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154

NAPOLI

bibliotecaprovinciale

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STUDII

INTORNO

AD INA SINGOLARE ELIMINAZIONE

STUDII

INTORNO

AD UNA SINGOLARE ELIMINAZIONE

conapplicazioneallaricercadellarelazione

TUAGLIELEMENTIDIDUE CONICHE, LTNAISCRITTA,L'ALTRA CIRCOSCRITTA AD UN POLIGONO;

EI)AICORRISPONDESTITEOREMI DEL PONCELET.

MEMORIA

FBR

NICOLA TRUDI

NAPOLI

STAMPERIA DEL FIBRE

N-0 Stradi TrifliU Maggiore a.* 26

1863

Memoriaestrattadal Voi. 1° degli Atti dellaR.Accademia delleScienze Fisiche eMatematiche.

STIDIIINTORNO ADUNA SINGOLAREELIMIN AZIONE•,

CONAPPLICAZIONEALLARICERCADELLA RELAZIONE TRAGLIELE-

MENTIDIDUE CONICHE,l’UNAISCRITTA,L'ALTRACIRCOSCRITTA ADUNPOLIGONO;EDAlCORRISPONDENTITEOREMI DEL PONCELET.

MEHOJllA

DEL SOCIO ORDINARIO N.TRUDI.

Leilanell’adunanzadel di3fottobre.

NOTIZIE STORICHE

La comparsanelmondoscientifico diun'opera recente(*)da parte de fondatore dellageometriaintuitiva,dopounsilenziomalauguratodi ol- tre atrent'anniinquesta scienzaperluicondotta a tantaaltezza,èsta- ta, coni'esserdovea,unveroavvenimento per coloro cui divenne fami- liareillibroimmortalo del Trattalodelleproprietàproiettive delle figure.

Nell'opera novellal’illustreautoresiè propostodiesporregli studi!a- nalilicicheloguidaronoalleantiehe scoverte; edaparteladottrina e leinteressanti vedute scientifiche,chevitralucono ad ogni passo, ogni spiritoimparziale approverà e soseriveràdibuongradoaimotiviche nehannodeterminatalapubblicazione.EdÈstranoinverodivedere,

espessoinopereaccreditate,attribuirsiadaltrigeometrilepropo- sizionifondamentalinelmetododelle projezioni,comesenonesistes- seilnomodelPoncelet;esoventeancora riprodotticomenuovi,o con- torticon nuovinomiipiùbelliteoremidiquestogeometra. In quanto

(V Application* d’analysc^etde ffontótric, qui onlserri,en1825, deprinclpalfondement au Traitéde* proprtétés projectives de$ figure*, parI.V- roncete!. Paris, 18G2.

o

a noi aggiungiamoche nella maggior parte delleriflessionicritiche, lequali formanoilsoggettodinote dottissime all'opera,dicui parlia- mo,c specialmentein fatto dimetodi, noi ritroviamolenostre proprio convinzioni.

Tra queste note intanto ha per noiunparticolareinteressoquellasot- toiln°III,cheha pertitolo oNotaistoricacriticaefilosoficaapropo-

«sitode’tcorcmi sulla iscrizione e circoscrizione simultaneade'poligoni

«alleconiche ccc:»edilnostro interessemuovedachèsitratta diqui- stionichegià da grantempoformaronounsoggetto predilettodinostri studii.Indetta notal’autore traccialastoria diqueste quistioni eri- cordaiprimipassidiFuss ediSteiner;indiilmemorabilelavorodi Jacobipelsistemadiduecerchi, pubblicatofindal1828nel3® volume del giornalediMatematichediCreile;accenna all’estensionede’teore- miaduepiccolicerchi dellasfera, fattapoco appresso daItichelot, di- scepoloillustrediJacobi;e discorrein finede'lavorirecentissimi di Cavlcy,diMcntion,e diBrioschi; dimodoche secondo questi raggua- gli,lequistionidicuisitrattasarebbero quasi rimaste obbliate dal 1828al1856.

Noinonpossiamo esser dolenti cheilgeometra Francese ignorassela piccola parteda noi presain taliricerche,edinostrimodesti risultamenti.

L'isolamentoalqualecicondannavanolenostre politiche condizioni renderebberogiàragionodiquestofatto;

ma

v’hadipiù,chè noistessi, pocofidentinellenostreforze,provammo sempreritegnoad inviarei nostriumili lavoriaduominiillustri.Eglièverocheuna nostrame- moria approvata pergliAttidell’Accademia nel1853,

ma

pubblicata perlestampemolto più tardi,contiene per incidentelamaggior parte de’risultamentiaiqualieravamopervenutiinriguardoallequistionidi cuisitratta,equestamemoriaavrebbe potuto essere a cognizione del Poncclel;ma comelasua intitolazionenonaccennavaalledette qui- stioni,ed invecoallaRappresentazione geometrica immediatadell'equa- zionefondamentalenellateorica dellefunzioniellittiche,è da ritenereche perquesta ragionesiasfuggitaall’illustrePoncelet nel raccoglieregli elementistoricidaluipubblicati;comeperlaragionemedesimaha do- vuto sfuggireall’illustregeometraRussoMention,ilquale nel1859dà comenuove pel casodidue cerchileequazioni assai più generalida noi dato per due coniche moltotempoinnanzi,c poi riprodotte nellacitata memoriadel1853;

ma

aquesto proposito avvienelacuriosa circostan-

-

3

-

zache nelnumeroistcssodelBullcttinodell’AccademiadiPietroburgo, nelquale trovasi inseritoillavoro delMention,sitrovapureaccenna- to trailibripervenutiindonoaquell'Accademiailvolumede’nostri Atti,incuilasuddettamemoriaè pubblicata.

Completando adunquelenotiziedate dalPoneelet,noirammenteremo cheipriminostri lavoriintornoaisuoifamositeoremirimontanoal1841

.

Inuna memoriapubblicataa quell’epoca perlestampesitrovano queste quistioni ridottealleequazioni più genoralidiquelle incontrate assai più tardidalMention, e da quel punto eraingran parte minorataladifficoltà ebelocirconda.Ivisono date perlaprima volta dimostrazioni analitiche compiute pc’teoremi risguardantiipoligonivariabili iscrittinelleconi- che conlatipassantiper puntidati;edinquantoaipoligoniiscrittiin unaconicaconlatitangentiad un’altra conicavisono consideratiiteo- remi pel triangoloepelquadrilatero;mentrela difficoltàdiunaeli- minazionecifu alloradiostacolo apoterliconchiudereingenerale.Ma inquellamemoriafupureda noi dato, perlaprimavolta,un metodo generale per trovarelerelazionichedebbonosussisteretra glielemen- tididue sezioni coniche l’unaiscrittael’altracircoscrittaadunpoli- gono,ed applicato specialmentealtriangoloodalquadrilatero.Ep- pure eccocomescriveilchiarissimoSalmonnel1858.«Perfarvedere

•l’usochepuòfarsi diquesto principio, noicercheremolacondizione

«(dovutaaCayley,ed’altrondeassaidifficilea trovarsi)affinchèun itriangolosia iscritto inunaconica e circoscritto ad un’altra».Eque- starelazione è precisamente quella da noi data nel 1841.

Mapiùtardinel1843,dopoavorsormontatigliostacolidellaelimi- nazione,che aveanolimitatiinostri primi lavori,ci fupermessodi di- mostrareiteoremi delPoneelet nellamaniera più generale cdiretta,

senza ricorrere ad alcuna trasformazionedifigura,equindididareun metodogenerale assai piùesplicito,per trovarelarelazione corrispon- denteadunpoligonodiqualsivoglianumerodi lati, iscritto inunaco- nica e circoscritto adun’altra;e tuttociò risultadaunarticolo inserito nel Rendiconto dell’Accademia pel 1843.

