viene chiamato evento certo.

ii) Le algebre sono ”chiuse” rispetto all’operazio-ne di unioall’operazio-ne applicata a collezioni finite (ma non necessariamente infinite) di eventi.

Dimostrazione. Se A `e un’algebra di eventi e se

A1, A2, . . . , An P A,

B3 “ 3

ď

i“1

Ai “ B2 Y A3 P A

e pi`u in generale che

Bn “

n

ď

i“1

Ai “ Bn´1 Y An P A

per ogni n finito. Questo dimostra che qual-siasi algebra `e ”chiusa” rispetto all’operazione di unione applicata ad una collezione finita di eventi.

Tuttavia, se

A₁, A₂, ¨ ¨ ¨ P A,

`e una successione infinita (numerabile) di even-ti apparteneneven-ti ad un’algebra A, allora il re-quisito c) delle algebre non dice nulla riguardo l’appartenenza all’algebra A dell’evento

B₈ “

8

ď

i“1

(B₈ P A pu`o essere vero ma potrebbe anche essere falso; infatti, come sarebbero definiti gli eventi B_8´1 e A₈ la cui unione dovrebbe dare B₈?).

iii) Le algebre sono ”chiuse” rispetto all’operazio-ne di intersezioall’operazio-ne applicata a collezioni finite (ma non necessariamente infinite) di eventi. Dimostrazione. Se A `e un’algebra e se

A₁, A₂, . . . , A_n P A,

allora per il requisito b) delle algebre dovr`a essere vero che

A₁, A₂, . . . , A_n P A.

Dalla precedente propriet`a ii) delle algebre di-scende quindi che

n

ď

i“1

per ogni n finito, e siccome per le leggi di De Morgan si ha n ď i“1 Ai “ ˜ _n č i“1 Ai ¸ ,

si pu`o applicare ancora una volta il requisito b) delle algebre per concludere che

n č i“1 Ai “ ˜ _n ď i“1 Ai ¸ P A.

probabilistico conviene quindi considerare classi di eventi pi`u ampie, ovvero le cosiddette σ-algebre. Definizione 2.2.Una classe di eventi A viene chia-mata σ-algebra (su Ω) se e solo se soddisfa i requisiti di un’algebra e anche il seguente requisito:

c*) A `e ”chiusa” rispetto all’operazione di unio-ne applicata a collezioni infinite numerabili di eventi, nel senso che se A contiene tutti gli eventi

A1, A2, . . .

appartenenti ad una collezione infinita nume-rabile, allora A contiene anche la loro unione

Ť₈

i“1 Ai.

Propriet`a delle σ-algebre di eventi:

i) Ogni σ-algebra `e anche un’algebra (ma non `e vero il viceversa).

infinite numerabili di eventi. La dimostrazione `e analoga a quella della propriet`a iii) delle alge-bre: basta porre n “ 8 e sostituire il richiamo alla propriet`a ii) delle algebre con un appello al requisito c*) delle σ-algebre (la legge di De Morgan rimane valida anche se n “ 8).

Alcune osservazioni sulle algebre e σ-algebre: A) Il requisito c*) delle σ-algebre non implica che

esse siano anche ”chiuse” rispetto alle opera-zioni di unione e intersezione applicate a col-lezioni infinite non numerabili di eventi: l’u-nione e/o l’intersezione di una collezione non numerabile di eventi appartenenti ad una da-ta σ-algebra potrebbe (condizionale!!!) anche non appartenere alla σ-algebra.

”ampia” tra tutte quelle che si possono defini-re. D’altra parte, non `e difficile rendersi conto che la classe

A₀ “ tH, Ωu

`e sempre, per qualsiasi spazio campionario Ω, la σ-algebra pi`u ”piccola” tra tutte quelle che si possono definire.

C) Ogni algebra A che contiene solo un numero fi-nito di eventi `e allo stesso tempo anche una σ-algebra. Infatti, se un’algebra A contiene solo un numero finito di eventi, allora non sar`a pos-sibile definire delle collezioni infinite di even-ti apparteneneven-ti ad A, ed il requisito c*) delle σ-algebra sar`a quindi vacuamente soddisfatto. D) Con uno spazio campionario Ω finito si possono definire solo algebre e σ-algebre finite perch´e se Ω `e finito, allora sar`a finita anche la classe di eventi PpΩq. Infatti, se si indica con #Ω il numero complessivo eventi elementari ω P Ω,

eventi. Infatti, per ciascuno degli #Ω eventi elementari ω P Ω ci sono 2 possibilit`a per deci-dere se inserirlo in un dato sottoinsieme A Ď Ω o meno. Il numero complessivo di sottoinsiemi di Ω che si possono formare sar`a pertanto dato da

2 ˆ 2 ˆ 2 ¨ ¨ ¨ p#Ω volteq ¨ ¨ ¨ ˆ 2 “ 2#Ω (si osservi che questo conteggio include anche l’insieme vuoto H e l’insieme Ω).

E) Dalle due precedenti osservazioni si evince che

su uno spazio campionario Ω finito, si posso-no definire solo algebre finite, e che ogni alge-bra sar`a quindi allo stesso tempo anche una σ-algebra.

Esempio 2.1. Si consideri un esperimento casuale che consiste nel lancio di una moneta. In questo caso lo spazio campionario pu`o essere definito come

Ω “ tT, Cu,

dove l’evento elementare ”T ” indica l’esito testa e l’evento elementare ”C” indica l’esito croce. Trat-tandosi di uno spazio campionario finito, si pu`o con-cludere che ogni algebra di eventi definita su Ω `e allo stesso tempo anche una σ-algebra (e viceversa).

La pi`u ”ampia” algebra (o σ-algebra) che pu`o essere costruita su questo spazio campionario Ω `e data da

PpΩq “ tΩ, H, tT u, tCuu .

Non `e difficile rendersi conto che su Ω esiste solo un’altra classe di eventi che possiede i requisiti di un’algebra (o di una σ-algebra). Si tratta della classe

A₀ “ tΩ, Hu .

”interme-die” tra A₀ e PpΩq.

Esempio 2.2. Si consideri un esperimento casuale che consiste nel lancio di un dado a sei facce. In que-sto caso lo spazio campionario potr`a essere definito come

Ω “ t1, 2, 3, 4, 5, 6u.

Siccome lo spazio campionario Ω `e finito, si pu`o con-cludere che anche in questo esempio tutte le algebre definite su Ω sono allo stesso tempo anche delle σ-algebre (e vicecersa). L’insieme delle parti PpΩq (la σ-algebra pi`u ”ampia” che si pu`o costruire) contiene 26 “ 64 sottoinsiemi di Ω. Ovviamente

A₀ “ tΩ, Hu

`e ancora la classe di eventi pi`u ”povera” tra tutte quelle che soddisfano i requisiti di un algebra (e di una σ-algebra).

Tuttavia, rispetto all’esempio sul lancio della mo-neta, nel caso del lancio di un dado si possono defi-nire delle algebre (che sono allo stesso tempo anche

`e fornito dall’algebra (o σ-algebra)

A₁ “ tH, t1, 3, 5u, t2, 4, 6u, Ωu

che permette di distinguere tra punteggi pari e di-spari.

Siccome ogni σ-algebra `e anche un’algebra (pro-priet`a i) delle σ-algebre) e siccome ogni algebra defi-nita su uno spazio campionario Ω finito `e allo stesso tempo anche una σ-algebra (osservazione E) sulle algebre e σ-algebre), occorre fare riferimento ad un esperimento casuale con spazio campionario infinito per ottenere un esempio di una classe di eventi A che sia un’algebra ma non una σ-algebra.

Esempio 2.3. Si consideri

Ω “ N “ t0, 1, 2, . . . u

come spazio campionario e la classe di eventi A che contiene tutti gli eventi A Ď Ω tali che A oppure A `e un insieme finito. Formalmente,

Sotto si dimostrer`a che A soddisfa i requisiti di un’al-gebra ma non quelli di una σ-alun’al-gebra.

