Popolazione Parametri Valori fissi, spesso non noti
Campione Statistiche Stimatori o
Variabili casuali, le cui determinazioni
dipendono dalle particolari osservazioni scelte
Parametri e statistiche
Ø Parametri: valori caratteristici della popolazione Ø Statistiche o v.c. campionarie o stimatori o
statistiche test: funzioni delle osservazioni campionarie Ø Statistica calcolata o stima: numero ottenuto
applicando la statistica al campione osservato
Ø Distribuzione campionaria: valori che la statistica
assume al variare del campione nell ’ universo campionario
Parametri e statistiche
Distribuzioni campionarie
Le conclusioni inferenziali, basate sull ’ unico campione osservato, devono essere giudicate sulla base della distribuzione di probabilità dei possibili campioni che potevano essere generati e dei quali quello osservato
costituisce una realizzazione particolare.
La stima
• Si suppone che la popolazione, seppur incognita, si distribuisca secondo una legge di probabilità completamente caratterizzata sa un parametro θ o da un insieme di parametri.
• Sulla base di un campione casuale X1, X2, …, Xn si vuole trovare un valore o un insieme di valori per θ che siano la migliore approssimazione possibile del valore incognito della popolazione.
La stima
La stima puntuale
Per stimare uno stesso parametro si possono usare più statistiche (più stimatori) ognuno delle quali fornisce valori potenziali per il parametro.
La stima per intervalli
Si cerca un intervallo che ha una particolare confidenza o probabilità di includere il parametro della popolazione
( 1 2 ) 1
P t < < θ t = − α
Livello di confidenza
La stima puntuale
Occorre definire delle regole in base alle quali si possa discriminare tra stimatori alternativi:
1. Proporre stimatori “naturali”
2. Determinare la probabilità con cui uno stimatore tende a produrre stime diverse da θ
Proprietà degli stimatori
La stima puntuale: la correttezza
Uno stimatore t è uno stimatore corretto del parametro θ se:
E t ( ) = θ
( ) X = µ
E
X( ) n n
E 1
ˆ
2 2−
= σ
σ σ
ˆ2è uno stimatore corretto di µ
è uno stimatore distorto di σ2
S
2 =X
i −X
( )
2i =1 n
∑
n
−1 è uno stimatore corretto di σ2La stima puntuale
• Anche se lo stimatore presenta proprietà ottimali, una volta ottenuto il campione le stime difficilmente coincideranno con il parametro incognito
• A parità di stimatore, campioni diversi conducono a stime diverse
• Il valore numerico della singola stima non fornisce
informazioni sul probabile campo di variazione delle stime del parametro
Stima per intervalli
L ’ intervallo di confidenza per la media della popolazione
( )
~ 0,1 X
nN
σ n
µ
−
µ
~ ,
2X N
n µ σ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
• Popolazione X ∼ N
( µ σ
; 2)
•
P t (
1< µ < t
2) = − 1 α
• Stimatore di µ à media campionaria
α 2
α 2
t1 t2
0
α 2
α 2
-Zα/2 Zα/2
• Popolazione X ∼ N
(
µ σ; 2)
• P t
(
1 <µ
< t2)
= −1α
• Stimatore di µ à media campionaria
• P t
(
1 <µ
< t2)
= −1α
= P(
−zα2 < Z < zα2)
Z X
n µ σ
= −
2 2
P z X z
n
α α
µ σ
⎛ ⎞
⎜ − ⎟
− < <
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 α
= −
L ’ intervallo di confidenza per la media della popolazione
2 n 2 1
P z X z
n n
α α
σ σ
µ µ α
⎛ ⎞
− ⋅ ≤ ≤ ⋅ = −
⎜ ⎟
⎝ + ⎠
2 2 1
P z z
n n
X α σ µ X α σ α
⎛ ⎞
− ⋅ ≤ ≤ ⋅ = −
⎜ ⎟
⎝ + ⎠
2 2
P z X z
n
α α
µ σ
⎛ ⎞
⎜− < − < ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 α
= −
L ’ intervallo di confidenza per la media della popolazione
2 n 2 1
P z X z
n n
α α
σ σ
µ µ α
⎛ ⎞
− ⋅ ≤ ≤ ⋅ = −
⎜ ⎟
⎝ + ⎠
2 2 1
P z z
n n
X α σ µ X α σ α
⎛ ⎞
− ⋅ ≤ ≤ ⋅ = −
⎜ ⎟
⎝ + ⎠
Una macchina produce bulloni il cui peso ha distribuzione Normale con media µ=63 grammi e varianza σ2=0,8.
