Richiami sulle derivate parziali e definizione di gradiente di una funzione, sulle derivate direzionali. Regola della catena per funzioni composte.

PROGRAMMA di Fondamenti di Analisi Matematica 2

(che sar`a svolto fino al 7 gennaio 2013)

A.A. 2012-2013, Paola Mannucci e Claudio Marchi, Canali 1 e 2 Ingegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza

Estremi liberi di funzioni in pi`u variabili, Capitolo 3

• Richiami su norma di un vettore, intorni sferici in Rⁿ, insiemi aperti, chiusi, limitati e illimitati.

• Richiami sulla definizione di limite: lim_x→x0f (x) = l con gli intorno. Definizione di funzione continua. Propriet`a delle funzioni continue sugli insiemi chiusi e limitati.

• Richiami sulle derivate parziali e definizione di gradiente di una funzione, sulle derivate direzionali. Regola della catena per funzioni composte.

• Richiami su differenziabilit`a di f : A → R con A ⊂ R<sup>n</sup>. Condizione sufficiente di differen- ziabilit`a. Significato geometrico della differenziabilit`a: costruzione del piano tangente.

• Richiami su derivate successive per funzioni di pi`u variabili. Matrice Hessiana. Teorema di Schwarz sulle derivate miste.

• Estremi liberi di funzioni a valori scalari: definizione di punto di minimo e di massimo assoluto e relativo; definizione di punto stazionario o critico. Definizione di punto di sella.

Teorema di Fermat: ogni punto di estremo locale interno dove f `e derivabile `e critico. Non vale il viceversa.

• Matrici simmetriche di ordine 2 e 3: matrici definite positive, definite negative, semidefinite e indefinite e loro caratterizzazione. Condizioni sufficienti del secondo ordine affinch`e un punto critico sia di estremo locale.

Curve e integrali curvilinei, Capitolo 2

• Definizione di curva in R^m: curva nel piano, curva nello spazio, sostegno di una curva.

Orientazione di una curva.

• Curva chiusa e curva semplice in R^m.

• Curva di classe C¹. Vettore derivato. Definizione di curva regolare e regolare a tratti.

Significato geometrico della definizione di curva regolare. Vettore e versore tangente, retta tangente in forma parametrica.

• Definizione di lunghezza di una curva e rettificabilit`a. Teorema sulla formula della lunghezza per curve regolari.

• Definizione di cambio di parametrizzazione, parametrizzazioni equivalenti o con cambio di orientazione. La lunghezza di una curva non cambia se cambia la parametrizzazione della curva (con dim.).

• Integrale di linea (di prima specie): definizione e propriet`a. L’integrale di linea non cambia se cambia la parametrizzazione della curva.

• Definizione di baricentro e di massa di un filo di densit`a variabile.

• Definizione di ascissa curvilinea e sue propriet`a (con dim.).

Equazioni differenziali ordinarie, Capitoli 1 e 8

• Definizione di equazione differenziale di ordine n, di soluzione e di integrale generale di tale equazione. Definizione di equazione in forma normale e di omogeneit`a dell’equazione.

• Equazioni lineari del primo ordine: definizione di equazione omogenea associata. Struttura della soluzione generale (con dim.). Soluzione dell’equazione non omogenea (con dim.) e del relativo problema di Cauchy. Metodo di variazione delle costanti (con dim.).

• Equazioni a variabili separabili e relativo metodo risolutivo. Controesempio all’unicit`a ed all’esistenza della soluzione del problema di Cauchy.

• Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti: struttura della soluzione generale. Equazioni omogenee: equazione caratteristica e metodo risolutivo.

Equazioni non omogenee, metodi ad-hoc per la ricerca della soluzione particolare: metodo per somiglianza (per termini noti tipo esponenziale per polinomio per seno o coseno), metodo per sovrapposizione, metodo di variazione delle costanti.

• (Cap. 8) Equazioni in forma normale: Teorema di Peano e Teorema di Cauchy-Lipschitz.

Funzioni implicite ed estremi vincolati, Capitoli 3 e 4

• Definizione di funzione implicita definita da un’equazione f (x, y) = 0.

• Teorema del Dini per f : A → R con A ⊂ R²(con dim. solo dell’esistenza e unicit`a della funzione g).

• Retta tangente al grafico della funzione implicita. Il gradiente di f `e perpendicolare alla retta tangente.(con dim.).

• Teorema del Dini per f : A → R con A ⊂ R³.

• Piano tangente al grafico della funzione implicita. Il gradiente di f `e perpendicolare al piano tangente (con dim.).

• Per n = 2: definizione di insieme di livello e di curva di livello. Retta tangente alla curva di livello.

• Definizione di punto di minimo o massimo di una funzione f vincolato a g = b.

• Definizione di punto critico vincolato di f , per f funzione di due variabili.

• Per n = 2: definizione di punto regolare per g.

• Teorema dei moltiplicatori di Lagrange per f funzione di due variabili con vincolo g = b (con dim.).