Dimostrazione. Questa dimostrazione non `e richiesta all’esame. a) Siccome Ω “ H e siccome H `e un insieme finito (contiene zero

elementi), si pu`o concludere che Ω P A. Il requisito a) delle algebre `e quindi soddisfatto.

b) Per verificare se la classe di eventi A soddisfa anche il requisito b) delle algebre bisogna verificare se la classe A `e ”chiusa” rispetto all’operazione di negazione. Si consideri dunque un evento A P A. Se A `e un insieme finito, allora A P A per la definizione di A. D’altra parte, A non `e un insieme finito, allora, sempre per la definizione della classe A, A P A implica che A sia un insieme finito e quindi che A P A. Questo dimostra che la classe di eventi A soddisfa anche il requisito b) delle algebre.

c) A questo punto non resta che verificare che la classe di eventi A soddisfa anche il requisito c) delle algebre. Bisogna dunque dimostrare che la classe A sia ”chiusa” rispetto all’operazione di unione applicata a qualunque coppia di eventi A1, A2 P A. Si

considerino dunque due eventi A1 e A2 appartenenti alla classe

A. Si dimostrer`a che pA1YA2q P A. A tal fine si distingueranno

i seguenti tre casi:

c1) Primo caso: A1 e A2 sono entrambi insiemi finiti. In

questo caso sar`a un insieme finito anche l’unione A1YA2

e dunque si avr`a pA1YA2q P A come volevasi dimostrare.

b2) Secondo caso: A1 e A2 sono entrambi insiemi

A2 e dunque sar`a un insieme finito anche l’intersezione

A1X A2. Dalla definizione della classe A discende

quin-di che pA1 X A2q P A e visto che la classe A `e chiusa

rispetto all’operazione di negazione (al punto b) `e stato dimostrato che A soddisfa il requisito b) delle algebre), ne consegue che pA1 X A2q P A. Ma dalle leggi di De

Morgan discende che

pA1 X A2q “ A1 Y A2

e quindi si conclude che pA1 Y A2q P A come volevasi

dimostrare.

b3) Terzo caso: A1 `e un insieme finito e A2 `e un insieme

infinito (o viceversa). In questo caso, A1 Y A2 sar`a un

insieme infinito e quindi si avr`a pA1 Y A2q P A se e solo

se pA1 Y A2q `e un insieme finito. Per dimostrare che ci`o

`

e vero, basta osservare che per le leggi di De Morgan si ha

pA1 Y A2q “ A1 X A2

e che il secondo membro `e sicuramente un sottoinsieme di A2. Per completare la dimostrazione sar`a quindi

suffi-ciente dimostrare che A2 `e un insieme finito. Ma questo

`

e un’immediata conseguenze delle ipotesi che A2 P A e

che A2 `e un insieme infinito. Anche nel terzo caso risulta

dunque dimostrato che pA1 Y A2q P A.

I precedenti ragionamenti dimostrano che la classe di eventi A sod-disfa i requisiti di un’algebra di eventi. Tuttavia, A non `e una σ-algebra di eventi perch´e non soddisfa il requisito c*) delle σ-algebre. Per rendersene conto, basta considerare la successione di insiemi

dove il generico insieme Ai della successione contiene il numero pari

2i. Si osservi che tutti gli eventi Ai della successione contengono solo

un elemento di Ω “ N e che quindi

Ai P A per ogni i “ 0, 1, 2, . . . . Tuttavia, 8 ď i“0 Ai “ t0, 2, 4, 6, . . . u

`e un insieme infinito perch´e contiene tutti i numero pari. D’altra parte, anche ˜ 8 ď i“0 Ai ¸ “ t1, 3, 5, 7, . . . u

`e un insieme infinito perch´e contiene tutti i numeri dispari. Ne conse-gue che

8

ď

i“0

Ai R A

e quindi si pu`o concludere che A non soddisfa il requisito c*) delle σ-algebre.

alge-bre e σ-algealge-bre che per moltissime applicazioni sono di fondamentale importanza.

Esempio 2.4. Si consideri un esperimento casuale il cui esito finale pu`o essere descritto con un numero reale. In questo caso si potr`a considerare come spazio campionario Ω l’insieme dei numeri reali R. Come `e noto, Ω “ R contiene un’infinit`a non numerabile di numeri reali. Su uno spazio campionario cos`ı ricco di eventi elementari si possono definire tantissime classi di eventi che soddisfano i requisiti di un’algebra e/o quelli di una σ-algebra.

In ambito probabilistico (e non solo), sono di fondamentale importanza le due seguenti classi di eventi:

1) La classe B˚ _{che contiene l’evento impossibile}

requisiti delle algebre ma non il requisito c*) delle σ-algebre.

2) La cosiddetta σ-algebra di Borel B che pu`o es-sere definita come la pi`u piccola σ-algebra che include la classe di eventi B˚_{. Per questo}

moti-vo la σ-algebra di Borel pu`o essere anche indi-cata con σpB˚_{q. Ovviamente, anche B contiene}

un’infinit`a non numerabile di eventi. Tuttavia, si pu`o dimostrare che la σ-algebra di Borel B `e strettamente inclusa nell’insieme delle parti PpRq (ovvero che esistono sottoinsiemi di R

che non appartengono a B). Ci`o nonostante,

Esempio 2.5. Si consideri un esperimento casua-le il cui esito pu`o essere descritto con un vettore di k numeri reali px1, x2, . . . , xkq P Rk. Anche sullo

spazio campionario Ω “ Rk si possono definire una

miriade di classi di eventi che soddisfano i requisiti delle algebre e/o delle σ-algebre. In ambito probabi-listico (e non solo), sono di fondamentale importanza le seguenti due classi di eventi:

1) La classe B˚

k che contiene l’evento impossibile

H, tutti i ”rettangoli” k-dimensionali e tutte le unioni di collezioni finite di ”rettangoli” k-dimensionali. Per ”rettangoli” k-dimensionali

si intendono sottoinsiemi di Rk che possono

essere espressi come prodotti cartesiani di k intervalli di qualsiasi tipo (aperti, semiaper-ti, chiusi, limitati e illimitati). I ”rettangoli” k-dimensionali possono essere indicati con

k

ą

i“1

Ii “ px1, x2, . . . , xkq P Rk :

dove I_i denota un intervallo (aperto, semiaper-to, chiuso; limitato o illimitato). Si noti che nel caso k “ 1 i ”rettangoli” k-dimensionali sono semplicemente degli intervalli. Nel caso k “ 1 si ha dunque B˚

k “ B˚, dove B˚ `e

l’alge-bra di eventi introdotta nell’esempio

preceden-te. Ovviamente, anche la classe B˚

k contiene

un infinit`a non numerabile di eventi, e si pu`o dimostrare che questa classe di eventi soddisfa i requisiti di un’algebra ma non quelli di una σ-algebra.

2) La σ-algebra di Borel su Rk, che in seguito

verr`a indicata con Bk “ σpB_k˚q essendo

defi-nita come la pi`u piccola σ-algebra che inclu-de l’algebra di eventi B˚

k. Si osservi che Bk `e

una classe di eventi molto ampia che contiene tutti gli eventi che potrebbero avere una qual-che rilevanza pratica nelle applicazioni. Infatti, anche Bk contiene un’infinit`a non numerabile

`e strettamente inclusa nell’insieme delle parti PpRkq. Infine, vale la pena notare che anche

per k ą 1 la σ-algebra di Borel Bk potrebbe

essere definita come la pi`u piccola σ-algebra che contiene tutti i sottoinsiemi aperti di Rk (in altre parole: la pi`u piccola σ-algebra che contiene tutti i sottoinsiemi aperti di Rk coin-cide con la pi`u piccola σ-algebra che include l’algebra B˚

k).

Gli ultimi due esempi illustrano un metodo che viene spesso utilizzato per definire delle σ-algebre. Si noti che in entrambi gli esempi si `e partiti da una data classe di eventi ristretta A˚ _{(nei due esempi}

in questione si `e partiti da un’algebra, ma questo fatto `e irrilevante per le considerazioni che seguo-no), e a partire dagli eventi contenuti in A˚ _{`e stata}

definita una σ-algebra A “ σpA˚_{q stabilendo che}

A fosse la pi`u piccola σ-algebra che contiene tut-ti gli eventut-ti appartenentut-ti alla classe di partenza A˚_.

partire dagli eventi contenuti nella classe A˚_{, la}

σ-algebra A “ σpA˚_{q viene spesso anche chiamata}

“σ-algebra generata dalla classe di eventi A˚_{”. Il}

seguente esempio illustra che la σ-algebra generata da una data classe di eventi A˚ _{potrebbe contenere}

molti pi`u eventi della classe di partenza.