Ricorderemo ancora che negliAttidel Congresso degli Scienziati,te- nutoinNapolipoco dopodiquell'epoca, fuda noilettounarticoloin- torno^quella singolare eliminazione, essendoilprimo edilsoloesem- pioche per noisifosseconosciutodiunadifficilissimaeliminazione compiutacolsoccorso della differenziazione,cdellaintegrazione.

#

-i —

Nonpossiamo tacere d’ultra parto che essendosi nel1815recatoin Napolil'illustreJacobi,nonsolononisdegnòdimostrarciilsuocom- piacimentopei detti lavori,maaggiunseallenostreformolo alcunisvi- luppidisuo proprio carattere,clicnoiconserviamocomepreziose ricor- danze.Efurono ancoraisuoiincoraggiamentiquellichecispinsero più tardiad applicareinostri risultamentiall’addizione e moltiplicazione dellofunzioniellittichedi1*specie, ch’èilsoggetto della nostrame- moria del 1853.

Risultada questiTattiche noi possiamo pretendereallapiccola gloria diaver datoⁱprimiuna dimostrazioneanaliticacompiuta cdirettadei teoremidelPoncclet, cdiaver datoancheiprimiunmetodoperlaricerca dellarelazione,allineili.-un poligonodiqualsivoglianumerodi latipossa essereiscrittoecircoscrittoadue coniche.Lungi da noiilpensiero discenderealparagonedo'nostri risultamenti conquellirecentemente ottenutida’grandigeometri testé ricordati c versode’quali noi profes- siamolapiù sinceravenerazione;perùsembrache questi risultamenti nonabbiano soddisfattoilgeometra Francese,ilqualeinclinaquasi a giudicareinsufficienti ledimostrazioni analitiche dei teoremi,esembra ancoradiritenerechelaquistionedellerelazionipeipoligoniiscritti ecircoscritti,anchelimitataalcasodiduecerchi,nonabbiaancora unasoluzione praticaogenerale.Infatti,senèilnumerodeilati delpoligono,lesole formolodiJacobidarebberolerelazioniespresse infunzionodi«,deiraggi,e della distanzade'centridc'duo cerchi;

mentregli altrimetodi obbliganoacercare questa relazionepeisingoli valori di n.MasiccomeleformolodiJacobi fanno dipendere questere- lazionida funzioniellittiche, sipuòdirechelaquistione è virtualmente,

ma

non praticamente risoluta;esotto questo aspettoanoisembra che ilgeometra Francese abbia perfettamente ragione. Intanto noiavevamo giùveduto chelenostre formolo potevanobenissimo condurci arisol- verelaquistione sotto questo aspetto; odirisultamentida noi ottenuti formanoilsoggetto della presentememoria,nellaqualeabbiamodovuto riprodurrecon più sviluppoloricercheintornoallasingolare eliminazione dicuisièdiscorso,poiché da essa dipendonoimmediatamenteediteore- midel Poncclet, elorelazionipiù volte mentovate.Eforse non saranno lettesenza interesse alcune osservazioni intornoall'integraledella famosa equazioneclicconduceallefunzioniellittiche.Tuttavolta é giustodi osservare che quasitutte leproprietà notabilissime delle equazioni,alle

qualinoiriduciamoleattualiquislioni,e clicpoidannoorigineapro- prietàimportanti delle funzioniellittiche,potrebberoinversamento de- dursida'teoremi geometricidel l'oncclct;o certosivedrà con piacere che questi teoremi possono ancheimmediatamentecondurreallainte- grazionediquellaequazionedifferenzialericordata poc’anzi, celiofuil soggettodiprofondo ricerche per partodiEulero cdiLagrange.

Cisialecito in finediaggiungereche noinontroviamofondatele obiezionidelPoncelet intornoalladimostrazione del principalede’suoi teoremi data dal Brioschi(*);ilqualeaffattonon assumemadimostra che l’inviluppo dellatoliberodiunpoligonoiscrittoinuna conica coi rimanentilatitangentidiun'altra, siaunasezioneconica passante pei quattropunti(realio immaginarii)comunialledueprime.Madique- stoargomento intendiamodioccuparcene espressamenteinaltraocca- sione,emostreremocheilmetododell'illustregeometra Italianoèforse ilmeglio adatto ad csprimorclerelazioni,dicuisiò discorso,infun- zionedegliclementidelledue coniche e delnumerode' latidelpo- ligono.

ARTICOLOI.

H,cercheintornoad unasingolareeliminatone.

I.Nelle ricerche

,dicuisiamo per occuparci,adottiamoilsimbolo 4.(r.,ej per indicarlafunzione

«»;«;

+

2i(»,

+

»,}»,»,

+

c

+

»,)’+2di>,e,+2*(t>,

+

«.)+/,

dove vre»,dinotanovariabili,ed a,b, c, d, e,fsono costanti qualun- que. Osserviamo che, se pongasi

c

+

d=<e, lafunzioneprendelaforma

a»;»*

+

26,r,

+

^e.)e,e,

+

e («;

+

e, 1

)

+

2d' a r0,

+

2e

(0,

+

^e,)

+

[;

manelsimbolo4^(»,,»,)puòritenersiindifferentementesia1’una,sia l’altraforma.

O

VedigliAonalidinult’iu&ticlje delTorlolini,voi.Vili,cdelTerqueni,voi.XVI

—

6

—

Supponendo unaseriedin-f-1variabilit>0, v^t, odilsi- stemadinequazioni

v.)=0,+(»,,*.1=0 »„)=0,

èevidentechesipossono eliminarelen

—

1variabiliintermedie

«ilt'.i ,

ed aversiuna equazione nellevariabiliestreme v₀o vm ;

malanatura dell’equazionefinaleèdichiarata nelseguenteteorema:

Eliminabidosilevariabiliintermedie dal dato sistemadiequazioni,la relazione Iralevariabiliestreme v₀

ev

tèun'equazionedella stessaforma diciascunadelleequazioni proposte.

Dimostr. Considerandoingenerale l’equazione

*(*,.«.)=<>,

cominceremoper trasformarlainduemodi,ordinandolaunavoltari- spettoaer ,edunavoltarispettoatq,ed ogni volta aggiugnendo e to- gliendoilquadrato dellametàdelcoefficientedelsecondo termine. Così messoper brevità

A —cf

—

^e* ,

C—af —

d' , E—f>d

—

at,

B—de —

b(

, I)~bt

—

ci ,

F —

ac

—

4*, ed inoltre

r,=zA

—

2Br,

+

^(C

+

2D)e;— ÌEcf+Fv},

Y'=.A— 2fir,+(C+2Z>>;— 2£Ì>’+/V, ledue trasformate saranno

[(ar*

+

26u,

+

e)«,

+

6*’+d'«,

+

*3*

+ F,=0

, [(««’

+2

àr

,

+

r|v,

+ +

^d'»,

+

«]*

+ K,=0

•

Ma

leradicide’due quadrati equivalgonoallemetàdelle derivate par- zialidella funzione4(«,->*.)prese rispetto atved av,;adunquedifferen- ziando l’equazione 4-{tVi«J=0,verrà

.X- y. ^‘

X‘

y.

~

—

7

—

Applicando orasiffattatrasformazione a ciascuna delle dato equazionisi ha successivamente

a»! ;><»; a»;

_

^a»,*

y.

=

y.

~

v. y.

