Anno X X .
Torino, Dicembre 1894
Nu m. 1 3 .L’INGEGNERIA CIVILE
K
L E A R T I I N D U S T R I A L I
P E R I O D I C O T E C N I C O M E N S I L E
S i discorre in fine del Fascicolo delle opere e degli opuscoli spediti fra n c h i alla D irezione dai loro A u to r i od E ditori
I D R A U L I C A P R A T I C A
SAGGIO DI U N A TEORIA
SUI COEFFICIENTI DI CONTRAZIOlNE E DI EFFLUSSO N E L L E B O C C H E A B A T T E N T E
per l'Ing. Pie t r o Al ib r a n d i
vena, più convenientemente che la media aritmetica di A e di Q potremo usare la geometrica (*). Cosi porremo:
C = a / a ~ Q = 5 A ]/T , e quindi:
CAPITOLO II.
Bo c c h e a c o n t r a z i o n e u n i f o r m e.
§ 1. — E s p re s s io n e (li le.
Quando l’orlo della superficie ta coincide tutto col peri
metro di A, il che deve evidentemente accadere quando i fi
letti radenti il perimetro medesimo escono tutti inclinati egualmente sul piano di A, si avrà A '= ; A " = 0, e perciò anche F = 0 per (25). Poiché, come vedremo in seguito, l’inclinazione dei filetti perimetrali sul piano della bocca di
pende dall’angolo J3 (fig. 73) che la tangente estrema (ac) al profilo interno (ad) della bocca (ab) forma coll’asse ( x x ) ad essa normale, saranno a contrazione uniforme le bocche
A h
= T |/i
(38)Allora (23) e (24) diverranno per la contrazione u n i
forme :
D == 2 a1 — a
■i + — i-j-
I yi \ h
E:
(39) (40) posto poi, come qui devesi, F = 0, la (26) dà:
* = | /d _ f/D1 - E (41)
equazione risolvibile per successive approssimazioni.
Per h infinitamente grande si ha esattamente:
h = h, : 0.
d k
\ V
$h
Fiar. 73.
Divenendo allora E = a5, si ha col sostituire ai simboli D ed E della (41) i loro valori:
nelle quali J3 è costante su tutto il perimetro (ab). In questo caso, atteso che A è in piano verticale, la differenza fra H ed H' (e quindi fra h ed h') è trascurabile. Difatti la gravità flette, è vero, leggermente in basso la vena, ma i filetti infe
riori essendo dotati effettivamente di velocità alquanto mag
giore dei superiori, il filetto centrale esce da A alcun poco inclinato verso l’alto, sicché scorgesi che i centri di super- , fide di A e di 0 debbono trovarsi sensibilmente allo stesso livello. Ciò si ammetterà tanto più facilmente se riflettasi che Q formasi molto vicino ad A. Cosi riterremo h!— h.
2 a C
Sostituendo nel piccolo termine — r » c^ e figura i*1 (23) e (24), il valore V = y \ Z ^ g h si avrà :
2 $ C C
AV5 ~ f - A k '
Tale termine è trascurabile se li è grande. Ma se ciò non accade, possiamo valutarlo in qualche modo conoscendo la lunghezza 5 della vena contratta. Difatti C è uguale a S mol
tiplicata per u n ’area intermedia fra A ed Q. Se si vuol tener conto della concavità verso l’interno delle generatrici della
Jc = | 2 a5 — se — |/(2 a1 — a)5
Ora la quantità sotto al radicale esterno potendo sc ri
versi :
2** — / a1 cioè (a — / a * — a)’,
ne segue semplicemente:
h = a — y a3 (42)
Torna cioè un’espressione come la (19), quale era da pre
vedersi.
La prima quantità dunque che prenderemo a determinare, come quella di cui principalmente k è funzione, sarà <x.
Incominciamo a determinare i limiti estremi fra cui può oscillare a. La superficie o> può riuscire tanto schiacciata da coincidere con l’area A; in quel caso m = A e perciò a = l . Invece se lo sviluppo di co cresce oltre ogni limite, si avrà
e quindi x = x . Dunque 1 ed oo sono certamente due limiti di a. Suppongasi h = x : sarà facile allora trovare i valori estremi di h in corrispondenza dei due predetti di a.
Difatti per a — 1 si ha da (42):
k = 1 — ( / l — 1 = 1. Invece per a — oo si h a:
h — co — (/oo1--00,
(') Ciò equivale evidentemente a supporre che le generatrici della vena contratta sieno archi d’iperbole equilatera. Benché l’ipotesi non sia forse vera che in via approssimativa, ci sarà lecita, atteso che —j jC è un piccolo termine, salvo che per minimi li.
178 L ’IN G E G N E R IA CIVILE E LE ARTI IN D U STR IA LI
espressione inrielerminata. Per ricavarne il valore, scri
viamo la (42) come appresso:
1
h oc
Questa si riduce alla forma — se a — oc . Dunque, se
condo le regole del calcolo, Jc è uguale a! rapporto fra le de
rivate prese rispetto ad a del numeratore e del denomina
tore. Si ha cosi : 1 lim. £ =
1 1—
la quale per diviene lim. h — — -.
quantità di moto e delle impulsioni al sistema A B a c d è D C compreso fra le sezioni AB e cd ed osservando che la quan-
‘ ~ è sensibilmente nulla, avremo, adot- tità di moto sulla AB
tando i soliti simboli:
TO' (J da cui:
g F„
■tí V1 (43)
Nella contrazione libera, trascurato il peso della vena con
tratta, F9 risulta diretta secondo la normale alla bocca. Ora se nell’interno del vaso le pressioni potessero considerarsi come idrostatiche, F0 si ridurrebbe alla sola pressione x i h A della colonna sovrincombente ad A ; giacché immaginando diviso il vaso in tanti strati orizzontali, le reazioni delle pa
reti si distruggono a vicenda, meno quelle opposte all’area vuota della bocca, le quali hanno appunto per valore com
plessivo -ro'AA; la reazione del fondo poi è pareggiata dal peso del la colonna liquida avente per base C D. Quindi da (43) si avrebbe:
g h A
e, se V1 = 2 g h
A ■ — Jc:
1
Dunque al variare di a fra 1 ed <x>, t; varia in corrispon
denza fra i limiti infinitamente più ristretti: 1 e 0,50.