Esempio 2.6. Si considerino due eventi A, B Ă Ω, e si assuma che

A X B, A X B, A X B, A X B (4)

non siano insiemi vuoti. Tracciando un diagramma di Venn non `e difficile rendersi conto che gli eventi A e B suddividono lo spazio campionario Ω in quat-tro parti ciascuna delle quali pu`o essere identificata con una delle quattro intersezioni nella (4). Usando il linguaggio della teoria degli insiemi si pu`o quindi dire che le quattro intersezioni nella (4) formano una

partizione di Ω.

Si consideri ora la classe di eventi A˚

e la pi`u piccola σ-algebra A “ σpA˚_{q che contiene}

tutti gli eventi appartenenti alla classe A˚_{, ovvero}

la pi`u piccola σ-algebra che contiene i due eventi

A e B. Si pu`o dimostrare che la σ-algebra A “

σpA˚_{q coincide con la classe C che contiene gli}

eventi che si ottengono applicando l’operazione di unione a tutte le possibili collezioni di eventi che si possono formare con le quattro intersezioni

nella (4) (compresa la collezione vuota che dar`a

luogo all’evento impossibile H). Siccome a partire dalle quattro intersezioni nella (4) si possono formare 24 “ 16 collezioni di eventi,4 la classe di eventi C

dovr`a contenere esattamente 24 “ 16 eventi. Gli

eventi appartenenti alla classe C sono qui di seguito elencati:

C0) L’unico evento che si ottiene applicando l’ope-razione di unione all’unica collezione che non contiene nessuno degli eventi nella (4), ovvero

4_{Infatti, per ciascuna delle 4 intersezioni nella (4) si pu`o decidere}

l’evento

H.

C1) I 4 eventi che si ottengono applicando l’opera-zione di unione alle quattro collezioni che con-tengono uno solo degli eventi nella (4), ovvero gli eventi

A X B, A X B, A X B, A X B;

C2) i 6 eventi che si ottengono applicando l’opera-zione di unione alle 6 collezioni che contengono due degli eventi nella (4), ovvero gli eventi

A “ pAXBqYpAXBq, B “ pAXBqYpAXBq,

A “ pAXBqYpAXBq, B “ pAXBqYpAXBq;

pA X Bq Y pA X Bq, pA X Bq Y pA X Bq.

C3) i 4 eventi che si ottengono applicando l’opera-zione di unione alle 4 collezioni che contengono tre degli eventi nella (4), ovvero gli eventi

A Y B “ pA X Bq Y pA X Bq Y pA X Bq, A Y B “ pA X Bq Y pA X Bq Y pA X Bq, A Y B “ pA X Bq Y pA X Bq Y pA X Bq; C4) l’unico evento che si ottiene applicando

l’opera-zione di unione all’unica collel’opera-zione che contiene tutti gli eventi nella (4), ovvero l’evento

Ω “ pA X Bq Y pA X Bq Y pA X Bq Y pA X Bq. Secondo il precedente elenco, la classe di eventi C `e quindi data da C “ tH, A X B, A X B, A X B, A X B, A, B, A, B, pA X Bq Y pA X Bq, pA X Bq Y pA X Bq, A X B, A X B, A X B, A Y B, Ωu . (5)

Rimane da dimostrare che σpA˚_{q “ C come}

af-fermato in precedenza.

Dimostrazione (dell’affermazione σpA˚

perch´e chiarisce in modo dettagliato ogni singolo passaggio logico. La dimostrazione `e suddivisa in due passi: al primo passo si dimostrer`a che C `e una σ-algebra che contiene gli eventi A e B; al secondo passo la dimostrazione verr`a completata dimostrando che qualsiasi σ-algebra che contiene gli eventi A e B deve necessariamente includere la classe di eventi C.

Si consideri il primo passo della dimostrazione. Dall’elenco degli eventi contenuti nella classe C si desume immediatamente che gli eventi A e B appartengono alla classe C. Per completare il primo passo del-la dimostrazione rimane quindi da dimostrare che del-la cdel-lasse C soddisfa i requisiti delle σ-algebre. A tal fine si tenga presente che C contie-ne un numero finito di eventi, e per l’osservaziocontie-ne C) sulle algebre e σ-algebre, sar`a dunque sufficiente verificare che la classe C soddisfi i requisiti a), b) e c) delle algebre. Siccome Ω P C, il requisito a) del-le algebre `e soddisfatto. Tenendo presente che il complemento di una unione applicata ad una collezione di intersezioni nella (4) coincide con l’unione applicata alla collezione complementare,5 si vede che la classe C soddisfa anche il requisito b) delle algebre. Infine, non `e difficile ren-dersi conto che la classe C soddisfa anche il requisito c) delle algebre visto che un’unione di due unioni di collezioni coincide con l’unione applicata all’unione delle due collezioni.6

Avendo dimostrato che la classe C `e una σ-algebra che contiene gli eventi A e B, non resta che dimostrare che qualsiasi σ-algebra che contiene gli eventi A e B deve necessariamente includere la classe C.

5_{Questa affermazione `e apparentemente complicata ma esprime}

un concetto assai semplice. Si consiglia di riflettere con calma sul significato della frase e di aiutarsi con un diagramma di Venn

6_{Anche quest’ultima affermazione `e apparentemente complicata ma}

A tal fine sono sufficienti le seguenti osservazioni:

i) Tutte le σ-algebre (non solo quelle contengono gli eventi A e B) devono contenere l’evento impossibile H perch´e qualsiasi σ-algebra `e anche un’algebra (propriet`a i) delle σ-algebre) e pertanto deve contenere l’evento impossibile H (propriet`a i) delle algebre). Ne consegue che qualsiasi σ-algebra che contiene gli eventi A e B contiene anche l’evento impossibile H.

ii) Qualsiasi σ-algebra che contiene gli eventi A e B deve anche contenere i corrispondenti eventi complementari A e B perch´e qualsiasi σ-algebra `e anche un’algebra (propriet`a i) delle σ-algebre) e pertanto deve essere ”chiusa” rispetto a operazioni di negazione (requisito b) delle algebre).

iii) Si considerino ora le quattro intersezioni nella (4). Anche esse devono essere contenute in ogni σ-algebra che contiene gli even-ti A e B siccome tali σ-algebre devono contenere gli eveneven-ti A e B (questo fatto `e gi`a stato dimostrato al precedente punto ii)) e siccome, per la propriet`a iii) delle algebre, le σ-algebre devono essere ”chiuse” rispetto a operazioni di intersezione applicate a collezioni finite di insiemi (si ricordi che ogni σ-algebra `e anche un’algebra).

come unioni applicate a collezioni di intersezioni nella (4), que-sto dimostra che qualsiasi σ-algebra che contiene gli eventi A e B deve includere la classe C. Anche il secondo passo della dimostrazione `e quindi completo.

3

Gli assiomi di Kolmogorov

Avendo stabilito le condizioni che lo spazio degli eventi A di un modello probabilistico pΩ, A, P q de-ve soddisfare, non resta che elencare anche le con-dizioni che devono essere soddisfatte dalla funzione di probabilit`a P : A ÞÑ r0, 1s. Come gi`a accennato,

queste ultime sono note come ”assiomi di

”realistico”, ovvero in modo tale che esse possano essere effettivamente considerate come misure per la verosimiglianza degli eventi A P A.

Definizione 3.1 (Assiomi di Kolmogorov).

Secon-do l’impostazione di Kolmogorov, le probabilit`a asse-gnate agli eventi appartenenti ad un’algebra A sono ”coerenti” se e solo se soddisfano i seguenti assiomi:

K1) P pAq ě 0 per ogni evento A P A K2) P pΩq “ 1

K3) (Additivit`a numerabile) Se A1, A2, . . .