’

quinditra le variabiliestremesiha l’equazionedifferenziale

a»o g»,

yjA—ìlha+{C+lU^r-'ìEv\

+ F<,~ —

VA-iB^+(C+ìl),«:—2£ti*+/r„*

'

edilsuo integrale saràl’eliminatache cerchiamo. Ora ciò basta per conchiudereilnostroteorema,perchèsisachelaprimitiva è appunto un'equazione della forma

(2)o* «:»„*

+ W

(«„

+

«.)v>„

+

^<?(v0

+

^»„)*

+

2J¹«„ »„

+

2»’ (e„

+

•J

+

f

=

0;

doveicoefficientia\b\ etc:sonocognitefunzionidellequantità A, D, etc:e diunacostanteche introducelaintegrazione.

2.Madispensandoci dal ricordareleformolodiEulero(*)pel calcolo de’ detti coefficienti,dobbiamoinvece quidarneunadirettaed assai più semplice deduzione.Atal'effettoapplicheremo all’equazione(2) lastessa trasformazione operata ariguardodell’equazione 4-(v,,v,)=0;dimodo cheponendo

A'z=c'

f-e"

,

C=a!f—<e

^% , £'=t<rf'—

oV

,

—

b¹f , jy=Vtf—<fS , F'=a!é

—

V^%, otterremo analogamente l’equazionedifferenziale

!

\/A'-iB'v0

+[C'+W

+£'»;

“ ~

_\/ +,t'

+

^r*+*£'«.• +£'»„*

’

ma

comeledueequazionidifferenzialinonpossono essere diverse,ipo-

o

Initìtutiones catculiintegrafo,voi. I,cap. VI, edilsuppl. voi. III.

— fi-

linomi! sottoilradicalesarannoidentificabili;equindiperdeterminare le seiincognitea‘,b',c'ld',e',favremocinque equazioni

t'f—V e

1

—A

,

Vtf—b'f^B

,

Vf—VV

+ì[Vt/—Jd>)

=

C

+

ZD,

Vd'

—Ve'— E

,

V

é

—VV—F

.

Cosiunadelle incognite resteràindeterminata,cterràluogo della co- stante voluta dalla integrazione;

ma

ponendoVe'

—

d'e'=D-\-it, potremo invececonsiderarele sciequazioni

|

P—VV=A

,

VP— VV=C—

2(., 4

’V—VV^E

, (3) {

(

d‘V—V[

^,

=B

, Ve'—

VV=.D +

n ,

VV—Vb'=F,

I ededurneivalori delleseiincognite infunzionediA,B,etc:edipi, che saràlacostante della integrazione.Orasipuòraggiungere questo sco- podiunamaniera molto semplice adoperandoideterminanti(*).Infatti segue dalle precedenti relazioni chede'duedeterminanti simmetrici

A B D+

(*

V V

d'

i>=

B C—

2i*

B

.

Q= V e

V

D +

f*

B F

d'

V

r

ilprimo è reciproco del secondo,esaràquindi

P=Q’

.Inoltresup- postocheilreciproco deldeterminante

P

sia

A,1?„ />„

» C. E, , />, £„

F

m

(*)Malgradoilrispettoelavenerazioneche professiamo versodell’illustroPoncelcl,nonsa- premmoaccetta*lesuoideoa riguardode’ doterai inasti(Operacitala,notaIII).Noipotremmo qui recareesemplidiquestionidifficili risalutounicamente perl'ajnto delleproprietàdiqueste funzioni;

mapernon allontanarcidalnostro soggettocibasteràdifarnotare ebe,nellepoche occasioniincui nelcorsodiquesta memoria siamoindultia giovarci de*determinanti,cisarebbestatocertamente possibile di evitarli;maa pattodiinfastidiree stancarelapazienzadel lettoreconforatole inutil- mente complesse,econcalcoliscuraggianti,coni'èbenfacile disperimentare tentandodiritrovare lenostre conchiusionì con mezzidiversi.

— fl-

uìconseguenzadiproprietàconosciutede’determinanti reciprochi sarà

t

4,=£C-2„]-£‘

,

D,=BE-{C-fy.,(D +

?),

B„=zE\D

+

?)-llF ,

E„=D(D+,i)-AE

,

C,

=AF -

, F\=zA{C-ìr)-B',

e quindisiavrannoleseguenti relazioni

<?«'=/t„ , <?c=C. , Qc'=E,,

,

Qf=D,

, Qf

=

F„, lequali, essendoQ

= P

^T,simutanoin

P'*'=A

n , p*c'=Cn , p''t'=Eu, (5)

p'-b'=B„ . P‘**=D. ,

=

Egliè chiaroclicqueste equazioni determinanoivaloridelle incognite a',b', eie.;

ma

siccome sostituendoli nella(2)luttiitermini acquistano ildivisoreP*,che perciò òlecito disopprimere, ne segue che per va- loride’ coefficientidell'integralesipossono ritenere semplicementele quantitàA,,

B

,etc.;e quindi l’integraledivieneinultimaanalisi

(0) +2B„(ti_{o -t-0.)«o}v,+ +2P„r0®,,+2E,(«„+«J

+F,=0

.

Abbiamoadottatope’coefficientidiquestaequazionel'indico»perchè serva a ricordareeh’essa esprime l’eliminata corrispondenteadunsi- steoiadinequazioni;talché quest'indice sarà2,3, etc.sceondoehòle equazionidatesono due,tre,etc.;edingeneraleconverremodirap- presentarlacon

t.!r0^.».)=0•

Ma,comeconseguenzadi siffattanotazione,sicomprendeche nella ipo- tesi di

n=t

,leA,,I),,etc:torneranno adesprimeròloa,è.cto.

3.Sarebbe quasi superfluodidichiararechenelnostro casolaco- stantei*introdottadalla integrazionenonè punto arbitraria,dovendo ingenerale soddisfare a questa condizione che, dandosi un valore ad ur-

I

—

10

—

bilrioaduna dellevariabili vae»„,nerisultiperl’alIraunostesso va- loretanto dalsistema delle date equazioni,quanto dall'integrale.Una delloipotesiopportunesièdisupporret'0

=oo;

ed allora sesielimi- nanotutte lenvariabilidal sistemadin-f1equazioni

t(®,»;=0,|(e,,»,’=0,j;r,,r,)=0 ,

siavrànella risultanteun’equazioneclicdeterminailconveniente va- loredellacostante#x.Potrebbe invece supporsiiy=0,cdinquesta ipo- tesi laprima ed ultima equazione sarebbero rimpiazzate da +(0, vt)

=

0 e4-,(0,»)

—

0.Egli è poi manifestoclic siha

,tt,)=ar;

+

24»,

+ c=0

, •!,(«>.»„)=.4„»,‘

+

2fl„»„

+ C\—0

, 4.(0,»,)=»»:

+

^2e»,

^+/=0

^, lJ0,vJ=sC.t;+2Es.

+ F.=0

. Osserveremo tuttavia cheilteoremasullaforma della eliminata è ritrattoindipendente dalladeterminazione della costante;ilcheingene- rale£unaricerca quasicosi difficilequantolastessaeliminazionetra ledate equazioni.Mapure volendo darneunesempiosupporremo»=2;

cdin talcaso, adottandolaipotesi dir₀

—<x

>,l'equazioneche determina ilvaloredi\jsiavrà nella risultante delletreequazioni

oc;

+

24»,

+ »=0

,

nt;r;

+

26;«,

+

»,)»,»,

+

»|»,

+

«.)*

+

2rf»,v,

+

^{2r(»,+r,)-(-/,}=:0, il,»!

+2

fl,r,

=0

.

