Esercizio 11.1. [13.14] Si consideri la matrice

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CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

FOGLIO DI ESERCIZI 11 – GEOMETRIA 2008/09

Esercizio 11.1. [13.14] Si consideri la matrice

A =





1 0 0 0 1 2 0 2 1



 a) Calcolare autovalori e autovettori di A.

b) Calcolare una matrice diagonalizzante di A, che sia ortogonale e rappresenti una rotazione dello spazio attorno all’origine.

c) Scrivere la forma canonica della conica C con matrice associata A

Esercizio 11.2. [8.16] Si consideri il seguente endomorfismo di R

⁴

T (x, y, z, w) = (−x + z, 2y, x − 2z, w)

a) Si determino le dimensioni di immagine e nucleo di T e si stabilisca se T `e invertibile.

b) Si determini l’inversa T

⁻¹

.

Esercizio 11.3. [8.51] Dati i vettori di R

³

v

1

= (1, 0, 1), v

2

= (0, 2, 2), v

3

= (1, 1, 0), si consideri la funzione lineare T : R

³

→ R

³

definita da

T (v

1

) = (2, 0, 0), T(v

2

) = (4, 4, 4), T (v

3

) = (0, 6, 6) a) Si determini la matrice M (T ) associata a T rispetto alla base canonica.

b) Si determini una base del nucleo e dell’immagine di T . Esercizio 11.4. [11.9] Si consideri il seguente endomorfismo di R

³

T(x, y, z) = (ax, bx + y + z, y + z) con a e b parametri reali.

a) Si discuta la diagonalizzabilit`a di T al variare di a e b in R.

b) Posto a = b = 0 si determini una base ortonormale di R

³

formata da autovettori di T .

Esercizio 11.5. [12.24] Siano M = (1, 1, 1), N = (3, 2, 1), L = (1, 2, 2) punti dello spazio R

³

. Sia C = (−1, 0, 1).

a) Si calcoli l’area del triangolo M N L.

b) Si determini l’insieme M

⁰

N

⁰

L

⁰

che si ottiene proiettando il triangolo M N L dal centro C sul piano x + y = 0.

c) Si calcoli l’area del triangolo M

⁰

N

⁰

L

⁰

.

Esercizio 11.6. [13.16] Sia C la conica di equazione

C : 3x

²

+ 14xy − 5y

²

− 10x + 14y = 0 a) Stabilire il tipo di conica.

b) Nel caso sia una conica a centro, trovare le coordinate del centro.

c) (Facoltativo) Trovare equazioni degli eventuali asintoti della conica.

Esercizio 11.7. Si consideri la funzione lineare T : R

³

→ R

⁴

definita da

T(x

1

, x

2

, x

3

) = (x

1

− x

2

+ 2x

3

, x

2

+ x

3

, x

1

− x

2

+ x

3

, kx

1

+ 3x

2

− 3x

3

) a) Si calcoli la dimensione del nucleo e dell’immagine di T al variare di k.

b) Si dica se esistono valori del parametro reale k per i quali T `e iniettivae/o suriettiva.

c) Esistono valori di k per i quali il vettore v(1, 1, 0, 0) appartiene all’immagine di T ?

(2)

2 FOGLIO DI ESERCIZI 11 – GEOMETRIA 2008/09

Esercizio 11.8. [9.27] Sia T l’endomorfismo di R

³

associato alla matrice

A =





6 3 −1 2 7 −1

2 3 3





a) Stabilire se 4 `e autovalore di A. Calcolare gli autovalori e autovettori di A.

b) La matrice A `e diagonalizzabile per similitudine? In caso affermativo, indicare una matrice diago- nalizzante.

c) Sia C la matrice dipendente da t ∈ R:

C =





4 1 0 0 4 0 0 0 t



 Esistono valori di t ∈ R per cui A e C siano simili?

Esercizio 11.9. [11.15] Sia T : R

³

→ R

³

l’endomorfismo avente come autovettori i vettori v

1

= (1, 1, 0), v

2

= (0, 1, 1), v

3

= (0, 0, 1), rispetto agli autovalori 1, 1, 2.

a) Calcolare la matrice A che rappresenta T rispetto alla base canonica.

b) T `e invertibile?

c) T `e un endomorfismo simmetrico?

Esercizio 11.10. [10.19] Siano v

1

= (2, 1, 1, 0) e v

2

= (−1, 1, 2, 0) e sia V = hv

1

, v

2

i ⊂ R

⁴

. a) Calcolare l’angolo tra v

1

e v

2