Scegliendo a caso 8 bulloni, qual è l’intervallo che con probabilità 0,95 comprenderà la loro media?
Una macchina produce bulloni il cui peso ha distribuzione Normale con media µ=incognita e varianza σ2=0,8.
Scelti a caso 8 bulloni, il loro peso medio è risultato pari a 62,6 grammi. Qual è l’intervallo che, con probabilità 0,95, contiene il parametri incognito µ?
0,89 0,89
62,6 1,96 62,6 1,96 0,95
8 8
P⎛⎜ − ⋅ ≤ µ ≤ + ⋅ ⎞⎟ =
⎝ ⎠
0,89 0,89
63 1,96 63 1,96 0,95
8 Xn 8
P ⎛ ⎞
− ⋅ ≤ ≤ + ⋅ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(63 0,62 n 63 0,62) 0,95
P − ≤ X ≤ + =
(62,38 Xn 63,62) 0,95
P ≤ ≤ =
(62,6 0,62 62,6 0,62) 0,95
P − ≤ µ ≤ + =
(61,98 63,22) 0,95
P ≤ µ ≤ =
2 2 1
P X z X z
n n
α α
σ σ
µ α
⎛ ⎞
− < < + = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
• Dopo aver estratto il campione
( x
1, x
2, … x
n)
:2 2
1
P x z x z
n n
α α
σ σ
µ α
⎛ ⎞
− < < + = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Per 1-α = 68%
2
1,00
z
α=
Per 1-α = 95%
2
1,96
z
α=
Per 1-α = 99%
2
2,58
z
α=
L ’ intervallo di confidenza per la media
della popolazione
Quando il parametro µ della popolazione è incognito, il miglior modo per stimarlo è utilizzare la media campionaria.
Quando la numerosità campionaria n è sufficientemente elevata si ha:
E’ quindi possibile dire che, con probabilità 1-α, l’intervallo:
contiene il parametro incognito µ.
µ σ
⎛ ⎞
∼ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
;
2X N
n
L ’ intervallo di confidenza per la media della popolazione
x z
α2
σ
n
Si supponga di aver estratto 10 campioni di 36 unità da una popolazione normale con media µ=10 e varianza pari a 36. Per ognuno di questi campioni si è calcolata la media campionaria e l’intervallo di confidenza al 95%.
Estremi dell’intervallo:
• a X 1,96 σn
= − b X 1,96
n
= + σ
Campione X Estremo
inferiore a Estremo superiore b
1 8.75 6.79 10.71
2 11.75 9.79 13.71
3 8.45 6.49 10.41
4 9.70 7.74 11.66
5 10.50 8.54 12.46
6 9.00 7.04 10.96
7 11.15 9.19 13.11
8 10.50 8.54 12.46
9 7.75 5.79 9.71
10 10.10 8.14 12.06
L ’ intervallo di confidenza per la media
della popolazione
0 2 4 6 8 10 12 14 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Numero del campione
a, b, media campionaria
NO
µ
L ’ intervallo di confidenza per la media
della popolazione
L’altezza delle matricole universitarie di sesso maschile può essere considerata una variabile con distribuzione Normale, con media incognita e varianza pari a 10,66.
Per stimare l’altezza media si estrae un campione casuale di 58 matricole e si misura l’altezza media, che risulta pari a 175,4 cm. Si definisca l’intervallo che, ad un livello di fiducia del 90, del 95 e del 99 per cento contenga il parametro incognito della popolazione.
