La caratterizzazione per mezzo della proprieta di Bolzano-Weierstrass, valida in ogni spazio metrico, consente di utilizzare la compattezza attraverso la potenza e semplicita delle successioni.

COMPATTEZZA

In questi appunti studieremo la compattezza negli spazi metrici. Nel primo para- grafo otteremo delle caratterizzazioni di questo importante concetto, per mezzo dei concetti di completezza e di totale limitatezza e per mezzo della proprieta di Bolzano- Weierstrass.

La denizione di compattezza attraverso la proprieta di Heine-Pincherle-Borel mette in luce lo scopo della compattezza essa e, in un certo senso, uno strumento per trattare insiemi inniti alla stregua di insiemi niti.

Per quanto riguarda la caratterizzazione per mezzo della completezza e della totale limitatezza, essa, per quanto fondamentale dal punto di vista teorico, non risulta di molta utilita dal punto di vista pratico. La completezza potra essere sostituita dalla chiusura nel caso che lo spazio metrico sia completo in tale contesto, infatti, i due concetti coincidono e coincidono pure la totale limitatezza e la proprieta di Bolzano-Weierstrass. Nel caso particolare degli spazi euclidei, la cui dimensione nita comporta la completezza e la coincidenza tra totale limitatezza e limitatezza, la caratterizzazione mediante la completezza e la totale limitatezza potra essere letta come una caratterizzazione attraverso la chiusura e la limitatezza, facendone emergere in questo particolare ma importante contesto il ne che essa si pone: rendere semplice la verica pratica della compattezza.

La caratterizzazione per mezzo della proprieta di Bolzano-Weierstrass, valida in ogni spazio metrico, consente di utilizzare la compattezza attraverso la potenza e semplicita delle successioni.

In breve: la denizione ci dice a cosa serve la compattezza, la caratterizzazione per mezzo della chiusura e limitatezzaci permetteuna facile verica della compattezza (in spazi euclidei), la caratterizzazione per mezzo della proprieta di Bolzano-Weierstrass ci da la possibilita di usare la potenza della compattezza in modo semplice per mezzo delle successioni.

1.

Sia (Xd) uno spazio metrico.

Denizione 1. Un sottoinsieme E ^di X si dice COMPATTO (o che ha la proprieta di HEINE-PINCHERLE-BOREL) se da ogni copertura aperta di E si puo estrarre un sottocopertura nita.

Denizione 2. Un sottoinsieme E di X si dice COMPLETO se ogni successione di

Cauchy in E converge ad un punto di E .

Denizione 3. Un sottoinsieme E di X si dice TOTALMENTE LIMITATO se per ogni " > 0 esiste una " -rete per E , cio e un sottoinsieme nito

x

:::x

di X tale che E

B(x

") .

Lemma 1. Sia (x

) una successione di Cauchy in E tale che x

x . Allora

"(x) > 0

n(x)

IN : x

B(x"(x))

n > n(x) .

Dim. Poich e x

x, esiste "(x) > 0 e una sottosuccesione (x

) di (x

) tale che d(x

x)

"(x). Poniamo "(x) :=

"(x) e siano n(x)

IN tale che d(x

x

) < "(x) per ogni nm > n(x) e k > n(x). Per ogni n > n(x) risulta d(x

x)

d(xx

)

d(x

x

) > "(x)

"(x) = "(x).

Teorema 1. E compatto

E completo.

Dim. Sia (x

) una successione di Cauchy in E. Se essa non converge a nessun punto di E, allora, per il lemma precedente,

x

E

"(x) > 0

n(x)

IN : x

B(x"(x))

n > n(x). La famiglia

B(x"(x)) : x

E

e una copertura aperta di E dalla quale non si puo estrarre alcuna sottocopertura nita di E.

Denizione 4. Un sottoinsieme chiuso E di X ha la PROPRIETA' DEI CHIUSI INCAPSULATI se ogni successione (C

) decrescente di sottoinsiemi chiusi non vuoti di E tale che diam(C

)

0 ha come intersezione un insieme costituito da un solo elemento.

