Analisi strutturale agli elementi finiti del Nuovo Mercato delle Vettovaglie di Livorno

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Capitolo 4

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Capitolo 4

Analisi strutturale agli elementi

finiti del Nuovo Mercato delle

Vettovaglie di Livorno

4.1 Introduzione.

La valutazione accurata degli effetti che un evento tellurico produce su una struttura è un problema di non facile soluzione. In primo luogo, l’andamento nel tempo dell’azione sismica (cioè dell’accelerazione trasmessa dal terreno alla struttura) non è noto a priori, se non in termini approssimativi. Inoltre, anche assumendo di conoscere in dettaglio l’azione sismica, sarebbe necessario ricostruire l’effettivo comportamento dinamico della struttura (a partire dai modi propri di vibrazione, dalle frequenze naturali, ecc.) ed eseguire un’analisi dinamica, non lineare, per poter seguire l’evoluzione temporale del quadro tensionale, deformativo e di danneggiamento.

Anche in considerazione della complessità e dell’onerosità di calcolo che un’analisi dinamica completa comporterebbe, la normativa tecnica prevede la

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possibilità di valutare convenzionalmente la risposta sismica di una struttura, e dunque il grado di sicurezza atteso nei confronti di eventi sismici che si stima abbiano una certa probabilità di manifestarsi durante la vita utile della costruzione. A questo riguardo, la norma introduce lo spettro di risposta elastico e quello di progetto per definire, in modo convenzionale, l’azione sismica a seconda che la sicurezza della struttura sia valutata nei confronti dello stato limite di esercizio o di quello limite ultimo. Coerentemente con quest’impostazione, l’analisi modale costituisce il primo passo per valutare la risposta dinamica della struttura

Nel seguito del presente capitolo si descrivono in dettaglio i modelli numerici agli elementi finiti messi a punto per l’analisi modale del Nuovo Mercato delle Vettovaglie di Livorno, illustrando altresì un confronto ragionato tra i risultati forniti dagli stessi modelli. Tutte le analisi agli elementi finiti sono state eseguite utilizzando il codice di calcolo commerciale ANSYS® (Mechanical APDL).

4.2 Modelli FE con elementi bidimensionali.

La prima modellazione scelta per la struttura è stata realizzata impiegando prevalentemente elementi shell bidimensionali ed introducendo dove necessario alcuni elementi monodimensionali beam.

Gli elementi bidimensionali sono stati utilizzati per la modellazione di tutti i setti in muratura portante, mentre gli elementi monodimensionali sono stati utilizzati per la modellazione delle colonne in muratura, situate sia nel locale ghiacciaia al piano seminterrato, sia in corrispondenza dei lati corti del salone centrale. Queste due categorie di elementi sono state scelte appositamente in quanto riescono a rappresentare molto bene il comportamento tipico di elementi strutturali di questo genere, in quanto gli elementi shell sono in grado di fornire risultati sia per azioni membranali che flessionali, mentre gli elementi beam forniscono risultati relativi a tutte le caratteristiche della sollecitazioni che possono verificarsi in un elemento strutturale tipo un pilastro.

A causa della notevole complessità geometrica del modello, dovuta alla notevole quantità di elementi murari, ma soprattutto alla la presenza sia di componenti architettonici come archi e volte, sia all’elevato numero di porte e finestre, la modellazione ha visto l’utilizzo preliminare di un software di disegno CAD, il quale ha consentito una maggior versatilità nella gestione del modello. É noto infatti che la maggior parte dei programmi di analisi FE non hanno nell’ambiente di preprocessor dei validi modellatori solidi per la definizione della geometria strutturale, non consentendo di conseguenza un controllo completo sulla stessa e rendendo a volte quasi impossibile la sua gestione.

Essendo questa un’analisi preliminare, l’obiettivo principale è stato quello di ottenere dei risultati validi in prima approssimazione che consentissero una descrizione sommaria del comportamento dinamico dell’intero corpo strutturale.

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4.2.1 Tipologie di elementi finiti utilizzati nelle analisi.

Di seguito si passano in rassegna le tipologie di elemento utilizzati nella modellazione della struttura, al fine di metterne in evidenza le loro caratteristiche principali.

Il primo elemento che si vuole illustrare è l’elemento bidimensionale identificato nella libreria del codice di calcolo Ansys dalla sigla SHELL181. Elementi di questo tipo, in grado di schematizzare sia il comportamento membranale sia quello flessionale, sono stati utilizzati per modellare i setti murari dell’edificio.

Fig. 4.1 Elemento SHELL181, posizione dei nodi e orientamento del sistema di riferimento locale (immagine dal manuale Ansys®)

Questo elemento si presta bene per essere utilizzato insieme all’elemento monodimensionale BEAM188, in quanto entrambi presentano in corrispondenza dei propri nodi lo stesso tipo e numero di gradi di libertà. Questo consente di evitare l’inserimento di condizioni di vincolo interne, molto complesse da gestire. Di seguito sono riportate le funzioni di forma relative all’elemento utilizzato nell’analisi (Mechanical APDL Theory Reference, Cap. 12, § 12.6, equazioni 12-69, 12-70, 12-71, 12-72, 12-73, 12-74):

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L’elemento BEAM188 è il classico elemento monodimensionale a due nodi situati alle estremità dell’elemento ed indicati in figura con le lettere i e j. Esso viene tipicamente utilizzato per la modellazione di elementi trave o pilastro,

Fig. 4.2 Elemento Beam188, posizione dei nodi e orientamento del sistema di riferimento locale (immagine dal manuale Ansys®).