( )
~ ; 10,66
X N µ n = 58 x =175, 4cm
0,90
1 0,95
0,99 α
⎧⎪
− = ⎨
⎪⎩
3,265 3,265
175, 4 1,96 175, 4 1,96 0,95
58 58
P⎛⎜ − ⋅ ≤ µ ≤ + ⋅ ⎞⎟ =
⎝ ⎠
3,265 3,265
175, 4 1,64 175, 4 1,64 0,90
58 58
P⎛⎜ − ⋅ ≤ µ ≤ + ⋅ ⎞⎟ =
⎝ ⎠
3,265 3,265
175, 4 2,58 175, 4 2,58 0,99
58 58
P⎛⎜ − ⋅ ≤ µ ≤ + ⋅ ⎞⎟ =
⎝ ⎠
(175,4 0,705 175,4 0,705) 0,90
P − ≤ µ ≤ + =
(175,4 0,840 175,4 0,840) 0,95
P − ≤ µ ≤ + =
(175, 4 1,106 175, 4 1,106) 0,99
P − ≤ µ ≤ + =
Esercizio
L’altezza delle matricole universitarie di sesso maschile può essere considerata una variabile con distribuzione Normale, con media incognita e varianza pari a 10,66.
Per stimare l’altezza media si estrae un campione casuale di 58 matricole e si misura l’altezza media, che risulta pari a 175,4 cm. Si definisca l’intervallo che, ad un livello di fiducia del 90, del 95 e del 99 per cento contenga il parametro incognito della popolazione.
Esercizio
( )
~ ; 10,66
X N µ n = 58 x =175, 4cm
0,90
1 0,95
0,99 α
⎧⎪
− = ⎨
⎪⎩
(
174,6 176,2)
0,95P ≤
µ
≤ =(
174,7 176,1)
0,90P ≤
µ
≤ =(
174,3 176,5)
0,99P ≤
µ
≤ =x 0,705
x 0,840
x 1,106
n >
30? X ∼ N?
noto? σ
NO NO
NO SI SI
SI
x zα2
⋅ σ n
x t
α2
⋅ σ n
La stima per intervalli
?
La stima per intervalli
(
2)
~ ; X N
µ
σXn
σ n
µ
− Xn − µ
s n
s = 1
n − 1
(
xi − x)
2i=1 n
∑
~ tn−1
La stima della media
con distribuzione nota e varianza incognita X k ⋅ σ n
P X − tα
2;( )n−1 ⋅
s
n ≤ µ ≤ X + tα
2;( )n−1 ⋅
s n
$
%&& '
()) = 0,95 P X − zα
2
⋅ σ
n ≤ µ ≤ X + zα
2
⋅ σ n
$
%&& '
()) = 0,95
• La funzione di densità della v.c. di Student è sempre simmetrica, con valore medio pari a 0, ed assume una forma molto simile a quello della Normale standardizzata alla quale tende assai velocemente al crescere dei gradi di libertà.
• Per valori di n piccoli o moderati, la v.c. di Student si caratterizza per una curtosi leggermente più elevata e per code più “pesanti” della v.c. Normale.
µ X
f(x)
X f(x)
( )
0 ;( )
2 E X Var X n
= = n
− La distribuzione t di Student
La stima per intervalli
Esempio
L’altezza delle matricole universitarie di sesso maschile può essere considerata una variabile con distribuzione Normale, con media e varianza incognite.
Per stimare l’altezza media si estrae un campione casuale di 18 matricole e si misura l’altezza media, che risulta pari a 175,4 cm, con sqm campionario corretto pari a 4,4 cm. Si definisca l’intervallo che, ad un livello di fiducia del 95% contenga il parametro incognito della popolazione.
(
2)
~ ;
X N µ σ n = 18 x = 175, 4cm 1−α = 0,95
(
2)
~ ; X N
µ
σXn
σ n
µ
− Xn − µ
s n
s = 1
n − 1
(
xi − x)
2i=1 n
∑
~ tn−1
La stima della media
con distribuzione nota e varianza incognita
s = 4,4cm
X k
n
⋅ σ m
X k ⋅ s n
0,025;17 2,110
t =
175,4 2,11⋅ 4,4
18 175,4 2,19 173,2
177,6 P X − tα
2;( )n−1 ⋅
s
n ≤ µ ≤ X + tα
2;( )n−1 ⋅
s n
$
%&& '
()) = 0,95
(
173,2 177,6)
0,95P ≤ µ ≤ =
Un'azienda che imbottiglia una bibita gassata vuole indagare sulla forza della pressione interna della bibita presente in una lattina. Supponendo che la forza della pressione sia una v.c.
con s.q.m. 28psi, si consideri un campione casuale di 20 lattine con pressione media pari a 235psi. Si determini un intervallo di confidenza al 95% per la pressione media delle lattine prodotte dall'azienda nel caso in cui il valore della pressione possa
essere considerato distribuito normalmente.
