Esiste x0 ∈ (a, b) tale che f (x0

Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prima prova scritta di Analisi Matematica 1 del 3 luglio 2012

(1) Fornire la definizione di integrale improprio per funzioni continue in (a, b]. Enun- ciare il criterio del confronto e del confronto asintotico per tale integrale e provare che

Z 1 0

1

x^p dx converge se e solo se p < 1.

(2) Enunciare e dimostrare il Criterio di Leibniz per serie a termini di segno alterno.

(3) Provare che ogni insieme A ⊂ IR non vuoto e superiormente limitato ammette estremo superiore finito.

(4) Sia f (x) funzione derivabile in (a, b) con lim

x→a⁺f (x) = lim

x→b⁻f (x) = ` ∈ IR.

Provare di ciascuna delle seguenti affermazioni se `e vera o falsa.

A. f (x) `e limitata in (a, b). Vero

B. Esiste x0 ∈ (a, b) tale che f (x0) = `. Falso C. Esiste x₀ ∈ (a, b) tale che f⁰(x₀) = 0. Vero