2. Il propagatore D-Orbit
2.1 Le missioni spaziali
La scelta della traiettoria che il satellite dovrà seguire è uno dei passi fondamentali nella progettazione di una missione in quanto ha non poche implicazioni su tutti i sottosistemi presenti a bordo. Uno dei più importanti problemi nel pianificare una missione spaziale consiste nella capacità di prevedere accuratamente la posizione del veicolo durante la missione. Ad ogni posizione sarà associato un ben determinato stato dei sottosistemi che compongono il satellite. Di norma il termine stato indica una serie di quantità associate al vettore posizione o al vettore velocità oppure una serie di elementi chiamati elementi orbitali classici, spesso chiamati elementi kepleriani. Nel presente lavoro il termine stato può voler indicare acceso/spento, carico/scarico ecc. in base al sottosistema preso in considerazione. Importante quindi è conoscere lo stato dei vari sottosistemi per poter verificare che una data strategia sia effettivamente realizzabile, o per verificare che essa sia compromessa, parzialmente o del tutto, a causa di problemi verificatesi; per cui la soluzione al problema potrebbe richiedere modifiche al profilo di missione e di conseguenza una diversa gestione di uno o più sottosistemi.
E’ utile dare una idea di cosa si intende per missione spaziale e per analisi di missione. Una missione spaziale può essere considerata come una successione di eventi:
fase di prelancio;
fase di lancio;
trasferimento orbitale;
operazioni previste dalla missione (on station);
fase di abbandono dell’orbita (de-orbiting).
Nel presente lavoro si è posta l’attenzione principalmente sulle
operazioni on station, ovvero su tutte quelle operazioni che sono necessarie
per lo svolgimento della missione (commerciale o scientifica) o anche per assicurare il controllo d’assetto del satellite al fine di conoscere lo stato dei sottosistemi di bordo quando il satellite si trova in una determinata posizione o dopo un certo intervallo di tempo dall’inizio della simulazione.
L’analisi di missione è lo strumento che ci permette di identificare come la missione debba essere svolta: l’assetto da mantenere, quali propulsori accendere e per quanto tempo. Le missioni spaziali possono essere suddivise in diversi modi: in base alla quota, in base al tipo di traiettoria e in base all’obiettivo.
In base all’obiettivo si possono distinguere:
missione di sorvolo (fly-by);
missione di rendez-vous;
missione di prelievo di campione (sample return).
Suddivisione in base alla quota rispetto al pianeta Terra ( Figura 2-1 ):
Orbite LEO (Low Earth Orbit);
Orbite MEO (Middle Earth Orbit);
Orbite fortemente ellittiche HEO (High Elliptic Orbit;
Orbita GTO (Geostationary Transfer Orbit);
Orbita geostazionaria GEO (Geostationary Earth Orbit).
Suddivisione in base alla traiettoria:
traiettoria balistica, esempi sono:
o voli di prova di stadi lanciatori;
o razzi sonda;
o vettori militari;
o traiettoria di caduta di stadi esauriti.
traiettoria a bassa spinta.
Figura 2-1 : principali tipi di orbite [13]
Una analisi di missione deve necessariamente tener conto della
valutazione dei rischi a cui la missione stessa va incontro. Il satellite è un
insieme di tanti componenti, ognuno con una certa probabilità di rischio: per
ogni sottosistema di cui il satellite è composto si andrà ad effettuare una
analisi sulle modalità di guasto, sugli effetti ed analisi di criticità (Failure
Mode Effects and Criticality Analysis, FMECA). Il funzionamento di un
determinato sottosistema dipenderà ad esempio dal numero di eclissi o dal
tempo che il satellite resterà in zone ad alta radiazione (Fasce di Van Allen),
per cui un simulatore di sistema non può prescindere dallo scambio di
informazioni con un propagatore orbitale. Un propagatore orbitale quindi è
uno strumento che è in grado di fornire la posizione precisa del satellite
rispetto al cielo stellato: in pratica un software che prevede i movimenti di un corpo orbitante di cui sono noti i parametri dell’orbita, la posizione e la velocità in un punto iniziale.
2.2 Il propagatore DreamOrbit
Il simulatore VM-Orbit sfrutta il propagatore DreamOrbit (sviluppato presso ALTA S.p.A.) il quale è basato su quattro differenti pacchetti, ognuno dedicato ad una differente parte della missione: lancio, orbita centrata nel pianeta Terra, trasferimenti Terra-Luna e trasferimenti eliocentrici [1].