Lo schema teorico sul quale si basa questo elemento è quello di Timoshenko, che include anche gli effetti di deformazione da taglio. L’elemento presenta in corrispondenza di ciascun nodo 6 + 1 gradi di libertà, tre traslazioni secondo gli assi x,y,z indicate rispettivamente con Ux, Uy, Uz , e tre rotazioni attorno ai medesimi Rx, Ry, Rz. Il settimo grado di libertà consentirebbe di considerare nell’analisi anche la torsione secondaria da ingobbamento impedito, ma per il tipo di lavoro che abbiamo fatto, questa caratteristica è stata totalmente trascurata, non essendo interessati a studiare questo particolare fenomeno, caratteristico soprattutto di strutture formate da profili metallici in sezione sottile aperta.

Di seguito sono riportate le funzioni di forma relative all’elemento utilizzato nella modellazione (Mechanical APDL Theory Reference, Cap. 12, § 12.3, equazioni 12-19, 12-20, 12-21, 12-22, 12-23, 12-24):

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4.2.2 I modelli analizzati.

In tutti i modelli che sono stati preparati, riassunti nella successiva tabella, sono state fatte le stesse ipotesi semplificative, e cioè:

- materiale elastico lineare, omogeneo e isotropo;

- modulo di Young uguale a 5 GPa, coefficiente di Poisson uguale a 0,1; - densità del materiale uguale a 1650 Kg/m3.

Un discorso a se stante va fatto sia per la copertura del salone centrale del Mercato Coperto che per la copertura dei due saloni secondari, le quali essendo caratterizzate dalla presenza di capriate metalliche molto snelle in ferro, avrebbero inserito ulteriori gradi di incertezza nella modellazione e nella determinazione dei modi di vibrazione dell’intera struttura.

Queste capriate sono infatti realizzate dall’unione di profilati angolari e profilati UPN, le cui dimensioni, se paragonate a quelle delle pareti murarie, comportavano problemi durante le analisi modali. Dalle analisi emergeva infatti che soltanto i primi sette modi propri interessavano il modello nella sua globalità, mentre dall’ottavo modo in poi, la presenza delle capriate metalliche comportava un vero e proprio spostamento dell’attenzione dal calcolo delle frequenze delle pareti di muratura alle capriate stesse, le quali erano le sole a manifestare modi propri di vibrazione, lasciando il resto del complesso strutturale totalmente inerte. All’aumentare progressivo del valore della frequenza di vibrazione calcolata, le corrispondenti deformate modali interessavano in modo esclusivo solo singoli elementi monodimensionali delle capriate metalliche, trascurando al contempo ogni modo proprio che fosse relativo a qualsiasi parete in muratura dell’edificio.

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Questo inconveniente ha portato alla decisione di escludere dalla modellazione la presenza fisica della copertura, inserendo il suo contributo in altra maniera, in quanto non sarebbe sembrato lecito trascurare completamente la sua presenza, in considerazione soprattutto dei seguenti motivi: intanto perché la copertura possiede una notevole massa strutturale che in caso di azione sismica fa sentire la sua presenza, ed in secondo luogo perché le diverse capriate metalliche dei saloni forniscono, seppur in maniera abbastanza limitata, un grado di vincolo non del tutto trascurabile tra le pareti alle quali sono ancorate, contribuendo in questo modo alla rigidezza globale della struttura.

La soluzione adottata nella modellazione è stata quella di inserire delle masse concentrate alle estremità delle capriate in corrispondenza di dove si scarica il peso della copertura, considerando nella determinazione di tale massa la quota parte relativa alla capriata metallica, alla finestratura in vetro e alla copertura vera e propria, mentre il vincolo di collegamento tra le pareti è stato realizzato supponendo la presenza di una biella rigida che vincolasse gli spostamenti relativi tra i nodi opposti del modello coincidenti con i punti di appoggio delle capriate metalliche.

Tabella 4.1 Modelli con elementi bidimensionali tipo “shell”.

In tutti i modelli analizzati sono state considerate tutte le aperture principali presenti nelle pareti murarie sia esterne che interne e lo spessore delle pareti segue esattamente il reale andamento, con riduzione discontinua dello spessore nel passaggio dai muri a contatto con la fondazione ai muri di sommità. I solai sono stati modellati come piastre piane rigide nel proprio piano, considerando la propria massa concentrata nel baricentro. In merito al piano seminterrato si fa presente che è stata trascurata la reale tipologia della copertura, la quale è realizzata con volte di tipo a botte e a crociera.

Una ulteriore caratteristica trascurata è la presenza dei muri divisori dei locali, ai quali si è riconosciuta una funzione non portante, ma solo di tramezzatura.

Elemento 0,5 m 0,7 m 1 m 1,25 m 1,5 m

SHELL181 SH181-50 SH181-70 SH181-100 SH181-125 SH181-150

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Fig. 4.4 Modellazione con elementi bidimensionali della struttura. Nell’immagine il modello SH181-100.

4.3 Modelli FE con elementi tridimensionali.

Al fine di valutare l’influenza del tipo di modellazione strutturale sui risultati dell’analisi, dell’edificio oggetto di studio sono stati realizzati alcuni modelli facendo uso di elementi finiti di tipo tridimensionale.