Teorema 2. E completo

E chiuso e ha la proprieta dei chiusi incapsulati.

Dim. (

): Proviamo che E e chiuso. Sia x

(E). Allora esiste una successione (x

) in E tale che x

= lim x

. La successione (x

), essendo convergente, e di Cauchy.

Per la completezza di E e l'unicita del limite, x

= lim x

E.

Proviamo che E ha la proprieta dei chiusi incapsulati. Sia (C

) una successione decrescente di sottoinsiemi chiusi non vuoti di E tali che diam(C

)

0. Per ogni n

IN sia x

C

. La successione (x

) e di Cauchy pertanto, per la completezza di E, x := limx

E. Si verica facilmente che

C

=

x

.

(

): Sia (x

) una successione di Cauchy in E. Poniamo C

:=

x

: m

n

E.

La successione di chiusi non vuoti C

e decrescente e diam(C

)

0. Allora

C

=

f

x

. Si verica facilmente che x = limx

.

Teorema 3. E ^compatto

E totalmente limitato.

Dim. Fissato arbitrariamente " > 0,

B(x") : x

E

e una copertura aperta di E. Da essa si puo dunque estrarre una sottocopertura nita di E.

Teorema 4. E totalmente limitato

E limitato.

Dim. Per esercizio.

Teorema 5. Ogni

" -rete per E e una " -rete per E .

Dim. Per esercizio.

Corollario 1. E totalmente limitato

E totalmemte limitato.

Teorema 6. E completo e totalmente limitato

E compatto.

Dim. Per assurdo, sia

una copertura aperta di E dalla quale non e possibile estrarre una sottocopertura nita di E.

Detta

x

:::x

una 1=2-rete per E, risulta:

E =

(B(x

1=2)

E):

Almenouno tra gli insiemi B(x



)

E non puo essere ricoperto da una sottocopertura

nita estratta da

. Chiamiamo questo insieme C

. Risulta C

chiuso (poich e E e chiuso per il Teorema 2), non vuoto, totalmemte limitato e diam(C

)

1.

Detta

x

:::x

una 1=2

-rete per C

, risulta:

C

=

(B(x

1=2

)

C

):

Almeno uno tra gli insiemi B(x



)

C

non puo essere ricoperto da una sottocop- ertura nita estratta da

. Chiamiamo questo insieme C

. Risulta C

chiuso (poich e C

e chiuso), non vuoto, totalmemte limitato e diam(C

)

.

Procedendo cos , per induzione si costruisce una successione decrescente (C

) di sottoinsiemi chiusi, non vuoti di E tali che diam(C

)

0.

E, essendo completo, ha la proprieta dei chiusi incapsulati (Teorema 2). Quindi

\n

C

=

x

.

Se x

A

, da diam(C

)

0 si ottiene C

A per n sucientemente grande, in contrasto col fatto che nessuno dei C

puo essere ricoperto con un numero nito di insiemi di

.

Teorema 7. E totalmente limitato

ogni successione in E ha un'estratta di Cauchy.

Dim. Sia (x

) una successione in E. Detta

y

:::y

una 1-rete per E, risulta:

E

B(y

1):

Almeno uno tra gli insiemi B(y



)

E deve contenere valori di (x

) per inniti n.

Chiamiamo questo insieme E

e sia n

:= min

n : x

E

. Risulta E

non vuoto, totalmemte limitato e diam(E

)

1.

Detta

y

:::y

una 1=2-rete per E

, risulta:

E

B(y

1):

Almeno uno tra gli insiemi B(y



)

E deve contenere valori di (x

) per inniti n.

Chiamiamo questo insieme E

e sia n

:= min

n : x

E

. Risulta E

non vuoto,

totalmente limitato e diam(E

)

1=2.

Procedendo cos , per induzione si costruisce una successione (x

), estratta da (x

), che e di Cauchy.

Denizione 5. Un sottoinsieme E ^di X ha la PROPRIETA' di BOLZANO- WEIERSTRASS se ogni successione in E ha una sottosuccessione convergente ad un punto di X .