La determinazione di a per tutù i casi indistintamente è molto difficile : primo perchè dipende, come vedremo fra poco, da un’ equazione differenziale di second’ordine e di grado superiore al primo; secondariamente perchè una delle costanti racchiuse nella equazione stessa integrata non è sempre esattamente ottenibile, ed anche per una data bocca può variare fra certi limiti. Però la prima difficoltà può elu
dersi nelle bocche circolari in parete sottile piana ed in quelle a svisamento convergente ; la seconda parimenti, purché sia nota l’inclinazione del primo elemento del profilo della vena contratta: inclinazione ch’è determinabile quando sia verificata una certa condizione, come apparirà da quanto appresso.
Intanto non sarà inutile far osservare come l’eccedenza di fc sul limite minimo 0,50 si deve principalmente a ciò, che la pressione esercitantesi sulle pareti interne del vaso donde ha luogo l’efflusso non può precisamente considerarsi eguale alla pressione idrostatica. Si abbia difatti una bocca ab in parete sottile piana e verticale, e chiamiamo F0 la r i sultante delle forze che animano tutta la massa liquida ABacdZ»DG (fig. 74) contenuta nel vaso, comprendendovi la vena contratta a b c d . Applicando allora il teorema delle
È questo appunto il risultato trovato dal Borda in ap
poggio della sua celebre esperienza del tubo addizionale rie n trante. Con tale artificio essendo sensibilmente nulle le velo
cità sulle pareti del vaso, tutte le pressioni nell’interno di esso riescono idrostatiche (*).
Ma supponiamo invece che, come in figura, A sia scolpita in parete sottile. Sopra una zona più 0 meno estesa attorno ad A si avranno delle velocità finite, e quindi pel teorema di Bernouilli ivi i carichi piezometrici non saranno già dati dalle profondità s dei diversi punti sotto AB, ma, se ua è la velocità che ha luogo su uno di essi (t), da z --- --- . Ma ad ogni elemento (i) ne corrisponde un altro ( /) parallelo e si
tuato alla medesima altezza, sul quale la pressione è data da z, perchè ivi il liquido è immobile; perciò detta da l’area d ’un elemento di parete, ogni coppia darà luogo ad una pres
sione risultante espressa da:
z d a — | z — \ d a — “ ■ d a.
2 g ì 2<7
Siccome poi sugli elementi d a opposti ad A si ha, come sopra, la pressione complessiva li A in colonna di liquido, non elisa, consegue che la forza integrale animante la massa sarà:
. i , . , r « o . I
■ v i A A + d
' 2 g
e quindi avremo sostituendo in (43) e dividendo ambedue i membri per A :
se T- .
- J — ! h — 1 r M'a v ;
1
1 A J « L y9 nh :
- 1 ' i l 1 j ' - 2 , 1 ■ A k h 2 g
d a
d ar
k — Dunque l’ipotesi
d a . Che se le ua fossero nulle, torna
it a — 0 equivale all’altra: oc — o c .
Per evitare la calcolazione dell’integrale ( — - J a 2 g staijte l’impossibilità di determinare le ua sui diversi punti della parete, noi ricorriamo ad un altro mezzo, che è la r i
cerca diretta del numero oc.
§ 2. — Determinazione di oc.
Per fissare le idee, immaginiamo da principio di avere una bocca orizzontale aperta in fondo ad un vaso avente un asse verticale di simmetria. Ad essa sono perfettamente applicabili le formole date superiormente, solo avvertendo che il peso della vena contratta viC, se se ne vuole tener conto, va ag
giunto alla componente X invece che alla Z, supposto di la
sciare Ox normale ad A.
O Br e s s e, op. cit., pag. 65.
L ’INGEGNERIA CIVILE E LE ARTI INDUSTRIALI 179
Consideriamo il movimento de! centro di gravità G, di una sviluppo chiamammo qualunque superficie m n p (fig. 75) condotta nell’interno del
vaso normalmente ai filetti liquidi, ed il cui sviluppo diremo cità delle molecole
co,. Vediamo anzitutto quale relazione leghi la velocità u, di G, colla velocità media w, di detta co,.
Immaginiamo condotto p^r G, un piano qq' parallelo a quello di A e sia x la distanza di un elemento d co, dallo stesso piano. Se chiamiamo S x li variazione che subisce x durante un tempo infinitesimo et, G; si sarà spostato dalla sua posizione iniziale di una certa quantità s £ r Prendendo allora allo spirare del tempuscolo e t i momenti statici ri
spetto al piano qq', avremo:
“ i s = (* -
• Cfl, : x ) d to,
Ma | x d co, = 0 per la posizione speciale del piano q q', J co,
dunque resta:
co, 3 t, — I d co, c x .
* COj
Ora, detto 3 s l’elemento di traiettoria percorso da d co, du
rante 5 1, si ha 3 x — 3s coso, (avendo c, analogo significato al 5 del Cap. I, § 1). Onde:
co, 5 £. = 3 s ( d co cos 0..
J a ,
L’integrale non è che la proiezione di co, sul piano y z (pa
rallelo ad A) che diremo co',; dunque:
i r ' - ■ w<‘
co. a — w o s ossia —^ --- .
1 , 1 0 S CO,
Ora gli elementi d£, e Ss percorsi durante lo stesso tem
puscolo 3 t sianno fra ioro come le velocità i>, ed « , ; dunque:
ovvero :
v l _1
sT
°>l
co/
v t — u ,
e che ha per proiezione A, la velo- sarà u — --- ; G, sarà venuto in una
(tì
nuova posizione G, e la sua velocità » per questa formola e per la (44), essendo qui &>/ = A, = — s a rà :
co/ A
A Q
valore dipendente soltanto dallo sviluppo co e non dalla forma particolare della superficie acb. In quel momento sia E la distanza di G dal piano ab.
Ciò posto, se noi consideriamo il sistema di molecole tra versante una co, qualunque durante un tempuscolo r e rac
chiuso perciò in un volume co, « , r = Q r , abbiamo che tale sistema, in grazia del valore infinitesimo della grossezza u, r, ha per centro di gravità quello stesso G, della superficie co,.
Allora applicando al movimento di G, il teorema conosciuto in meccanica sotto il nome di principio della minim a azione, ne deduciamo che G, dovrà operare la variazione della pro
pria velocità dal valore dato «0 al valore dato v, seguendo il più breve tragitto possibile. Ossia la lunghezza G0G dev’es
sere un min'tnu. In altri termini t dev’essere un massimo.