4.3.1 Gli elementi finiti utilizzati nella modellazione.

La modellazione solida si è concentrata sulla scelta di tre diversi tipi di elementi finiti presenti nella libreria di Ansys®, con l’obiettivo iniziale di riuscire a percepire eventuali differenze nell’utilizzo dell’uno o dell’altro tipo di elemento. Gli elementi presi in considerazione tra tutti quelli messi a disposizione dal software di calcolo sono:

- Elemento SOLID65 - Elemento SOLID185 - Elemento SOLID285

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Elemento SOLID65.

Questo è un elemento cubico che consente la modellazione tridimensionale di strutture, ed è stato pensato appositamente per materiali lapidei, muratura o calcestruzzo, ma anche per la modellazione di materiali fibrorinforzati, in quanto ammette la possibilità di considerare o meno, al suo interno, la presenza di barre o lamine di rinforzo. Caratteristica peculiare del Solid65 è la capacità di potersi fessurare per trazione e di potersi rompere per schiacciamento.

Questo elemento è definito da otto nodi, ciascuno avente tre gradi di libertà, definiti dagli spostamenti Ux, Uy, Uz, rispettivamente secondo i tre assi coordinati x,y,z del sistema di riferimento scelto.

Fig. 4.5 Elemento Solid65 (immagine dal manuale di Ansys®).

Come è possibile notare dalla figura, il solido ammette anche la degenerazione in prisma a base triangolare a sei nodi e la degenerazione a tetraedro a quattro nodi che, anche se non raccomandata dal programma, è l’unica configurazione possibile in caso di modelli solidi molto complessi, come anche nel caso oggetto di studio. L’elemento utilizza funzioni di forma non lineari (39) (Mechanical APDL Theory Reference, Cap. 12, §12.9, equazioni 12-212, 12-213, 12-214):

Fig. 4.6 Sistema di riferimento per l’elemento Solid65 (immagine dal manuale di Ansys®).

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Elemento SOLID185.

Anche l’elemento Solid185 viene utilizzato per la modellazione solida di strutture.

A differenza del precedente però la sua formulazione è di tipo più generale ed adatta per la modellazione di tutti i materiali, tant’è che si presta in maniera ottimale per la modellazione di materiali che esibiscono plasticità, iperelasticità, stress stiffening, fenomeni di creep, grandi deformazioni e grandi spostamenti. Il suo uso è ottimale quando devono essere modellati materiali considerati isotropi, come ad esempio i metalli o i materiali plastici. In aggiunta rispetto all’elemento Solid65, nella fase di meshatura del modello è possibile ottenere degenerazioni dell’elemento anche a forma piramidale a base quadrata. Anche questo elemento utilizza funzioni di forma non lineari, dello stesso tipo di quelle utilizzate dall’elemento Solid65 (39) (Mechanical APDL Theory Reference, Cap. 12, §12.9, equazioni 12-212, 12-213, 12-214):

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Elemento SOLID285.

Questo tipo di elemento è di forma tetraedrica a quattro nodi in corrispondenza dei vertici ed a differenza dei due elementi precedenti, il Solid65 e il Solid185, è caratterizzato dall’avere funzioni di forma di tipo lineare (40).

La scelta è ricaduta anche su questo elemento in quanto la sua forma primitiva già tetraedrica evitava da subito le degenerazioni alle quali invece andavano incontro in modo inevitabile gli elementi Solid65 e Solid185. Le funzioni di forma utilizzate dall’elemento (40) sono riportate di seguito (Mechanical APDL Theory Reference, Cap. 12, §12.9, equazioni 12-170, 12-171, 12-172):

Fig. 4.9 Sistema di riferimento per l’elemento Solid285 (immagine dal manuale di Ansys®).

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4.3.2 I modelli analizzati.

I diversi modelli solidi della struttura del Nuovo Mercato delle Vettovaglie di Livorno sono riassunti nella tabella seguente, dove ciascun modello è caratterizzato da un tipo ben definito di elemento e da una dimensione caratteristica del reticolo della mesh.

Tabella 4.2 Modelli ad elementi tridimensionali “solid”.

Fig. 4.10 Modello con elementi tridimensionali. In immagine il modello SO65-100.

Elemento 0,5 m 0,7 m 1 m 1,25 m 1,5 m

SOLID65 SO65-50 SO65-70 SO65-100 SO65-125 SO65-150

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4.4 Un confronto tra i

diversi modelli: l’analisi

modale dell’edificio.

Al fine di poter confrontare fra loro i diversi tipi di modelli agli elementi finiti descritti nei paragrafi precedenti, vengono di seguito messi a confronto i risultati ottenuti in termini di forme modali e frequenze naturali di vibrazione dell’edificio, utilizzando diversi tipi di elemento e per differenti reticoli considerando due diverse variabili:

- Il tipo di elemento utilizzato (Shell181, Solid65, Solid185, Solid285) - La dimensione caratteristica del reticolo

La dimensione caratteristica del reticolo è stata considerata in quanto volevamo capire quanto influiva l’ampiezza della maglia della mesh sui risultati dell’analisi. A tale proposito sono state scelte cinque diverse dimensioni caratteristiche coincidenti con le misure di 1.5, 1.25, 1, 0.7, 0.5 metri.