Seco’mezzi ordinariisieliminar,traleprimedue,esiponga per compendio

x

= —

24*)(24e

—

^e'

—

ciì'

—

[ae

—

4c)*,

2^

=

^(od'

—

W)[lf—cc]

—

af

+

cd~'ìbe[ttt

—

he) ,

y=(ae—te](bf—ce)

—

ì[af—^c’)' ,

siha l’equazionedi2° gradoin »,

«*!+2p»,

+ r=0

^,

ed ora resterebbe ad eliminare»,traquestaultima equazione, e quella

— li-

die precede.Maattualmentepossiamo tenerounaviapiùsemplice cer- cando seesistaunvaloredip, che rendaidenticiicoefficienti do'loro termini simili;chè allora essedarannounostessovalore pere,.Cosi bisognerebbeche fosseroverificatead un tempolo trecondizioni

4

,=«

,

R.=?

, C,z=y,

lequalisiriduconoagevolmentealleseguenti

(oc

—

b’){c’

+

2crf

+

af—^ibe

—

J;«)

=

0,

ibd—at)(e*

+

2cd

+ af—Uc—ì^—Q

, [c'

+

af—^2ir*

—

4(6»

—

erf

+

t*)*=0;

masiccomeilfattorech'òcomunealledue primesipuò scrivere

c'

+

af

—

2Ae

—

2{A«—ed

+

i»),

sifamanifestocheledue equazioni sono effettivamenteidentificatepo- nendo

equindirisulta

c'

+

af

—

24«=2(/«

—

erf

+

ii); 2r*

—

c'

+

2cd+af

—

4

be.

Eccoadunqueilvalore dellacostantepconvenientealcasodiduo equa- zioni4-{r„. *,)

=

0,+(r,,»,)

=

0;eperòrestanocompletamente de- terminatiicoefficienti dell’eliminata t>J

=

0,ossiaicoefficienti dell'equazione

•4.vi»;

+

2 »,(»1)

+

^e,)t’,>t,+C.(»,+v.)^,

+

2C,rge,

+

2£,>0+i>,l

+ F,=0

.

nonavendosi che asostituirenelleformolo(4)ilvaloretrovatodip\

sicchérisulta

(7) 4,=(ac

—

b'i[\be

—

[cq-d)*J

—

\bd

—

ae)' lì bd—ac)af+c‘

—

ibei

—

(ac

—

b'(ic—hf) C'

=

(ac

—

b')[cf

—

«’)

—

i[af

+

^c'—ìbef

»,

=

[

bd

—

_{«) :*}

-

bf)

—

{[4t«

-

(e

+

d)’] [af

+

^c*

-

24e)

£,

=

;(d'—bfi{af+c^,—'2bt)

—

[bd-ac)[ef—V) F,=(cf—«’)[46«—[c+d']-[da—bf)'.

—

12

—

5.Meritadiessernotato che,essendogiàconosciutiivalori de'coef- ficienti dell’eliminataperdueequazioni,sono perciò conosciuti anche quellidell*eliminataperunnumerodiequazionichesiauna potenza di 2.Considerando per esempio4equazioni

4 ®./=° .

ÌK*®.)=0

^{• 4(«>. .t»s})=0. 4[*,, vt

)=0

^.

sesieliminat>,tra ledueprime,ee, tra lealtredue,sihannoledue equazioni4-,(e0^,r

t)

=

0, i*,)=0;equindieliminandone«,siha evidentemente l'equazione4-,Ki

tj=0

,valeadire

Atr: »:

+

ÌB,[*0

+

e4;»„ t,

+

C,(*,

+ vj +

20,t,t>4

+

2Et(e

0

+

e.)

+ F

,

=

0,

doveleA,,#,,eie:sicompongonoconlo

A

t,

B

t,etc:nellastessa maniera con cui queste ultimelosono conle a, b, etc:talchésiha

d4=(A.C.

E,-[C

,

+ DJ

]

EJ

B'

—

_etc: eie: etc:

Similmenteicoefficienti dell'eliminata per otto equazioni, A,,B,

,

etc:

saranno formatinello stessomodoconle

A

i,Bi,etc:;ecosi dise- guito(*).

() Ilcasodidue equazioni, o piu generalmentediun numerodiequazioni chesiauna potenza

•li2, sembra^ilsolopelqualeilteoremasullaformadellaeliminalapossa essereverificatoperle tic

ordinarie.Supposto per esempio ebesitrattidieliminarelavariabile r,comunealledue prime equazioni,ordinandolerispettoaquestavariabile lomedesime divengono

(a»:+2t/c₀

+

c>; +i(6c;+rf't>0

+

c)c,+(c«:+2r®0

+f)=0

^.

(a«:+2i«I+c)c;+2(ic:+rf'c1+e)t),+(er;

+

2rtJ,

+/}=

0. Dopociò, se sirendano ugualiunavoltaiprimi,edunavolta gliultimi termini,e siprenda ogni volta la differenzade’mulUmenti,sarifacile divedere che ciascunadelleduedifferenze Itaperfat- toreilbinomio r«,ch’èlecitodisopprimere; c quindisiottengonodaessepere*ledue espressioni a1*grado

_

^,3(ag—bc)v0vn-f{af—^c*)(t?0

+

ì(l>f—ce) V>

*

(iò^B- <uf'ir0ct+(6c

—

ae)(r0+*«)

+ («P—

Ito)^* v

_

a

+

(<*

—

fc/~)(c0H-1>

J_{-f (2«*}

—

d'f) f

‘ 2(o*

—

6c)vc».+(«/“—

+

+2(6/’—e«) Orabastaugnagliaretraloroquestiduevaloridi »,per averel’eliminatainv„er»,laqualeevi- dentementeè riducibile allaformaprescrittanelteorema.

—

13

—

G.Ponendo mentealleforinole₍₅₎siosservacheivaloridi a',b', etc:

non sono piùlegittimisesia

P=

0, vale a dire seilvalore conveniente di/iverifichil’equazione

A

B

Z>

+

ii

B C—%.

E

fl

+

li

E F

=

0.

Intantosiccomele(3)invirtù delle_{(5) si}mutanoin

{

C.F.—B;

=PA

,A^F"

—

^D*

=

J>(C-»(.),

B„D—A,E„=PE

,

D.E.-B„F=PB

,

B.E.-C.D,=P(D +

*),

A.C-B

l;

=PF

,

sivede che, se

P=0,

siannullanoiprimimembridiquestesei rota- zioni;e ciòdimostra che nellaipotesiattualeilprimomembrodella(G) òunquadrato perfetto,chepuòmettersiinevidenza moltiplicandola per A., e poi cangiandoiprodottiAG*,A^E^,

A

mF, in

D

\, 0*.

Daciòrisultache, se

P=0,

l’eliminatacorrispondentealdato sistema diequazioni è dellaforma

[A„u0e„

+

^B,(e,

+

»J

+ CJ =0

^.

7.Leespressionidi

A,B

m,etc:definitenelle₍₄₎sonosuscettibili di unanotabilissima trasformazióne. Quelle formoloinfattiequivalgonoad

A,= CF—

E

‘—

,

D

n

=BB —

CD

+

{2D

—

C

+

'2|*)i»,

£„=

D£

— BF +

£(» ,

E

n=zBD

— AE +

Be ,

Cn

z=AF—D

^'

—

^{(ÌD +e)(»} ,

F,=AC-B‘-ÌA*

;

ma

siccomede'duo determinanti

A

B D

n bd

B

C

E

,

R=

b e e

DE

F

def

ilprimo,invirtù delle(1),èreciproco delsecondo,c quindisiha

Ì

Ra—CF — _E

t

,

Rc=AF—D'

, Rt

— BD —

AE,

Bb=DE—BF

,

Rd=BE-CD

,

Rf=AC—B‘

,

— U —

cosi leforinoleprecedentisitramutano nelle seguenti

D

r

—Hd +

2D

—

C

+

2*) ,

£,=/!«

+

B?