Figura 2-2 : DreamOrbit [1]
I vari propagatori che costituiscono DreamOrbit valutano la missione a
bassa spinta calcolando i valori dei parametri che l’utente riterrà di interesse
per uno studio preliminare della missione e con una precisione che può
essere modificata in base alle esigenze di velocità di calcolo. Il simulatore
VM-Orbit nello specifico sfrutta D-Orbit, ovvero il pacchetto di DreamOrbit
dedicato alle missioni la cui traiettoria è centrata nel pianeta Terra. Il propagatore D-Orbit fornisce una propagazione orbitale e una analisi ambientale per trasferimenti a bassa spinta.
Figura 2-3 : scambio di dati e funzioni principali
L’integrazione della traiettoria da parte del D-Orbit viene eseguita
utilizzando il metodo di Cowell che permette di introdurre, a discrezione
dell’utente, parametri perturbativi nell’equazione del moto: possono essere
attivate perturbazioni dovute a presenza di terzo corpo (Sole, Luna o
entrambi), pressione di radiazione solare, non perfetta sfericità della Terra e
resistenza atmosferica. Nei trasferimenti a bassa spinta, i parametri
dominanti nell’analisi di missione sono quelli inerenti il sistema propulsivo
e possono essere liberamente gestiti dall’utente; inoltre l’utente ha la
possibilità di regolare il livello di precisione dell’algoritmo di integrazione
andando in questo modo a modificare i passi di integrazione,
particolarmente utile per orbite eccentriche. Il D-Orbit infine è provvisto di
un’ampia sessione chiamata post-processing session che fornisce all’utente
la possibilità di visualizzare, tramite grafici o testo, i valori dei parametri di
maggiore interesse.
2.3 D-Orbit: modellazione e ipotesi
A causa delle fonti perturbative, il veicolo spaziale non segue perfettamente la dinamica kepleriana: è richiesto quindi un modello che semplifichi il problema del moto e che tenga conto allo stesso tempo degli effetti perturbativi; essi infatti fanno si che il problema non ammetta soluzioni in forma chiusa e quindi necessiti di metodi di integrazione numerica [3]. Altre semplificazioni sono necessarie per descrivere gli stessi effetti perturbativi. Nei paragrafi seguenti vengono descritti:
Metodo di Cowell
Sistemi di riferimento utilizzati Unità canoniche
Effemeridi Perturbazioni
o Presenza di terzo corpo
o Non perfetta sfericità della Terra o Resistenza atmosferica
o Pressione di radiazione solare Eclissi
2.3.1 Metodi numerici
La valutazione dell’orbita viene effettuata dal D-Orbit tramite un
processo di integrazione numerica dell’equazione del moto: il metodo a cui
il D-Orbit fa riferimento è il metodo di Cowell. Tale metodo risulta essere il
modello più semplice per trattare numericamente il problema dell’equazione
del moto di un veicolo spaziale tenendo conto di eventuali effetti
perturbativi su di esso. L’equazione del moto assume la seguente forma [6]:
+ = 2.1
Dove a
pè l’accelerazione di perturbazione, che ingloba tutti gli effetti perturbativi considerati. Nell’espressione precedente il contributo della spinta all’accelerazione è inglobata in a
p. Il metodo di Cowell si presta bene ad essere risolto tramite l’utilizzo di calcolatore, ma bisogna tener conto del fatto che l’accelerazione del satellite varia lungo l’orbita
1: il metodo di integrazione risulterà efficace qualora si utilizzino passi di integrazione piccoli rispetto ai tempi coinvolti nella simulazione. Nel caso di veicolo con propulsori accesi, bisogna tener conto anche della seguente equazione:
= 2.2
Dove:
rappresenta l’impulso specifico, espresso in secondi;
è il modulo del vettore spinta, espresso in newton;
è il modulo dell’accelerazione gravitazionale;
è la portata in massa di propellente, espresso in kg/s.
