Capitolo 1

Problemi dell’interferometria along-track

e stima multicanale robusta

Introduzione

In questo capitolo vengono fornite le definizioni di base e i concetti fondamentali indispensabili per comprendere il lavoro di tesi.Il primo paragrafo è dedicato ai sistemi ATI-SAR multicanale, in particolare agli strumenti di analisi, che vengono descritti nella struttura e nel principio di funzionamento. Successivamente ci si occupa dei dati osservati dai sensori: il secondo paragrafo è dedicato alle onde di Bragg, che generano il segnale e quello seguente ad un’analisi spettrale. Successivamente si introduce il problema della ricostruzione della velocità della corrente superficiale, attraverso la definizione del sistema ATI-SAR convenzionale. Per ovviare ai limiti evidenziati dai sistemi ATI-SAR a due canali analizzeremo i sistemi a più linee di base: l’idea è quella di utilizzare i dati registrati da un sistema ATI-SAR multicanale per effettuare una stima dello spettro Doppler del segnale proveniente da una cella di risoluzione, così da poter identificare i picchi corrispondenti alle diverse sorgenti Bragg.Infine vengono descritte le scelte fatte in merito sia ai sistemi ATI-SAR multicanale analizzati sia ai metodi di stima spettrale impiegati e si introducono brevemente le tecniche di aggancio ai picchi per ricostruire la fase Doppler della corrente marina superficiale.

1.1

Sistema ATI-SAR multicanale:

Definizioni base e principio di funzionamento

Il sistema ATI-SAR è costituito da un array uniforme di sensori SAR, collocato sulla fusoliera di un aereo, parallelamente all’asse di volo [Ros00] (vedi Appendice

1.A).

Indicata con v la velocità di volo, con K il numero di sensori, con B (baseline) la lunghezza1 dell’array, adattando la frequenza di ripetizione degli impulsi SAR, PRI a v e B. Questo si ottiene come nv PRI =B

(

K−1

)

,con n intero. Il sistema consente l’acquisizione di K immagini SAR complesse in identica geometria ad intervalli di tempo successivi di durata τ_p =B

(

v

(

K−1

)

)

. Il ritardo complessivo che intercorre tra l’acquisizione della prima e della K-ma immagine è τ =B v.

Il sistema ATI-SAR permette di ricostruire una mappa interferometrica dello scenario osservato, tale mappa rappresenta una misura dello spostamento Doppler del segnale ricevuto e quindi della velocità media della superficie marina[Bes00].

Per spiegare il principio di funzionamento di questa tecnica si faccia riferimento, senza perdita di generalità, ad un sistema a due canali K =2.

Si consideri inizialmente un bersaglio puntiforme situato nella regione di campo lontano dell’array, il mezzo di propagazione è omogeneo, così da poter ritenere piane le onde e.m. che raggiungono la baseline. Sia v_R la velocità con cui il bersaglio si muove su un piano ortogonale all’asse di volo in direzione del sistema (in seguito la si indicherà sinteticamente con l’attributo radiale), τ l’intervallo di tempo che intercorre tra due acquisizioni SAR successive in identiche condizioni geometriche, λ la lunghezza d’onda della portante radar. Se al momento dell’acquisizione il primo sensore giace sullo stesso piano su cui si muove il bersaglio, allora lo spostamento v_Rτ compiuto dal bersaglio nell’intervallo di tempo τ , si traduce in uno sfasamento tra i due segnali ricevuti ed elaborati dai

sensori pari a φ =4πv_Rτ λ , dove ω_D =4πv_R λ è la pulsazione Doppler del bersaglio.

Nel caso di un bersaglio esteso, costituito da più retrodiffusori con uguale velocità radiale v vale la stessa relazione. Più in generale se i diffusori hanno velocità _R differenti v_R va sostituita da v_R,che ne rappresenta una media pesata dalla frazione di potenza associata a ciascun diffusore.

Per un sistema multicanale, si definisce fase interferometrica lo sfasamento tra le ampiezze complesse di due pixel corrispondenti appartenenti alla prima e alla K-esima immagine. E’ evidente la relazione che lega tale fase alla velocità radiale della superficie associata ad un pixel è φ =4π v_Rτ λ .

Si noti che la differenza v_Rτ tra i cammini degli eco registrati dal primo e dal K-esimo sensore, generalmente è maggiore della lunghezza d’onda λ della portante radar. Questo si traduce in un’ambiguità sul valore della fase interferometrica. Si definisce intervallo di fase non ambiguo il massimo intervallo, simmetrico rispetto allo zero, in cui la fase interferometrica può essere misurata con certezza. Per un sistema a K canali tale intervallo vale

[

−π

(

K−1

) (

, π K −1

)

)

.

Per concludere, è opportuno dare un’indicazione di quelli che sono gli ordini di grandezza dei parametri definiti. A questo scopoin tabella 1.1 si sono riportati i valori nominali di λ , B e τ

per un sistema aereo comunemente usato nell’interferometria ATI-SAR a due canali [Car94,Rom94].