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106 LATO ELEMENTO - 0,5 METRI

Modo n° SHELL181 (Hz) SOLID65

(Hz) SOLID185 (Hz) SOLID 285 (Hz) 1 0,6368 0,955 0,954 0,931 2 0,7286 1,17 1,16 1,152 3 1,0989 1,728 1,728 1,726 4 1,3439 2,355 2,355 2,344 5 1,3769 2,64 2,64 2,63 6 1,4164 2,64 2,64 2,631 7 1,8372 3,106 3,106 3,095 8 2,3403 3,411 3,401 3,396 9 2,3947 3,583 3,573 3,563 10 2,4505 4,059 4,049 4,039 11 2,467 4,078 4,078 4,068 12 2,4908 4,085 4,085 4,075 13 2,5213 4,349 4,319 4,309 14 2,6064 4,459 4,429 4,409 15 2,6142 4,798 4,778 4,767 16 2,6745 4,817 4,817 4,808 17 2,6907 5,025 5,015 5,012 18 2,7176 5,059 5,049 5,039 19 2,9025 5,119 5,119 5,109 20 2,9057 5,158 5,158 5,151

Tabella 4.3 Frequenze di vibrazione per differenti modelli con elementi di tipo “solid”; dimensione caratteristica della maglia della mesh 0.5 m.

Fig. 4.11 Confronto tra frequenze diversi elementi utilizzati; Dimensione della magli della mesh 0.5 metri.

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Tabella 4.4 Frequenze di vibrazione per differenti modelli con elementi di tipo “solid”; dimensione caratteristica della maglia della mesh 0.7 m.

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108 LATO ELEMENTO - 1 METRO

Tabella 4.5 Frequenze di vibrazione per differenti modelli con elementi di tipo “solid”;dimensione caratteristica della maglia della mesh 1 m.

Fig. 4.13 Confronto tra frequenze diversi elementi utilizzati; Dimensione della magli della mesh 1 metro.

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Tabella 4.6 Frequenze di vibrazione per differenti modelli con elementi di tipo “solid”;dimensione caratteristica della maglia della mesh 1.25 m.

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Numero periodo proprio SHELL181 (Hz) SOLID65 (Hz) SOLID185 (Hz) SOLID 285 (Hz) 1 0,717 1,4711 1,47 1,42 2 0,815 1,7948 1,796 1,739 3 1,221 2,678 2,677 2,597 4 1,391 3,5 3,513 3,38 5 1,422 3,595 3,591 3,486 6 1,567 3,627 3,621 3,504 7 2,015 4,4 4,398 4,292 8 2,396 4,62 4,632 4,493 9 2,519 4,68 4,691 4,543 10 2,535 5,35 5,364 5,243 11 2,57 5,57 5,581 5,446 12 2,6 5,85 5,869 5,636 13 2,727 5,97 5,978 5,719 14 2,749 6,12 6,123 5,951 15 2,82 6,68 6,711 6,475 16 2,847 6,72 6,717 6,555 17 2,873 6,77 6,786 6,596 18 2,963 6,79 6,806 6,611 19 2,976 6,88 6,903 6,698 20 3,071 6,93 6,968 6,752

Tabella 4. Frequenze di vibrazione per differenti modelli con elementi di tipo “solid”; dimensione caratteristica della maglia della mesh 1.5 m.

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L’influenza della tipologia di elemento sul risultato dell’analisi è molto rilevante. Le frequenze naturali di vibrazione valutate con modelli composti da elementi di tipo solid sono decisamente diverse da quelle ottenute con elementi di tipo shell (si veda ad esempio la Figura 4.16).

ELEMENTO SOLID185 (modo 1) LATO MESH (m) N° NODI FREQUENZA (Hz) 0,5 228157 0,954 0,7 94797 0,974 1 44337 1,148 1,25 32935 1,149 1,5 24378 1,51

ELEMENTO SHELL181 (modo 1) LATO MESH (m) N° NODI FREQUENZA (Hz) 0,5 67688 0,6368 0,7 37150 0,6568 1 19516 0,695 1,25 14610 0,696 1,5 10867 0,717

Tabella 4.8 Modo n°1: Valori delle frequenze per diversi valori del numero di modi nel modello.

Fig. 4.16 Modo n° 1: andamento della frequenza di vibrazione all’aumentare del livello di dettaglio della mesh.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 0 50000 100000 150000 200000 250000 fr e q u e n ze Hz

Numero di nodi nel modello

solid65 solid185 solid285 shell181 ELEMENTO SOLID65 (modo 1)

LATO MESH (m) N° NODI FREQUENZ A (Hz) 0,5 228157 0,955 0,7 94797 0,975 1 44337 1,148 1,25 32935 1,149 1,5 24383 1,512

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112 ELEMENTO SOLID185 (modo 2) LATO MESH (m) N° NODI FREQUENZA (Hz) 0,5 228157 1,16 0,7 94797 1,17 1 44337 1,386 1,25 32935 1,3875 1,5 24378 1,796

Tabella 4.9 Modo n°2: Valori delle frequenze per diversi valori del numero di modi nel modello.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 0 50000 100000 150000 200000 250000 Fr e q u e n ze Hz

SOLID65 SOLID185 SOLID285 SHELL181 ELEMENTO SOLID65 (modo 2)

LATO MESH (m) N° NODI FREQUENZA (Hz) 0,5 228157 1,17 0,7 94797 1,18 1 44337 1,386 1,25 32935 1,3875 1,5 24383 1,7948

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113 ELEMENTO SOLID185 (modo 3) LATO MESH (m) N° NODI FREQUENZA (Hz) 0,5 228157 1,728 0,7 94797 1,74 1 44337 2,023 1,25 32935 2,025 1,5 24378 2,677

Tabella 4.10 Modo n° 3: andamento della frequenza di vibrazione all’aumentare del livello di dettaglio della mesh.