`e una successione infinita numerabile di eventi incompatibili appartenenti all’algebra A, e se

8

ď

n“1

allora P ˜ 8 ď n“1 An ¸ “ 8 ÿ n“1 P pAnq

Osservazioni sugli assiomi di Kolmogorov:

i) Siccome ogni σ-algebra `e anche un’algebra ma non `e vero il viceversa, gli assiomi di Kolmo-gorov forniscono delle condizioni di ”coerenza”

anche per funzioni di probabilit`a P : A ÞÑ

r0, 1s definite su classi di eventi A che soddi-sfano solo i requisiti delle algebre ma non il requisito c*) delle σ-algebre.

ii) La precedente osservazione chiarisce perch´e nel-l’assioma K3 `e necessario imporre l’ipotesi che l’unioneŤ8_n“1 An appartenga all’algebra A.

iii) Questa osservazione e quella successiva non sono richieste al-l’esame. Alla luce della precedente osservazione e alla luce del fatto che lo spazio degli eventi A di un modello probabilisti-co `e sempre una σ-algebra, ci si potrebbe chiedere perch´e gli assiomi di Kolmogorov definiscono che cosa si intende per una funzione di probabilit`a ”coerente” anche nel caso in cui A `e un’algebra ma non una σ-algebra. La risposta (un po’ tecni-ca e un po’ lunga) a questa domanda `e la seguente: in molte applicazioni si considerano spazi di eventi A che sono definiti come la pi`u piccola σ-algebra che contiene una data algebra di eventi A˚ _{(si vedano gli esempi dove sono state introdotte}

le σ-algebre di Borel su R e su Rk). In questi casi lo spazio degli eventi A viene indicato con il simbolo σpA˚

q. Siccome la σ-algebra σpA˚

q `e spesso notevolmente pi`u ampia dell’algebra A˚_{, sar`a sicuramente pi`u semplice attribuire delle probabilit`a}

”coerenti” solo agli eventi A P A˚ _{piuttosto che a tutti gli}

eventi A P σpA˚

q. Tuttavia, una volta definita una funzio-ne di probabilit`a P˚ _{: A}˚

ÞÑ r0, 1s che soddisfa gli assiomi di Kolomogorov, si potr`a applicare un noto teorema di estensio-ne che assicura l’esistenza di un’unica funzione di probabilit`a P : σpA˚

q ÞÑ r0, 1s che soddisfa gli assiomi di Kolomogorov e che `e un’estensione della funzione di probabilit`a P˚

p¨q nel senso che P pAq “ P˚

pAq per ogni evento A P A˚. Per defi-nire, nel rispetto degli assiomi di Kolmogorov, una funzione di probabilit`a sulla σ-algebra σpA˚

q `e quindi sufficiente defini-re, nel rispetto degli assiomi di Kolmogorov, una funzione di probabilit`a sull’algebra A˚_.

iv) Dal punto di vista teorico, potrebbe sorgere il dubbio che il va-lore della sommatoria nell’assioma K3 possa dipendere dall’ordine degli eventi A1, A2, . . . . Si noti tuttavia che questo non `e

possono essere negative.

4

Le leggi del calcolo delle

probabilit`

a

interpretare le probabilit`a associate agli eventi come se fossero delle ”masse”.

Il seguente elenco contiene alcune leggi del cal-colo delle probabilit`a di fondamentale importanza. Come gi`a accennato, esse devono valere per qualsia-si funzione di probabilit`a P : A ÞÑ r0, 1s definita nel rispetto degli assiomi di Kolmogorov.

L1) P pHq “ 0.

Dimostrazione. Questa dimostrazione non `e richiesta all’esa-me. Si consideri una successione infinita (numerabile) di eventi definita ponendo

A1 “ Ω

e

An “ H per n “ 2, 3, . . . .

Ovviamente, gli eventi di questa successione sono incompatibili e appartengono a qualsiasi algebra di eventi A (requisito a) delle algebre e propriet`a i) delle algebre). Siccome

8

ď

n“1

An “ Ω,

K3 discende quindi che P pΩq “ P ˜ 8 ď n“1 An ¸ “ 8 ÿ n“1 P pAnq “ P pΩq ` 8 ÿ n“1 P pHq da cui si evince che

8

ÿ

n“1

P pHq “ 0.

Per l’assioma K1 si pu`o dunque concludere che P pHq “ 0.

L2) (Additivit`a finita) Se

A1, A2, . . . , An

finito), allora P ˜ _n ď i“1 Ai ¸ “ n ÿ i“1 P pAiq.

Dimostrazione. Partendo con gli eventi A1, A2, . . . , An,

si definisca una successione (infinita) di eventi ponendo A_n`i “ H per ogni i “ 1, 2, . . .

e dall’assioma K3 discende quindi che P ˜ _n ď i“1 Ai ¸ “ P ˜ 8 ď i“1 Ai ¸ “ 8 ÿ i“1 P pAiq “ n ÿ i“1 P pAiq ` 8 ÿ i“n`1 P pAiq “ n ÿ i“1 P pAiq ` 8 ÿ i“n`1 P pHq [[legge L1]] “ n ÿ i“1 P pAiq ` 8 ÿ i“n`1 0 “ n ÿ i“1 P pAiq

L3) Se A P A, allora P pAq “ 1 ´ P pAq.

Dimostrazione. Si osservi in primo luogo che A P A per il requisito b) delle algebre. Siccome

Ω “ A Y A

pu`o applicare la legge L2 e concludere che P pΩq “ P pAq ` P pAq.

Ne consegue che

P pAq “ P pΩq ´ P pAq,

e siccome P pΩq “ 1 (assioma K2), si ottiene P pAq “ 1 ´ P pAq

come volevasi dimostrare.

L4) 0 ď P pAq ď 1 per ogni A P A.

Dimostrazione. Dalla legge L3 segue che P pAq ` P pAq “ 1,

e dato che P pAq e P pAq non possono essere negative (assioma K1), si pu`o concludere che

L5) Se A₁, A₂ P A e se A1 Ď A2, allora

P pA1q ď P pA2q.

Dimostrazione. Siccome

A2 “ pA1 X A2q Y pA1 X A2q

“ A1 Y pA1 X A2q

e siccome gli eventi A1 e A1 X A2 sono

incom-patibili e appartengono entrambi a A, si pu`o concludere che (legge L2)

P pA1q ` P pA1 X A2q “ P pA2q.

Tenendo presente che le probabilit`a non posso-no essere negative (assioma K1), si vede dun-que che

P pA1q ď P pA2q

come volevasi dimostrare.

compatibili che incompatibili), allora P pA1 Y A2q“ P pA1q ` P pA2q`

´P pA1 X A2q.

Dimostrazione. Si osservi che

A₁ “ pA1 X A2q Y pA1 X A2q

e che gli eventi determinati dalle due interse-zioni al secondo membro sono incompatibili e che appartengono entrambi a A. Applicando la legge L2 si ottiene quindi

P pA1q “ P pA1 X A2q ` P pA1 X A2q. (6)

Ragionando allo stesso modo con l’evento A2

si ottiene

P pA2q “ P pA1 X A2q ` P pA1 X A2q. (7)

Usando ora il fatto che

ed il fatto che gli eventi determinati dalle tre intersezioni al secondo membro sono incompa-tibili, si vede che (ancora legge L2)

P pA1 Y A2q “ P pA1 X A2q`

` P pA1 X A2q`

` P pA1 X A2q.

Combinando le equazioni (6) e (7) con que-st’ultima equazione si ottiene infine

P pA1 Y A2q “ P pA1q ` P pA2q ´ P pA1 X A2q

come volevasi dimostrare.

L7) La probabilit`a dell’unione di tre eventi A1, A2

e A₃ (possibilmente compatibili) appartenenti a A `e data da

P pA1 Y A2 Y A3q “

“ P pA1q ` P pA2q ` P pA3q`

´ P pA1 X A2q ´ P pA1 X A3q ´ P pA2 X A3q`

Si omette la dimostrazione.

Pi`u in generale si pu`o dimostrare che la pro-babilit`a dell’unione di un numero finito n di eventi appartenenti all’algebra A (di cui alcu-ni o anche tutti possono essere compatibili) `e data da

(1) p´1q1´1 “pi`u la somma delle probabilit`a

dei singoli eventi

(2) p´1q2´1 “meno la somma delle

probabi-lit`a di tutte le ”intersezioni a due”

(3) p´1q3´1 “pi`u la somma delle probabilit`a

di tutte le ”intersezioni a tre” (4) p´1q4´1 “meno . . . ,

(...) . . .

(n) pi`u/meno (a seconda del segno di p´1qn´1)

L8) Disuguaglianza di Boole per due eventi A₁ e A2 appartenenti a A:

P pA1 Y A2q ď P pA1q ` P pA2q.