PARAMETRI JPL-ATI L-band JPL-ATI C-band

forma d’onda trasmessa chirp Chirp

λ lunghezza d’onda

[cm] 24 5

B lunghezza della baseline

[m]

9.9 e 19,8 0.9 e 1,9

τ , ritardo temporale

[ msec]

47 e 94 4,5 e 9

Tabella 1.1 Valori nominali di parametri del sistema JPL-ATI operante in banda L e C.

1.2

Onde di Bragg

Nel range delle microonde, i diffusori sono costituiti dalle onde di Bragg risonanti alla lunghezza d’onda della portante radar. Si tratta di piccole ondulazioni generate dal vento, la cui altezza è dell’ordine della portante radar e la cui lunghezza d’onda è tale da soddisfare una condizione di interferenza costruttiva ai sensori:

( )

i B sin n ϑ λ λ 2 = (1.1) B

h = altezza delle onde di Bragg,

B

λ = lunghezza d’onda della portante radar,

i

ϑ = angolo d’incidenza,

n = ordine di risonanza ( contributi per n≠1 sono trascurabili).

Le onde di Bragg traslano sulla superficie oceanica con una velocità determinata dalla loro lunghezza d’onda:

π λ_B /2

B g

v = (1.2)

B

v = modulo della velocità delle onde di Bragg,

g = accelerazione gravitazionale,

Quindi, in assenza di corrente, il modulo della velocità radiale assunta da tali onde rispetto al radar, è noto una volta fissati i parametri lunghezza d’onda della portante radar (λ_RAD) e ϑ_i. Il segno, invece dipende dalla direzione di propagazione delle

onde; esso viene assunto convenzionalmente positivo se si avvicinano al radar, negativo altrimenti [Lom02].

1.3

Spettro Doppler bimodale

Si consideri il bersaglio esteso costituito da uno stesso pixel della superficie oceanica.Si supponga che la corrente sia nulla e che siano presenti due onde di Bragg distinte per la direzione di propagazione: una a velocità radiale positiva (si avvicina al radar), l’altra negativa (si allontana).

Quanto detto porterebbe a concludere che lo spettro del segnale ricevuto è costituito da due righe collocate in corrispondenza delle frequenze Doppler delle due sorgenti di Bragg.

Di fatto, a causa di fenomeni trascurati, quali la dipendenza dell’angolo d’incidenza da eventuali onde lunghe, i diffusori di ciascuna singola sorgente non hanno esattamente la stessa velocità. Questo fa sì che la densità spettrale di potenza

(PSD) del segnale ricevuto assuma la forma bimodale di due gaussiane centrate in corrispondenza delle frequenze Doppler medie [Rom94].

In presenza di una corrente lo spettro risulta traslato di una quantità pari alla frequenza Doppler di tale corrente (figura 1.1).

Le onde di Bragg infatti, sospinte dal vento, traslano sulla superficie marina e la loro velocità relativa al radar, si somma, per una composizione di moto, a quella del flusso sottostante.

La potenza media ricevuta complessivamente dal radar è proporzionale all’intensità del vento. Come tale potenza si distribuisce tra le due sorgenti, dipende invece dall’inclinazione della direzione del vento rispetto all’angolo di vista del radar: in condizioni cross wind la potenza si suddivide equamente tra le due sorgenti, in down wind si ‘trasferisce’ completamente alla sorgente che si allontana, in up wind si trasferisce a quella che si avvicina, si distribuisce in proporzione nei casi intermedi (figura 1.2).

fr = -fB 0 fa = +fB

fr = fc – fB fc fa = fc + fB

Figura 1.1 PSD teorica delle sorgenti di Bragg, rispettivamente in assenza e presenza di

Si noti che, se si trascura l’effetto del rumore, fatta eccezione nei casi in cui il radar si trova esattamente controvento o sottovento, lo spettro del segnale ricevuto assume una forma bimodale. Di fatto, quando il rapporto segnale-rumore è finito, anche se il vento non soffia esattamente parallelamente alla direzione di vista, la gaussiana più debole può scomparire sommersa dal rumore generando uno spettro di forma unimodale. Risulta comunque evidente che l’eventualità di osservare uno spettro bimodale è molto probabile. Questo fa capire l’importanza di realizzare uno stimatore di corrente che possa operare correttamente in condizioni di doppio Bragg.

fr fa fr fa fr fa

Figura 1.2 PSD delle sorgenti di Bragg, rispettivamente in condizioni prossime a down wind, cross wind, up wind.

A conclusione del paragrafo si definisce un parametro della PSD di una singola sorgente che, anche se non necessario per la comprensione del fenomeno del doppio Bragg, risulta fondamentale per valutare le prestazioni degli stimatori di corrente superficiale.