Teorema 8. Un sottoinsieme E di X ha la proprieta di Bolzano-Weierstrass ed e chiuso

ogni successione in E ha una sottosuccessione convergente ad un punto di E ^.

Dim. Per esercizio.

Teorema 9. ^Sia E un sottoinsieme di X avente la proprieta di Bolzano-Weierstrass.

Allora:

1) E ha la proprieta di Bolzano-Weierstrass.

2) E e totalmente limitato.

3) E e completo.

Dim. Proviamo 1). Sia (x

) una successione in E per ogni n

IN sia y

B(x

1=n)

E. La successione (y

) ha una estratta (y

) convergente ad un punto y

X. Da d(x

y)

d(x

y

) + d(y

y) e dal Teorema dei carabinieri segue che x

y (poich e E e chiuso, y

E).

Proviamo 2). Se E non e totalmente limitato, esiste " > 0 tale che nessun insieme

nito x

:::x

E puo essere una "-rete per E. Cio consente di costruire per induzione una successione (x

) in E tale che d(x

x

)

" per ogni n

= m. Tale successione non ha estratte convergenti.

Proviamo 3). Sia (x

) una successione di Cauchy in E. In virtu di 1), da essa si puo estrarre una sottosuccessione convergente ad un punto di E. La successione originaria, essendo di Cauchy, converge allo stesso punto.

Teorema 10. E compatto

E ha la proprieta di Bolzano-Weierstass.

Dim. (

): Per assurdo, sia (x

) una successione in E priva di estratte convergenti.

Allora per ogni x

E esiste un intorno aperto I(x) di x in cui possono stare valori di (x

) solo per un numero nito di n. La famiglia

I(x) : x

E

e una copertura aperta di E dalla quale non si puo estrarre una sottocopertura nita di E.

(

): Se E ha la Proprieta di Bolzano-Weierstrass, per le 2) e 3) del Teorema prece- dente E e completo e totalmente limitato, dunque compatto per il Teorema 6.

Riassumendo i risultati conseguiti di ha:

Teorema 11. (Caratterizzazione dei compatti negli spazi metrici)

Per un sottoinsieme E di uno spazio metrico X le seguenti condizioni sono equiv- alenti:

1) E e compatto.

2) E e completo e totalmente limitato.

3) E e chiuso ed ha la proprieta di Bolzano-Weierstrass.

2.

Teorema 12. Per un sottoinsieme E di uno spazio metrico completo le seguenti condizioni sono equivalenti:

1) E e completo.

2) E ^{e chiuso.}

Dim. Per esercizio.

Teorema 13. Per un sottoinsieme E di uno spazio metrico completo le seguenti condizioni sono equivalenti:

1) E e totalmente limitato.

2) E ha la proprieta di Bolzano-Weierstrass.

Dim. Per esercizio.

Corollario 2. (Caratterizzazione dei compatti negli spazi metrici completi)

Per un sottoinsieme E di uno spazio metrico completo X le seguenti condizioni sono equivalenti:

1) E e compatto.

2) E e chiuso e totalmente limitato.

3) E e chiuso ed ha la proprieta di Bolzano-Weierstrass.

3.

Lemma 2. IR

e completo.

Dim. Vedi libro di testo.

Corollario 3. Per un sottoinsieme E ^di IR

le seguenti condizioni sono equivalenti:

1) E e completo.

2) E ^{e chiuso.}

Teorema 14. Per un sottoinsieme E di uno spazio euclideo le seguenti condizioni sono equivalenti:

1) E e limitato.

2) E e totalmente limitato.

3) E ha la proprieta di Bolzano-Weierstrass.

Dim. 3)

per la 2) di Teorema 9] 2)

1)

per il teorema di Bolzano- Weierstrass in IR

) 3).

Corollario 4. (Caratterizzazione dei compatti negli spazi euclidei) Per un sottoinsieme E di IR

le seguenti condizioni sono equivalenti:

1) E e compatto.

2) E e chiuso e limitato.

3) E e chiuso ed ha la proprieta di Bolzano-Weierstrass.