LIMITE DI SUCCESSIONI L’operazione di limite consente di rispondere in forma rigorosa alla domanda “Come si comportano i valori di una successione {a

LIMITE DI SUCCESSIONI

L’operazione di limite consente di rispondere in forma rigorosa alla domanda “Come si comportano i valori di una successione {aⁿ}, al crescere dell’indice n?”

Esempio: aⁿ = 2ⁿ + 1

2ⁿ⁺¹ , n = 0, 1, . . .

Qualitativamente: I valori aⁿ si “avvicinano” in modo

“progressivo” al “valore limite” L = 0.5.

Def. {aⁿ} converge ad L ∈ R, quando:

∀ ε > 0 ∃m^ε ∈ N : ∀ n ≥ m^ε, |aⁿ − L| ≤ ε . L si dice limite della successione {aⁿ}, e si scrive

lim

n→+∞an = L oppure aⁿ → L , n → +∞ . 1

Interpretazione grafica di lim

n→+∞an = L

∀ ε > 0 ∃m^ε ∈ N : ∀ n ≥ m^ε , |aⁿ − L| ≤ ε . (1)

Osservazioni:

• L’intero m^ε dipende dalla soglia ε prefissata (tipica- mente, tanto pi`u piccolo `e ε, tanto pi`u grande dovr`a essere m^ε)

• Non `e restrittivo limitarsi a verificare la condizione (1) soltanto per tutti gli ε minori o uguali ad una prefissata soglia ε0 > (sufficientemente piccola)

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Verifica formale del limite: lim

n→+∞

2ⁿ + 1

2ⁿ⁺¹ = 1 2 Dobbiamo verificare che

∀ ε > 0 ∃m^ε ∈ N : ∀ n ≥ m^ε    

2ⁿ + 1

2ⁿ⁺¹ − 1 2    

≤ ε Fissato un ε > 0 arbitrario, consideriamo la disuguaglianza finale

2ⁿ + 1

2ⁿ⁺¹ − 1 2    

≤ ε . (2)

Obiettivo: determinare un intero m^ε ∈ N tale che per tutti gli interi n ≥ m^ε la disuguaglianza (2) sia verificata.

Strategia: “risolviamo” la (2) rispetto ad n:

2ⁿ + 1

2ⁿ⁺¹ − 1 2    

≤ ε ⇔    

2ⁿ + 1 − 2ⁿ 2ⁿ⁺¹

= 1

2ⁿ⁺¹ ≤ ε

⇔ 2ⁿ⁺¹ ≥ 1

ε ⇔ n + 1 ≥ log₂ 1

ε ⇔ n ≥ log₂ 1

ε − 1 . 3

Indichiamo con m^ε un numero intero positivo tale che:

mε ≥ log₂ 1

ε − 1

(un tale numero m^ε ∈ N esiste certamente, poich´e R

`e un campo Archimedeo), allora

n ≥ m^ε ⇒    

2ⁿ + 1

2ⁿ⁺¹ − 1 2    

≤ ε .

Dunque l’intero m^ε, definito come sopra, ci permette di conseguire l’obiettivo preposto. Data l’arbitrarie- t`a dell’ε prefissato nel ragionamento, quanto precede dimostra la validit`a del limite.

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