Dimostrazione. La dimostrazione segue im-mediatamente dalla legge L6 tenendo presente che P pA1 X A2q ě 0 per l’assioma K1.

L9) Disuguaglianza di Boole per n eventi apparte-nenti a A: P ˜ _n ď i“1 Ai ¸ ď n ÿ i“1 P pAiq.

Dimostrazione. Questa dimostrazione non `e richiesta all’esa-me. Secondo la legge L8 la disuguaglianza di Boole `e vera per n “ 2. Per dimostrare che vale per qualsiasi numero finito n di eventi appartenenti a A, si procede per induzione. Si assuma dunque (ipotesi di induzione) che la disuguaglianza di Boole sia vera per n eventi e si considerino n ` 1 eventi Ai. Siccome

la legge L8 implica che P ˜ n`1 ď i“1 Ai ¸ “ P ˜˜ <sub>n</sub> ď i“1 Ai ¸ Y An`1 ¸ ď P ˜ _n ď i“1 Ai ¸ ` P pAn`1q.

Usando ora l’ipotesi di induzione secondo la quale

P ˜ _n ď i“1 Ai ¸ ď n ÿ i“1 P pAiq, si vede che P ˜<sub>n`1</sub> ď i“1 Ai ¸ ď n`1 ÿ i“1 P pAiq.

Questo dimostra il passo induttivo. La disuguaglianza di Boole `e dunque valida per qualsiasi numero finito n di eventi.

L10) Disuguaglianza di Bonferroni per n eventi ap-partenenti a A: P ˜ _n č i“1 Ai ¸ ě 1 ´ n ÿ i“1 P pAiq.

Dimostrazione. Applicando la disuguaglianza di Boole agli eventi

si ottiene P ˜ _n ď i“1 Ai ¸ ď n ÿ i“1 P pAiq. (8)

Tenendo presente che secondo le leggi di De Morgan

n ď i“1 Ai “ ˜ _n č i“1 Ai ¸ ,

si vede che secondo la legge L3 si deve avere

P ˜ _n ď i“1 Ai ¸ “ 1 ´ P ˜ _n č i“1 Ai ¸ .

Sostituendo questo risultato nella (8) si ottiene

1 ´ P ˜ _n č i“1 Ai ¸ ď n ÿ i“1 P pAiq

e quest’ultima disuguaglianza pu`o essere riscritta come

P ˜ _n č i“1 Ai ¸ ě 1 ´ n ÿ i“1 P pAiq. L11) Se A₁ Ď A2 Ď ¨ ¨ ¨

appartiene a A, allora P ˜ 8 ď i“1 Ai ¸ “ lim nÑ8 P pAnq. Si omette la dimostrazione. L12) Se A₁ Ě A2 Ě ¨ ¨ ¨

`e una successione infinita e ”non crescente” di eventi appartenenti a A, e se anche Ş8_i“1 Ai

5

Esempi

Esempio 5.1. Secondo un modello probabilistico pΩ, A, P q, si ha P pAq “ 0, 7, P pBq “ 0, 5, P pA X Bq “ 0, 3. Si determini il valore di P pA Y Bq. Soluzione: Secondo la legge L6 si ha P pA Y Bq “ P pAq ` P pBq ´ P pA X Bq. (9)

Per determinare il valore di P pAYBq bisogna quindi determinare il valore di P pAXBq. Tenendo presente che per l’additivit`a finita (legge L2) si ha

P pAq “ P pA X Bq ` P pA X Bq, si vede che

e sostituendo questo risultato nella (9) si ottiene P pA Y Bq “ 0, 7 ` 0, 5 ´ 0, 4 “ 0, 8.

Il precedente ragionamento che ha condotto al valore di P pA Y Bq `e sicuramente rigoroso dal pun-to di vista formale, ma lascia un po’ a desiderare dal punto di vista intuitivo. Infatti, ci si potrebbe chiedere che cosa abbia suggerito di ricorrere all’uso dell’additivit`a finita (legge L2) per ricavare il valore di P pA X Bq. Come in molti esercizi sul calcolo del-le probabilit`a, si potrebbe rispondere che l’intuizio-ne deriva da un diagramma di Venn. In alternativa, l’intuizione che ha condotto alla soluzione presentata pu`o essere motivata facendo riferimento ad una ta-bella a doppia entrata. Infatti, per trovare il valore di P pA X Bq, e dunque anche il valore di P pA Y Bq che `e richiesto nella consegna dell’esercizio, si po-trebbe anche partire dalla seguente tabella a doppia entrata:

evento B B Totale

Siccome per l’assioma K2 si deve avere P pΩq “ 1, e siccome per l’additivit`a finita (legge L2) le somme per riga devono coincidere con i valori riportati nella colonna marginale, e le somme per colonna devono coincidere con i valori riportati nella riga marginale, la tabella potr`a essere completata solo in un unico modo:

evento B B P p¨q

A 0, 4 0, 3 0, 7

A 0, 1 0, 2 0, 3

P p¨q 0, 5 0, 5 1

Una volta completata la tabella, il valore di P pA Y Bq potr`a essere ricavato applicando la legge L6 (co-me `e stato fatto in precedenza), oppure applicando ancora l’additivit`a finita (legge L2). Per trovare il valore di P pA Y Bq usando l’additivit`a finita basta osservare che

A Y B “ pA X Bq Y pA X Bq Y pA X Bq,

(legge L2) si vede dunque che

P pA Y Bq “ P pA X Bq ` P pA X Bq ` P pA X Bq “ 0, 4 ` 0, 3 ` 0, 1 “ 0, 8,

come gi`a ottenuto in precedenza.

Esempio 5.2. Secondo un servizio meteo, per cia-scuno dei prossimi tre giorni presi singolarmente la probabilit`a di pioggia `e pari a 0, 3, la probabilit`a che piover`a in entrambi i prossimi due giorni `e pari a 0, 2, mentre la probabilit`a che piover`a in tutti e tre i giorni considerati `e pari a 0, 1.

a) Qual `e la probabilit`a che piover`a in almeno uno dei prossimi due giorni?

b) Qual `e la probabilit`a che non piover`a in nessu-no dei prossimi due giorni?

d) Qual `e la probabilit`a che piover`a in entrambi i prossimi due giorni e che il giorno successivo non piover`a?

e) Qual `e la probabilit`a che tra tre giorni pio-ver`a ma che non piover`a in tutti e tre i giorni considerati?

Soluzione:

Nella soluzione si indicheranno con A, B e C ri-spettivamente l’evento secondo il quale domani pio-ve, dopodomani piove e infine l’evento secondo il quale tra tre giorni piove. Dal testo dell’esercizio si desume che

P pAq “ P pBq “ P pCq “ 0, 3,

P pA X Bq “ 0, 2, P pA X B X Cq “ 0, 1.

a) L’evento secondo il quale piover`a in almeno

Usando la legge L6 si ottiene quindi

P pA Y Bq “ 0, 3 ` 0, 3 ´ 0, 2 “ 0, 4.

b) L’evento secondo il quale non piover`a in nessu-no dei prossimi due giorni `e dato da

A X B.

Secondo le leggi di De Morgan questo evento pu`o essere espresso come

A X B “ pA Y Bq. Usando la legge L3 si ottiene quindi

P pA X Bq “ 1 ´ P pA Y Bq “ 1 ´ 0, 4 “ 0, 6.

c) L’evento secondo il quale non piover`a in alme-no ualme-no dei prossimi tre giorni `e dato da

A Y B Y C.

pu`o essere espresso come

A Y B Y C “ pA X B X Cq. Usando la legge L3 si ottiene quindi

P pA Y B Y Cq “ 1 ´ P pA X B X Cq “ 1 ´ 0, 1 “ 0, 9.

d) L’evento secondo il piover`a in entrambi i prossi-mi due giorni e il giorno successivo non piover`a `e dato da

A X B X C.