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3 0 50000 100000 150000 200000 250000 Fr e q u e n ze Hz

SOLID65 SOLID181 SOLID285 SHELL181 ELEMENTO SOLID65 (modo 3)

LATO MESH (m) N° NODI FREQUENZA (Hz) 0,5 228157 1,728 0,7 94797 1,74 1 44337 2,022 1,25 32935 2,024 1,5 24383 2,678

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Capitolo 4

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I grafici precedenti, riportati nelle figure 4.16, 4.17 e 4.18, indicano come, per reticoli aventi maglie più fitte, i valori delle frequenze tendono a stabilizzarsi in maniera asintotica. In più possiamo osservare che i risultati sono molto simili se la modellazione è ottenuta impiegando elementi solidi, mentre sono nettamente differenti nel caso in cui vengano utilizzati elementi shell. Questo porta a pensare che a seconda del tipo di geometria con la quale andiamo ad operare, l’utilizzazione di elementi solidi porta ad un irrigidimento considerevole della struttura.

Una cosa importante da segnalare per gli elementi shell è che essi sembrano risentire molto meno della variazione della dimensione caratteristica del reticolo; possiamo notare, infatti, che la curva che contraddistingue l’elemento Shell181 ha un andamento decrescente con variazione di pendenza molto leggera, a differenza di quel che succede per elementi tipo Solid, per i quali è fortemente marcata la variazione di pendenza con l’aumentare dei nodi nel modello, specialmente nel caso in cui vengano utilizzate mesh con maglie molto larghe (maggiori del metro).

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4.5 Modelli semplificati dell’edificio.

Dal punto di vista architettonico – compositivo, il Nuovo Mercato delle Vettovaglie di Livorno è un edificio caratterizzato da una geometria piuttosto semplice. Nelle sue linee generali, si presenta come l’unione di due scatole murarie di forma pressoché prismatica, una interna all’altra, collegate da setti murari irrigidenti.

Quest’osservazione di carattere qualitativo ha suggerito di indagare la possibilità che modelli semplificati dell’edificio possano essere in grado di descriverne le proprietà dinamiche fondamentali. A questo proposito, sono stati realizzati alcuni modelli numerici agli elementi finiti, nel seguito identificati aggiungendo la lettera S (semplificato) nella loro sigla. In questi modelli i setti murari sono schematizzati tralasciando volutamente alcuni dettagli quali rientranze, variazioni nello spessore, presenza di aperture.

4.5.1 Modellazione con elementi bidimensionali.

Il primo tipo di modellazione semplificata della struttura è stato effettuato seguendo lo stesso approccio visto nei paragrafi precedenti per il modello effettivo, e cioè facendo uso di elementi bidimensionali shell.

Il primo tentativo di analisi ha previsto il mantenimento delle stesse caratteristiche meccaniche del modello effettivo della struttura, cioè modulo di Young pari a 5000 N/mm2, coefficiente di Poisson pari a 0,1 e densità uguale a 1650 Kg/m3. Lo spessore di ciascuna parete è stato mantenuto costante dalla base alla sommità della struttura, andando a calcolare uno spessore equivalente che consentisse di mantenere il volume della parete invariato. Questo è stato fatto valutando suddetto spessore come media degli spessori dei vari piani dell’edificio, ponderata sulla relativa altezza di interpiano.

Quel che è stato ottenuto, come è possibile notare dalla figura successiva, è un modello estremamente semplificato, riconducibile ad un insieme di scatole prismatiche collegate le une alle altre.

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Fig. 4.19 Modello SH181-100S

L’obiettivo principale consiste nel verificare quali differenze siano riscontrabili tra i risultati ottenuti rispettivamente con il modello “effettivo” SH181-100 (illustrato in precedenza) e con quello semplificato.

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Per avere un’idea indicativa della situazione, sono stati analizzati i primi venti modi propri di vibrazione dei due modelli strutturali. La tabella 4.11 è relativa al modello effettivo, mentre la tabella 4.12 si riferisce al modello semplificato. Già da questi primi risultati è possibile notare una cosa abbastanza interessante. Sebbene le due strutture siano sostanzialmente diverse tra loro, soprattutto nei confronti della rigidezza delle pareti sia nel piano che fuori dal piano, si nota una certa vicinanza tra le frequenze relative allo stesso modo di vibrazione.

Questo discorso può essere fatto soltanto fino alla settima frequenza propria di entrambi i modelli in quanto, dalla ottava in poi, pur essendo le frequenze di vibrazione abbastanza vicine fra se, ad esse corrispondono deformate modali estremamente diverse.

Concentrando l’attenzione sulle prime sette frequenze proprie, le differenze in termini percentuali risultano pari a:

Tabella 4.12 Frequenze proprie modello semplificato (Hz) Tabella 4.11 Frequenze

proprie modello effettivo (Hz)

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Capitolo 4 118 - Freq 1 → 18.28 % - Freq 2 → 15.76 % - Freq 3 → 10.08 % - Freq 4 → 2.71 % - Freq 5 → 1.06 % - Freq 6 → 5.80 % - Freq 7 → 5.70 %

Scarto percentuale fra le frequenze dei due modelli analizzati

Fig. 4.20 Deformate modali modo n° 1. Modello effettivo (destra) e modello semplificato (sinistra).

Fig. 4.21 Deformate modali modo n° 2. Modello 3D (destra) e modello 3D semplificato (sinistra).