Esercizio
X~ N(?; 28) σ=28
n=20 1-α=0,95 1 , 96
2
= z
α20 96 28
, 1 235
= 235 x
[ 222 , 73 ; 245 , 27 ]
z=1,96 z=2,33 ldf=90% z=1,64 ldf=95%
ldf=99%
Esercizio
• Si cerca un intervallo che ha una particolare confidenza o probabilità di includere il parametro della popolazione
( 1 2 ) 1
P t < < θ t = − α
Livello di confidenza
La stima per intervalli
( )
( )
X B ∼ n π ; n π 1 − π
( 1 )
X B ;
n n
π π
⎛ π − ⎞
⎜ ⎟
∼ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
• : numero di successi in n prove
• : proporzione di successi in n prove
π à proporzione di successi nella popolazione
p à proporzione di successi in un campione di ampiezza n P: v.c proporzione campionaria
( 1 )
P ;
n
N
n
π π
→∞
π
⎛ − ⎞
⎜ ⎟
∼ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ Z= P - ( ) ( ) 0;1
1 N
n π
π − π ∼
V.C. Proporzione campionaria
La proporzione di successi nella popolazione
• Popolazione
:( 1 )
X B ;
n n
π π
⎛ π − ⎞
⎜ ⎟
∼ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
• P t (
1< π < t
2) = − 1 α
• Stimatore di π à proporzione campionaria P
( 1 )
P ;
n
N
n
π π
→∞
π
⎛ − ⎞
⎜ ⎟
∼ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ Z= P - ( ) ( ) 0;1
1 N
n π
π − π ∼
La stima per intervalli
La proporzione di successi nella popolazione
(
1 2) 1 (
2 2)
P t < π < t = − α = P z −
α< Z z <
α( 1 )
Z P
n π
π π
= −
−
( ) ( )
2 2
1 1
1
P P z P z
n n
α α
π π π π
π α
⎛ − − ⎞
⎜ − < < + ⎟ = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
• Dopo aver estratto il campione
(
x1,x2,…xn)
e sostituendo al parametro ignoto della popolazione il suo stimatore p:( ) ( )
2 2
1 1
p p p p 1
P p z p z
n n
α
π
αα
⎛ − − ⎞
⎜ − < < + ⎟ = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
La stima per intervalli
Quando il parametro π della popolazione è incognito, il miglior modo per stimarlo è utilizzare la proporzione campionaria.
Quando la numerosità campionaria n è sufficientemente elevata si ha:
E’ quindi possibile dire che, con probabilità 1-α, l’intervallo:
contiene il parametro incognito π.
( 1 )
P ;
n
N
n
π π
→∞
π
⎛ − ⎞
⎜ ⎟
∼ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) ( )
2 2
1 1
p p p p 1
P p z p z
n n
α
π
αα
⎛ − − ⎞
⎜ − < < + ⎟ = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
La stima per intervalli
La proporzione di successi nella popolazione
Esercizio
La stima di una proporzione
Da un ’ indagine condotta su un campione casuale di 280 matricole universitarie è risultato che il 36% si dichiara insoddisfatto della nuova Riforma.
Qual è l ’ intervallo che, ad un livello di fiducia del 95%,
comprende il parametro incognito della popolazione?
Esercizio
La stima di una proporzione
Da un’indagine condotta su un campione casuale di 280 matricole universitarie è risultato che il 36% si dichiara insoddisfatto della nuova Riforma.
Qual è l’intervallo che, ad un livello di fiducia del 95%, comprende il parametro incognito della popolazione?