Cadeorasott’occhioche, sesiabbia

n=0,

^{ivaloridiA„,}

^D

^etc:si

riducono adIta,/ìi,etc:;cl'eliminata, soppressoilfattore

R

,sarà semplicemente

*0=0

,ossia

«:•„* +26(i'_o

+

eJroe„+c(r_#

+

e.)^,+-2rfroe„

+

2c(r’,

+

rJ

+

^/‘=0.

Inquestaipotesiadunqueicoefficientidella eliminata risultanouguali a quellide’ rispettiviterminiomologhidiciascuna delle date«equazio-

ni;ed è conseguenzadiquestofattoche:ilsistemadelle dettenequazioni non puà, in generale,coesisterecon l'equazione-|(v0,

vj=0;

ma, perchi ciòpossa aver luogo,ènecessarioebastacheilvalore dellacostantei*cor- rispondenteaquellenequazioni,veri/ichilarelazione/*

=

0,laquale adunqueesprimelacondizione perlacoesistenza dellen-f-,1equazioni

|(».,e,)=0 , J.(e,,e,)=0 *(»_,,

®J=0

, +(r<,.*J=0,

cdovrà potersene dedurre conlaeliminazionedi tutto le variabili.Ma dovendoquestovariabilispariredalfinalerisultamento,saràlecitodi dareunvalore arbitrarioadunadiesse, e porro per esempior 0

=oo

;

cheallora lacondizione,dicuisitratta,potrà ottenersi molto più age- volmente eliminandotulle lenvariabilidalle n-f-i equazioni

arj *f

+

c

=

0p 4-C*,.®.)=0 , l(e,,es)=0... !(»_,,*>J=0,

ao•

+

2bvn

+

c

=

0.

Inbrevelacondizioneft=0non è chelarisultantedelle n-f-t equazioni.

8.Segue da ciò che precede che,ingenerale,nonesisteunsistema divalori dellevariabili taleche possanorisultare traloro ugualiledue variabiliestremet.e dappoiché,cangiando nell'ultima delle daten

1 A^=:Ra

—

2

Fu ,

*=/*& +

£>

C.=Bc—

(ÌD+{t)r .

—

15

—

equazionir,in laquistioncdipenderebbe dal sistema incompatibile

.

K

®,.*.)=0 ;(

V

,,»„_.)=0,4(e_,^,e,)=0; e,perchèilproblema fossepossibile,bisognerebbeche fosse soddisfatta unacerta relazionetra lecostanti,eliogiàsièdettocomepossaotte- nersi.Ma^sequestarelazioneèrealmenteverificata,ilproblema da impossibile diverrà indeterminato, odammetterà un numeroinfinito di soluzioni,talchédando unvalorearbitrarioadunadellevariabili

,

quellidellevariabiliestreme r,cr, risulterannosempretraloro uguali.

Supponiamooracheledateequazioni siano dinumeroparin

=2r

. Considerando a parteledueeliminato corrispondentialleprimerequa- zioniedallerimanenti, questodue eliminale saranno

+2fir(»c+vJrorr

+

^C,(»#

+

^e,')*

+

2»ri;»»,

+

^2£,(B# -|-eJ

+ F,=0

,

+

^2fl,(r,

+

rj»rr,

+

(!,.[»,

+

»„^)*

+

^20,e,».

+

2fi,(D„-f-»,)

+ F,=0

;

ed ordinate l’unarispetto a ti„, l'altra rispetto av_m,diverranno

[A,v‘+2flrtv+CJe;+2[fl,o;+(C,+/),|tv+fi>„+Cre;+2fi,v,+F,=0,

[d,t;+2fi,«,+C,>;+2[Bc;

+

(C,+Z>,|r

r+EJe.+C,r;

+2£

rv,+F,=0, Sottoquestaforma è palese che, qualunquesiailvaloredi vr,lodue equazionihannolemedesimeradici;equindi v0ov,saranno radicisia dell'una,siadell'altra.Volendoadunquecheivalori di »„et>„sianotra lorouguali,ciò importache l’una ol’altraequazione abbialeradici uguali,osarà perciòunquadratoperfetto.Cosi:

Ammettendo che debbanocoesistere le2requazioni 4(V«,)=0^, *,)=<>, ,t(ejr_1,v_o

)=0

,

l’eliminata in v₀c v_,corrispondentealleprime, oalleultimerequazioni, saràunquadrato perfetto;eperòses'indichiconpr^ilconveniente valore dellacostante,saràsoddisfattala relazione

A B

D +

p,

/>= B

C—

2», fi

=0

.

D + £ F

Leforinole delnumero7conduconoagevolmente adunosviluppo

— le-

diquestodeterminanteP,che merita per diverse applicazioni di esser messoinveduta.Tenendopresentolanotaziono adottataneln.°2pel reciprocodiP,sihadapprima

P=AA^ +

BB.,+(D

+ k

^)D,;

indisostituendoad A„,

D

„,D„ivaloridatinelle(IO),edosservando che, per essereildeterminante£reciprocodiR,siha

echesihadipiù

AF—D'=cR

,

BE—CD=dR

,

af

—

il'

—

C , bt

—

ni

—

I), siotterrà

P=R‘ —

2i!(e

— +

£!&«

—

^Acd+0/¹

—

d*)|z* +(*,'>

osott' altraforma jP=[R

—

(

e

—

rf)(»,]“

—

(c*

+

^2«t

+

af

—

Me

—

2?,)t»,.

10. AffinchèivaloridiA^,

R

,etc: definitidalle formole(4)possano esprimereicoefficientideU’climinata corrispondentealdato sistemadin equazioni,èuopochelacostante

f*ricevaunaconveniente determina- zione;

ma

^sequesta costantesiriguardacomearbitraria,edinotato conn.unsuo valore particolarequalunque,siponga percompendio

A^:,ì

=F(C-2iz,)-f

, I>^i!

=«£_(C-2O(0 + O

^.

B'

=zE[D+r,

)—BF

,

E‘'=D(D+n,)—AE C‘‘=AF —

(0

+

(»,)* .

F

^:,)

=rA(C— 20—

B‘

ed inoltre

4^;,’<«V.0=

+•,)*

+

^2fi’fl*,».+ìE‘‘(v,

+

*,)

+

F"*

,

equindisiconsideriilsistemadinequazioni

;'( v.¹t1

)=0

, ,*,)=0 t^'“

W

^..»J

⁼⁰

^,

corrispondentiordinatamenteaiparticolarivaloridellacostante, ,

—

17

—

questo sistemasaràdotatodellaproprietàmedesimasvilup- patanel n. 1;cioè a direche:

Sesieliminanolevariabiliintermediev,,v, v

o_l,f eliminalanelle variabiliestreme v

0ev. iun'equazionedellostessogradoe della stessa for-

ma

diciascunadi quelleda cuitrae origine.

Per dimostrarlo basta osservare che l'equazione 4''(<Vi )

=

0èun integrale particolaredell'equazione poichésideduce dal

suo integrale completo con dareallacostantearbitrariailvaloreparti- colare(t eda ciòrisultache questa equazionedifferenzialeèlastessa chesiotterrebbeapplicando all’equazione 4'*(rr>».)

—

0lamedesima trasformazione operatanel n. 1.a riguardo dell'equazione

4

(v

n

^tq)=0- Adunque,sesiapplicaquesta trasformazione a ciascuna delleattuali equazionisiavràsuccessivamente

à»; à rl

_

^{àrf *'e‘}

quinditra le variabiliestremer„ei\ siha^1'equazionedifferenziate

<X _ +

^3»..

y/v.

~\ZZ

^'

edintegrandolasiotterrà1’eliminata nello dettevariabili.Maquesto integrale èsempre1’equazione(6);dunque1’eliminata è,comevoleva dimostrarsi,un’equazione della stessa formadiciascunadiquelleda cui trae origine.

ARTICOLOII.

Unceso particolare detta precedente eliminazione.