• Teorema dei moltiplicatori di Lagrange per f funzioni di tre variabili, con un solo vincolo g = b.

• Ricerca degli estremi di funzioni di due variabili su insiemi chiusi con interno non vuoto.

Campi vettoriali, Capitolo 6

• Definizione di campo vettoriale e di forma differenziale lineare. Definizione di integrale curvilineo di seconda specie.

Differenze tra l’integrale curvilineo di prima specie e quello di seconda specie.

• Definizione campo vettoriale conservativo ( o di forma differenziale esatta) e di potenziale.

Teorema sul valore dell’integrale di un campo vettoriale conservativo (o di una forma esatta) su una curva (con dim.).

Teorema di caratterizzazione dei campi vettoriali conservativi, tramite gli integrali sulle curve (con dim.)

• Definizione di campo vettoriale irrotazionale (o forma differenziale chiusa). Un campo vettoriale conservativo `e irrotazionale. (con dim.)

• Definizione di insieme semplicemente connesso, con alcuni esempi in R² e R³. Un campo irrotazionale su un insieme semplicemente connesso `e conservativo.

• Integrali di campi irrotazionali su cammini equivalenti.

Integrali multipli, Capitolo 5

• Definizione di integrale doppio su un rettangolo R = [a, b] × [c, d] per una f limitata su R.

• Significato geometrico di^R_Rf per f ≥ 0.

• Teorema: f continua su R allora `e integrabile.

• Formule di riduzione per f integrabile su R.

• Caso particolare: formule di riduzione per f a variabili separabili, f (x, y) = g(x)h(y).

• Definizione di integrale doppio nel caso generale: Ω ⊂ R², Ω limitato e f : Ω → R, f limitata.

• Definizione di area di Ω, |Ω|.

• Il grafico di g funzione continua in [a, b], il sostegno di una curva continua γ : [a, b] → R² sono insiemi di misura nulla. L’unione di un numero finito di insiemi di misura nulla ha misura nulla. Il bordo di un insieme regolare ha misura nulla.

• Teorema: dato Ω ⊂ R², Ω limitato e misurabile (secondo Peano-Jordan), ogni funzione limitata su Ω continua su Ω, eccettuato al pi`u un insieme di punti di misura nulla, `e integrabile su Ω.

• Propriet`a dell’integrale doppio: linearit`a, monotonia, additivit`a, propriet`a del modulo, integrale su insiemi di misura nulla.

• Definizione di dominio y-semplice e x-semplice. Formule di riduzione per gli integrali doppi su domini semplici.

• Massa di una lamina nel piano. Baricentro di una lamina nel piano.

• Teorema di cambiamento di variabili per gli integrali doppi.

• Cambiamenti di variabili pi`u comuni: trasformazioni lineari, coordinate polari, coordinate ellittiche, altri cambiamenti.

• Definizione di integrale triplo su un parallelepipedo. Definizione di integrale triplo nel caso generale: Ω ⊂ R³, Ω limitato e f : Ω → R, f limitata.

• Definizione di volume di Ω, |Ω|.

• Definizione di dominio semplice rispetto ad un asse. Formule di riduzione per gli integrali tripli su domini semplici (integrazione per fili).

• Teorema di cambiamento di variabili per gli integrali tripli e cambiamenti di variabili pi`u comuni: coordinate cilindriche e sferiche.

• Integrazione per strati, rappresentazione dei solidi di rotazione. Teorema di Guldino per il calcolo del volume di un solido di rotazione (con dim.).

Superfici e integrali di superficie; teoremi della divergenza e del rotore, Capitoli 4 e 6

• Definizione di superficie regolare in forma parametrica e in forma cartesiana.

• Definizione di area di una superficie. Formula dell’area nel caso di una superficie cartesiana.

• Definizione di integrale di superficie. Integrale di superficie nel caso di una superficie cartesiana.

• Definizione di superficie di rotazione e Teorema di Guldino per il calcolo dell’area di una superficie di rotazione (con dim.).

• Versore normale e piano tangente ad una superficie regolare in forma parametrica e in forma cartesiana.

• Definizione di flusso di campo vettoriale attraverso una superficie. Teorema della diver- genza in R³.

• Orientamento positivo del bordo di un dominio piano.

• Definizione di bordo di una superficie e di orientamento positivo del bordo di una superficie.

• Teorema del rotore (o di Stokes) in R³.

• Formule di Gauss-Green nel piano.

• Calcolo di aree mediante le formule di Gauss-Green.

N.B. I teoremi da sapere con dimostrazione sono solo quelli in cui viene specificato ”(con dim.)”.

Per gli altri teoremi, lo studente deve essere in grado di esporre rigorosamente l’enunciato, spiegare il significato e le applicazioni del risultato. Lo studente deve inoltre saper enunciare tutte le definizioni in modo rigoroso. Gli esempi inclusi nel testo non fanno parte del programma di teoria, ma se ne consiglia vivamente la lettura per una migliore comprensione degli argomenti svolti.