PROBLEMI DI SCELTA O DI DECISIONE Andrea Prevete, 2010
Definiamo PROBLEMA DI SCELTA O DI DECISIONE ogni problema in cui l’obiettivo è effettuare una scelta fra una o più alternative al fine di OTTIMIZZARE una certa funzione economica.
Di regola la FUNZIONE ECONOMICA e' data da una FUNZIONE PROFITTO oppure da una FUNZIONE COSTO. Ovviamente nel caso di una FUNZIONE PROFITTO ottimizzare vuol dire cercare il MASSIMO valore. Per una funzione di tipo COSTO ottimizzare, invece, vuol dire cercare il valore MINIMO.
Ogni PROBLEMA DI SCELTA puo' dipendere da 1 o piu' variabili, spesso definite d’AZIONE e soggette a restrizioni (VINCOLI) dovuti per esempio a disponibilita' di risorse, a disponibilita' di magazzino, alle richieste di mercato, etc.
In funzione delle CONSEGUENZE i PROBLEMI DI SCELTA si distinguono in:
1) PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA, se i dati e quindi le conseguenze delle scelte possono essere stabiliti a priori e siamo certi che non subiranno variazioni;
2) PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA quando i dati, e quindi le conseguenze delle scelte, possono essere influenzati da situazioni aleatorie (casuali).
In relazione, invece, all' INTERVALLO DI TEMPO ESISTENTE TRA IL MOMENTO DELLA DECISIONE E QUELLO DELLA REALIZZAZIONE i PROBLEMI DI SCELTA si distinguono in:
1) PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI IMMEDIATI
2) PROBLEMI DI SCELTA CON EFFETTI DIFFERITI
PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI CERTEZZA CON EFFETTI DIFFERITI
Tratteremo, in particolare, dei due seguenti metodi di scelta:
a)Criterio dell'attualizzazione b)Criterio dell’onere medio annuo
Cominciamo con il ricapitolare alcune importanti formule di matematica finanziaria:
MONTANTE M di un CAPITALE C in regime di CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA M = C(1+i)n
Per esempio, impiegando un capitale di 500 € per 2 anni al tasso d’interesse del 7%, avremo:
M = 500(1+7%)2 = 500(1,07) 2 =572,45
VALORE ATTUALE C di un capitale futuro M in regime di CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA
i n C M
1
Per esempio se fra 3 anni voglio ottenere un capitale M=2000 € impiegando oggi un certo capitale C al tasso d’interesse del 5%, dovrei impiegare un capitale C pari a:
1 5% 12000,158 1727,12
2000
3
C
MONTANTE RENDITA POSTICIPATA
i
Rsn
M dove R è il valore della rata ed
i
sn (si legge s posticipato figurato n al tasso i) è il coefficiente che moltiplicato per la rata fornisce il valore del montante. Si parla di rendita
posticipata quando la rata è pagata alla fine del periodo di competenza. Per esempio quattro rate in un anno sono pagate a fine marzo, fine giugno, fine settembre, fine dicembre.
MONTANTE RENDITA ANTICIPATA
..
i
sn
R
M dove R è il valore della rata ed ..
i
sn (si legge s anticipato figurato n al tasso i) è il
coefficiente che moltiplicato per la rata fornisce il valore del montante. Si parla di rendita anticipata quando la rata è pagata all’inizio del periodo di competenza. Per esempio quattro rate in un anno sono pagate ad inizio gennaio, inizio aprile, inizio luglio, inizio ottobre.
VALORE ATTUALE RENDITA POSTICIPATA
i
Ran
C dove R è il valore della rata ed
i
an (si legge a posticipato figurato n al tasso i) è il coefficiente che moltiplicato per la rata fornisce il valore attuale della sequenza di rate.
VALORE ATTUALE RENDITA ANTICIPATA
..
i
an
R
C dove R è il valore della rata ed ..
i
an (si legge a anticipato figurato n al tasso i) è il coefficiente che moltiplicato per la rata fornisce il valore attuale della sequenza di rate.
CRITERIO DELL'ATTUALIZZAZIONE
Supponiamo di voler acquistare un’auto del costo di € 60.000.000 Ci vengono offerte 3 alternative:
1) Acquisto in contanti
2) Versamento immediato della terza parte e il resto con 10 rate annue posticipate di € 6.000.000 3) 3) Nessun anticipo e versamento di 15 rate annue anticipate di € 7.000.000.