Parametro: π (Proporzione nella popolazione) Stimatore:
p
(Proporzione campionaria)( )
= πE p ( ) π ⋅( −π)
= 1
Var p
n
Per campioni grandi
( )
π π
⎛π ⋅ − ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
~ ; 1
p N
n n=280 p=0,36 1-α = 0,95
( )
α α
π
π π α
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜− ≤ − ≤ ⎟ = −
⎜ ⋅ − ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2 1
1
P z p z
n
( ) ( )
α α
π π π π
π
α⎛ ⋅ − ⋅ − ⎞
⎜ ⎟
⇒ − ⋅ ≤ ≤ + ⋅ = −
⎜ ⎟
⎝ 2 2 ⎠
1 1
1
P p z p z
n n
α =
2 1,96
z
( )
π
( )⎛ ⋅ − ⋅ − ⎞
⎜ ⎟
⇒ − ⋅ ≤ ≤ + ⋅ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
0,36 1 0,36 0,36 1 0,36
0,36 1,96 0,36 1,96 0,95
280 280
P
;
( π )
⇒ P 0,36 0,056− ≤ ≤0,36 0,056+ =0,95 ⇒ 0,303P
(
≤π
≤ 0,416)
= 0,95Un rivenditore di automobili vorrebbe stimare la proporzione di clienti che posseggono ancora l'automobile acquistata
cinque anni prima.
Dai registri del rivenditore si seleziona un campione casuale di 200 clienti, di cui 82 posseggono ancora l'automobile
acquistata cinque anni prima. Si definisca una stima per
intervalli per la proporzione nella popolazione ad un livello di confidenza del 95%.
Esercizio
n=200 1-α=0,95 1 , 96
2
= z
α( )
200
41 , 0 1
* 41 , 96 0
, 1 41
,
0 −
41 , 200 0
82 = p =
[ 0 , 3418 ; 0 , 4781 ]
Esercizio
Dove e come studiare
File “ esercizi intervalli di confidenza.pdf ”
• S. Borra, A. Di Ciaccio (2004) – Statistica – Metodologie per le scienze economiche e sociali – McGraw-Hill. Cap. 11 (escluso paragrafi 11.4, 11.5, 11.9), Cap. 12 (escluso paragrafo 12.6).
• D. Piccolo (2004) – Statistica per le decisioni – Il Mulino. Cap. 13 (escluso paragrafi 13.3, 13.4,13.5, 13.6, 13.7, 13.8), Cap. 15 (escluso paragrafi 15.4, 15.5, 15.6).
• F. Parpinel, C. Provasi (2004) – Elementi di probabilità e statistica per le Scienze Economiche – Giappichelli editore. Cap. 6 (escluso paragrafi 6.1.1, 6.1.2, 6.2.4).
Popolazione e campione
ü La stima
ü La stima puntuale
ü Le proprietà degli stimatori
ü Intervallo di confidenza per la media
ü Intervallo di confidenza per la proporzione
Riepilogo
V
Parametro della popolazione
(incognito)
= v
Stima del campione
Errore di ε
campionamento
±
Q u a n d o i l p a ra m e t r o µ d e l l a popolazione è incognito, il miglior modo per stimarlo è utilizzare la media campionaria.
z σ n
α
•
Valore legato al livello di 2
fiducia desiderato
La numerosità campionaria
x z
α2
σ
n
Popolazione N
È l’insieme finito o infinito di unità, definito nei contenuti, nello spazio e nel tempo, oggetto dell’indagine statistica
È costituito da un certo numero di unità, estratte con qualche procedimento da una popolazione, al fine di rappresentarla quanto ai caratteri oggetto di studio
Campione n
“ La numerosità ottima di un campione è quella che consente di ottenere gli obiettivi dell’indagine al minimo costo e sarà il numero minimo in base al quale le stime raggiungeranno il livello di attendibilità atteso.”
(L. Fabbris: L’indagine campionaria - NIS)
La numerosità campionaria
Intervallo della stima per la media:
x
z
α2
⋅
σ n
ε
α
σ
ε
⋅
=
2 2
2 2
n z
Con n grande e schema di
campionamento
con reintroduzione:
• Fissare la quantità di errore che si è disposti ad accettare nell’uso del campione per stimare il parametro della popolazione (errore di
campionamento ammesso, ε)
• Stimare lo scarto quadratico medio se non sono disponibili dati del passato
• Fissare il livello di confidenza desiderato
La numerosità campionaria
Esempio
Esercizio (da Montanari, Agati, Calò pag. 156)
I proprietari delle pizzerie che effettuano consegne a domicilio intendono confrontarsi sui tempi medi di consegna. Uno di loro dispone già di 40 osservazioni, la cui devianza (espressa in minuti al quadrato) è pari a 14572.