Il D-Orbit offre 3 possibili algoritmi di integrazione:
Runge-Kutta (4,5), Dormand Price
Runge-Kutta (2,3), Bogacki and Shampine Adams-Bashford-Moulton (ABM)
Il primo risolutore è quello che fornisce un giusto compromesso tra accuratezza nei risultati e velocità di calcolo. Il metodo più veloce è
1
Il consumo di propellente, con spinta costante, comporta un incremento dell’accelerazione.
l’algoritmo Runge-Kutta (2,3) a discapito della precisione. Il risolutore ABM offre i risultati migliori in particolar modo quando è richiesta una precisione molto spinta e quando sono richieste tolleranze molto strette.
2.3.2 Sistemi di riferimento
Per introdurre o interpretare correttamente i parametri durante la propagazione è necessario definire il sistema di riferimento. Per missioni intorno alla Terra il sistema di riferimento più comunemente utilizzato è il sistema di coordinate geocentrico-equatoriale (O; x,y,z) e indicato con la sigla IJK. Il piano fondamentale è il piano equatoriale. L’asse x (o asse I) punta verso l’equinozio di primavera, indicato con ; l’asse z (o asse K) punta verso il polo nord terrestre e l’asse y (o asse J) è tale da formare una terna levogira con i primi due. E’ utile precisare che tale sistema di riferimento non è solidale alla Terra e quindi non ruota con essa e non tiene conto neanche della precessione degli equinozi; quindi tale sistema di riferimento rimane solidale alle stelle fisse. Per rendere il sistema di riferimento quasi inerziale si fa riferimento alla posizione dell’equinozio in una epoca particolare, indicata con sistema J2000, rispetto a cui anche le effemeridi sono calcolate. In Figura 2-4 sono anche rappresentati il vettore momento angolare , il vettore eccentricità e alcuni degli elementi orbitali classici: ascensione retta del nodo ascendente ( ), argomento del perigeo
) e anomalia vera ( ) e inclinazione (i).
Figura 2-4 : sistema di riferimento geocentrico-equatoriale ed elementi orbitali
Gli elementi orbitali classici sono:
anomalia vera, ;
argomento del perigeo, ;
ascensione retta del nodo ascendente, ; inclinazione, i;
semiasse maggiore, a;
eccentricità, e.
Il D-Orbit tuttavia, per eseguire i calcoli, si affida a vettori le cui
componenti sono espresse nel sistema di riferimento perifocale
( ; , , ) , indicato anche con PQW: il piano fondamentale è il
piano orbitale. L’origine O è fissato nel centro della Terra, quindi per una
generica orbita ellittica l’origine del sistema di riferimento coincide con uno dei due fuochi dell’ellisse. L’asse punta verso il perigeo; l’asse è perpendicolare al piano orbitale e concorde con il vettore quantità di moto e l’asse è anch’esso sul piano orbitale ed è tale da formare una terna levogira con i primi due assi.
Figura 2-5 : sistema di riferimento perifocale
2.3.3 Unità canoniche
Allo scopo di ridurre gli ordini di grandezza delle cifre coinvolte nei calcoli, rendere le operazioni matematicamente più stabili e mantenere una certa generalità del codice, all’interno del D-Orbit sono stati introdotte costanti adimensionali. In particolar modo l’ultima motivazione è di particolare interesse pratico in quanto permette di adattare il codice a problemi in cui non sia più la Terra il corpo attrattore, cambiando ad esempio semplicemente il valore della costante gravitazionale della Terra con quello del nuovo corpo attrattore e tale cambiamento sarà “percepito”
da tutto il codice. Vengono definiti i seguenti parametri adimensionali:
Distanza unitaria (DU):
= = 6378.14 2.3
Il parametro gravitazionale terrestre è fissato al valore unitario tramite la seguente definizione:
+ / = = = 1 2.4
Tempo Unitario (TU) si ricava invertendo l’espressione precedente:
= 2.5
Massa Unitaria (MU) viene fissata al valore della massa della Terra:
= = 5.98 10 2.6
Il simulatore VM-Orbit terrà conto di queste definizioni nel processo di scambio di informazioni con il D-Orbit, mentre tutti i grafici e i dati in ingresso e in uscita dal VM-Orbit saranno visibili e disponibili all’utente in forma dimensionale.