Dunque la superficie acb dev’essere tale che la distanza del suo centro eli gravità dal piano dell’orificio A sia mas
sima. Vedremo come venga fissato questo massimo in forza degli altri vincoli imposti dalle condizioni speciali dell’ef
flusso.
Potrà a taluno non apparir qui troppo chiara l’estensione del principio della minima azione, il quale, quando il si
stema riducesi ad un unico punto, considera ordinariamente una traiettoria di natura incognita compresa tra due estremi fissi, mentre nel presente caso abbiamo che essa è una retta e che l’estremità di arrivo è appunto variabile con la forma di Ma si può subito dimostrare che i è un massimo par
tendo direttamente dalle equazioni del moto. Dicasi in la massa dello strato a u - ed osservisi che la risultante delle
af2 E
forze animanti G è m --— Dall’ equazione differenziale
d t l 4
delle forze vive abbiamo, cambiati i differenziali d in varia
zioni 3 e tolto dai due membri il fattor comune m:
d 'Z . „
(44) Dunque, data « ,, la velocità », di G, dipende unicamente dal rapporto fra le aree co,' ed co,.
Ora una superficie normale ai filetti liquidi è, per es., il pelo orizzontale AB. Qui G, è il centro di gravità Gn del
l’area piana AB, e per conseguenza la sua posizione è ben determinata. Se co0 è l ’area AB e Q la portata della bocca ab, la velocità media «0, da cui sono animate le molecole occu
panti AB, è data ila w0 = - ^ —. Qui co0 è identica alla sua proiezione sul piano AB, sicché la velocità di G0 è anch’essa u0. Tale velocità sarà, se si vuole, trascurabile, posto che co0 sia molto grande.
Procedendo verso lo sbocco, la superficie normale co, si deforma, finché venuta a coincidere con quella (acb), il cui
v e v = ■ d t1
giacché ia variazione del cammino percorso è — 3
Ora, dato lo sviluppo w, v ha un valore determinato, per quanto sopra fu detto; dunque 5 v — 0. Ma allora, perchè sussista la precedente equazione, deve aversi 3 £ = 0, quindi
£ dev’essere un massimo od un minimo. E dovendo eviden
temente escludersi quest’ultimo, stante la natura del pro
blema, ne segue che sia £ = massimo.
Ecco pertanto a che cosa si riduce il problema di determi
nare la forma della superficie normale passante pel peri
metro della bocca circolare considerata: « Data l’area svilup
pata co di una superficie di rotazione limitata da un parallelo dato, trovare l’equazione della curva meridiana perchè la distanza i del baricentro della superficie stessa dal piano del parallelo dato sia un massimo ».
Misurando adunque 1 e y normalmente all’asse di rotazione ed a partire da esso e le a; da un piano ortogonale arbi
trario, abbiamo che una zona elementare di co estendentesi lungo un parallelo di raggio y, detta per b r e v ità --- = p ,d co
d y ha per sviluppo:
d os % 7r y [/1 -f- p ‘ d y .
Ora, essendo £ la x del baricentro della superficie, sarà:
1
' = J
x d ( da cui£ = — j
0) Jperciò, sostituendo per co il suo valore:
2 7C i ' / ■ b = --- x y V t + P * d y .
(!) J
180 L ’IN G E G N E R IA CIV IL E E LE A R T I IN D U S T R IA L I
Di più si ha: ne ha :
d ( p ’) 2 d x Or CO Ciò posto, il Calcolo delle variazioni c’insegna che dev’es
sere un massimo la funzione | - | - a w (*), dove a rappre
senta una costante, e che, indicata con 0 la quantità:
0 = devesi avere:
X ì
j / l -{- p ‘ -f- a y ]/1
1 + p5 la quale integrata fornisce:
log« (1 + p ) = 2 log« (x -¡-a ■■>) + cost.
ovvero :
1 - r p"~ — C, ( x -4- a w) 5 dove Ct è una costante anch’essa. Di qui ricavasi:
3 0
e x 0. donde:
Ora si ha: v = J \
d a:
30 2/ 1 + p 3 0
1 7
« p y p* I' 1 + p’
Essendo poi per qualunque funzione n di x , y e di p : d ri s n s n . s n d p
KC, (x + a «)5 - 1 ~r "
essendo C, ancora una costante; ed eseguita l’integrazione indicata:
1
V — j/q- 1°?« | (# + « w) 1 C, + (/c, (#-[-a«)’—1 j — C*.
Di qui, passando dai logaritmi ai numeri, si ha:
d y 3 x d y ’
si avrà eseguendo le derivazioni:
d 3 0
di/ \ 3p
p V 1 T- p*
_ J _____ / _ £ 8 \ 0)
P 2/
y - i
come pure :
- (2/ — C .)|/C7 _ _ 1
\ d p (1 + f ) 2
onde sostituendo avremo:
/ d y ’
—
j/r + T 7
— = = =[ 1 - r P
/ #
\ 0)
« r i +
- i 4 L = °
d y(i + f ) e riducendo:
(J + , . ) j J L _ i i + . \ , ! _ , (JL
' r ’ I ... J e.
‘- ¡ 4 L =° -
/ d yMoltiplichiamo ora tutto per co e riponiamo per p il suo
d X
valore —— • ; la precedente diverrà :
(x -|— a w) Cj -{— [ f -1 (a? -f- ¿1 — 1 (e = base logaritmi iperbolici). Sommando queste due ul
time equazioni, risulta a riduzioni fatte:
i ^ ( (.y — c,) l/C, , — [y — C.) l/C, ) / , C\
x 4- a » = -—- ’ e w 5/ * 1 -f- e «/ » i 1(46)
2 |/C , i (
equazione di una catenaria avente l’asse parallelo all’asse delle x.
Ora la (46) contiene tre costanti a, C,, C2; dunque pos
siamo individuare la curva mediante tre condizioni. Una di queste è evidentemente che la tangente nel punto d’incontro della curva con l’asse della bocca A gli sia normale, ossia che la catenaria sia coassiale con A. Ora l’equazione della catenaria riferita al proprio asse come asse delle x è, eom’è noto, della forma :
x — x„ = I e c + e c ] (47)
1 + ( 4 r ) i ! » - ( * + « " )
■y— y ( x + a u) d* x
d x d y
: 0 (45)
essendo x0 u n ’ascissa fissa e c un parametro. Perciò, con
frontando con la (46), abbiamo C., = 0. Seguitando ad usare, come più comoda, la (47) invece della (46), non faremo che cambiare i nomi delle costanti dicendo:
1
X n ---- • a co la quale è pertanto l’equazione differenziale della curva r i
chiesta.
