Soluzioni e righe di un sistema 06/10
Riassunto
Dato un sistema AX = B con A ∈ Rm,n, X ∈ Rn,1, i teoremi di Rouché–Capelli spiegano che è consistente se e solo se r (A) = r ( A | B). In questo caso le soluzioni dipendono da ℓ = n − r parametri liberi, dove r è il rango che conta il numero effettivo delle equazioni.
Esistono vettori colonna v1, · · · , vℓ, soluzioni del sistema AX = 0 tali che la soluzione generale del sistema AX = B abbia la forma
X = Xp+t1v1+ · · · +tℓvℓ
con Xp una soluzione particolare (a scelta) e t1, . . . , tℓ i parametri liberi.
Esempio di una matrice di rango 2:
A =
−2 −1 0 1
2 3 4 5
6 7 8 9
∼
1 0 −1 −2
0 1 2 3
0 0 0 0
Le tre righe di A non sono indipendenti: c’è una relazione r3 − 2r2 + r1 = 0 che ci permette di trovare la riga nulla a destra facendo operazioni sulle righe. Invece, i numeri a destra determinano delle relazioni sulle colonne di A. . .
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Altri appunti della lezione
Un po’ di logica. Siano x, y ∈ R (non matrici!). Entrambe le seguenti affermazioni sono vere:
xy 6= 0 =⇒ x 6= 0
xy 6= 0 ⇐⇒ x 6= 0 e y 6= 0
Cominciamo con il primo simbolo =⇒ che sta per implica.
Scrivere P =⇒ Q vuol dire se vale P per forza vale Q, oppure (con parole meno precise) vale P SOLO SE vale Q.
Scrivere P ⇐= Q è un altro modo di scrivere Q =⇒ P, ma vuol dire anche vale P SE vale Q. Quindi
P ⇐⇒ Q sta per
P ⇐= Q e P =⇒ Q, oppure, detto in parole,
vale P SE e SOLO SE vale Q
Una proposizione più complicata:
Una matrice A ∈ Rn,n è invertibile se e solo se AX = 0, X ∈ Rn,1 =⇒ X = 0
Vedremo dopo che è vera!
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Per risolvere l’equazione matriciale
AX = B
, A ∈ Rm,n, X ∈ Rn,1, B ∈ Rm,1, bisogna ridurre ( A | B) e contare le righe non-nulle.Si applicono poi i teoremi di Rouché–Capelli:
RC 1 Se r (A) < r ( A | B) non ci sono soluzioni.
RC 2 Se r (A) = r ( A | B) = r esistono ∞ℓ soluzioni dove ℓ = n − r (= numero dei parametri ℓiberi).
Osservazioni:
• Il rango è uguale al numero degli indicatori, quindi in RC1, r ( A | B) = r (A) + 1.
• Se B = 0 vale per forza RC2. Se n = r , vale per forza RC2 e esiste un’unica soluzione (X = 0 se B = 0).
• In RC2, r è il numero effettivo delle equazioni, che può essere minore del numero m di equazioni che si vedono.
Esempio ovvio con m = 2 ma r = 1 e ℓ = 2:
( x + y + z = 1, 2x + 2y + 2z = 2.
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Si considerino:
• il sistema non-omogeneo AX = B (NH)
• il sistema omogeneo associato AY = 0 (H)
Supponiamo che AX = B e AY = 0. Allora A(X + Y ) = B + 0 = B, e X + Y è un’altra soluzione di (NH).
Viceversa, trovata in qualche modo una soluzione particola- re Xp di (NH), basta risolvere il sistema (H) per elencare tutte le soluzioni di (NH).
Segue (dal metodo di Gauss–Jordan con matrice totalmente ridotta) che esistono vettori colonna v1, . . . , vℓ tale che la soluzione generale di (NH) è
X = Xp +t1v
1 + · · · +tℓv
ℓ
con t1, . . . , tℓ parametri liberi.
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