11.Laquistionedicuicisiamo occupatioffreuncaso particolare, cuipotrebbe ridursiilcaso generaleperviadisemplicissime trasfor- mazioni,eche perciò merita più accurato esame.Quandonelledate equazionimancanoidue terminiincuifiguraa1*gradoilbinomio questidue terminimancherannopuro nell’eliminata, perchè es- sendo

b=

0,e=0,nelle₍₁₎siha pure

B—

0,

£=0,

cquindisiavrà nelle₍₄₎0^

=

0,

£

a

—

0.Adunque,suppostoingenerale 4(r,,v,)=or;«; +c(v,

+

v,y

+

ldc,t,

+

^f=:0,

3

—

18

—

ovvero(n°1)

*ù~ m

r V^*"t*r(r*+^*)

+

2i^,B rCJ

+ ^sO

.

sesiadatailsistemadinequazioni

t(r,,»,)=0 , ((»,,•„)=() ... -t(»_,.«’J=0^,

eliminandonelevariabiliintermedie,

1’eliminata nellevariabiliestre- meti

0ee.sarà un’ equazione delia forma

(11) ^»:»:

+

C.(«.+».r

+

2/>.r.«.

+

#^,

.=0

;

edinvirtù delle₍₁₎e₍₄₎siavrà J=ac[a( i'—Jc), t„

=

o/c‘

—

[cd

—

it)’,

i).=(

cd-riW-f-W

.

12. In quantoalladeterminazione della costantenquesta ricercapuò essersempreregolataconlenormegiàdateperleequazionicomple- te(n° 3);

ma

nel caso attualeèpossibiledieluderele difficoltàche pre- sentailcaso generale.Noicominceremoper osservare che se1’equa- zione(11) sidivida per c(af

—

d‘

—

2,u),esiponga

(12) afe

*

—

[ed

—

^*

lamedesimadiviene

(t3) «'I«S

+

«. (®.

+

^{«.)*+ r}0»,

+ f=°

^;

e sotto questa forma hailvantaggiodinonaverecheduesoli coefficien- tindoversi determinareemodm,perchè nelprimo ed ultimo termine sono riprodottelestessequantitàaedfche figurano ne’corrispondenti terminiomologhi delle date equazioni.Maoltre aciòinluogodincon- verremodiadottarounodiqueiduecoefficienticomecostante dellain-

-

19

-

tcgrazione;cd allora, eliminando dalledue equazioni(12),traidue coefficienti c„ edsihalarelaziono

i/*

+

2c„rf,+

af

—

^d*

—

^2erf

: c,

—

af~^o

laqualedetermina l’unoinfunzionedell’altro,edallaqualepuò anche darsilaforma

(14) c(af

—

d‘

—

ìeJtdn)=en[af—d‘

—

2ed).

13.Primadioccuparci della determinazione de’duecofficicntifaremo due brevi osservazioni intornoallanovellaforma della eliminata.

I.Ammettendochesianulloilvaloredi e,,l'eliminata diviene

or.*r;

+ + f=

0;

masiccome nella stessaipotesi larelaziono(14) siriducea

ne segue cheilprimomembrodella eliminata èunquadratoperfetto, chepuòmettersiinevidenza moltiplicandola pera, epoi cangiando af ind‘; e perciò, sesiabbiac„=0,l'eliminata corrispondentealledate equazioni è della forma

(or0e.

+

<(„)*=0.

Eevidentechesipervieneallastessaconchiusione,seinvecesisup- ponga d‘

—

af,perchè dalla(14) risultac„=0.

II.Ammettendoinsecondo luogo chesiabbia

e—

e,sirilevadal- la (14)chedebba essere ancoraà==d. Laondeaffinchèicoefficientidel- 1’eliminatapossanorisultareugualia quelli do’corrispondentitermini omologhidiciascuna delle date equazioni bastachesiaverificata la re- lazione

c=c;

laqualeadunqueèlacondizioneaffinchè ledaten equa- zionipossano coesistere conl’altra 4- (e.,»„)=0.

14. Ciò premesso noi passeremoalladeterminazionede' coefficienti C_medM,prendendo più specialmenteaconsiderareilprimoe,(;eseguiremo a quest'uopoilmetodogiàprescritto(n* 3)per determinareìdgeneralela costante vale adiresupporremov„

=

ao,ed otterremo l’equazione,

-20 —

clicdeterminailvaloredi c_,eliminandotulle lenvariabilidalle

n+1

equazioni

ae'+c

=

0,

4 (e,,e,)=0 , 4e,.i>s)=:0 ... 4(e_,,ej=:0,

at'-)-e„=0>

laprima ed ultima delle quali sono ciò che divengono rispettivamente laprima delle date equazioni cla (13)perlaipotesi di r.

=oo

.

Ora noivedremocheilvaloredi c„ sipuòsempreesprimere razional- mente;mainquanto ad,possiamo solo limitarci ad affermare che può ottenersilostessointento seilnumerodelle equazioni èpari. In fatti supponendon

—

2r l’eliminata diviene

(15)

+

®J’

+

W„e,»,,

+ f=0

^.

Intanto,seimmaginiamoledueeliminatecorrispondentirispettiva- menteallaprima edallasecondametàdelledate 2r equazioni, potremo rappresentarlecon

°®I*V‘+e,{*.

+

r,)'

+

^2<f,e,t>,

+

f=s 0,

«®;i';,+*,(®r

+O’+

^2,C,

VV+f=

⁰i

ma,ponendovii'r

=oo

,avremo

or;+e,.=0 , ot;,

+ e„=0

,

enerisultaevidentemente

v„

+ r„=0

, ar„e„=e,. Per questo forinolela (15) siriducea

2v,<*.,+c;+v=0i c quindisiha

(10)

e'+af

*c.

Cosiilvaloredidtrè espresso razionalmente per mezzo^{di cr;}

ma

do-

-

21

-

vendo essere razionale,come vedremoorora,ilvaloredi c,,ne segue die della stessa naturaèquellodid<r^.

15. Primadioccuparciiugenerale della ricercadi dobbiamoesa- minare brevementeiduecasiparticolari di

n=2

edn=3. Supponendo adunqueledueequazioni

a*:®«+«(»:

+

®ì)

+

2d'e0e,

+f=0

^,

«w;®: +«(*:

+

e:',+2d'®1»,+/'=o

,

e l’eliminata

05:®:+*,^:

+

®,)*+2<{,r0t

>+/'=o

,

l'equazioneclicdeterminailvaloredi c_saràlarisultante delletree- quazioni

«liti +e.(*t

+

®5)

+

2d'®,t>,

+

f=zO, avi

+® =

0 , orj

+£,=0

.

Moltiplicandolaprima pera,cominceremopersostituirvi

—

c

c

—

in luogodi«e;ed ar^j indi riducendoinun membroilterminein v

:vt, c ripetendolamedesimasostituzione,avremo1’equazionedi1° gra- doin c,,

(17) 4afc,

=

;«'—ufi',

edinconseguenza sarà :.•*

r

_ <*—

r

• ted"

Inoltro,essendo pariilnumerodelledateequazioni, perdeterminare<i_

possiamo applicarelaforinola_(16);equindi,siccomec,nondifferisce dae,avremo

(18) <*.

= —

^c'+af.

2c ¹

e pertalguisaP eliminata corrispondentealledue equazioni date sarà infine

(19) o®;®:

+

^(«*-

icif

+/=0

.

Siritroverebbequestaequazione,siacercandola direttamente con ua

metodogiàindicato (notaaln"5), siaponendoà=o,

c=o

nelle espres- sionidiA

t^{, ,}etc.determinatealn"4.