Nelle bocche in parete piana o conica convergente, la co è molto schiacciata, come si vedrà; onde trascureremo il ter- mine in ^ ‘ d x Con questa semplificazione la (45) diviene :
1 + p- — (x + a w) -4^ - = 0 d y
la quale può facilmente integrarsi. Invero, avendosi : d p _ d p d x _ d p 1 d (p!)
) / c ,
Così abbiamo scelto per asse delle x l’asse della curva.
Ora le due altre condizioni che c’imporremo per indivi
duare la curva saranno: 1° che essa passi pel perimetro di A;
2° che sia data quivi l’ inclinazione della tangente sopra l’asse 0 y.
Sappiamo che, estendendo l’integrazione fra i debiti li
miti, l’espressione di o è:
■ =2* \ y \ 1
d y otterremo:
d x d y d x x - \ - a lo d (p‘) 1 + p4 —
d x
d x
: 0
/ d x d y Da (47) si ha con la differenziazione :
d x 1 / — — --- — -a~\ e
d y.
d y da cui deducesi facilmente:
dove le variabili x e p2 si possono separare immediatamente.
2 d x
Difatti, moltiplicando tutto per — ---——---— se
( x ~r a w) (1 -f- p ) onde: V '
j d x y _ i
' d y ì ~ 9.= -tì- > e • (48)
(*) Cf. T o d h d n te r, C alcolo integrale, traduzione Battaglini, pa- j
gine 290 e seg. ; pag. 313. j
' = * f t
»
e c d y .
L’IN G E G N E R IA C IV IL E E LE A R T I IN D U S T R IA L I 181
Ma sappiamo pure che, a parte la costante:
1 '■y perciò:
r
,
ii e-' y/ . 1 \
( y t a 'u d y = - — ( 1 — --- ) ;
J J J a \ a y )
\ y-
u = w c ) e c (y — c) - e c {y + c) ( ; (-19) Sia r il raggio di A; l’integrazione dovrà essere estesa da 0 ad r. Supponiamo che l’angolo formalo coll’asse delle?/
dall’elemento di curva situato all’estremo di r abbia un certo valore fi. Allora avremo che lang fi =
1 / —
d x \
d y /»=, ; ossia che:
verebbe col Calcolo delle variazioni che tal direttrice è esat
tamente una catenaria (*).
Dunque co è. data da :
. , ( d x \- 1 + —— d y
d y !
essendo qui r la semilarghezza della bocca rettangolare, o la metà di uno dei lati su cui la contrazione è soppressa; vale a dire per (48) :
"~r
= z l
/ v
\ e c -f- e d y.
2 r r
e c — l = 2 e c tg fi.
Di qui risulta c.
log. T
. Allora prendendo la (49) fra i limiti 0 ed r, ne ricaviamo, a riduzioni fatte:"=Aw r i ' - T+(,+T'l0S‘T!'
dalla quale, avendo presente la (17), otterrem o:
T — 1 ' 5
T log. ' T / , ' - T + ( * + T ) l » g . T j od anche:
_ ( (T! — 1) log« T — (T — 1)’
“ T log* 2 T
1 — cos fi sen fi ne viene dopo facili riduzioni:
= tsr-
tg fi I log, T - tg — ;
a = 4 --- ;---- — --- -- (52) log«3 T
(
od anche, in logaritmi volgari :
« = 0,14229
g fi (2,3026 log T - t g A . )
log1 T (53)
Vediamo di trovare col medesimo metodo dianzi seguito l ’espressione di « per una bocca rettangolare infinitamente lunga, o ciò che equivale di lunghezza finita l, ma a contra
zione soppressa su due lati opposti. Difatti in ambedue i casi è evidente che le traiettorie delle molecole liquide giacciono su piani paralleli, e quindi la o> dev’essere una superficie ci
lindrica. Con la condizione che il centro di gravità di questa superficie o, ciò che è ora lo stesso, della curva direttrice, debba trovarsi alla massima distanza dal piano di A, si tro- daIla quale equazione, moltiplicando ambedue i membri per
L’in te ra z io n e è immediatamente eseguibile e dà : ( - - - Ì
w = c l \ e c — e c r
- ¿ T • ' ' “ n q " e:
2 r / (T1 — 1) Ora c
r i t „ J L
log, T T 2 T log, T
ma 2 r l = A, dunque:
T5 - 1 Questa, risoluta rispetto ad « c , dà:
r
e c = tg tg* ^ = T per brevità. (50)
tgfl log, T A 2 T log, T
com’è facile vedere; e quindi finalmente per (17):
tg«
\ log« T od anche, in logaritmi volgari:
(54)
(55)
Questa espressione sarà calcolabile mediante le tavole j ed ancora riducibile, giacché troveremo facilmente le egua
glianze:
T = tg fi + j A + tg’ fi = — = cot- ( i 5 °— f ) (51) ! Sostituito in a il penultimo valore e sapendosi che:
a = 0’1885 ( - ili V i
/ o \
dove, al solito, T = r c o t ‘ 45°--- — j .
Il numero a cosi determinato è esatto, ancorché 6 assuma grandi valori, i quali però hanno per limite massimo 90°.
I due valori fin qui ottenuti di a, cioè per A circolare e per A rettangolare a contrazione soppressa su due lati op
posti ci portano agevolmente a valutare Fa relativa ad una bocca rettangolare di dimensioni finite, ma terminata da due semicircoli come nella figura 76, ed a contrazione uni
forme. Difatti, immaginando condotti pei diametri ad, bc
) f
__c/
Fig. 76.
due piani normali ad A, la data bocca viene appunto di
visa in due semicircolari a contrazione soppressa sul dia
metro, per le quali evidentemente, essendo w la metà di quelle che si hanno pei circoli interi a contrazione uniforme, a risulta la stessa, ed in una rettangolare (ab c d) a contra
zione soppressa dai piani a d , bc. Dicasi a d — a, a b = b.
Si ha per la (17):
a b -¡-
Ora, detto a , l ’a della bocca circolare, cioè il dato dalla (52), quello della rettangolare a contrazione soppressa sui lati opposti, cioè dato dalla (54), si ha:
n a’ / — , , , / — w = —-— a, —- a b y otj
4
(*) C h i v o g lia c o n o sc e re il p r o c e d im e n to d e l c a lc o lo , v e g g a : To-
d h u n t e r, Calcolo integrale, t r a d . c i t ., p a g . 3 1 5 .