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Capitolo 4

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I risultati ottenuti utilizzando il modello semplificato sopra descritto hanno stimolato la realizzazione di un secondo modello, che potesse avere una risposta modale ancora più vicina al modello effettivo. In particolare, si sono modificati i valori della densità e del modulo elastico della muratura, in modo da avvicinare i valori delle frequenze di vibrazione dei primi modi naturali del modello semplificato ai valori corrispondenti del modello effettivo.

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Capitolo 4

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4.5.1.1 Calcolo del nuovo valore della densità.

In questo secondo modello semplificato, a ciascuna parete si attribuisce uno spessore costante, dalla base alla sommità, pari a quello che si ottiene dalla media dei diversi spessori delle pareti ai vari piani, ponderata sulla relativa altezza di interpiano. Di conseguenza, il valore della densità da attribuire al materiale del modello dovrebbe essere diverso per ciascuna parete muraria che compone il medesimo, a causa sia del differente numero di aperture presenti in ciascuna parete, sia a causa della diversa grandezza delle aperture.

Fig.4.27 Rappresentazione schematica della numerazione delle pareti dell’edificio. n° parete Area parete modello eff. (m2) Area parete modello sempl. (m2) Rapporto eff./ semp. Differenza percentuale % 1 1451 1870 1.288 22.40 2 1239.54 1608.25 1.297 22.92 3 256.45 305.38 1.190 16.02 4 256.45 305.38 1.190 16.02 5 1239.54 1608.25 1.290 22.92 6 1696.11 1696.11 1 0 7 1020.54 1286.23 1.260 20.66 8 126.74 166.84 1.316 24.03 9 1431.75 1828.14 1.276 21.67 10 712.42 889.29 1.248 19.88 11 237.5 237.5 1 0 12 634.04 634.04 1 0 13 634.04 634.04 1 0 14 237.5 237.5 1 0 15 847.63 1046.67 1.234 19.01

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Capitolo 4

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Tabella 4.14 Nuovi valori della densità per ciascuna parete della struttura

Come detto in precedenza, la nuova densità della parete è stata valutata in modo che la massa complessiva della stessa resti invariata. In più, notando che la differenza percentuale massima ottenuta tra il valore medio delle nuove densità calcolate, ed i valori stessi delle densità, si aggira attorno al 5.7 %, questo ha consentito di usare per l’analisi di tutto il modello un solo valore di densità e non uno diverso per ogni parete della struttura come inizialmente ipotizzato. Pertanto, per l’analisi è stato utilizzato il valore medio delle nuove densità calcolate, pari a 1310 kg/m3.

4.5.1.2 Calcolo del nuovo valore del modulo elastico.

Per la valutazione del nuovo modulo elastico da attribuire al materiale si è proceduto come esposto nel seguito. Essendo la pulsazione propria espressa dalla relazione:

K = rigidezza strutturale

m = massa totale

Essendo la massa costante si nota che la rigidezza è proporzionale al quadrato della pulsazione propria.

Come valore di tentativo da attribuire al modulo elastico ci siamo basati esclusivamente sul modo di vibrazione fondamentale dei due modelli, quello con aperture e quello senza aperture.

Conoscendo il modulo elastico e la pulsazione del primo modo di vibrare del modello effettivo, Eeff e eff, e conoscendo la pulsazione del primo modo del

modello semplificato, 1, costruito alterando la densità come sopra illustrato, il modulo elastico equivalente, E2, da adottare nel modello semplificato è calcolato come:

L’analisi modale effettuata sul modello con densità e modulo di elasticità variati ha fornito i seguenti valori delle frequenze fondamentali:

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Tab 4.15 Frequenze proprie modello semplificato (Hz), con valori di modulo elastico e densità modificati.

Confrontando i valori riportati nella Tabella 4.15 con quelli presenti in Tabella 4.11 ci accorgiamo di come essi siano molto vicini tra loro, con scarti massimi di circa il 5%, sopratutto per i primi sette modi, che sono quelli che presentano la stessa deformata modale in entrambi i modelli.

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4.5.2 Modellazione con elementi tridimensionali.

Il modello qui analizzato è un modello fortemente semplificato, derivato dalla geometria originaria della struttura, ma con forti semplificazioni che ne hanno consentito un tempo di pre-processing nettamente inferiore rispetto al modello effettivo descritto nei paragrafi precedenti. Come fatto anche nel caso di modello ad elementi shell, si è voluto vedere se l’utilizzo di un modello fortemente semplificato dal punto di vista geometrico potesse essere in grado di cogliere le principali caratteristiche della risposta dinamica dell’edificio.

Il procedimento adottato per la definizione del modello è articolato nelle seguenti fasi:

- Definizione della geometria dell’edificio partendo dal modello dettagliato, dove le varie pareti contenenti porte e finestre sono state sostituite da pareti piene ed uniformi, aventi identico spessore e dimensioni delle pareti utilizzate nel modello effettivo.

- A causa del maggiore volume di materiale presente in queste pareti, è stato assegnato un nuovo valore di densità alla struttura in modo che la massa totale dell’edificio restasse invariata ed uguale a quella del modello effettivo. In quest’ultimo il valore della massa utilizzato per l’analisi era di 1650 Kg/m3, mentre nel modello semplificato tale valore è stato ridotto a 1310 Kg/m3.