Si è affermato che la densità spettrale di potenza di una sorgente di Bragg può essere assunta gaussiana, di conseguenza tale modello vale anche per la funzione di autocorrelazione. Si definisce tempo di coerenza τc, il tempo impiegato

dall’ampiezza della funzione di autocorrelazione per ridursi di un fattore pari ad e

Intuitivamente il tempo di coerenza rappresenta il tempo entro il quale la fase dell’eco proveniente da una cella di risoluzione può essere predetta accuratamente. Infatti l’ipotesi che i diffusori contenuti in una cella di risoluzione abbiano velocità radiale media costante e che costituiscano un bersaglio esteso stazionario, è ragionevole solo se il tempo d’osservazione totale è confrontabile con il tempo di coerenza [Car94].

1.4

ATI-SAR convenzionale

Nel linguaggio tecnico, con il termine “sistema convenzionale” si intende un sistema ATI-SAR a due canali.

Esso effettua una stima ML della fase interferometrica, valutata modulo l’intervallo di fase non ambiguo.

Se ωτ <<1 sulla banda dello spettro Doppler, vale asintoticamente la seguente relazione:

( )

{ }

( )

( )

ω ω τω ω ω ω τ τ φ = ≅ =

∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − d S d S R L M arg ˆ _(1.3)

τ = ritardo di acquisizione delle due immagini SAR,

( )

τ

R = funzione di autocorrelazione del segnale ricevuto da una cella di risoluzione,

( )

ω

S = trasformata di Fourier di R

( )

τ , espressa nel dominio della pulsazione ω.

In altre parole la fase interferometrica stimata coincide con il baricentro (centroide) dello spettro Doppler.

La stima ML della fase interferometrica viene impiegata per risalire alla fase della corrente marina in accordo alla seguente relazione:

B

c φ φ

φˆ = ˆ + _(1.4)

c

φˆ _{= stima della fase Doppler della corrente,}

φˆ = stima della fase interferometrica,

B

φ = fase Doppler della Bragg wave,

cioè la fase interferometrica viene interpretata come la fase in corrispondenza della quale è centrato lo spettro della sorgente di Bragg che si allontana dal radar.

Il sistema convenzionale presenta diversi limiti.Il primo, intrinseco al suo principio di funzionamento, è dato dall’inevitabile mancanza di flessibilità per la scelta del ritardo ottimo di acquisizione delle due immagini SAR. Infatti la necessità di accrescere la sensibilità dell’interferometro e quella di ridurre sia la decorrelazione del segnale che l’ambiguità sulla fase impongono requisiti contrastanti.

Si ricordi l’espressione della fase interferometrica:

λ τ π φ = 4 vR

. (1.5)

È evidente che se τ aumenta, a parità di velocità radiale v_R osservata, la fase interferometrica misurata cresce e quindi migliora la sensibilità dell’interferometro. Contemporaneamente però si riduce la velocità radiale minima oltre la quale diventa necessario effettuare uno srotolamento della fase (vR =λ 4τ). Operazione quest’ultima che in alcune circostanze può diventare critica [Car94].

Ma soprattutto un incremento del ritardo τ comporta una riduzione della correlazione tra le immagini SAR, la quale si traduce in una degradazione delle prestazioni dello stimatore. In particolare per τ >2τc, la correlazione del segnale osservato diventa trascurabile e la densità di probabilità dell’errore sulla stima della fase risulta uniformemente distribuita sull’intervallo di fase non ambiguo

I problemi descritti finora sono del tutto generali e indipendenti dalla forma dello spettro osservato, riguardano infatti la stima della fase interferometrica. Il sistema convenzionale presenta però anche alcuni problemi cruciali relativi alla ricostruzione della fase Doppler della corrente a partire da quella interferometrica.Tali problemi insorgono nel caso in cui nella cella di risoluzione si presentino sia l’onda di Bragg che avanza che quella che retrocede.

Il primo problema riguarda l’impossibilità di risolvere l’ambiguità sulla direzione di provenienza del vento. Questo fa sì che anche quando lo spettro osservato assume una forma approssimativamente unimodale e la stima della fase interferometrica coincide con la fase dell’onda di Bragg presente nella cella di risoluzione, la stima della fase Doppler della corrente può risultare fortemente polarizzata. Si ricordi l’espressione che lega la stima della fase interferometrica φˆ a quella della corrente φˆ : c

B

c φ φ

φˆ = ˆ + _{. (1.6)}

È evidente che solo in condizioni prossime a quella di down-wind la stima risulta non polarizzata, viceversa in condizioni di up-wind la polarizzazione raggiunge il valore 2φ_B.

Il secondo problema si manifesta quando nella cella di risoluzione sono presenti contemporaneamente e con intensità confrontabile entrambe le onde di Bragg. In questo caso, non solo lo stimatore risulta fortemente polarizzato ma anche la sua deviazione standard aumenta rispetto al caso classico di spettro unimodale.