2.3.4 Tempo e data giuliana (JD)
L’unità di tempo per il D-Orbit è il TU, precedentemente definita; tuttavia
la gestione dei valori in ingresso e in uscita da parte dell’utente richiede la
conversione dei valori espressi in TU in valori riferiti al calendario gregoriano
in cui la durata del giorno (day nel D-Orbit) coincide con il giorno solare
medio uguale a 86400s. Il giorno siderale è definito come il tempo che
intercorre tra due passaggi successivi della stessa stella su un meridiano ed è uguale a 86164s. I dati vengono inseriti dall’utente (nel D-Orbit così come nel VM-Orbit) nel classico formato DD/MM/YY hh:mm e vengono convertiti nel calendario giuliano per l’esecuzione di calcoli interni: tale operazione è necessaria in quanto tramite la data giuliana (JD) è possibile calcolare le effemeridi per la Terra, Sole e Luna. La relazione tra la data giuliana e la data gregoriana è riportata nell’equazione seguente, dove con floor si è indicata l’operazione che approssima il contenuto della parentesi all’intero minore o uguale.
1 = 7 + ( + 9
4 12 )
2 = 250 9
3 = + 1721013.5 + 60 +
60 24 + 24
= 367 ( 1) + ( 2) + 3 2.7
2.3.5 Effemeridi
Le effemeridi
2sono tabelle che contengono valori calcolati, nel corso di un particolare intervallo di tempo, di diverse grandezze astronomiche variabili quali:
magnitudine ; parametri orbitali ;
coordinate di pianeti , comete , asteroidi e satelliti artificiali;
2
dalla parola greca ephemeros : giornaliero
Le effemeridi sono richieste nel caso in cui l’utente decida di effettuare la propagazione orbitale tenendo conto ad esempio della perturbazione dovuta alla presenza di terzo corpo (Sole, Luna o entrambi): le effemeridi forniscono la posizione di questi corpi istante per istante durante la propagazione. Le effemeridi sono disponibili dal Jet Propulsion Laboratory (JPL/NASA) e sono richiamate dal D-Orbit durante il processo di calcolo.
2.3.6 Definizione di spinta e suoi sistemi di riferimento
Il vettore spinta in D-Orbit può essere assegnato in direzioni predefinite: tangenziale, circonferenziale, antitangenziale e anticironferenziale oppure può essere definito dall’utente in maniera del tutto arbitraria, in coordinate cartesiane o in coordinate polari. La figure seguenti illustrano i due sistemi di riferimento con la notazioni utilizzate dal D-Orbit, e riprese dal simulatore.
Figura 2-6 : sistema di riferimento per il vettore spinta
Nell’equazione del moto di Cowell, il contributo all’accelerazione
dovuto alla spinta è dato da:
=
/2.8
2.3.7 Perturbazione dovuta a terzo corpo
Il considerare la presenza di un terzo corpo, diverso dallo S/C e dalla Terra, comporta una accelerazione aggiuntiva che verrà tenuta in conto nel modello di Cowell. L’accelerazione di perturbazione dovuta alla presenza di un terzo corpo (indicato con il numero 3) assume la seguente espressione [6]
[9] [10] :
= ( ) 2.9
Dove e rappresentano i vettori posizione del terzo corpo rispetto alla Terra e al veicolo spaziale rispettivamente.
2.3.8 Perturbazione dovuta a non perfetta sfericità della terra
Il pianeta Terra non è perfettamente sferico, ma presenta uno
schiacciamento ai poli e la sua sezione lungo il piano equatoriale non è un
cerchio ma una ellisse: questa non perfetta sfericità causa effetti perturbativi
sul satellite il quale non è più soggetto a un campo gravitazionale diretto
esattamente verso il centro della Terra; infatti la reale forma del pianeta
influisce sul suo potenziale. L’espressione del potenziale, includendo l’effetto
dello schiacciamento dei poli, nella sua forma più generica dipende da una
sommatoria di termini detti armoniche zonali. Il termine predominante è il
termine e viene denominato seconda armonica zonale. Come conseguenza
di tali effetti perturbativi, includendo anche l’ellitticità dell’equatore, si hanno variazioni in , e longitudine [.
= 1.082 10
n cos ( ) 2.10
= n( ) (2 sin( )) 2.11
Dove:
n è il moto medio, in prima approssimazione con chiaro significato dei
termini: =
i è l’inclinazione dell’orbita p è il semilatto retto
L’accelerazione di deriva longitudinale segue la seguente legge:
0.00168 sin 2( ) 2.12
Dove è la longitudine del punto stabile più vicino al punto in cui si
trova il satellite. Quindi riferendoci alla figura 2-7, se il velivolo si trova ad una
longitudine compresa tra 75°E e 165°E, il velivolo subirà una accelerazione
negativa e quindi diretta verso il punto stabile più vicino. La perturbazione di
deriva longitudinale viene corretta con una manovra di EWSK (East West
Station Keeping) [6] [9] [10] [33].