182 L’INGEGNERIA CIVILE E LE ARTI INDUSTRIALI
e perciò sostituendo :
4 - a b
A E M
D F M '
(r Ji
H C
od anche : F i* . 78.
/ —
a. Avremo per (17) a = j —~ ) . Ora
' 0 ,0
T + T
Supponendo che esista sempre una superficie normale w passante pel perimetro di A anche quando essa è reitango- lare acontrazione uniforme, possiamo altresì va luta re appros
simativamente l’a relaiivo. Sia dapprima A quadrata. Osser
viamo che la co deve in tal caso essere costituila da un padi
glione a quattro falde uguali risultanti presso a poco dall’in
tersezione di due cilindri avenli per direttrice la catenaria considerata nel caso di A rettangolare indefinita. Conside
riamo una delle quattro falde ABC (fig. 77)che costituiscono
I
d s a b — d s ' X , m n = (2. i i d s = ' i y onde chiamando a il lato AB, sarà:
d x d y
Dunque:
od anche :
Fig.
la (o. Sia ABE la bocca, DCE la catenaria sezione retta del cilindro avente le generatrici parallele ad A B ed ni un punto qualunque della DCE. Conduciamo la retta a m b parallela al lato AB e per m la retta tnn passante per l’asse CÒ di ABE e parallela al piano della A B E medesima. Siccome le sezioni della o) parallele al piano della bocca sono dei quadrati, si ha ab = m n . Ora, detto ds un elemento dell’arco DC, l’ele
mento della falda ABC (uguale alla quarta parte di co) sarà:
d y ,
\ d y
Seguendo lo stesso procedimento dianzi seguito, trovereb- besi così per a un valore uguale a quello (52) della bocca circolare.
Lo stesso risultato si avrebbe pure per A poligono rego
lare qualunque di numero [tari di lati.
Noto che sia a per la bocca quadrata e per la rettangolare indefinita od a contrazione soppressa su due lati opposti, potrà calcolarsi l’analoga quantità per una bocca rettango
la! e qualunque come appresso.
Siano AD = a ed AB = b (fig. 78) i lati del rettangolo AB CD. Noi potremo immaginarlo diviso in tre parti con due parallele E F e GII al lato AD che supporremo il minore;
sicché risulti A D EF, come pure BCGH semiquadrata, otte
nute cioè prendendo A E = B G = ed E F GII rettangola di lati a e b — a. Riguarderemo allora i rettangoli A F e G C come formanti in complesso una bocca quadrala a contrazione uniforme ed EH come una bocca rettangolare a contrazione soppressa sui due lati E F e G H , analogamente a quanto abbiamo fatto pel caso della fig. 76.
"a si avra:
w = a' | 2, -f- a(l> — a) ( x , .
f i 4 - - — 1
t r . . - j ' ( m ) Dunque, in generale, a dipende dall’inclinazione che hanno i filetti perimetrali della vena all’origine sull’asse Ox, incli
nazione che non è altro che 6 e nella contrazione uniforme è per definizione costante su tutto il perimetro di A. Difatti in un dato punto di co essendo normali l’elemento di super
ficie ed il filetto liquido che vi passa, segue che l’angolo for
mato da questo su Ox è uguale all’angolo formato da quello sul piano della bocca. Ora si osservi che l’angolo 6 dev’essere precisamente quello formato coll’asse Ox dalla risultante di tutti gl’impulsi sollecitanti la molecola che si affaccia in un dato punto del perimetro di A. a sarà dunque nota quando sarà nota la direzione della risultante stessa. Se le spinte sono sen
sibilmente tutte eguali fra loro e,8(fig. 73) è l’inclinazione sul
l’asse a;*deirorlo,odell’ultimoelementodi parete terminante il perimetro dì A, la risultante cercata sarà quella di tante forze eguali e concorrenti, uniformemente distribuite ed aventi tutte le possibili direzioni da 0 a ^ su x x . Sarà dunque allora 9 = — . Per una data bocca a prenderà allora un de
terminato valore che diremo normale. Così per la bocca c i r colare o quadrata avremo, invocando la (52), il valore no r
male di a dato da:
3 I B \
tg —- log£
T -tc 4 -
i Ioga 2 T (57)
Per la bocca rettangolare indefinita sarà oc uguale ad un altro numero a ,,, ossia per (54):
(
tg - -log* T
(58)
/ 3 \
nelle quali T = cot ; 45“ ----—- j per (51).
\ 4 /
Quando la bocca è in parete piana si ha jS = 90°, ed al
lora le precedenti formole forniscono i risultati numerici:
, i ( l + / ¥ ) lOiSe ( l + | /2~) — 1 f
«.« = * , ,--- = 1 , 4 4 7 (59)
I (l ) log, ( l + j/ 2 ) )
per la bocca circolare e quadrata a contrazione totale ed:
«•■»=--- —---— - = 1,287 (60) lcge s (1 + JA2 )
per la bocca rettangolare a contrazione soppressa su due lati opposti. Cosi otteniamo qui i i ^ - = t , 0 6 , e sostituendo in
1 a itt
(56) avremo il valore approssimativo normale di ce per A rettangolare in parete piana dato da:
« „ = 1,287 / l + 0 , 0 6 4 - •
" I
Mediante (53), (55) e (56) abbiamo ottenuto la seguente tabella relativa ai valori di a per bocche rettangolari a con
trazióne uniforme. Ponendo 26 = 8, questi valori divengono normali.
L ’IN G EG N ER IA C IV ILE E LE A R T I INDUSTRIALI
T a b e l l a II. — V a lo r i di a per b o c ch e r e t t a n g o la r i.