16.Assaimcnsemplice éilcasodim=3.Suppostele treequazioni

}(*„, t,)

=

0 , »(«,>«,1=0 , t;»,,e5

)=0

, e1’eliminata

+

fjl'o+»u*+2rf,e,e,-f^=0,

sostituiremoalledue prime rcliminala corrispondente

orli'’.+C, >,+«.)*

+

2d.r)1e,

+ A=0

; esiccome questac laprecedente,ponendor,

=

ce,siriducono ad

#r;+c1

=0

, ar;

+

r3

=0

,

cosieliminando rtcr.dallaterzadelloequazioni dateavremolare- lazione

(Sto; 4d''e.ri

=

[«!

—

a

f—

*.(«»

—

«)]’.

laquale èdi2*grado rispetto acs,

ma

unasemplice osservazionerile- va eh’èpossibiledidedurne un'altradi1° grado.?ioivediamoinfatti clicla(20)è soddisfatta supponendovi cs—c,perchésiriduce_{alla (17),} uguaglianzaclicdivieneunaidentità colsostituirviilvalore,che essa stessadà perc,.Daciòrisultache se questa sostituzionesifaccia inve- ce nella relazione(20) lamedesimadovrà esseredivisibilepercs

—

c;o quindi piùnonrimane che a porreinevidenzal'altro fattore.

Dividendoiduemembridella(20)pc’duemembridella (17), e quin- diliberandodafratti,siha

c5.>*— af'

=e

[ce,

—af—

e,(e,

—

e)]*;

maessendo identicamente e'

—

af—rr,

—

o/"

—

c(c

t

—

r), ed inoltro

ccs

-

af

—

c

t(r,

—

c=cc,

—

o

f—e

t(e,

—

e), larelazionedipoc'anzidiviene

“A—

•

Sviluppandoiquadrati col teucreinvistaiduebinomii(cc,

—

•af) o

—

23

—

(c4

—

c),è evidente chesidistruggonoitermini provvcnicntida'doppii prodotti, e nerisulta

«»(*»—«)(«.—«)’=(«>—*)(“.—<)*•

Infinesopprimendoilfattorec,

—

c

sihalarelazionedi1“gradoin e,,

«s(e.

-«)=(«.—

af‘:

c^siottieneinconseguenza e

_K^i^

5 ««.

—

«;*

Se piacciadieliminarec

tnonsiha che asostituirgliilvaloreche ne dàla(17),esiottienein talguisa

(SI)

[(e'-a/r-WY

1 '

17. L’analisiche precedeciguida a determinareingeneraleilvalo- redi c„.Supponendo adunque nequazioni e1'eliminata

«'i:»;+e.(»o

+

®J’+^2<,.e

o®«+A=0

,

comincercmopersostituire alloprimen

—

1equazioni l'eliminata cor- rispondente

“leu.

+

+».-.)•

+

2<L-. ®»®.-.

+f=0

; indisupponendoe<,=ao

,ridurremo questa equazionee laprecedente ad

or

+

e„_,

=0

, ««£

+

e

„=0

;

edinseguitoelimineremo er, dall’ultima dello date equazioni

«®I-.®*+«(®!U.

+

®»‘)

+

®„

+f—0

• Si perviene intalguisaallarelazione

c.—af)',

ecambiandovininn

—

1avremoancora

®._.

= «_ + —

^V)’•

-

2i

-

Dividendolodue ultimo relazionimembroamembro,eliberando da fratti,verrà

—“/)'=e.-.(«_,

+Cf.-V,

af'

Si soddisfa aquesta relazioneponendo c,=c^,;equindi, ridotta a ze- ro,saràdivisibileperc

:

—

c._t^.Puòsubito mettersiinevidenza1*altro fattoredandolelaferina

«.ti"—-o/'.i— -af, !

poichésivede che,sesisviluppanoiquadrali col tenereinvistaibi- nomii(ec„,

—

af)e(e,..,

—

e),sidistruggonoitermini provvenienti

da'doppiiprodotti,e siottiene

Sopprimendoinfineilfattore e.

—

sihalarelazionediI*grado ine,

e nerisulta

(22) Cm

—

—

<*/T.

!ee„.

,

—

a

f^i'

Questa formolafadipendereilvaloredic_daquelli dic_{m_,}ec_

€;ed es- sendo già notiivalori di c

>ecJtsivede chelaquislione è risoluta per qualunquevaloredell'indicen.

AHTIC0I.0ili.

Alcuneformale di geometria analitica.

18.Supponendoche ed y sianolecoordinatediun punto

V

di una conica

V

datadall'equazione

l'=:y'

+

tr'

+

«nx

=

0,

dinoteremo con ilrapporto ym:.r;rapporto chechiameremoelemento delpunto

V

^.E dovendosussistereledue relazioni

, y*+t*;

+mx.=0

,

—

25

—

lecoordinate delpuntoinfunzione del suo elemento saranno espresse da

n» ».=* ^me,

»;

+

<

'

QuandoilpuntoKcoincidecon l’originosihat).

=

oo;ocoincidendo colpunto della conica diametralmente oppostoall'origine,sarໄ=0.

19.Perleconvenzioni adottateuna cordaVrV,dellaconica

V

avreb- be per equazione

v

~

jrEjr'i*—^*')!

ma

quindiin virtùdelloprccodonti espressionidix. cdtj ,questaequa- zioneprenderàlaforma notevole

(t—

+ +

.

Selacorda è parallelaall’assedelleascissefra glielementi delle sue estremitàvrevsussisteràlarelazione

i

—

r,r,=0;

e soinveceèparallelaaquello delleordinatesiavrà

V.

+

r,=0.

Ammettendopoichelacorda

V

rV,debbaffessarcporun punto(*,(3)

ovunquesituatonelpiano della conicaV,glielementivr e v.dovranno soddisfareallarelazione

(I

— +

e,)jS

+

^'I‘=0, laqualeingenerale èdellaforma

LvrV'

+

M(tr

+

»,)

+

A'=0.

Mareciprocamente,supponendo data una relazionadiquesta forma, va- le adiresupponendo chelocostantiL,il,

N

abbianovaloriqualunque assegnati,èchiaro che ogni corda della conica V,laquale congiunga

-SC-

duc punii della curvaidicui elementi soddisfinoa siffattarelazione,

passerà perunpunto determinato dalle coordinate

m L m\f

* == IL

+ N

^{’ ?}

~IL +

JV

!

equindirisultachelaproposta relazioneesprimeilsistema delle corde dellaconica V,lequalicircolanointornoadunpuntofìsso.Epoima- nifestoche questo punto starebbesull¹assedelleascisse,osu quello delleordinate,secondochè fosse oSI—0,o 0.

20.Immaginiamoun’altraconica

V

rappresentata dall'equazione V—ikX'+ì^xy

+

yy'+ìtx

+ ìiy+f—O

.

Ènotoche,se questa conicasiatoccata dallaretta pr

+

jy

+ r=0

,

tra lecostanti delle due linee sussisteràlarelazione

« P ?r

P */»*

??1^»

r Si f

0i

laquale,ponendoiduedeterminanti

• fia «. ».

A

=

P7^• .

*,=

fi, V, ».

a « * *. ». ».

ilsecondode’qualisiailreciproco delprimo,sisviluppain

*«P*

+

2&.PS

+

r, **

+

^2a.pr

+

2.,yr

+

^?,,-•

Ma

supponendo chelarettatangente di

U

sialacorda VVV, della coni- ca

V

poc' anzi considerata,sarà

p=l—v,v, , q=v,

+

vt,

r=m

;

—

27

—

equindimessopercompendioed uniformitàdiscrittura

Ì

«=

«, . (t*.

+

">*,).

b— —

fi, , «

=

Ifi,

+

^{!««, .}

e=

y, ,

(—

i’i.