In che modo possiamo effettuare la scelta più conveniente e cosa intendiamo per più conveniente.
Decidendo di utilizzare il criterio dell’attualizzazione rispondiamo alle due domande precedenti, ossia decidiamo di considerare più conveniente la scelta di minor costo dove per costo intendiamo i valori attuali delle soluzioni finanziarie proposteci.
Analizziamo quindi distintamente i 3 casi:
1) Con il versamento in contanti l’auto costa, oggi, € 60.000.000
2) Il versamento immediato della terza parte e' un costo immediato di € 20.000.000;
Per poter valutare il valore attuale della rendita dobbiamo scegliere un tasso d’interesse di riferimento, supponiamo di scegliere i=8%.
Allora il valore attuale della rendita posticipata risulta essere uguale ad 000
. 260 . 40 71 , 6 6000
i
Ran
C
Quindi con l'alternativa 2 l’auto costerebbe, oggi:
€ 20.000.000 + € 40.260.000 = € 60.260.000
3) Il versamento di 15 rate di L 7.000.000 con rendita anticipata conduce al valore attuale 000
. 410 . 60 63 , 8
.. 7000
i
an
R C
Una semplice comparazione dei precedenti risultati indica come migliore alternativa la prima, ossia quella di costo minore.
Attenzione! La scelta di un diverso tasso d’interesse per la valutazione avrebbe potuto condurre a risultati diversi. Il criterio di attualizzazione quindi fornisce risultati fortemente dipendenti dal tasso d’interesse scelto per la valutazione. Spesso è opportuno effettuare la valutazione dopo aver
effettuato la comparazione con più di un tasso d’interesse.
CRITERIO DELL’ONERE ANNUO MEDIO
Il criterio dell’onere medio, utilizzato soprattutto nei problemi di investimento industriale, consiste nel ripartire costi e ricavi come rate costanti di una rendita per i vari anni e nello scegliere
l’alternativa avente l’onere medio annuo minore.
Anche qui, come per il criterio dell’attualizzazione, i risultati dipendono dal tasso d’interesse scelto per la valutazione.
Vediamo un esempio. Si debba decidere fra l’acquisto di due tipi di attrezzature industriali, tecnicamente equivalenti, ma offerti dalle rispettive ditte fornitrici alle seguenti condizioni:
offerta A)
- prezzo di acquisto € 50.000
- costo manutenzione annua € 1.500 - valore di rivendita dopo 10 anni € 7.000 offerta B)
- prezzo di acquisto € 60.000 - costo manutenzione annua € 500
- valore di rivendita dopo 10 anni € 12.000
Per valutare quanto ci costerà effettivamente l’impianto ogni anno si procede spalmando sui dieci anni di funzionamento previsto il prezzo d’acquisto meno quello che recuperiamo alla fine
rivendendo l’impianto. Dopo aver fissato un tasso i di valutazione pari, per esempio al 9% si procede così:
offerta A)
Costo effettivo dell’impianto = Costo – Prezzo di rivendita attualizzato
C = 50000 - 10 09 , 1
7000 = 50000 – 2957 = 47043
Quindi spalmiamo questo valore sui dieci anni di funzionamento dell’impianto:
42 7328 , 47043 6
i
an
R C
Non abbiamo fatto altro che applicare la formula inversa del valore attuale per una rendita posticipata. Questa volta conoscevamo il valore attuale ed abbiamo calcolato la rata!
Sommiamo a questo valore il costo della manutenzione 7328 + 1500 = 8828
Abbiamo ottenuto l’onere medio annuo relativo all’offerta della prima ditta.
Operiamo nello stesso modo per la seconda offerta:
offerta B)
Costo effettivo dell’impianto = Costo – Prezzo di rivendita attualizzato C = 60000 - 10
09 , 1 12000
= 60000 – 5069 = 54931
Quindi spalmiamo questo valore sui dieci anni di funzionamento dell’impianto:
42 8556 , 54931 6
i
an
R C
Sommiamo a questo valore il costo della manutenzione 8556 + 500 = 9056
Il confronto rende immediatamente evidente che, al tasso di valutazione del 9%, l’offerta della prima ditta è quella più conveniente.
PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA ED EFFETTI IMMEDIATI
Parliamo qui di problemi in cui gli effetti delle nostre scelte non producono effetti del tutto predeterminabili ma risultano condizionati da eventi aleatori. Perché questa tipologia di problemi abbia soluzioni ragionevolmente semplici è necessari che i predetti eventi aleatori siano a 2 a 2 incompatibili ed esauriscano l’universo delle possibilità.
Immaginiamo, in altre parole, che esistano un certo numero di ALTERNATIVE disponibili per la nostra scelta (le chiameremo A1, A2,...An) e degli EVENTI (che chiameremo E1, E2,...Em) che condizionano i risultati prodotti della succitata scelta. Chiamiamo poi P1, P2,... Pm le probabilità rispettivamente associate al verificarsi degli eventi E1, E2,...Em. Si dovrà avere necessariamente che P1 + P2 + ... + Pm = 1 e P(EiEj)=0 per ogni coppia di eventi Ei ed Ej. Solo queste ultime condizioni ci assicurano che gli eventi considerati esauriscano tutte le possibilità e contemporaneamente siano a due a due disgiunti.
In seguito a quanto detto verrà a formarsi una tabella o matrice, detta appunto dei risultati e così strutturata:
ALTERNATIVE
A1 A2 .. An
EVENTI
E1 (P1) E2 (P2)
E3 (P3) X3,2
… Em (Pm)
In ogni cella della matrice sarà inserito un costo o un profitto (a seconda del tipo di problema). In figura, per esempio X3,2 indica il costo (o profitto) che si realizzerebbe effettuando la scelta A2 ed in conseguenza del verificarsi dell’evento aleatorio E3. Ad ogni evento è associata una certa
probabilità che lo stesso si verifichi.
Di conseguenza se effettuo la scelta A2 potrò aspettarmi, in media, un costo (o un profitto) pari a:
M2=P1X1,2 P2X2,2 P3X3,2 ...PmXm,2
Se effettuo questo calcolo per tutte le possibili scelte otterrò tanti valori medi:
M1, M2, …, Mn
A questo punto la scelta, se adotto il cosiddetto criterio della media o speranza matematica, è chiaro:
se il mio è un problema di minimo costo scelgo l’alternativa Ai che fornisce il valore Mi più piccolo, se il problema è di massimo profitto scelgo l’alternativa Ai che dà il valore Mi più grande.
Una versione più sofisticato del criterio appena descritto è quella che tiene conto anche della dispersione dei dati. Vediamola con un esempio. Sia data la matrice dei costi:
ALTERNATIVE (COSTI)
A1 A2
EVENTI
E1 (P1=0,25) 2000 1200
E2 (P2=0,25) 1600 1600
E3 (P3=0,50) 1200 1600
M1=0,25*2000+0,25*1600+0,50*1200=500+400+600=1500 M2=0,25*1200+0,25*1600+0,50*1600=300+400+800=1500
I risultati precedenti non ci consentirebbero di scegliere consegnandoci medie uguali.
Però se calcoliamo gli scarti quadratici medi:
S1=
2000150020,25160015002 0,251200150020,50 62500250045000 332 e S2=
120015002 0,251600150020,25160015002 0,50 2250025005000173
risulta S1 sensibilmente più grande di S2, ossia il rischio connesso alla scelta A1 è più grande di quello connesso alla scelta A2. Generalmente si parla di avversione al rischio quando la scelta effettuata con il criterio della speranza matematica fa scartare possibilità che, pur avendo una buona media, presentano una notevole dispersione e, quindi, un valore dello scarto quadratico medio alto.
Si parla, poi, di scelte effettuate …
a) Con il criterio del pessimista, quando viene privilegiata la scelta che assicura il migliore fra i risultati “cattivi”. Operativamente si seleziona, per ogni alternativa, l’ipotesi peggiore e si opta per quell’alternativa che assicura il “miglior risultato negativo”.
b) Con il criterio dell’ottimista quando si opta per l’alternativa che annovera in dipendenza di
un dato evento, ed indipendentemente dalla sua probabilità di verificarsi, il miglior risultato fra quelli presenti in tabella.
Spesso questi due ultimi criteri sono utilizzati in assenza di dati certi o attendibili sulle probabilità reali associate agli eventi da cui dipendono i risultati.