~
2 9
a lato
b lato
m inore del rettangolo m aggiore del rettangolo
0.0 0.1 0.2 I 0.3
I
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0° 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 ì.ooo 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
15° 1.006 1.007 1.007 1.008 1.003 1.009 1.009 1.010 1.010 1.011 1.011
30° 1.023 1.024 1.026 1.027 1.029 1.030 1.032 1.033 1.035 1.036 1.038
45° 1.05-5 1.058 1.060 1.063 1.065 1.068 1.071 1.073 1.076 1.078 1.081
60° 1.103 1 109 1.114 1.120 1.125 1.131 1.137 1 143 1.148 1.151 1.160
75° 1.177 1.186 1.196 1.205 1.215 1 .2 2 1 1.234 1.244 1.254 1.264 1.274
90° 1.237 1.302 1.317 1.333 1.349 1.365 1.381 1.397 1.413 1.429 1.447
10.V> 1.454 1.480 1.506 1 532 1 558 ! 585 1.611 1.639 1.666 1.693 1.720
120° 1.782 1.820 1.859 1.898 1.937 1.976 2.017 2.058 2.1.99 2.141 2.183
135° 2.234 2 312 2.390 2.469 2. =>51 2.634 2.719 2.803 2.891 2.980 3.071
150° 3.386 3 551 3.725 3.897 4.080 4.262 4.449 4.642 4.835 5.038 5.235
165° 7.767 8.334 8.924 9.537 10.17 10.81 11.49 12.24 12.88 13.61 14.37
180° 00 00 00 00 00 co 00 oo oo 00 00
Che la curva generatrice di w sia prossimamente una cate
naria, noi lo abbiamo dedotto dalla considerazione di una bocca orizzontale, aprentesi nel fondo di un vaso simmetrico rispetto ad un asse verticale. Ma evidentemente, non verifi
candosi tali condizioni, non varia la forma di w, o se varia, non è il caso di tener conto della differenza, perchè minima.
Infatti invece di prendere come sezione iniziale del com- : plesso dei filetti liquidi la superficie orizzonlale, noi pos
siamo partire da una sezione <a, abbastanza distante dallo sbocco da poterla riguardare come determinata insieme alla posizione del suo centro di gravità G,; per esempio, ritenen
dola uguale ad una metà o ad una porzione di sfera (o di ci
lindro nel caso di A rettangolare indefinita) secondo che 8 ì è uguale o diverso a 9 0 ’; sfera (o cilindro) concentrica alla ] bocca, giacché ad una certa distanza da questa i filetti se- j guono sensibilmente le direzioni dei raggi. Cosi la forma ! del vaso, a certa distanza da A, può esser qualunque. In- ! somma a è funzione principalmente di fl, quantità, ora ag giungiamo, che può ritenersi indipendente dalla posizione del piano di A rispetto all’orizzonle. La natura speciale della superficie, di cui o> rappresenta lo sviluppo, influ
isce sino ad un certo segno nei risultati. Se alla cate
naria si supponesse sostituita un’altra curva poco diversa, ad esempio una parabola, purché si mantenesse peiò 0 j costante, sarebbe facile vedere che il £ dato da (42) ne ver- ; rebbe appena alterato, almeno finché 2 0 < 90°, cioè per le bocche in parete piana ed a fortiori per quelle a svasa- | mento convergente. Non dobbiamo quindi troppo deplorare I
; se la (45) non è integrabile esattamente, giacché l’errore che ne consegue pei risultati pratici è trascura bile. La sor- S gente principale di errore nelle applicazioni numeriche è
! ¡’allontanarsi più o meno sensibile di 0 da! valore normale 3 Le spinte sollecitanti le molecole perimetrali ad uscire non possono considerarsi sempre come uniformementedistri- buite, come vedremo, e quindi per ora non sappiamo in ge
nerale nulla di esatto su 0, se non che potrebbe variare da 0 a (S e quindi a avvicinarsi all’uno od all’altro dei limiti cor
rispondenti a 0 = 0 e 0 = ¡3, secondo che prevalgono le spinte dirette i ormalmente alla bocca, ovvero quelle parallele alla parete dove essa è scolpita.
§ 3. — V a lo ri n o r m a li d ei c o e ffic ie n ti h e ¡i n e lla c o n tr a zio n e p e r fe tta . — V alori sp e r im e n ta li.
Chiameremo valori normali A-« e u„ dei coefficienti di con
trazione e di efflusso, quelli che corrispondono ai valori nor
mali di a . Vedemmo che quando h è infinito, la formola che dà il coefficiente di contrazione è la (42). Sostituendo in essa, per es., il valore normale (59) di a da noi trovato per A circolare in parete sottile piana, cioè quello che corri
sponde a 19 = 45°, si ottiene cosi per una tale bocca:
/; = 1 , 4 4 7 - ( / l,4 4 72 — 1,447 = 0,643. (61) Invece per una bocca rettangolare strettissima rispetto alla sua lunghezza, o, ciò che è lo stesso, rettangolare qua-
T a b e l l a III. — V a lo r i t e o r ic i di k p er b o cch e r e t ta n g o la r i e p er h = o o .
20
a b
lato minore lato m aggiore
' A : □ e O
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0° 1.000 1.000 1.000 1000 1.000 1.000 1.000 1.000 10 0 0 1X00 1.000
15° 0.928 0.923 0.923 0.919 0.919 0.914 0.914 0.910 0.910 0.906 0 906
30° 0.868 0 8 6 6 0.361 0.859 0.856 0.854 0.850 0.848 0.845 0.843 0.840
45° 0.814 0.811 0.807 0.804 0.802 0.798 0.795 0.794 0.790 0.788 0.784
60° 0.765 0.761 0.7-58 0.754 0.749 0.746 0.742 0.739 0.736 0.732 0.729
75° 0.721 0.716 0.712 0.708 0.704 0.7C0 0.696 0.693 0.689 0.686 0.683 |
90° 0.679 0.675 0.671 0.666 0.663 0.659 0.656 0.652 0.648 0.646 0.613 j
105° 0.641 0.637 0.633 0.629 0.626 0.622 0.618 0.616 0.612 0.610 0.607
120° 0.601 0.598 0.595 0.593 0.590 0.587 0.585 0.583 0.580 0 578 0.576
135° 0.573 0.571 0.568 0.566 0.563 0.561 0.559 0.556 0.554 0.551 0.549
150° 0.542 0.540 0.538 0.537 0.535 0.534 0.532 0.531 0.529 0.528 0.526
165° 0.517 0.516 0.514 0 5 1 3 0.512 0.511 0.510 0.509 0.508 0.507 0.506
180° 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0 5 0 0 0.500
184 L ’ING EG N ERIA CIVILE E LE A R T I IN DUSTRIALI
lunque, ma a contrazione soppressa su due lati opposti, si avrebbe, conforme al valore (60) di a relativo:
A = 1,287 — ^1,287* - 1,287 = 0 , 6 7 9 . (62) Nella tabel la III si trovano registrati i valori del coefficiente h per h = oo e per A rettangolare di lati a e b corrisponden
temente a diversi valori di L’ultima colonna vale, al so
lito, si per A quadrata che per A circolare. Quando 29 = j3, i h medesimi sono i normali k„ .