Figura 2-7 : punti stabili e instabili per l'accelerazione di deriva longitudinale
2.3.9 Resistenza atmosferica
L’effetto della resistenza atmosferica sull’orbita del satellite è rilevante fino a quote operative di 600km: oltre tale quota, il contributo di tale accelerazione può considerarsi trascurabile [6], [11], [33].
=
/=
/
2.13
Dove:
è il coefficiente di resistenza dello S/C che, in prima approssimazione, può assumere valore 2.2;
è la pressione dinamica con chiaro significato dei simboli;
Il rapporto (
/
) rappresenta il coefficiente balistico: ci dice quanta è
la massa del satellite rispetto all’area esposta. Tale rapporto è di
fondamentale importanza soprattutto in fase di abbandono dell’orbita a
fine missione (de-orbiting), in quanto da esso dipende il tempo di
rientro.
L’accelerazione dovuta alla resistenza atmosferica causa una perdita di energia dell’orbita riducendo il valore del semiasse maggiore. Altro termine che influisce sull’accelerazione in esame è la densità atmosferica che varia con la quota e con l’attività solare. E’ utile sottolineare che questo tipo di accelerazione sia sempre diretta in direzione della velocità ma in verso opposto. In prima approssimazione si trascurano effetti dovuti all’incidenza del corpo ma, in tal caso, è necessario sostituire il valore di al valore di nell’eq.2.13.
2.3.10 Perturbazione dovuta a pressione di radiazione solare
Mentre l’accelerazione dovuta a resistenza atmosferica è diretta sempre nella direzione del moto e investe di solito sempre la stessa superficie esposta del satellite, l’accelerazione dovuta alla pressione di radiazione solare arriva sempre dalla stessa direzione e quindi mentre il satellite percorre la sua traiettoria investe parti diverse del satellite. L’equazione che esprime tale effetto perturbativo è [6] [33]:
= (1 + ) 2.14
Dove:
K è il coefficiente di riflettività;
è la densità di pressione solare agente sulla superficie perpendicolare alla direzione della radiazione solare [ ]. Il valore di tale densità si ottiene dalla densità di flusso solare [1357 ]
3diviso la velocità della luce [ 300000 ].
3
Tale valore dipende dalla distanza dal Sole ed può essere considerato costante a una distanza
che si discosti poco da 1A.U.
2.3.11 Eclissi
Lo stato di eclissi o di vista viene riconosciuto nel D-Orbit attribuendo ad una variabile, in quel particolare istante di tempo, un valore 2 (se in eclissi) 0 (se in vista). La procedura utilizzata per assegnare uno stato o l’altro utilizza il concetto di linea di vista tra il vettore posizione del Sole e quello del veicolo.
Se non c’è linea di vista vuol dire che il veicolo è posizionato dietro la Terra rispetto al Sole. Il D-Orbit non fa distinzione tra regioni di ombra e regioni di penombra [6] [11] [33].
Figura 2-8 : vettori per la determinazione dello stato di eclissi
( ) = + ( ) 2.15
La procedura fa riferimento a due generici corpi, indicati in Figura 2-8
con i numeri 1 e 2, la cui linea di vista può essere interrotta da un generico
corpo, indicato con corpo nella suddetta figura. La procedura ha inizio con il
calcolo del valore di : con riferimento alla figura, si ha:
= ( ( ( ) ) 2.16
Se il parametro assume valore minore di 0 o maggiore di 1, i due corpi sono sicuramente in vista. Se invece 0 1 allora bisogna valutare il parametro c (
min) (distanza tra il corpo e la congiungente i corpi 1 e 2), come segue:
( ) = ( ) + ( ) 2.17
Se c (
min) R
Earthallora i corpi 1 e 2 sono mutuamente visibili,
altrimenti, ritornando al caso Sole – velivolo, il velivolo risulta in ombra.
