Il logaritmo di un numero complesso

programma di

Fisica Matematica corso di laurea

INGEGNERIA ELETTRONICA e dell’AUTOMAZIONE anno II (Periodo I e II)

2012-2013 (9 CFU)

Numeri complessi. Funzione complessa di variabile complessa. Derivazione complessa. Rappresen- tazione esponenziale del numero complesso. Il logaritmo di un numero complesso. La potenza ad esponente complesso. Le funzioni trigonometriche e iperboliche nel campo complesso. Definizione di integrale complesso. Teorema di Cauchy. Formula integrale di Cauchy. Sviluppo di Taylor.

Sviluppo di Laurent. Principio di identit`a. Singolarit`a isolata. Singolarit`a eliminabile. Poli e zeri.

Singolarit`a essenziale. Residuo. Singolarit`a all’infinito. Teorema dei residui. Lemma di Jordan.

Applicazioni all’integrazione reale. Cenni sulle funzioni polidrome. Trasformazione di Moebius.

Misura ed integrale di Lebesgue. SpaziL²edL¹. Spazi di Hilbert. Disuguaglianze triangolare, di Schwarz e di Bessel. Sistemi di vettori ortonormali. Sistemi completi ed uguaglianza di Parceval.

Ortonormalizzazione di un sistema di vettori. Segnali. Segnali particolari. Operazioni sui segnali.

Convoluzione.

Operatori limitati. Topologie. Autovalori e spettro di un operatore. Esempi di operatori limitati.

Sviluppi di Fourier: in serie esponenziale e in serie trigonometrica. Applicazione dell’uguaglianza di Parceval nel calcolo della somma delle serie.

Trasformata di Fourier. Propriet`a della trasformata di Fourier. Trasformata inversa di Fourier e teorema di Plancherel. Applicazioni alle equazioni differenziali.

Trasformata di Laplace e sue propriet`a. Antitrasformata di Laplace. Applicazioni alla risoluzioni di equazioni differenziali.

Distribuzioni. Funzioni test e funzioni a decrescenza rapida. Funzionali e distribuzioni. Con- vergenza debole. Delta di Dirac. Propriet`a della delta. Derivata di una distribuzione. Estensione della trasformata di Fourier alle distribuzioni.

Libro di testo

Fabio Bagarello, Fisica Matematica, Zanichelli (2007)

Libri consigliati

T. Brugarino: Introduzione alla variabile complessa, CISU (Roma) T. Brugarino: Introduzione alle trasformate integrali, (Centro Stampa) M. Codegone: Metodi matematici per l’ingegneria, Zanichelli Editore G.C. Barozzi: Matematica per l’ingegneria dell’informazione, Zanichelli P. Contucci, S. Isola: Probabilit`a elementare, Zanichelli