Quanto al coefficiente y » , ponendo T= < /£, «0= 0, P =/>0, cioè che non si abbia velocità d’arrivo e la pressione am
biente sia da per tutto uguale, abbiamo da (1 1) y = ì . Ve
dremo più in là che l’eguaglianza T = <?? esprimente che il
lavoro accumulato sulla molecola uscente per d Q sia sempli
cemente eguale a quello dovuto all’altezza del carico t , è una condizione che accompagna costantemente il caso normale.
Cosi per la (36) il coefficiente d’efflusso sarà dato da :
y n = 0,96 x (62')
Per la bocca circolare e quadrata in parete sottile piana con h = <x> abbiamo dunque per (61):
u„ = 0,96 X 0,643 = 0,617 (63) e per la rettangolare a contrazione soppressa su due lati op
posti da (62):
y n = 0,96 X 0,679 = 0,652. (64) Intanto otteniamo dalla precedente tabella III la seguente pei valori normali di y .
T a b e l l a IV. — V alori t e o r ic i n o r m a li di ¡i p e r b o cch e r e tta n g o la r i e p e r A = o c .
a lato minore p
b lato m aggiore
0.0 0.1 0 2 0.3 0.4 0.5 0 6 0.7 0.8 0.9 A: □ e O
1.0 ,
0° 0.960 0.960 0.960 0.960 0.960 0.960 0.960 0.960 0.960 0.960 0 960
15° 0.891 0.886 0.886 0.882 0.882 0.877 0.877 0.873 0.873 0.870 0.870
30° 0.833 0.831 0.827 0.825 0.822 0.820 0.816 0.814 0.811 0.809 0.806
45° 0.781 0.778 0.775 0.772 0.770 0.766 0.763 0.762 0.759 0.757 0.753
60° 0.734 0.731 0.728 0.724 0.719 0.716 0.713 0.710 0.707 0.703 0.700
75° 0.692 0.688 0.684 0.680 0.676 0.672 0.668 0.665 0.662 0.659 0.656
90° 0.652 0.648 0.644 0.639 0.636 0.633 0.630 0.626 0.622 0.620 0.617
105° 0.615 0.612 0 608 0.604 0.601 0.597 0.593 0.591 0.588 0.586 0.583
120° 0.577 0.574 0.571 0.569 0.566 0.563 0 561 0.56; i 0.557 0.555 0.553
135° 0.550 0 5 4 8 0.545 0.543 0.540 0.538 0.536 0.5H4 0.532 0.529 0.527 !
150° 0.520 0.518 0.516 0.515 0.514 0.513 0.511 0.510 0.508 0.507 0.505 j
165° 0.496 0.495 0.493 0.492 0.491 0.490 0.489 0.488 0.487 0.486 0.485
180“ 0.480 0.480 0.480 0.480 0.480 0.480 0.480 0.480 0.480 0.480 0.480 ,
Fin qui nell’ipotesi su cui è basata la (42), cioè che sia h = oo. Supponiamo adesso che il rapporto C- o, ciò che
Q A h
è lo stesso, che — non sia trascurabile, come sopra abbiamo
l • C 1
implicitamente supposto. Sia, ad esempio, - 1- = —. Avremo
h 2
dunque nel caso normale e per la bocca circolare in parete piana da (39) e (40):
D = 2 X M 4 7 ! - 1,447 = 2,741 ;
E = M 4 7 ’ ( l + x ) ' <65) Incominciando a provare /ì = 0,64, si ottiene E = 2,429 e quindi per (41):
* = | 2,741 — / 7,513 — 2,429 = |/o ,4 8 6 = 0,697.
Tornando allora a sostituire questo valore in (65) viene E = 2,458; e quindi in terza approssimazione:
k = l 2,741 — (/7,513 — 2,458 = 0,702.
Con una nuova sostituzione si ricade identicamente sullo stesso numero. Tale dunque sarebbe il coefficiente di con
trazione normale per un carico uguale al diametro della bocca circolare, giacché l’esperienza insegna che 3 è uguale al raggio r di A (*).
V 1
Dalla (33') si ottiene, posto - = — , y = 0,992; sicché per (62') si avrebbe in quest’ipotesi, per A in parete sottile piana :
_________P-n = 0,992 X 0,96 X 0,702 = 0,668.
(*) Na z z a.n i, Id r a u lic a p r a tic a , tom. I, pag. 84.
Ci asteniamo dal trattare il caso limite r = h, giacché esso non sarebbe che ipotetico. Difatti, quando il piano di carico è prossimo a lambire l’orlo superiore di A, accade una depres
sione nel pelo liquido e la bocca incomincia a funzionare da stramazzo, restandone la parte superiore all’asciutto. Ol
tracciò, non potendosi allora più ritenere h = h', i nostri risultati sarebbero anche per questo inesatti.
Per — 1
h > - - avremmo per i coefficienti valori più grandi dei precedenti (*). Applicando a diversi valori di — la for-
! h
mola (41) e poi la (62') abbiamo così la seguente tabella:
Ta b e l l a V.
C o effic ien ti t e o r ic i n o r m a li p er b o cch e c ir c o la r i in p a r e te s o t t ile p ia n a .
S 1 1 1 1 1 1
li 2 I T ~4 ~5~ io ” 2J 0
lCn 0.702 0.667 0.656 0.652 0.646 0.643 0.643
V-n
1
0.668 0.637 0.629 0.625 0.620 0.617 0.617
Il numero a è evidentemente funzione crescente dell’an- [ golo 8. Ora 1; è a sua volta funzione decrescente di a. Ci con
(*) Il crescere del ¡in al diminuire del carico dipende dal fatto che ] 5, o meglio C, supera un certo valor minimo; giacche per C = 0 si avrebbe i n = cost. e quindi [i„ , perchè proporzionale a x, sarebbe decrescente al decrescere di h.
