ESERCIZI DI MATEMATICA

ESERCIZI DI MATEMATICA

1. Calcola i seguenti limiti di successioni (se esistono):

n→∞ lim (−1) · ⁵ⁿ _3n

⁺³ⁿ⁺¹

−n lim

n→∞ cos ^nπ ₂ ·

√ n

+5

2n lim

n→∞

n

2n+1 · log 

n

+1 n

−1



2. Dimostra per induzione che ∀n ∈ N il numero n ³ + 2n è divisibile per 3.

3. Dimostra per induzione che ∀n ∈ N si ha:

2 + 2 ² + 2 ³ + 2 ⁴ + .... + 2 ⁿ = 2(2 ⁿ − 1) 4. Dimostra per induzione che ∀n ∈ N il numero 4 ⁿ − 1 è multiplo di 3.

5. Dimostra per induzione che ∀n ≥ 1 il numero 133 divide 11 ⁿ⁺¹ + 12 ²ⁿ⁻¹ .

6. Data in un riferimento cartesiano ortogonale di origine O l'iperbole equilatera di equazione y = _x ¹ , se ne consideri il ramo formato dai punti di ascissa positiva. Sia data la famiglia r n di rette di equazione y = x + ¹ _n , essendo n ∈ N, n 6= 0. Siano A n il punto in cui la retta r n incontra l'asse delle ordinate, P n il punto di intersezione fra la retta r n e l'iperbole e B n la proiezione di P n sull'asse delle ascisse.

(a) vericare che l'area del triangolo A n B n P n non varia al variare di n;

(b) se S n è l'area del trapezio A n OB n P n , calcolare lim

n→∞ S n

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