- L’aver considerato pareti senza aperture ha incrementato notevolmente la rigidezza della struttura. Per tale motivo è stato introdotto un nuovo valore del modulo elastico che tenga in conto di questo fenomeno. È stato perciò calcolato un valore del modulo elastico equivalente basato sulla seguente procedura: per prima cosa sono stati analizzati due modelli, quello effettivo e quello semplificato, mantenendo per entrambi le stesse dimensioni geometriche della struttura, stessi valori della densità e stessi valori del modulo elastico, pari rispettivamente a 1650 Kg/m3 e 5000 MPa. Dei due modelli ne è stata fatta una analisi modale, ottenendo i primi venti modi propri di vibrare. Basandoci successivamente sul modo fondamentale di vibrazione, è stato calcolato il modulo elastico equivalente moltiplicando il modulo elastico (5000 MPa) per il rapporto al quadrato delle prime frequenze proprie del modello effettivo e del modello semplificato. Facendo in questa maniera abbiamo ottenuto un modulo elastico ridotto, pari a 3470 MPa.

- Con i nuovi valori del modulo elastico e della densità è stato fatta l’analisi modale, analizzato un ulteriore modello semplificato.

Dalla analisi modale dei tre modelli, sono emersi i seguenti risultati relativi ai modi propri di vibrazione ( frequenze in Hertz):

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- La Tabella 4.16 è relativa al modello effettivo con modulo elastico 5000 MPa e densità 1650 Kg/m3.

- La Tabella 4.17 è relativa al modello semplificato con modulo elastico 5000 MPa e densità 1650 Kg/m3.

- La Tabella 4.18 è relativa al modello semplificato con modulo elastico 3470 MPa e densità 1310 Kg/m3.

n° modo Freq. Tabella 4.16 Freq. Tabella 4.18 Differenza percentuale

1 1,502 1,554 0,033 2 1,844 1,784 0,033 3 2,701 2,62 0,031 4 3,468 3,244 0,069 5 3,478 3,291 0,057 6 3,602 3,419 0,054 7 4,669 4,501 0,037

Tabella 4.19 Confronto fra le frequenze di vibrazione tra modello effettivo e modello semplificato.

Dalla tabella 4.19, che mette a confronto i modi relativi al modello effettivo, e i modi relativi al modello semplificato, dove sono stati modificati i valori di densità e modulo elastico, si notano differenze percentuali tra le frequenze di vibrazione attorno al valore medio del 5%, come nel caso della struttura modellata con elementi shell.

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Capitolo 4

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4.6 Modelli semplificati per le pareti del salone

centrale.

Il salone centrale del Mercato delle Vettovaglie di Livorno è costituito da quattro pareti, due lunghe e due corte, a due a due parallele e simmetriche anche per quanto riguarda la presenza di aperture. In questo paragrafo si descrivono i risultati ottenuti utilizzando un modello semplificato sia per la parete lunga sia per quella corta. In analogia a quanto fatto per l’intero edificio, anche per la singola parete, considerata separatamente dal resto della costruzione, si è eseguita l’analisi modale. L’obiettivo principale di queste analisi numeriche è quello di compiere una prima ricognizione sulle relazioni esistenti tra i parametri del modello effettivo e di quello semplificato. In altri termini, anche in questo caso l’intenzione è di verificare se e in che modo una parete di forma complessa possa essere ridotta a una di forma semplice, equivalente a quella originale per quanto concerne la risposta dinamica.

4.6.1 La parete lunga del salone centrale.

Fig. 4.28 Parete lunga del salone centrale: a) parete effettiva, b) parete modificata. La parete lunga del salone centrale del mercato coperto di Livorno (figura a sinistra) è caratterizzata dalla presenza di un gran numero di aperture comprendenti porte, finestre ad arco, piccole aperture ecc, che sono pero distribuite in maniera abbastanza uniforme sull’intero ingombro della parete. Andando a modificare i valori del modulo elastico E, e della densità, secondo la metodologia indicata nei capitoli precedenti, sono stati ottenuti i risultati riportati nella tabella a pagina successiva.

a)

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127 Parete lunga

Parete effettiva (Hz) Parete modificata (Hz) Parete semplificata (Hz) E (N/m2) 5000000000 5000000000 2780000000 Densità (Kg/m3) 1650 1650 1225,2 Modo 1 0,46783 0,62643 0,51186 2 0,64887 0,82288 0,67945 3 0,98647 1,2006 1,0002 4 1,4052 1,7353 1,45 5 1,8955 2,3668 1,9673 6 2,1535 2,924 2,4263 7 2,2708 2,9701 2,5038 8 2,6879 3,4437 2,8957 9 2,8894 3,5924 2,9978 10 3,4129 4,3323 3,6336 11 3,5373 4,4899 3,7623 12 4,2652 5,3636 4,487 13 4,4688 5,552 4,6629 14 5,2772 6,5584 5,404 15 5,4151 6,7988 5,7556 16 5,6274 7,8955 6,3931 17 6,344 8,3231 7,1037 18 6,5089 8,526 7,2771 19 6,662 8,7583 7,4139 20 6,9971 9,3183 7,693 Tabella 4.20

Fig. 4.29 Confronto tra i modi di vibrazione della parete lunga.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Fr eq u en za (Hz ) Modo proprio n° parete effettiva parete modificata parete semplificata

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Capitolo 4

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4.6.2 La parete corta del salone centrale.

a)

b)

c)

Fig. 4.30 Parete corta del salone centrale: a) parete effettiva, b) parete modificata con riempimento delle sole finestre superiori, c) parete modificata uniformemente.