Quanto descritto è evidenziato dagli andamenti della polarizzazione e della deviazione standard, normalizzati rispetto a φ B , graficati in funzione del rapporto

tra la potenza dell’onda di Bragg che si avvicina al radar (SNRa)e quella si

. -30 -20 -10 0 10 20 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 S NR_a/S NR_r b ia sn o rm

A TI-S A R convenz ionale

-30 -20 -10 0 10 20 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 S NR a/S NRr d e vs tdn o rm A TI-S A R c onvenzionale

Figura 1.3 Andamento della polarizzazione e della deviazione standard normalizzati a al modulo della fase di Bragg, in funzione del rapporto tra la potenza dell'onda che avanza e quella che retrocede

In questa tesi vengono proposti e analizzati alcuni algoritmi che consentono di superare, almeno parzialmente, i limiti evidenziati dal sistema convenzionale sia relativamente alla scelta del ritardo ottimo di acquisizione delle immagini SAR che alla robustezza della stima in presenza di differenti onde di Bragg.

1.5

ATI-SAR multicanale

In seguito si definiranno “sistemi a base uguale” (BU) quei sistemi multicanale che conservano, rispetto al sistema convenzionale, la lunghezza complessiva della baseline, riducendo quindi di un fattore pari a K−1 il minimo intervallo di tempo che intercorre tra l’acquisizione delle immagini SAR, essendo K il numero di canali.

Si indicheranno invece “sistemi a base lunga” (BL), quei sistemi che mantengono, rispetto a quello convenzionale, la stessa separazione tra i sensori; in questo caso aumenta di un fattore K−1 la lunghezza complessiva della baseline.

Nella tesi sono stati analizzati quattro tipi di sistemi ATI-SAR: due BU e due BL a tre e cinque canali. Essi sono concepiti come modifiche al sistema convenzionale e

differiscono o per il numero di centri di fase o per come questi vengono distanziati rispetto alla baseline del sistema convenzionale. Inoltre si è analizzato un caso non ATI con un numero elevato di sensori nell’array (K=11) ed un tempo di coerenza della superficie marina normalizzato al ritardo complessivo d’acquisizione delle immagini SAR molto più elevato rispetto ai casi precedenti (τc/τ =16) ;

Tali diversità influiscono sulla forma della PSD dei dati espressa nel dominio della fase, e quindi sulle prestazioni dei metodi impiegati per effettuare la stima della PSD stessa. Intuitivamente si può pensare che l’effetto prodotto dai diversi sistemi ATI-SAR sia analogo a quello di una lente che a parità di contesto ambientale investigato sottopone ai metodi di stima spettrale una differente immagine da ricostruire.

Si verifica infatti che la PSD normalizzata ,valutata in funzione della fase φ =ωτ, della sequenza discreta ottenuta campionando con frequenza fc =

(

K −1

)

τ il segnale provenente da una sorgente di Bragg, vale (si veda Appendice 1.B):

( )

exp

(

)

22 2 2 B c S φ φ φ τ τ     −   = _{ }    _{ }   _{ }    , (1.7)

(

K 1

) (

, K 1

)

)

φ∈ −_ − π − π

( )

θ τ λ ω τ π

φB =4 vBsin i = B = fase Doppler della sorgente di Bragg, τ = ritardo di acquisizione complessivo,

c

τ = tempo di coerenza della sorgente, K = numero di canali.

A parità di valore dei parametri radar e ambientali (lunghezza d’onda della portante ,

RAD

K determina l’ampiezza dell’intervallo di fase non ambiguo, mentre τ fissa sia la deviazione standard che la separazione delle gaussiane associate alle sorgenti osservate: tanto più è elevato il ritardo di acquisizione complessivo τ tanto più si allargano e si separano gli spettri delle sorgenti (figura 1.4 ).

Un’ulteriore caratteristica che differenzia profondamente i sistemi BL da quelli BU riguarda il modo in cui rispondono ai compromessi sulla scelta del ritardo ottimo di acquisizione τ .

Per chiarire quanto detto si ricordi l’espressione dell’intervallo di fase non ambiguo per un sistema a K canali: φ∈ −

(

K−1

) (

π, K−1

)

π

)

. Si indichi poi con τ′ il ritardo di acquisizione del convenzionale. Allora per le fasi interferometriche dei sistemi BL e BU valgono rispettivamente le seguenti relazioni:

(

−1

)

′ = = _{B BL B} K BL ω τ ω τ φ , (1.8) τ ω τ ω φBU = B BU = B ′, (1.9)

τ

′ = il ritardo di acquisizione del sistema convenzionale di riferimento, K = numero di centri di fase del sistema multicanale impiegato,

-6 -4 -2 0 2 4 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 phas e (rad) D S Pn o rm BL, K=3, τc / τ = 2 -10 -5 0 5 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 phase (rad) D S Pn o rm BL, K=5, τc / τ = 1 -6 -4 -2 0 2 4 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 phase (rad) D S Pn o rm BU, K=3, τc / τ = 4 -10 -5 0 5 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 phase (rad) D S Pn o rm BU, K=5, τc / τ = 4

È evidente che nel sistema BL la stessa espansione che si ha sull’intervallo di fase non ambiguo si manifesta anche sulla misura della fase interferometrica. Questo sistema dunque consente di ottenere, rispetto al convenzionale, una migliore sensibilità senza alterare il problema dell’ambiguità di fase.

