∫ APPENDICE B: MAGNETI PERMANENTI

APPENDICE B: MAGNETI PERMANENTI

Per analizzare il comportamento del magnete permanente all’interno del LFM prendiamo in analisi il seguente schema:

l_m g-Xs t s g H Hvg (Linea chiusa) γ

Figura B-1 Campo magnetico attraverso le riluttanze in aria nel LFM/DDV.

L’interruzione della continuità dei materiali ferromagnetici dolci in prossimità dei traferri di spessore variabile in funzione dello spostamento dell’armatura altera la distribuzione del campo magnetico. Per il teorema di Ampere si ha [4]:

γ γ a concatenat i N dl H⋅ =( ⋅ )

∫

avendo ipotizzato che non vi sia alcun effetto dovuto al concatenamento tra la bobina e il flusso prodotto dal magnete permanente.

Considerando che la riluttanza dei materiali ferromagnetici dolci venga trascurata rispetto a quella dei traferri in aria presenti nel circuito, le cadute di tensione magnetica nelle parti in ferro sono nulle, pertanto la forza magnetomotrice risultante nel circuito è solamente quella prodotta dal magnete permanente e pari a H_m ⋅l_m, dove con si è indicato l’intensità del campo

magnetico prodotto dal magnete e con la lunghezza del magnete permanente.

m

H

m

l

Sviluppando quindi l’integrale dalla relazione (B.1), avendo ipotizzato una percorso γ come quello indicato nella figura B-1, si ottiene:

(

)

H è l’intensità del campo all’interno del magnete permanente

m

l è la lunghezza del magnete permanente

s g

H è l’intensità del campo magnetico nel traferro longitudinale

s

g−x è la lunghezza del traferro longitudinale

v g

H è l’intensità del campo magnetico nel traferro trasversale t è la lunghezza del traferro trasversale.

Poichè il flusso che attraversa il traferro verticale è lo stesso che si richiude nel magnete permanente1 _{si ha:}

(

)

A è l’area della sezione nel traferro verticale

m

A è l’area della sezione del magnete

m

µ è la permeabilità magnetica del magnete permanente

Dall’equazione (B.3), sfruttando l’equazione di stato del magnetismo si ricava l’espressione del campo magnetico nel traferro verticale:

0 µ ⋅ ⋅ = _v g m m v g A A B H (B.4) Analogamente si ricava: g s g m m s g A A B H µ ⋅ ⋅ = (B.5)

Sostituendo l’equazione (B.4) e (B.4) nell’equazione (B.2) e risolvendo rispetto a Bm si ottiene: 0 m m m s m s v g g H l B g x t A A A µ ⋅ ⋅ = − ⎛ ₋ ⎞ ⋅⎜_⎜ + ⎟_⎟ ⎝ ⎠ (B.6)

B-H il punto di lavoro P del magnete permanente. Tale punto corrisponde

all’intersezione tra la curva di smagnetizzazione e la retta di lavoro r, inclinata sull’asse delle ascisse di un angolo α pari a :

0 1 m s s v m g g arctg A g x t l A A α µ = − ⎛ ₋ ⎞ ⋅⎜_⎜ + ⎟_⎟ ⋅ _{⎝ ⎠} (B.7) - H_c H_{m H} B P r _t R RI α RETTA DI LAVORO CURVA DI SMAGNETIZZAZIONE CURVA DI RITORNO CURVA DI PRIMA MAGNETIZZAZIONE

Figura B-2 Punto di lavoro del magnete permanente.

La figura B-2 rappresenta l’andamento della retta di lavoro di un magnete permanente. Sfruttando la definizione di riluttanza si nota come la pendenza della retta di lavoro sia essenzialmente funzione del valore delle riluttanze, infatti si ottiene:

(

)

Dall’equazione (B.7) si nota che variando il parametro geometrico xs varia la

pendenza della retta r individuando lungo la curva di smagnetizzazione un nuovo punto di lavoro. Se i magneti usati presentassero una curva di smagnetizzazione simile a quella riportata in figura B-2 l’effettivo comportamento dell’attuatore al variare delle condizioni di eccitazione diverrebbe difficilmente valutabile in termini analitici. Infatti, salvo limitare le oscillazioni di campo ad un range molto ridotto in prossimità dello zero, si osserverebbe la presenza di un significativo comportamento isteretico del magnete, con perdita dell’univocità del legame B-H, con scostamento significativo in difetto della curva di prima smagnetizzazione e conseguente degradamento delle prestazioni del motore.

Per le applicazioni aeronautiche si utilizzano invece magneti permanenti realizzati con terre rare [4] [5], i quali presentano una curva caratteristica B-H con un tratto rettilineo (comportamento lineare) molto più esteso, come rappresentato in figura B-3.

B_r

- H_c H_m

B_m

H

P

Figura B-3 Curva di smagnetizzazione per i magneti permanenti di impiego aerospaziale

Il comportamento lineare caratteristico della curva B-H di questi materiali può essere descritto mediante la seguente relazione:

(

)

m m m c

B =µ ⋅ H + H (B.9)

Facendo l’ipotesi di campo uniforme all’interno del magnete, quest’ultimo può essere schematizzato come un tronco di tubo di flusso con flusso e caduta di tensione magnetica ricavabili dalla relazione (B.9):

m m m m c m m l H l H l A ϕ µ ⋅ = + m (B.10)

Dall’analisi quindi dell’equazione (B.10) si deduce che il magnete permanente può essere schematizzato come un bipolo composto da un generatore di forza magnetomotrice costante e da una riluttanza interna, entrambe funzione delle

m cl H = 0 F (B.11) m m m m A l µ = ℜ (B.12)

Sostituendo (B.11) e (B.12) in (B.10) si ricava la caduta di tensione magnetica ai capi del magnete permanente:

0 F F m m m m l A ϕ µ = − + ⋅ (B.13)

In figura B-4 è riportata la schematizzazione del magnete permanente in termini di circuito magnetico equivalente.

A 1 1 m

ℜ

F

+

-F

magneti permanenti di riferimento

Sm2Co17 175/160w

Magnetic Parameters after DIN IEC 60404-8-1

Rare-Earth-Magnets Samarium 2 Cobalt 17

Figura B-5 Diagramma B-H del magnete di riferimento

Magnetic Parameters after DIN IEC 60404-8-1 Energy Product (B*H)max. Remanence Br revers. Temp. Coeff. of Br Coercivity HcB Coercivity HcJ revers. Temp. Coeff. of HcJ Permeability µ rev. Magn. Field Strength min. Curie Temp. Operating Temp. max. -3 m kJ MGOe mT kG % / K m kA

kOe kA/m kOe % / K

m kA mT / G/Oe kA / m approx. o C approx. o C typ. 200 25 1010 10,10 - 730 9,20 2000 25 - - - -min. 175 22 960 9,60 - 700 8,80 1600 20 - - - -appro x. - - - - -0,03 - - - - -0,19 1,32 1,04 >4500 825 350

Temperature Coefficient of Br: In the temperature range of 20oC up to 100oC