X k ⋅ s
n ≤ 3min
Assumendo invariata la varianza campionaria s2, quante osservazioni è necessario aggiungere al campione affinché l’intervallo di confidenza al 95% per il tempo medio di consegna abbia un’ampiezza (in più o in meno) non superiore a 3 minuti?
k = zα2 = 1,96 s = 14572
39 = 19,33 19,33
1,96 3
⋅ n = 1,962
(
19,33)
2n 9
⇒ = ⋅ 3,84 373,6
= ⋅ 9 ≈ 160
Quindi… nʹ′ = 160 40 120− =
Esempio
La determinazione della numerosità ottimale
Con riferimento all’esercizio precedente, si supponga che l’ampiezza dell’intervallo venga giudicata eccessiva. Senza cambiare il livello di fiducia, si vuole allora ottenere
una stima che differisca dal parametro per non più di 2 punti percentuali (in più o in meno).
Qual è la numerosità campionaria necessaria per ottenere un errore massimo di due punti percentuali ad un livello di fiducia del 95%?
E p( ) =π Var p( ) (1 )
n
π ⋅ −π
= Per campioni
grandi
(1 )
~ ;
p N
n
π π
⎛π ⋅ − ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1-α = 0,95 α = n=?
2 1,96
p zα z
2
⋅ π ⋅ 1 − π
( )
n
ε
ε= 0,02
( )
α
π ⋅ − π
⋅ =
2
1 0,02
z n
• Si utilizzano informazioni
da indagini precedenti
• Ci si mette nella situazione
di massima variabilità
(π= 0,36)
(π= 0,50)
( )
( )
α ⋅π ⋅ −π
=
2 2
2
1 0,02 n z
π= 0,36
( )
( )
⋅ ⋅ −
⇒ = 3,84 0,36 1 0,362
n 0,02 = 0,885
0,0004 = 2213
π= 0,50
( )
( )
⋅ ⋅ −
⇒ = 3,84 0,50 1 0,502
n 0,02 = 0,96
0,0004 = 2400
Un'azienda che imbottiglia una bibita gassata vuole indagare sulla forza della pressione interna della bibita presente in una lattina. Supponendo che la forza della pressione sia distribuita normalmente ed abbia uno s.q.m.
28psi, quante lattine bisogna controllare se si vuole stimare la pressione media delle lattine prodotte dall'azienda entro l'intervallo di ±3psi? Si
consideri un livello di confidenza del 95%.
Livello di fiducia=95%
z=1,96 z=2,33 ldf=90% z=1,64 ldf=95%
ldf=99%
σ=28 n=50
z n
x σ
⋅
= 235 x
335 6
. 3 334
28 96
. 1
2
2 2
2 2 2
≈
• =
=
= ε z σ n
Esempio
Campione
casuale E’ un campione estratto da una popolazione in cui tutte le unità hanno probabilità non nulla di essere estratte.
Un campione è
rappresentativo… …quando è estratto in modo casuale (e non quando è grande!).
Un campione
grande… …è associato ad un minore errore delle stime.
Quindi… …la cosa migliore è avere un campione grande scelto in modo casuale ;
ma…
…è molto meglio avere un campione piccolo estratto in modo casuale che un campione grande estratto“a casaccio”.
Una riflessione
Dove e come studiare
File “ esercizi intervalli di confidenza.pdf ”
• S. Borra, A. Di Ciaccio (2004) – Statistica – Metodologie per le scienze economiche e sociali – McGraw-Hill. Cap. 11 (escluso paragrafi 11.4, 11.5, 11.9), Cap. 12 (escluso paragrafo 12.6).
• D. Piccolo (2004) – Statistica per le decisioni – Il Mulino. Cap. 13 (escluso paragrafi 13.3, 13.4,13.5, 13.6, 13.7, 13.8), Cap. 15 (escluso paragrafi 15.4, 15.5, 15.6).
• F. Parpinel, C. Provasi (2004) – Elementi di probabilità e statistica per le Scienze Economiche – Giappichelli editore. Cap. 6 (escluso paragrafi 6.1.1, 6.1.2, 6.2.4).
Popolazione e campione
ü La stima
ü La stima puntuale
ü Le proprietà degli stimatori
ü Intervallo di confidenza per la media
ü Intervallo di confidenza per la proporzione ü Determinazione della numerosità campionaria
ü Per la stima della media
ü Per la stima della proporzione