Nel sistema BU invece la sensibilità e la correlazione rimangono invariate rispetto al convenzionale, mentre la dilatazione dell’intervallo di fase non ambiguo si traduce in un aumento della velocità minima oltre la quale diventa necessaria un’operazione di srotolamento della fase.

Sembra dunque ragionevole, qualora siano disponibili informazioni a priori sul contesto ambientale da investigare, la scelta di un sistema a BL se le velocità in gioco sono contenute e il tempo di correlazione è elevato. Viceversa il sistema BU sembra essere più idoneo a misurare velocità anche sostenute in condizioni di correlazione critiche.

1.6 Metodi di stima spettrale

Come si è accennato il primo passo per ricostruire la velocità della corrente superficiale, consiste nell’effettuare una stima dello spettro Doppler del segnale proveniente da una cella di risoluzione, che consenta di valutare le fasi interferometriche in corrispondenza delle quali risulta massima la potenza media ricevuta dai sensori dell’array.

È ragionevole pensare che i due spettri delle sorgenti di Bragg siano tanto meglio individuabili quanto maggiore è la distanza tra i loro centroidi rispetto al limite di Rayleigh.

Si ricordi l’espressione che assume tale distanza ∆φ quando il segnale proveniente da uno stesso contesto ambientale viene prelevato con un sistema a BL e uno BU rispettivamente:

(

1

)

2 2 = ′ − = ∆φ_BL ω_Bτ ω_Bτ K , (1.10)

τ ω τ ω φ = = ′ ∆ BU 2 B 2 B , (1.11) B

ω = pulsazione della sorgente di Bragg,

τ

′ = ritardo di acquisizione del sistema convenzionale di riferimento, K = numero di centri di fase del sistema multicanale impiegato,

τ = ritardo di acquisizione complessivo del sistema multicanale.

È evidente che solo nel caso BL l’aumento del numero di canali si traduce in una migliore risoluzione: K LR B BL πω τ φ ′ = ∆ 4 ,

(

)

K K LR B BU = 4 ′ −1 ∆φ πω τ (1.12-13)

Qui in seguito saranno introdotti i metodi di stima impiegati per la localizzazione delle fasi delle sorgenti di Bragg.

Gli algoritmi di stima analizzati e applicati per i nostri scopi sono:

Covariance Fitting [Sha02]

Capon Generalizzato [Has03]

MUSIC [Lom01]

Il Covariance Fitting è un algoritmo che si basa sull’approssimazione della matrice di covarianza attraverso l’uso dello sviluppo in serie di Taylor, impiegando i momenti centrali e non centrali della densità spettrale di potenza. Questo metodo era stato scelto poiché è una estensione al caso di sorgenti multiple estese dello stimatore MUSIC (che in precedenza aveva dato degli ottimi risultati). Purtroppo però, come vedremo in seguito, questo algoritmo non fornisce i risultati sperati perché soffre di gravi problemi di instabilità soprattutto quando si considera un numero esiguo di sensori nell’array, in special modo per K=3.

Capon Generalizzato, come discende dal nome stesso, è una generalizzazione al caso di sorgenti multiple incoerentemente distribuite del noto stimatore Capon.

Questo algoritmo è stato scelto perché non utilizza nessuna approssimazione della matrice di covarianza anche se, per ricavare le stime di fase e di tempo di coerenza, richiede un ricerca in due dimensioni.

MUSIC è un metodo parametrico che presuppone un modello a righe dello spettro da stimare, si ipotizza cioè che il segnale osservato sia costituito da esponenziali complessi immersi in rumore additivo. Questo tipo di metodi viene anche detto high resolution, ad indicare che, in condizioni di adattamento del modello, la risoluzione conseguibile è molto elevata.

La PSD teorica di ciascuna sorgente di Bragg è una gaussiana quindi l’assunzione di spettro a righe è tanto più accettabile quanto più è contenuta la varianza di ciascuna gaussiana. MUSIC dunque, sembra essere più idoneo a lavorare sui dati ottenuti proprio per i sistemi BU.

Per chiarire quanto detto, si ricordi che la varianza σ2 di ciascuna gaussiana (espressa nel dominio della fase) dipende dal tipo di sistema di acquisizione. Più precisamente:

(

)

2 2

(

)

2 2 2 2 1 1 2 2 _{− = −}         _′ =         = K _BU K C C BL τ σ τ τ τ σ , (1.14)

τ

′ = ritardo di acquisizione del sistema convenzionale di riferimento, K = numero di centri di fase del sistema multicanale impiegato,

τ = ritardo di acquisizione complessivo del sistema multicanale.

1.7 Cenni sull’identificazione della fase Doppler della corrente

In questo paragrafo vengono descritti brevemente gli algoritmi per la ricostruzione della fase Doppler della corrente superficiale, che sono necessari, una volta stimate

le singole fasi di Bragg, al fine di ricostruire la fase e la velocità della corrente marina superficiale.