Usando un diagramma di Venn non `e difficile rendersi conto che

A X B “ pA X B X Cq Y pA X B X Cq e che i due eventi tra parentesi al secondo mem-bro sono incompatibili. Per l’additivit`a finita (legge L2) ne consegue che

da cui si desume che

P pA X B X Cq “ P pA X Bq ´ P pA X B X Cq. La probabilit`a richiesta sar`a quindi data da

P pA X B X Cq “ 0, 2 ´ 0, 1 “ 0, 1. e) La soluzione viene lasciata per esercizio.

assiomi di Kolmogorov (ed alle leggi del calcolo delle probabilit`a che ne conseguono), sar`a possibile dimo-strare qualsiasi affermazione.7 Quindi non ha sen-so considerare problemi con probabilit`a assegnate in modo ”incoerente”. Il prossimo esempio illustra una situazione dove non `e immediatamente ovvio che le probabilit`a assegnate a determinati eventi sono tra di loro ”incoerenti”.

Esempio 5.3. Secondo l’opinione di un trader, la probabilit`a che al termine di una seduta di scambi risulter`a aumentata la quotazione del titolo X `e pa-ri a 0, 9, mentre per il titolo Y la probabilit`a di un aumento della quotazione ammonta a 0, 8. Inoltre, secondo l’opinione del trader, la probabilit`a che au-mentino le quotazioni di entrambi i titoli X e Y `e pari a 0, 65.

Si determini la probabilit`a che la quotazione di almeno uno dei due titoli aumenti.

7_{Questa affermazione `e una conseguenza del cosiddetto ”teorema}

Soluzione:

Si indichi con A l’evento secondo il quale la quo-tazione del titolo X aumenta e con B l’evento secon-do il quale aumenta la quotazione del titolo Y . Dai dati forniti nel testo dell’esercizio si desume che

P pAq “ 0, 9, P pBq “ 0, 8

e che

P pA X Bq “ 0, 65.

Applicando la legge L6 si ottiene dunque

P pA Y Bq “ P pAq ` P pBq ´ P pA X Bq “ 0, 9 ` 0, 8 ´ 0, 65 “ 1, 05

ma questo valore non `e compreso tra 0 e 1 e contrad-dice dunque la seconda disuguaglianza nella legge L4. Siccome questa contraddizione `e stata ottenuta ap-plicando in modo rigoroso gli assiomi di Kolmogorov e le leggi del calcolo delle probabilit`a, si pu`o conclu-dere che le probabilit`a assegnate dal trader non sono tra di loro ”coerenti”.

sem-plice scoprire che le probabilit`a assegnate non fossero tra loro ”coerenti” ma in altri problemi ci`o potreb-be essere alquanto complicato. Spesso, per verificare se le probabilit`a assegnate a determinati eventi so-no tra loro “coerenti” si ricorre a dei cosiddetti teo-remi di estensione che solitamente non fanno parte del programma di corsi introduttivi alla teoria del-la probabilit`a. Pertanto, in quanto segue si dar`a sempre per scontato che le probabilit`a assegnate nei testi degli esercizi siano tra loro ”coerenti”, a me-no che risolvendo un esercizio incidentalmente me-non si riscontri una contraddizione cos`ı come `e avvenuto nell’esempio precedente.

Esempio 5.4. Questo esempio pu`o essere saltato. Si supponga che P pAq “ 0, 9 e che P pBq “ 0, 8. Nell’esempio precedente si `e visto che in questo caso `e impossibile che P pA X Bq sia pari a 0, 65. Qual `e l’insieme dei possibili valori per P pA X Bq?

Soluzione:

Siccome si pu`o dimostrare che tra l’insieme di tutte le possibili funzioni di probabilit`a P : A ÞÑ r0, 1s e l’insieme di tutte le possibili tabelle a doppia entrata del tipo

evento B B P p¨q

A P pA X Bq P pA X Bq P pAq A P pA X Bq P pA X Bq P pAq P p¨q P pBq P pBq P pΩq “ 1

esiste una corrispondenza biunivoca, si pu`o concludere che l’insieme di tutte le possibili funzioni di probabilit`a P : A ÞÑ r0, 1s con P pAq “ 0, 9 e P pBq “ 0, 8 `e dato dall’insieme di tutte le possibili tabelle a doppia entrata che soddisfano questi due vincoli. Per determinare l’insieme di tutti possibili valori per la probabilit`a P pA X Bq bisogna quindi considerare l’insieme di tutte le possibili tabelle a doppia entrata del tipo

evento B B P p¨q

A P pA X Bq “??? ??? 0, 9

A ??? ??? 0, 1

P p¨q 0, 8 0, 2 1

evento B B P p¨q A P pA X Bq 0, 9 ´ P pA X Bq 0, 9 A 0, 9 ´ P pA X Bq 0, 1 ´ r0, 8 ´ P pA X Bqs oppure 0, 2 ´ r0, 9 ´ P pA X Bqs 0, 1 P p¨q 0, 8 0, 2 1

Da quest’ultima tabella si desume che il valore di P pA X Bq potrebbe essere qualsiasi valore che soddisfa le seguenti disuguaglianze:

P pA X Bq ě 0 0, 9 ´ P pA X Bq ě 0 0, 8 ´ P pA X Bq ě 0 0, 1 ´ r0, 8 ´ P pA X Bqs ě 0

Non `e difficile verificare che tutte e quattro queste disuguaglianze sono soddisfatte se e solo se

0, 7 ď P pA X Bq ď 0, 8.

6

Metodi per l’assegnazione

delle probabilit`

a

Una volta definito lo spazio campionario Ω e la σ-algebra di eventi A, si passa alla fase cruciale del-la definizione di un modello probabilistico: queldel-la dell’assegnazione di valori alle probabilit`a P pAq de-gli eventi A P A. A questo punto sorge spontanea la seguente domanda: esistono dei metodi per asse-gnare delle probabilit`a che siano allo stesso tempo ”coerenti” e anche ”realistiche”?

La risposta a questa domanda dipende ovviamen-te dalle condizioni fisiche sotto le quali si svolge l’e-sperimento casuale di riferimento e quindi non pu`o essere data in modo generale. In ogni caso, per defi-nire un modello probabilistico “coerente” e “realisti-co” `e sicuramente utile tenere presente che qualun-que metodo pu`o essere interpretato come una imple-mentazione di uno dei seguenti tre metodi generali:

a) Il metodo classico.8 Questo metodo `e

corrispon-bile solo se Ω contiene un numero finito di even-ti elementari ω, e quando le condizioni fisiche sotto le quali si svolge l’esperimento casuale di riferimento sono tali da ritenere che tutti gli eventi elementari ω P Ω siano ”equiprobabi-li”. In questi casi si pu`o considerare l’insie-me delle parti PpΩq col’insie-me σ-algebra di eventi, e si dovr`a definire la funzione di probabilit`a P : PpΩq ÞÑ r0, 1s ponendo

P pAq “ #A

#Ω per ogni A P PpΩq,

dove #A indica il numero di eventi elementari ω che appartengono ad A (ovvero il numero di ”casi favorevoli”) e dove #Ω indica il nume-ro di eventi elementari che appartengono a Ω (ovvero il numero di ”casi possibili”). Le pro-babilit`a assegnate secondo questo metodo sono quindi date dal rapporto tra il numero di casi favorevoli (ovvero #A) ed in numero di casi possibili (ovvero #Ω).

Si pu`o dimostrare che il metodo classico for-nisce sempre una funzione di probabilit`a P : PpΩq ÞÑ r0, 1s che rispetta gli assiomi di Kol-mogorov.

b) Il metodo frequentista.9 Questo metodo pu`o essere applicato quando l’esito

dell’esperimen-9_{Il metodo frequentista d`a luogo a valori delle probabilit`a che}

to casuale di riferimento `e gi`a stato osservato in un elevato numero di repliche dell’esperimento, e se si ritiene che le repliche si siano svolte sotto condizioni simili a quelle sotto le quali si svol-ger`a l’esperimento casuale di interesse. Anche con il metodo frequentista si pu`o considerare l’insieme delle parti PpΩq come σ-algebra di eventi, e si definir`a la funzione di probabilit`a P : PpΩq ÞÑ r0, 1s ponendo

P pAq “ numero di volte che si `e verificato l’evento A numero di repliche osservate

per ogni A P PpΩq.

Non `e difficile dimostrare che anche il meto-do frequentista fornisce sempre una funzione

di probabilit`a P : PpΩq ÞÑ r0, 1s che rispetta gli assiomi di Kolmogorov.

b) Il metodo soggettivo.10 Secondo questo

me-todo, un individuo deve assegnare le probabi-lit`a usando tutte le informazioni di cui dispone sull’esperimento casuale in questione, ed even-tualmente anche su esperimenti casuali simili. In mancanza di informazioni certe l’individuo potr`a anche ricorrere al proprio intuito.