L ’IN G E G N E R IA C IV ILE E LE A R T I INDUSTRIALI 185
tenteremo di dimostrarlo, supposto h grandissimo. Derivando
!a (42) abbiamo:
T a b e l l a VI. — C o e ffic ien ti d 'efflu sso p er bocche c ir c o la r i in p a r e te s o t t ile p ia n a , secon d o J ia v ier .
d k il »
ma a y <x' — a = l', dunque : d k 1 — 2 A-
t — 2 ( a . — a1 — a ) 2 | a5 - a
d a 2
|/¡
Ora il denominatore è un numero positivo, giacche « > 1, mentre il numeratore è negativo, poiché, il valor minimo di k è 0,50; dunque ---è negativa. Ne consegue che h è fun-d li
d a.
zione decrescente di a e quindi di ù. Accadrà pertanto che per una data bocca ogni causa capace di indurre una dim i
nuzione nel valor medio di 6 produrrà un corrispondente aumento in k e cosi l’opposto. Ad esempio, la vicinanza di una parete laterale o del fondo all’orlo di A (come ancora la presenza di u n ’altra bocca a fianco) infirmando più o meno l’azione dei filetti meno obliqui all’asse O x compresi fra l’orlo stesso e la parete, dovrà necessariamente diminuire 6
e quindi aumentare k. Ciò è quanto anche le esperienze di
mostrano. Lesbros ha però constatalo che questa azione delle pareti laterali o del fondo cessa di manifestarsi quando la minima distanza fra esse e la bocca ne supera 2,7 volte la minima dimensione.
Raccogliamo qui appresso i principali risultati ottenuti sperimentalmente sulle bocche in parete sottile piana, a con
trazione totale, onde porli a confronto con quelli da noi o t
tenuti (■). Essi corrispondono al caso particolare J 3 = 9 0 ° . Newton avrebbe trovato che l’urea della sezione contratta sia a quella di un’apertura circolare di 16 mm. come 441:625 ossia k = 0,706. Ma è dubbio se questa misura fosse fatta con esattezza.
Borda, lasciando vuotare un serbatoio per una bocca del diametro di m. 0,034, trovò col sistema di Newton, ma ope
rando con più cura, 7; = 0,646.
Posteriormente ottennero:
Michelotti, k = 0,649 (diam. 1 a 3 pollici);
Venturi, k = 0,640 (diam. 18 linee);
Dossut, / , = 0,660 e 0,667 (diam. da 6 lin. a 3 poli.);
Eytelwein, I; = 0,64 (diam.26 mm.). Fin qui per A cir
colare.
Per A quadrata a Bossut risultò k = 0 , 6 4 2 (lato = 9,8 linee) ("').
Tutti questi valori di k si riferisconoa carichi molto grandi rispetto alle dimensioni di A. Come vedesi, la media dei pre
detti numeri, almeno per diametri superiori ai due centi- metri, è assai prossima al nostro valore teorico normale (61).
Ma Poncelet e Lesbros trovarono in alcuni casi k sensibil
mente minore dei precedenti (0,56 e 0,58). Dovremo in se guito tratlenerci alquanto di proposito sulle esperienze re
lative.
Quanto a y. per A circolare, ecco quanto parve a Navier poter dedurre da varie esperienze di Mariotte, Michelotti e Bossut. Egli diede y in funzione del rapporto fra il diametro d di A ed il carico centrale nominale II come appresso ( “ *).
Osserviamo però che i numeri intermedii furono ottenuti forse da troppo estese interpolazioni.
(") R am m entiam o che è totale la contrazione quando A è com pleta
m ente isolata dalle p a re ti la te ra li e d a l fondo, cioè quando ta u to le une che l ’altro se ne tro v an o discosti pel m inim o sopra riferito.
('*) L a linea equivale a mm. 2,25, il pollice a m m. 27 circa.
(“ ') P e r t u t t i i |i relativ i a casi di contrazione perfetta (cioè senza velocità d ’arrivo) di cui ora ci occupiamo, II è supposto m isurato dove il liquido è sensibilm ente sta g n an te.
F a s e . 12° — F o g . 2*
d d
i r H H
‘ f 0.650 1
7 0.623
i 0.642 1
8 0.6¿ 2
i
2 0.637 1
9 0.621
1
~o~t» 0.633 1
i o 0.620
1 4
0.630 1
100 0.618
1
5 0.627 1
200 0.615
1
6 0.625
Al solito, questi varrebbero per bocche di almeno 2 o 1 centimetro di diametro. Per un serbatoio che semplice- mente si vuota e per un notevole carico Borda trovò u = 0,625 (¿ = 0m,03), Ilachetle in media 0,615 (tZ = 0m,010 -f- 0,041) numero che va più d’accordo con altri ottenuti posterior
mente (vedi Tab. VII). Il valore (64), pel quale osservammo che la valutazione di «sarebbe scevra d ’inesattezza, coincide anch’esso quasi perfettamente coi risultati delle esperienze di Bidone fatte su piccole luci e con carichi non minori di 24 diametri, avendone egli ottenuto ju.=0,6513 (').
D;i esperienze del sunnominato Hachette, come pure da altre di Mariotte, emerge che per diametri piccolissimi y è più forte. Per d = m. 0,001 il primo trovò y. = 0,69 e per
lino y. = 0,78 (?).
Tornando alle bocche di notevoli dimensioni, purché si agisca con piccole pressioni, l’efflusso dei gas può trattarsi come quello dei liquidi. Ora essendo pei primi gli attriti molto minori che pei secondi, pare che si dovrà avere sensibilmente y — k. Perciò secondo le nostre forinole sarebbe allora per A circolare in parete sottile piana u = 0,643. D’Aubuisson e Péclet trovarono effettivamente ^. = 0,65 (*').
T a b e l l a VII. — C oefficien ti p p e r lu c i c ir c o la r i iu p a r e te s o t t ile p ia n a , da o s s e r v a to r i d iv ersi.
! Osservatori d H fi Osservazioni ;
1
H ach ette 0.010 0.10 0.649 D a d — 0.026 a
W eisbach » 0.15 0 639 d = 0.162 e per
Castel » 0.65 0.673 H compresa fra
» » 0.31 0.654 0.17 e 3.66 si
W eisbach 0.014 0.15 0.627 ha m ediam ente
Castel 0.015 0 14 0.632 T= II O 05 00
» » 0.30 0.617
W eisbach 0.017 0.15 0 626
)> 0.020 » 0.633
E ytelw ein 0.026 0.72 0.618
B ossut 0.027 1.30 0.619
M ichelotti )) 2.23 0.618
C astel 0.030 0.17 0.629
V en tu ri 0.041 0.86 0.622
M ichelotti 0 054 2.20 0.607
» 0.081 3.81 0.612
» 0.162 2 .1 1 0.619
)) 0.162 3.66 0.619
(■) A g g iu n te all'Arch. Idr. di Be l i d o r (Appendice alla nota ck).
T rad . ita l. M antova, 1835.
(“ ) Cf. B o u s s in e s q , o p . c i t ., p a g . 563.