Il primo algoritmo nasce da un’idea molto semplice, mentre gli altri rappresentano un’evoluzione del metodo precedente volta a superarne i limiti.

Si sono utilizzati cinque algoritmi indicati sinteticamente con i seguenti acronimi: PP = picco potente,

DP = doppio picco, VP = picco virtuale, DPA = doppio picco alto, PM = posizione media.

Ciascuno di essi utilizza la stima della PSD dei dati, congiuntamente alla conoscenza della fase Doppler delle sorgenti di Bragg, per ricostruire la fase Doppler della corrente.

Si ricordi la relazione che lega tale fase ai centroidi Doppler delle sorgenti di Bragg in moto bidirezionale: B c r B c a φ φ φ φ φ φ = + , = − , (1.15-16) a

φ = fase interferometrica del centroide corrispondente all’onda di Bragg che avanza verso il radar,

r

φ = fase interferometrica del centroide corrispondente all’onda di Bragg che retrocede,

c

φ = fase interferometrica della corrente,

B

φ = valore assoluto della fase Doppler di una sorgente di Bragg risonante alla portante radar.

Gli algoritmi sopra elencati si differenziano o per la scelta del centroide Doppler a cui si riferiscono per ottenere φˆ_c o per il modo in cui la stima del centroide viene ottenuta dalla PSD dei dati.

Una precisazione: a meno che non sia diversamente specificato, con la sigla PSD, in questo paragrafo non ci si riferisce alla densità spettrale di potenza effettiva dei dati, bensì alla sua stima ottenuta con metodi descritti nella sezione precedente.

Il metodo PP preleva il valore della fase interferometrica φ_MAX corrispondente al massimo assoluto della PSD, lo interpreta come corrispondente alla sorgente in allontanamento e, a partire da esso, ricostruisce la fase della corrente:

ˆPP ˆPP

c MAX B r B

φ =φ +φ =φ +φ , (1.17)

Si tratta dunque di un algoritmo molto semplice che offre la possibilità di verificare le proprietà di risoluzione del metodo di stima spettrale impiegato per valutare la PSD. Si pensi infatti all’andamento della polarizzazione della stima della corrente

c

φˆ in funzione del rapporto 2 2

r

a σ

σ tra la potenza associata all’onda che avvicina e quella che si allontana. È ragionevole attendersi che se il metodo di stima spettrale individua correttamente i picchi corrispondenti alle due onde di Bragg, la polarizzazione di φˆ_c sia nulla per σ_a2 σ_r2 <1 e pari a 2φ_B altrimenti.

Il limite evidente del PP è quello di non eliminare l’ambiguità sulla direzione di provenienza dell’onda di Bragg associata al picco a cui si aggancia.

Gli altri metodi risolvono l’ambiguità sulla direzione del moto delle onde di Bragg effettuando una stima di entrambi i centroidi associati alle sorgenti di Bragg e confrontandone la distanza con le dimensioni dell’intervallo di fase non ambiguo ( Appendice 1.C).

Il metodo DP stima i centroidi degli spettri delle sorgenti di Bragg prelevando, qualora sia possibile, le fasi dei due massimi relativi della PSD stimata. Identificata

la fase associata all’onda che si allontana dal radar, vi si aggancia per ricostruire la fase Doppler della corrente in accoro alla seguente relazione:

ˆDP ˆDP

c r B

φ =φ +φ , (1.18)

Uno dei limiti del metodo DP si manifesta quando la PSD stimata presenta un solo massimo. Ciò può accadere quando il metodo di stima spettrale precedentemente applicato presenta una risoluzione carente o quando il picco più debole tende a scomparire sommerso dal rumore. In tali circostanze il DP non può operare.

VP si comporta esattamente come DP quando la PSD stimata ha due massimi, viceversa ricostruisce un secondo picco (virtuale) prelevando la fase a distanza

B φ

2 da quella del massimo assoluto, in corrispondenza della quale lo spettro assume valore maggiore:

ˆVP ˆVP

c r B

φ =φ +φ , (1.19)

Sia DP che VP ricostruiscono la fase Doppler della corrente riferendosi alla stima del centroide corrispondente all’onda di Bragg che si allontana dal radar. Questo comporta un’ asimmetria delle prestazioni dello stimatore espresse in funzione del rapporto σ_a2 σ_r2 . È ragionevole infatti che il riferimento assunto sia più netto quando esso coincide con la sorgente più potente.