2.4 D-orbit: prove
Data l’importanza del propagatore D-Orbit per i fini per cui il VM-Orbit è stato concepito, sono state eseguite prove con l’obiettivo di estrapolare alcune informazioni utili per la valutazione delle prestazioni e del grado di precisione dei dati da esso generati. Il propagatore D-Orbit fornisce la propagazione dell’orbita per trasferimenti orbitali eseguiti a bassa spinta:
esegue trasferimenti le cui orbite hanno la Terra come corpo attrattore o
anche orbite di fuga dalla Terra. Di primaria importanza è stata la scelta
delle prove da eseguire: i risultati delle prove infatti devono poter essere
confrontabili con risultati teorici, calcolabili analiticamente o con dati di
missioni effettuate in passato e riportate su pubblicazioni. Per quel che
riguarda le pubblicazioni, è utile sottolineare come spesso i dati riportati
siano molto limitati e non sufficienti per riprodurre esattamente la missione
per poterne confrontare i risultati, in particolar modo se consideriamo
missioni a bassa spinta. Le prove di propagazione scelte ed eseguite sono:
1. orbita circolare con propulsori spenti [6] [10];
2. orbita ellittica con propulsori spenti;
3. effetto perturbativo J
2e orbita elio sincrona [10] [14] [31]..
2.4.1 Prova 1: orbita circolare con propulsori spenti
La seguente prova, effettuata con propulsori spenti e con tutti gli effetti perturbativi disattivati, permette al D-Orbit di effettuare la propagazione orbitale in condizioni teoricamente descritte dalla dinamica kepleriana.
Caratteristiche orbita iniziale:
e=0; (orbita circolare)
= = 42164km (orbita GEO) i=0; (orbita GEO)
=0;
=0;
=0;
Questi valori numericamente corrispondono ai dati inseriti nel D-Orbit per inizializzare la propagazione, anche se alcuni di essi non sono definiti per l’orbita in questione. Seguono altri dati caratteristiche:
Effetti perturbativi: tutti disattivati.
Massa iniziale: 350kg. Questo valore non ha importanza ai fini di questa prova essendo i propulsori costantemente spenti e quindi senza alcun consumo di propellente. Ci attendiamo quindi che tal valore resti costante.
Data iniziale della propagazione: 01.01.2007. Questo parametro non
ha importanza per questa prova in quanto non è di interesse la
conoscenza delle effemeridi della Terra e del Sole: non siamo
interessati alle condizioni di eclissi.
Condizione di stop: 100 orbite. Non essendoci forze dovute all’accensione di propulsori o ad effetti perturbativi, i parametri orbitali devono restare costanti. Si è scelto un numero di 100 orbite:
giusto compromesso tra un numero abbastanza elevato per poter verificare che i valori rimangano costanti e un numero di orbite che consenta comunque di ottenere dati in tempi calcolo ridotti (circa 2 minuti).
In seguito vengono riportate le formule e i risultati relativi al caso in esame. I grafici, riportati in app.A, presentano un andamento apparentemente crescente e oscillante sul singolo periodo orbitale, ma i valori numerici riportati sull’asse delle ordinate mostrano che il valore del parametro in esame (sia esso raggio, periodo orbitale o velocità) rimane costante. Tale comportamento all’interno del grafico è dovuto all’algoritmo di integrazione e alle approssimazioni eseguite dal D-Orbit. Non sono riportati altri grafici quali quello relativo all’inclinazione o al propellente consumato in quanto il valore è esattamente nullo per tutta la durata della simulazione e non è presente alcun andamento crescente o oscillatorio.
Noto il parametro gravitazionale terrestre ( = = 398601 ), calcoliamo la velocità del satellite su orbita circolare GEO:
= = 3.07 2.18
Il periodo orbitale è dato da:
= 2 = 23 56 04 2.19
Il risultato è esattamente pari alla durata del giorno siderale in quanto
caratteristica propria dell’orbita geostazionaria.
2.4.2 Prova 2: orbita ellittica con propulsore spento
La prova 2, come la prova 1, è stata effettuata senza effetti perturbativi e con propulsori spenti: anche nel presente caso i risultati ottenuti dal D-Orbit possono essere paragonati con quelli ottenuti utilizzando le equazioni teoriche della meccanica orbitale. L’orbita scelta è una orbita ellittica ed ha le caratteristiche (valore di e, a ed i) dell’orbita Moliniya:
e=0.7;
a= 26610km;
i=63.4°;
=0;
=0;
=0;
Effetti perturbativi: tutti disattivati.