La parete corta del salone centrale, a differenza di quella lunga, è contraddistinta da un minor numero di aperture. Sono presenti infatti soltanto i finestroni e gli archi sottesi dalle grandi colonne . Per tale tipo di parete si sono analizzati due modelli semplificati, in quanto i risultati che sono forniti dalla parete in figura 6.104b (che è la stessa parete utilizzata nell’analisi del modello intero dello edificio), sono in controtendenza rispetto a quello che ci saremmo potuti aspettare. Per tale ragione è stata successivamente

analizzata ancora una volta la stessa parete ma ancor più semplificata dal punto di vista geometrico, in modo da capire come gioca la distribuzione della massa del corpo con il semplificarsi progressivo dell’elemento strutturale.

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Capitolo 4

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4.6.2.1 Parete resa continua in corrispondenza delle sole

finestre ad arco superiori.

Parete corta

Parete effettiva (Hz) parete modificata (Hz) Parete semplificata (Hz) E (N/m2) 5000000000 5000000000 5105600000 Densità (Kg/m3) 1650 1650 1491,5 Modo 1 0,48194 0,47611 0,50603 2 1,179 1,3122 1,3946 3 2,374 2,8329 3,011 4 3,022 3,6061 3,8327 5 3,5821 3,9741 4,2239 6 4,0567 4,3449 4,6179 7 5,6853 7,0281 7,4698 8 5,8865 7,1536 7,6032 9 8,0997 9,6844 10,293 10 8,221 9,8862 10,507 11 9,0964 10,845 11,526 12 10,478 11,353 12,066 13 10,506 12,685 13,483 14 11,611 13,12 13,945 15 11,842 13,138 13,963 16 11,914 13,56 14,412 17 13,404 15,467 16,439 18 13,621 15,671 16,656 19 14,608 17,213 18,294 20 15,397 17,775 18,892 Tabella 4.21

Fig. 4.31 Confronto tra i modi di vibrazione della parete corta.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Fr eq u en za (Hz ) Modo proprio n° parete effettiva parete modificata parete semplificata

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4.6.2.2 Parete totalmente continua.

Parete corta tutta piena

Parete effettiva (Hz) parete modificata (Hz) Parete semplificata (Hz) E (N/m2) 5000000000 5000000000 2812000000 Densità (Kg/m3) 1650 1650 1164,22 1 0,48194 0,64324 0,57413 2 1,179 1,5867 1,4162 3 2,374 3,1953 2,852 4 3,022 4,0283 3,5955 5 3,5821 4,6458 4,1467 6 4,0567 7,5653 6,7525 7 5,6853 7,6853 6,8597 8 5,8865 8,5375 7,6203 9 8,0997 9,3338 8,331 10 8,221 10,294 9,1885 11 9,0964 11,896 10,618 12 10,478 13,485 12,036 13 10,506 13,54 12,085 14 11,611 15,925 14,214 15 11,842 16,164 14,427 16 11,914 18,372 16,398 17 13,404 18,739 16,726 18 13,621 19,4 17,316 19 14,608 20,086 17,928 20 15,397 20,525 18,32 Tabella 4.22

Fig. 4.32 Confronto tra i modi di vibrazione della parete corta . 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Fr eq u en za (h z) Modo proprio n° parete effettiva parete modificata parete semplificata

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Capitolo 4

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4.6.3 Osservazioni conclusive.

Le analisi numeriche illustrate in questo capitolo hanno mostrato anzitutto come il tipo di elemento utilizzato condizioni in modo decisivo il risultato dell’analisi agli elementi finiti. In particolare, il confronto tra i risultati dell’analisi modale dell’edificio condotta facendo uso rispettivamente di elementi solid e shell, ha evidenziato differenze tutt’altro che trascurabili in termini di frequenze naturali di vibrazione, anche per quanto riguarda i primi, fondamentali, modi di vibrare. Anche la dimensione caratteristica del reticolo è stata oggetto di analisi, al fine di valutare quella rappresentante un compromesso accettabile tra affidabilità dei risultati e onerosità del calcolo.

I risultati forniti dai modelli numerici che riproducono fedelmente l’effettiva forma delle pareti dell’edificio sono stati posti a confronto con quelli ottenuti da modelli “semplificati”, nei quali la forma di ciascuna parete è stata regolarizzata. L’esame dei modelli semplificati ha permesso di verificare come sia possibile, modificando opportunamente la densità e il modulo elastico della muratura, riprodurre con differenze molto contenute la sequenza di valori delle frequenze naturali di vibrazione del modello “effettivo”, almeno limitatamente alle prime forme modali.

La questione del metodo da seguire per la costruzione di un modello semplificato che possa rappresentare efficacemente il comportamento dinamico di un edificio di forma complessa è stata qui oggetto soltanto di un primo studio preliminare. Il punto centrale consiste nella messa a punto di un metodo che permetta di valutare a priori le modifiche da apportare alla densità e al modulo elastico del materiale. In altri termini, i modelli semplificati, per essere effettivamente utili, devono poter essere realizzati senza dover necessariamente disporre dei risultati forniti da modelli più raffinati. A questo proposito, le analisi condotte anche su singole pareti del Mercato Centrale hanno permesso di condurre una prima indagine conoscitiva delle relazioni che intercorrono tra i parametri effettivi della muratura e quelli modificati da utilizzare nello schema semplificato. I casi esaminati hanno evidenziato una grande variabilità dei rapporti tra la densità e il modulo elastico effettivi e i valori corrispondenti del materiale equivalente, e una forte dipendenza dalla forma dell’elemento considerato.