Il metodo DPA nasce proprio da questa considerazione. Esso preleva, quando possibile, i valori delle fasi corrispondenti ad entrambi i massimi relativi della PSD. Utilizza il massimo assoluto come riferimento per ricostruire la corrente e quello più debole esclusivamente per risolvere l’ambiguità sulla direzione di moto della sorgente più intensa:

ˆ ˆ ˆ DPA MAX B MAX r DPA c DPA MAX B MAX a se se φ φ φ φ φ φ φ φ φ  _{+ =}  =  − =  , (1.20)

Il metodo PM estrae la fase della corrente come media delle posizioni dei due principali massimi relativi della PSD:

ˆ ˆ ˆ 2 PM PM PM r a c φ φ φ = + , (1.21)

Questo algoritmo offre il vantaggio di non richiedere una precisa conoscenza a priori di φ_B e di effettuare, contestualmente all’operazione di ricostruzione diφ_c, una compensazione degli eventuali errori che gravano su φˆa e φˆr .

Appendice 1.A

Cenni sul Radar ad apertura sintetica (SAR)

Il radar ad apertura sintetica è stato sviluppato a partire dal 1951 in seguito alle osservazioni effettuate da Carl Wiley della Goodyear Aircraft Corporation. Egli notò che poteva essere ottenuta un elevata risoluzione angolare analizzando lo spettro del segnale in ricezione da un sistema radar di tipo coerente. L'enorme sviluppo tecnologico avvenuto negli anni successivi portò alla realizzazione di un sistema SAR da piattaforma satellitare che fu lanciato nel 1978 a bordo del satellite SEASAT. Dopo questo primo esperimento di osservazione della terra gli anni ottanta hanno visto la nascita dei sistemi SAR portati a bordo delle navette shuttle. In seguito a partire dai primi anni novanta quasi tutte le agenzie spaziali hanno incluso tra i loro programmi il lancio di piattaforme che portano a bordo sensori SAR (come in figura A.1).

Figura A.1: baseline di un sistema ATI-SAR aviotrasportata (courtesy of FGAN, Germany)

In figura A.2 è mostrata la geometria di un sistema radar montato a bordo di una piattaforma che si muove di moto uniforme lungo una traiettoria rettilinea. L'antenna reale del sistema radar è fissa ed è montata in modo tale che gli assi azimutale e di elevazione sono diretti rispettivamente parallelamente e ortogonalmente alla traccia della traiettoria. La direzione di puntamento del fascio forma l'angolo di incidenza ϑi con il piano tangente alla superficie illuminata.

L'impronta dell'antenna a terra è rappresentata schematicamente da un ellisse i cui assi principali sono rispettivamente:

i el h S θ θ cos = (1.A.1)

nella direzione ortogonale alla traccia a terra della traiettoria e

i az h X θ θ cos = (1.A.2)

in quella parallela, dove

az az L λ ϑ = , el el L λ

θ = sono rispettivamente l’apertura angolare del fascio d’antenna in azimut ed in elevazione e

L

_az,

L

_elle dimensioni dell’antenna reale nelle due direzioni ortogonali (

λ

è la lunghezza d’onda della portante).

Il radar ad apertura sintetica permette di migliorare sensibilmente le prestazioni di un radar ad apertura reale (RAR) aumentando la risoluzione in direzione parallela alla traccia (risoluzione in azimuth) [Dal01].

Figura A.2: geometria di un radar ad apertura sintetica

Il SAR può avere dei problemi di focalizzazione in azimuth nel caso in cui i bersagli illuminati non siano stazionari. In particolare, il mare non è un bersaglio stazionario: il movimento degli scatteratori sulla superficie marina, per esempio le onde di Bragg, è comandato da diversi fattori, tra i quali il vento, le correnti e le onde lunghe, perciò focalizzare un’immagine di questo tipo richiede particolare attenzione.Infine va sottolineato anche che un bersaglio stazionario di cui siano note la geometria e le caratteristiche dielettriche ha tempo di coerenza2 infinito. Discende, da quanto detto in precedenza, che la superficie marina ha un tempo di coerenza finito. Se il tempo di coerenza dell’oceano risulta essere inferiore al ritardo complessivo d’acquisizione delle immagini SAR, la risoluzione in azimuth risulterà limitata [Car94].

2 _{Si definisce tempo di coerenza il tempo durante il quale la fase del segnale proveniente da una} cella di risoluzione può essere stimata correttamente.

h=quota di volo X =impronta antenna lungo traccia S=impronta antenna ortogonale traccia θθθθi=angolo di incidenza S X

Appendice 1.B

Densità spettrale di potenza di una sorgente di Bragg

nel dominio della frequenza e della fase

La funzione di autocorrelazione R

( )

t del segnale diffuso da una sorgente di Bragg può essere scritta nella seguente forma [Rom94]:

{

t

}

t P t R B c ω τ _ −              − = exp exp ) ( 2 , (1.B.1)

P = potenza media, che per semplicità di qui in poi, verrà assunta unitaria,

c

τ = tempo di coerenza della sorgente,

ω

B = pulsazione di Bragg,

Poiché l’osservato è ottenuto campionando il segnale diffuso dalla sorgente con intervallo di campionamento T_c =τ

(

K−1

)

la sua autocorrelazione R[n] può essere interpretata come la sequenza discreta ottenuta campionando con la stessa cadenza

R(t ): ) ( ] [n R nTc R = , (1.B.2) n = intero, c

T = τ / (K-1) intervallo di tempo tra due acquisizioni consecutive, τ = ritardo complessivo di acquisizione,

K = numero di sensori.