Massa iniziale: 350kg
Data iniziale della propagazione: 01.01.2007 Condizione di stop: 5 orbite
Si riportano di seguito le formule e i risultati relativi al caso in esame. I grafici, riportati in app.A, confermano i valori ottenuti dalle equazioni.
Inoltre è visibile anche in questo caso, per quanto riguarda il grafico del semiasse maggiore e del periodo orbitale, una leggera deviazione dal valore nominale, dovuta principalmente all’algoritmo e alle approssimazioni effettuate dal D-Orbit per determinare i valori intermedi tra un passo e l’altro d’integrazione. Non sono riportati altri grafici quali l’andamento dell’inclinazione o del propellente consumato in quanto il valore è esattamente nullo per tutta la durata della simulazione e non è presente alcun andamento crescente o oscillatorio.
Non trattandosi più di orbita circolare come nel caso 1, la velocità del
velivolo varia lungo l’orbita, raggiungendo valore minimo all’apogeo e
valore massimo al perigeo. Utilizzando i dati noti, è possibile calcolare il
raggio di perigeo e il raggio d’apogeo , utilizzando l’equazione della traiettoria in funzione dei parametri orbitali semiasse maggiore, eccentricità e anomalia vera:
= ( ) 2.20
da cui le coppie raggio, velocità:
= 7983 = = 8.3
= 18627 = = 3.58
Il periodo orbitale è dato dall’eq.2.19 e sostituendo il valore di a per questo caso si ottiene il valore di 43200s, pari esattamente a 12ore. Il risultato ottenuto e visualizzato dal D-Orbit è esattamente pari a quello ottenuto per via analitica. Anche in questo caso possiamo dire che il D-Orbit fornisce i valori attesi ed esatti.
2.4.3 Prova 3: orbita elio-sincrona ed effetto perturbativo J
2L’orbita elio-sincrona è una delle orbite più frequentemente utilizzate per missioni a carattere scientifico che coinvolgono il pianeta Terra.
Generalmente l’orbita elio-sincrona viene associata ad una orbita (quasi)
polare dove la sua caratteristica principale è che la precessione dei nodi
segue il moto medio della Terra intorno al Sole: questo ha l’effetto di
conservare la geometria dell’orbita rispetto al Sole e fissare quindi le
condizioni di illuminazione lungo la traccia a terra durante tutta la durata
della missione. In questo caso quindi si sfrutta un effetto perturbativo (la
variazione di ) per mantenere uno stato orbitale con ben definite caratteristiche di illuminazione.
La prova effettuata con il propagatore D-Orbit permette di verificare che, con la giusta combinazione di parametri inclinazione e quota, la linea dei nodi ruoti di 360° nell’arco di un intero anno (365.242199giorni). Il grafico seguente illustra il legame tra inclinazione e quota per una orbita circolare che sia elio-sincrona, ovvero con una variazione di pari a 0.985°/g.
Figura 2-9 : coppia inclinazione-quota per condizione di eliosincronia
Caratteristiche orbita iniziale:
e=0;
a=7278km;
i=99°;
=0;
=0;
=0;
Effetti perturbativi: attivata l’opzione relativa a J
2; Massa iniziale: 350kg;
Data iniziale della propagazione: 01.01.2007;
Condizione di stop: 01.01.2008
Il grafico che riporta l’andamento di è riportato in app.A. Il risultato della prova è coerente con quello previsto dalla teoria.
2.4.4 Prova 4: calcolo del v e del propellente consumato
La presente prova ha lo scopo di verificare che il propagatore D-Orbit calcoli l’esatto v necessario per effettuare la missione e conseguente quantità di propellente utilizzata. La missione scelta è un trasferimento orbitale da orbita bassa (LEO) a orbita geostazionaria (GEO), con un propulsore elettrico che fornisca 400mN di spinta con un impulso specifico di 2500s. La strategia di sparo scelta è spinta tangenziale sull’intera orbita. Entrambe le orbite di partenza e di arrivo sono equatoriali e circolari:
0
= i
f
0
i
i
i
f
0
i
e
e
La teoria di Edelbaum permette di ricavare il v necessario per un trasferimento orbitale a bassa spinta tra 2 orbite complanari:
= + 2 cos ( ) 2.21
Nel caso in esame = 0 per cui l’equazione precedente si riduce a:
= 2.22
1