Si osservi che due individui che applicano il metodo soggettivo potrebbero benissimo attri-buire probabilit`a diverse ad uno stesso evento. In questo caso i due individui faranno sempli-cemente riferimento a due modelli

probabili-10_{Come origine del metodo soggettivo vengono solitamente citati i}

stici pΩ, A, P q diversi. Si osservi inoltre che

un individuo potrebbe incorrere nell’errore di non valutare in modo ”coerente” le probabilit`a degli eventi inclusi in una data σ-algebra di eventi A e che il metodo soggettivo potrebbe dunque condurre ad una funzione di probabi-lit`a P : A ÞÑ r0, 1s che non rispetta gli assiomi di Kolmogorov. Quando si applica il meto-do soggettivo bisogna quindi sempre verifica-re che le probabilit`a siano assegnate in modo ”coerente”.

Esempio 6.1 (Assegnazione delle probabilit`a

se-condo il metodo classico). Si consideri un esperimen-to casuale che consiste nel lancio di un dado. In que-sto caso lo spazio campionario potr`a essere definito come

Ω “ t1, 2, 3, 4, 5, 6u.

essere definita come il rapporto tra il numero di casi favorevoli all’evento A, ed il numero di casi possibili che `e dato da #Ω “ 6. Per esempio, la probabi-lit`a dell’evento t1, 4, 5, 6u dovrebbe essere definita ponendo

P pt1, 4, 5, 6uq “ 4

6 “

2 3.

Come gi`a osservato in precedenza, il metodo classi-co assicura che le classi-condizioni poste dagli assiomi di Kolmogorov siano automaticamente soddisfatte.

Esempio 6.2 (Assegnazione delle probabilit`a

me-diante il metodo frequentista e quello soggettivo). Tizio vuole scommettere sull’esito di una partita di calcio tra le squadre A e B. Negli ultimi 20 incontri

(A) la squadra A ha vinto 12 volte;

(X) la partita `e terminata con un pareggio 6 volte; (B) la squadra B ha vinto solo 2 volte.

ponendo P pAq “ 12{20 “ 0, 6, la probabilit`a che la partita termini con un pareggio dovrebbe essere definita ponendo P pXq “ 6{20 “ 0, 3, e la probabi-lit`a che invece vinca la squadra B `e dovrebbe essere definita ponendo P pBq “ 2{20 “ 0, 1. A partire da queste probabilit`a si possono ricavare le probabilit`a di tutti gli altri eventi che si possono formare me-diante operazioni di unione e intersezione applicate agli eventi A, X e B.

suggerite dal metodo frequentista come riferimento iniziale, e a partire da esse ha definito delle nuove probabilit`a seguendo il proprio intuito. Cos`ı facen-do Tizio rischia comunque di incorrere nell’errore di assegnare dei valori non ”coerenti” alle probabilit`a degli eventi (assegnando per esempio il valore 0, 5 a P pAq).

7

Calcolo combinatorio

Con qualche approssimazione si pu`o affermare che

7.1

Esperimenti casuali suddivisi

in passi

Si consideri un esperimento casuale che si svolge in k ě 1 passi, con

n₁ esiti possibili al primo passo,

n2 esiti possibili al secondo passo,. . .

. . .

n_k esiti possibili all’ultimo (k-esimo) passo.

Non `e difficile rendersi conto che il numero com-plessivo di eventi elementari ω che possono verificarsi in un esperimento casuale di questo tipo sia dato da

n1 ˆ n2 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ nk. (10)

Infatti, gli esiti di un tale esperimento possono es-sere rappresentati mediante sequenze di lunghezza k i cui elementi descrivono gli esiti dei singoli pas-si dell’esperimento. Siccome il primo elemento della sequenza pu`o essere scelto in n<sub>1</sub> modi diversi, e pu`o essere combinato con ciascuno degli n2 modi

essere dato dal prodotto nella (10).

Per visualizzare il funzionamento di un esperi-mento suddiviso in passi `e spesso utile costruire un

diagramma ad albero come illustrato nel seguente esempio.

Esempio 7.1. Si consideri un esperimento casuale che consiste nel

1) lancio di una moneta,

2) seguito dall’estrazione di una pallina da un’ur-na che contiene uun’ur-na palliun’ur-na gialla, uun’ur-na verde ed una rossa,

3) che a sua volta `e seguita dal lancio di un te-traedro con facce numerate da 1 a 4.

Con riferimento all’esperimento casuale in que-stione:

b) Si definisca un opportuno modello probabili-stico pΩ, A, P q. Secondo quale metodo si do-vrebbero assegnare le probabilit`a?

Soluzione:

a) Il diagramma ad albero `e dato da

testa $ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ % giallo $ ’ ’ & ’ ’ % 1 2 3 4 verde $ ’ ’ & ’ ’ % 1 2 3 4 rosso $ ’ ’ & ’ ’ % 1 2 3 4

. . . (sotto testa) . . . croce $ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ & ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ % giallo $ ’ ’ & ’ ’ % 1 2 3 4 verde $ ’ ’ & ’ ’ % 1 2 3 4 rosso $ ’ ’ & ’ ’ % 1 2 3 4

Gli eventi elementari che possono verificarsi in questo esperimento casuale possono essere rappresentati attraverso sequenze del tipo

ω “ ptesta, giallo, 1q,

secondo elemento indica uno dei colori giallo, verde oppure rosso delle palline presenti nel-l’urna, e il terzo ed ultimo elemento della se-quenza `e uno dei primi quattro numeri naturali positivi riportati sulle quattro facce del tetrae-dro. Per tener conto di tutti i possibili esiti di questo esperimento casuale si dovr`a quindi fare riferimento ad uno spazio campionario Ω che contiene 2 ˆ 3 ˆ 4 “ 24 eventi elementa-ri ω (che potrebbero essere rappresentati dalle sequenze appena descritte). A ciascun evento elementare ω P Ω corrisponde un percorso da sinistra verso destra lungo i nodi dell’albero. b) Nell’esempio in questione `e ragionevole ritenere

ad ogni A P PpΩq ponendo

P pAq “ #A

#Ω.

Si noti che in questo modo si avr`a

P ptωuq “ 1

24 per ogni ω P Ω.

Si ricordi inoltre che qunado si assegnano le probabilit`a in base al metodo classico si pu`o essere certi che le condizioni poste dagli assiomi di Kolmogorov siano soddisfatte.

7.2

Disposizioni e permutazioni

Un caso particolare di esperimento suddiviso in passi consiste nell’estrazione, uno alla volta, di k oggetti da un’urna che contiene n oggetti.

n esiti possibili alla prima estrazione,

n ´ 1 esiti possibili alla seconda estrazione,. . . ...

n ´ k ` 1 esiti possibili alla k-esima (e ultima) estrazione.

Applicando quanto gi`a visto per esperimenti che si svolgono in pi`u passi, si vede che lo spa-zio campionario Ω associato a questo tipo di esperimento casuale dovr`a contenere

npn ´ 1qpn ´ 2q ¨ ¨ ¨ pn ´ k ` 1q

eventi elementari. Gli eventi elementari in que-stione vengono chiamati disposizioni senza ri-petizione di n oggetti presi k alla volta. Si osservi che due disposizioni senza ripetizione si possono distinguersi (i) sia per la presenza di oggetti diversi, (ii) sia per l’ordine in cui si presentano gli oggetti.

Nel caso particolare in cui n “ k si parler`a di

numero di permutazioni senza ripetizione di n oggetti viene spesso indicato con n! (si legge n fattoriale). Ovviamente,

n! “ npn ´ 1qpn ´ 2q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ 2 ˆ 1.

Visto che qualunque permutazione contiene tut-ti gli oggettut-ti presentut-ti nell’urna, due permu-tazioni si possono distinguere solamente per l’ordine in cui si presentano gli stessi oggetti.

b) Se d’altra parte le estrazioni avvengono con

reimmissione, allora il numero di esiti possi-bili per ciascuna delle k estrazioni sar`a sempre pari ad n, e pertanto in questo caso lo spazio campionario Ω conterr`a

n ˆ n ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ n “ nk

presenti nell’urna.