Si ricordi la relazione che lega la trasformata discreta Fourier

( )

TFS di una sequenza discreta x

( )

n alla trasformata continua

(

TCF

)

del corrispondente segnale

( )

      − =

∑

c n a c s T n f X T f X 1 , (1.B.3) Tc = intervallo di campionamento,

( )

=

[ ]

( )

=

∑

( ) {

−

}

n c c s nfT j nT x n x TFS f X exp 2π ,

( )

f TCF

[ ]

x

( )

t X a = ,

questo significa che se si trascura l’aliasing, sull’intervallo

[

−1 2T_c, 12T_c

)

la PSD della sequenza osservata coincide (a meno di un fattore di proporzionalità a che per semplicità si considererà unitario) con la TCF di R

( )

t :

( )

f TDF

[ ]

R

( )

n S

( )

f TCF

[ ]

R

( )

t

S a

s _{= ≅} α ₌ α

, (1.B.4)

Si ricordi l’espressione della TCF di una funzione gaussiana:

{ }

[

]

      − = − 2 2 2 exp exp f a a at TCF π π , (1.B.5)

Posto a=1/τc2, si ottiene facilmente:

( )

[ ]

( )

2

{

( ) (

2

)

2

}

exp _{c B} c a f f R TCF f S = τ = πτ − πτ − , (1.B.6) fB = frequenza di Bragg, con f ∈

[

−12T_c, 12T_c

)

.

In altre parole, sull’intervallo

[

−1 2T_c, 12T_c

)

, lo spettro della sorgente di Bragg e quindi, quello della sequenza osservata, è una gaussiana con valor medio fB pari

alla frequenza di Bragg e varianza σ2 =1 2

( )

πτc 2.

In questa tesi ci si riferisce più spesso allo spettro Doppler valutato nel dominio della fase che a quello identificato nel dominio della frequenza, è opportuno quindi specificarne l’espressione.Si ricordi la relazione che lega la fase Doppler φ_B alla frequenza Doppler f : _B

( )

_{ω τ π τ} λ θ π φ B B i B B f sin v 2 4 = = = , (1.B.7)

più in generale la fase è legata alla frequenza dal fattore di proporzionalità 2πτ . Con una semplice sostituzione si ottiene che lo spettro Doppler della sequenza osservata (normalizzato al valore massimo) vale:

( )

exp

(

)

22 2 2 B c S φ φ φ τ τ     −   = _{ }    _{ }   _{ }    , (1.B.8) per φ∈ −

[

2π 2 , 2T_c π 2 ,T_c

)

= − π

(

K−1 ,

) (

π K−1

) )

;

quindi, sull’intervallo di fase non ambiguo

[

−π

(

K −1

)

, π

(

K−1

) )

, lo spettro della sequenza osservata valutato in funzione della fase, è gaussiano con valor medio φ_B pari alla fase di Bragg e varianza σ2 =

(

2τ τc

)

2.Si noti che a differenza diS

( )

f ,

( )

φ

Appendice 1.C

Identificazione della direzione di moto delle onde di Bragg associate

ai massimi della PSD.

L’incertezza sulla direzione di moto delle onde di Bragg associate alle fasi dei due picchi della PSD stimata, nasce dal fatto che il valore di tali fasi è espresso modulo l’intervallo non ambiguo. Questo impedisce di concludere che la fase di valore inferiore coincida necessariamente con quella dell’onda che si allontana dal radar. Si pensi ad esempio al caso in cui φ_r =

(

φ_c −φ_B

)

< π

(

K −1

)

< φ_a =

(

φ_c+φ_B

)

.

Φ 1= Φ a = Φ c + Φ B Φ c Φ 2= Φ r = Φ c - Φ B π (K-1) -π (K-1)

Figura 2.B.1 L'ordinamento algebrico non è adeguato.

Per risolvere il problema, si utilizza una specifica alla base del progetto del sistema:

(

1

)

2φ_B < π K − , (1.C.1)

la separazione tra i centroidi Doppler delle sorgenti di Bragg deve essere maggiore di metà intervallo di fase non ambiguo.

Si noti che è sempre possibile soddisfare tale vincolo variando opportunamente il valore della portante radar o quello dell’angolo d’incidenza.

Il procedimento descritto può essere così schematizzato:

1) le fasi corrispondenti ai due picchi della PSD vengono ordinate

algebricamente;

2) viene calcolata la distanza tra le due fasi sottraendo la minore alla maggiore;

3) la distanza ottenuta al passo precedente viene confrontata con l’ampiezza di metà intervallo di fase non ambiguo, nel caso in cui sia minore si conclude che l’ordinamento algebrico coincide con quello antiorario e quindi la fase di valore maggiore corrisponde all’onda che si avvicina al radar, viceversa tale la fase è associata all’onda che si allontana.