+

^afmSj+m’y,,

lacondizioneperchèladettacordasiatangentedi

U

risulteràespres' sa da

(24)

or»

+2*

+

«^i«>,.

+

e,ì,

+

^2di>,e,+2«{e,

+

„,)

+

^/=().

21.Leformole precedentidannoluogoad alcune utilissime relazio- ni.Siccomeildeterminante A_ è reciprocodi

A

,per una proprietà co- nosciutade'determinanti reciprochiavremo

tA *=r,»,--«; . *fi=*,‘t

—

fi.t, .

Ay=»

_ltl

—

*;. (*“) <

I =/•,*.—r,*,, *•=?,*,—»,*, . A?=*,y,—fi',;

ma

ricavandosi dalle(23)

*,= a >

mì,= —

(la+d) ,

fi,=

—

i ,

mi,=—

(Ib

+

e) ,

y,= e , ”•>,= l'a+Hd

+

f, sesifacciapercompendio

}

A

=

cf—l' ,

B—dt —

bf ,

c=«f-«r

,

D—be —

ci ,

E—bd

-ac ,

F=ac—

ft*,

epongasiinoltre

(

x'=zfF—ÌID+A

, l'=zm[!F—D),

(87) ìfibaslE

—

B , .'=m E

Iy'=C . t

'=m'F

lerelazioni(25)diverranno

Am'c—*¹ 38)

Am'fi=fif 4in*yzry*

Am'SsJ' Am'tzzzd,

t'•

—

28

-

Segue da queste ultime reiasioni chelafunzione

V

s=«^,x*

+

^{2^'*y}

+

a^,,y"

+

28'x

+

2«'y

+

y'

differiscedallafunzione

U

soltantoperunfattorecostante,essendo e- vidcntemenle

IP—

Am*

V

;

e quindilaconica

V

nonèdiversa dallaconica V.

22.Supponiamoorache,invecediesserdatalaconicaV,siadata larelazione_(24),valeadireclic lecostanti a,b, c, d, e,fabbiano va- loredatiqualunque, edimmaginiamodescrittalaconica dell’equazione Li'=0,idicuicoefficienti a',/3',eie:sonodefinitidalle(27).Condu- ccndouna tangenteaquesta conica,esupposto che incontrilaconi- ca

V

indue punti qualunque,èmanifestocheglielementidiquesti puntidebbonoverificare ladata relaziono;e,viceversa,ognirettache congiunge due punti della conica V,idicuiclementi soddisfano aque- starelazione,ènecessariamenteuna tangente della conica U'; e siamo cosicondottiallaseguente proposizione:

Datatra le variabili tv,t»,larelazione(24),edatainoltreunaconica V,l’inviluppo di tutte lecordediquestaconica,lequaliunisconoaduea due quei puntidellacurvaidicuielementi soddisfanoalladata relazione, i un’altraconicalì

1

,ladicui equazionehapercoefficientiivalori di )3', eie. definiti dalleformolo(27).

23.Bisogna osservare cheloformolo(27)divengonoinsignificanti,se svanisconotrede’seibinomii(26)perchègli altritresvanisconopuressi;

ma

allora6evidentecheilprimomembrodella datarelazione(24)èun quadrato perfetto,clicpuòmettersiinevidenza moltiplicandola pera, epoicambiandoiprodotti ac, ac, afin b‘, bd, d‘.In questo caso adun- quelarelazionesitrasformain

[a*,e,+4(e,+«,)

+

<t)“=0; c perciò l’invilupposiriducealpunto(n“19) risultante dalla radice

+

è(rr+»,)

+ d=0

•

24.Supponendochenell’equazione della conica

U

manchinoidue terminiinxyedy,nella relazione(24)mancherannoidueterminiiquali

—

29

—

contengono a 1* gradoilbinomioBr

+

^i',,dappoiché essendo£

=

0 ed

i=0,

nelle formolo(23) siha puroi=0,ed«=0,e quindilarelazio- ne(24)diviene(*)

or; e;

+

e(e,

+

^e,)'

+

3dvrtM

+f=0

^.

25. Reciprocamente, seèdatauna relazionediquestaforma, l'equa- zionedell'inviluppo dovrà ridursi ad

«' x’

+

^{y' y’}

+

2é'x

+

^,'

=0

;

poichéessendofr=0ede=0,nelle formole(27) risulta/3'=0eds'=0.

inoltre supposto chelaconica

V

siauncerchio equindi

i=

1,avremo a'=c(a

+

2d+f) ,t'—af

—

<T ,a'=me(o+rf) , »'=m’oc,

e ne segue che l’inviluppo èuncerchio anch'cssoquandosia

af—d'=c[a

+

ìil+f), osoli’altraforma

[e+d)'=[e—a)(e—/).

(*)Équesta[aparticolare laforma cuiairiducetarelazione(Si)allorchéledue conicheKed17 sono corchi entrambi,e sìapreso per assedelle ascisseildiametrodiVche passapelcentrodiV.

Chiamando rilraggiodi17 eprescissadelsuo centro,siha evidentemente

«=r=l

.

l=—p

, t=p’

—

r’; operò,essendof=l,dettoRilraggiodiK,le forinole (23)diverrannoinquesto caso

a=p'—r' ,

c=—

r*

, d=r'

—

p) ,/

>

<=(9JK

—

^p)'-r’.

Chesepongasi2Iì—p=q,siavrà più semplicemente

a—p—r*

,

c= —

r*

, d=r’+pq , f=q'—r', esiavràinoltre

C-\rd

=

^df=zpq.

In queste formolel'ascissap^delcentrodelcerchioUpuò sempre riguardarsicomepositiva.Rispettoa q bisogna osservare che questo simbolo esprìmeladistanzadelcentrodiUaq; elpuntodelcerchio V,eh*èdiametralmente oppostoall'orìgine; esiccomesihag=2/l—p, è chiarocli'essodorràtenersi comepositivo,ocome negativo, secondocbòilcentrodiVcadealdidentro,oaldifuori diV.

-30 —

Sesipongac-\-d=d‘,larelazionedatapuòanche scriverai

or;r,*+C(r;

+

C,‘)+2i('c,r,

+f=0

;

e lacondizione perchèl’inviluppo possa essereuncerchio diverrà

a)[e—f).

2G.Qualoranellarelazionedicuisitrattafosse

c=0,

ed inoltre of—d’,icoefficientidell’equazione dell'invilupposiannullerebbero tut- ti;

ma

in talcasolarelazione riducendosi ad

ae>;+2rf»,e,+/=o,

sivedecheilsiloprimomembroèunquadrato perfetto, o quindil’in- vilupposiriducealpunto(n°19)costruito dallaradice

ae,v,

+ d=0

.

ARTICOLOIV.

1teoremi di Poticeletrelativi alleconiche iterine$circoscrittea'poligoni.

27.Essendo datedueconiche

V

ed U, nellaprimasisuppongaiscrit- to apiacereunpoligonodiunnumerodeterminatodi lati,iquali,ad eccezionediunsolo,sianoluttitangentidell'altra;qual' èl'inviluppo dellatolibero?

Siano

V

#,V,,V,,...,V’„iverticidiunpoligono di

»+

^llatiiscritto nellaconicaV,connlatitangentidiU, esia

VV

millato libero.Così perglincontatticperleconvenute notazionisiavrannolonequazio- nidicondizione(n.‘1e20)

(29) 4(e0,r,)=0 ,!(*,,•,)=« !(»„_,,»„)=<),

elovariabiliestremev%e e,saranno legate dalla relazione(n“ 2)

{90) Àjc'.v;+2J9Jr0+e.]e_#».+CJ«0+v„)^,+2J)>e₀B,+2Ell(r,

+rJ+F,=0

,

doveicoefficientisonodefinitidalle₍₄₎;

ma

quellevariabiliindicano