Due disposizioni con ripetizione possono di-stinguersi (i) per la presenza di oggetti diversi, (ii) per il numero di volte che contengono al-cuni oggetti oppure (iii) per l’ordine in cui si presentano gli oggetti.

Esempio 7.2. Da un’urna che contiene n “ 9 pal-line numerate si estraggono k “ 3 palpal-line senza reimmissione.

a) Si descriva lo spazio campionario Ω associato a questo esperimento casuale. Quanti eventi elementari contiene Ω?

b) Si assegnino delle probabilit`a agli eventi di PpΩq. c) Si risponda alle precedenti domande

ipotizzan-do che le estrazioni avvengano con reimmissio-ne.

a) Lo spazio campionario Ω `e costituito dall’in-sieme di tutte le disposizioni senza ripetizione che si possono formare con n “ 9 palline pren-dendone k “ 3 alla volta. Il numero totale di disposizioni di questo tipo ammonta a

#Ω “ 9 ˆ 8 ˆ 7 “ 504.

b) Siccome lo spazio campionario Ω `e finito, e sic-come `e ragionevole ipotizzare che gli eventi ele-mentari ω P Ω siano “equiprobabili”, le pro-babilit`a dovranno essere assegnate in base al metodo classico. Per ogni disposizione ω P Ω si avr`a quindi

P ptωuq “ 1

504 “ 0, 00198

e la probabilit`a di qualsiasi evento A P PpΩq sar`a dunque data dal rapporto tra il numero #A di casi favorevoli ed il numero #Ω “ 504 di casi possibili.

spa-zio campionario Ω conterr`a

#Ω “ 9 ˆ 9 ˆ 9 “ 93 “ 729

disposizioni con ripetizione. Secondo il

me-todo di assegnazione delle probabilit`a classi-co, la probabilit`a associata a ciascuna di tali disposizioni sar`a data da

P ptωuq “ 1

729 “ 0, 00137,

e la probabilit`a associata a qualsiasi altro even-to A P PpΩq sar`a data dal rapporeven-to tra il nu-mero #A di casi favorevoli ed il nunu-mero #Ω “ 504 di casi possibili.

7.3

Combinazioni

da eventi elementari ω che sono insiemi non ordinati di k oggetti diversi scelti tra gli n oggetti presen-ti nell’urna. In questo caso, gli evenpresen-ti elementari ω

vengono chiamati combinazioni di n oggetti presi k

alla volta. Il numero di combinazioni diverse viene solitamente indicato con il simbolo

ˆn k

˙ . Non `e difficile dimostrare che

ˆn k

˙

“ n!

k!pn ´ kq!.

Dimostrazione. Ciascuna combinazione contiene esattamente k oggetti diversi e k oggetti diversi pos-sono essere ordinati in k! modi diversi (si vedano le permutazioni). Ordinando tutte le `n_k˘ combinazio-ni diverse in tutti i k! modi possibili, si ottengono tutte le disposizioni di n oggetti presi k alla volta. Pertanto si ha

ˆn k

˙

Tenendo presente che il secondo membro pu`o essere espresso come n! pn ´ kq! si vede che ˆn k ˙ “ n! k!pn ´ kq!

Esempio 7.3. Da un’urna che contiene n “ 90 pal-line numerate si estraggono in blocco k “ 6 palpal-line.

a) Quanti eventi elementari contiene lo spazio cam-pionario associato a questo esperimento casua-le?

b) Si definisca un modello probabilistico pΩ, A, P q per questo tipo di esperimento casuale. Se-condo quale metodo si dovrebbero assegnare le probabilit`a?

a) Lo spazio campionario Ω contiene ˆ90 6 ˙ “ 90! 6!p90 ´ 6q! “ 90 ˆ 89 ˆ 88 ˆ 87 ˆ 86 ˆ 85 6 ˆ 5 ˆ 4 ˆ 3 ˆ 2 ˆ 1 “ 622.614.630

combinazioni di palline prese 6 alla volta.

b) Siccome `e ragionevole ritenere che ciascuna com-binazione di palline abbia la medesima pro-babilit`a di verificarsi, le probabilit`a dovranno essere assegnate mediante il metodo classico. Secondo tale metodo, la probabilit`a associata a ciascuna combinazione di palline dovrebbe essere data da

P ptωuq “ 1

622.614.630 “ 1, 606 ˆ 10´9,

il numero di casi favorevoli #A ed il numero di casi possibili #Ω “ 622.614.630.

7.4

Esercizi

Esempio 7.4. Si consideri un mazzo di 32 carte contrassegnate con i valori

7, 8, 9, 10, J, Q, K, A

e con i quattro semi cuori, quadri, fiori e picche. A) Dal mazzo vengono estratte, una dopo l’altra,

cinque carte senza riposizione.

A1) Qual `e la probabilit`a che le cinque carte

estratte siano tutte di cuori?

A2) Qual `e la probabilit`a che le prime due

carte estratte siano entrambe di cuori? A3) Qual `e la probabilit`a che l’ultima carta

B) Si risponda alle domande del punto preceden-te ipotizzando che le estrazioni avvengano con riposizione.

C) Dal mazzo vengono estratte in blocco cinque carte.

C1) Qual `e la probabilit`a di ottenere quattro

carte del valore A?

C2) Qual `e la probabilit`a di ottenere tre carte

del valore A e due carte del valore K? C3) Qual `e la probabilit`a di ottenere due carte

del valore A, due carte del valore K e una carta del valore Q?

Soluzione:

A) Estraendo, una alla volta, cinque carte senza risposizione si ottiene una delle

32 ˆ 31 ˆ 30 ˆ 29 ˆ 28 “ 24.165.120

medesima probabilit`a di verificarsi e quindi si dovrebbero assegnare le probabilit`a in base al metodo classico: per ogni A P PpΩq si do-vrebbe quindi definire il corrispondente valore di P pAq come rapporto tra il numero #A di casi favorevoli e il numero #Ω “ 24.165.120 di casi possibili. Nelle seguenti risposte ai quesiti A1, A2 e A3 si determiner`a il valore di questo

rapporto per gli eventi descritti nei quesiti. A1) Siccome nel mazzo ci sono 32{4 “ 8 carte

di cuori, la probabilit`a di ottenere cinque carte di cuori (evento A1) sar`a data da

P pA1q “

8 ˆ 7 ˆ 6 ˆ 5 ˆ 4 32 ˆ 31 ˆ 30 ˆ 29 ˆ 28

“ 6720

A₂) La probabilit`a che le prime due carte estrat-te siano entrambe di cuori `e data da

P pA2q “

8 ˆ 7 ˆ 30 ˆ 29 ˆ 28 32 ˆ 31 ˆ 30 ˆ 29 ˆ 28

“ 1.364.160

24.165.120 “ 0, 05645

perch´e ci sono 8 modi per scegliere la pri-ma carta di cuori tra le 8 carte di cuori nel mazzo, 7 modi per scegliere la seconda carta di cuori tra le rimanenti 7 carte di cuori, 30 modi per scegliere la terza carta (che eventualmente potrebbe anche essere di cuori) tra le 30 carte rimaste nel mazzo, 29 modi per. . .

A3) La probabilit`a che l’ultima (ovvero la

quin-ta) carta estratta sia di cuori `e data da P pA2q “

8 ˆ 31 ˆ 30 ˆ 29 ˆ 28 32 ˆ 31 ˆ 30 ˆ 29 ˆ 28

“ 6.041.280

perch´e ci sono 8 modi per scegliere la quin-ta carquin-ta estratquin-ta tra le 8 carte di cuori a disposizione, 31 modi per scegliere la quarta carta estratta (che eventualmente potrebbe anche essere di cuori) tra le 31 carte rimaste a disposizione, 30 modi per scegliere la terza carta estratta . . .

Si osservi che la probabilit`a che l’ultima carta estratta sia di cuori `e uguale alla probabilit`a che la prima carta estratta sia di cuori oppure alla probabilit`a di otte-nere una carta di cuori in una qualsiasi posizione prefissata.

B) Nel caso di estrazioni con riposizione lo spazio campionario conterr`a

32 ˆ 32 ˆ 32 ˆ 32 ˆ 32 “ “ 325 “ 33.554.432