necessarie al corso di Fisica

(1)

CONOSCENZE MATEMATICA di

necessarie al corso di Fisica

(2)

Conoscenze necessarie Matematica

• Equivalenze! (conversione di unità di misura!)

• Geometria di base

o Angoli di vario tipo (complementari etc…)

o Rette parallele e perpendicolari, relazioni tra angoli

o Triangoli, criteri di equaglianza e di similitudine, Teorema di Pitagora o Geometria analitica di base: rette e parabole

o Sistemi di riferimento cartesiani e polari, trasformazione delle coordinate nei due sistemi di riferimento

• Trigonometria di base (trasparenza successiva)

• Calcolo elementare e algebra di base

o Frazioni, MCD e mcm

o Potenze, radici (viste come potenze), proprietà delle potenze o Espressioni, loro riduzione, semplificazione e fattorizzazione o Funzioni, dominio di validità, rappresentazione grafica

o Funzioni elementari, loro comportamento analitico e grafico o Equazioni e disequazioni, significato grafico

o Equazioni di grado 1 e 2

o Disequazioni semplici di grado 1 e 2 razionali o sistemi di equazioni (1˚ e 2˚) e disequazioni (1˚)

• Concetti di Limite, Derivata e Integrale

o Comprensione profonda dei concetti e interpretazione geometrica o Definizione analitica

o Calcoli elementari su funzioni elementari e operazioni elementari

Pre-conoscenze di Matematica per

il corso di Fisica 2

(3)

Equivalenze!

Conversione unità di misura

• Fattore di conversione unità misura

o Partite da relazione più banale e se necessario invertitela

• Controllo di consistenza

1s = 1h 3600

1h = 3600s ⇒ s ( ) ⁼ ^" ₃₆₀₀ ^1h

# $ %

&

'

⇒ 15m

s ⇒ 15 m 1h 3600

"

# $ %

&

' ...

15m / s ⇒ km / h?

(4)

Trigonometria

• Definizioni di grandezze trigonometriche

o Sin, cos, tg, cotg, e funzioni inverse (arcsin…)

• Circonferenza goniometrica e rapporti tra angoli che

differiscono di ±90, ±180…

• Proiezioni,

triangolo rettangolo, teorema Pitagora

sin ϑ = CO

Ipot cos ϑ = CA

Ipot tg ϑ = sin ϑ cos ϑ ⁼

CO

CA

(5)

Sistemi di coordinate

• (# di) Coordinate: (quantità di) dati necessari per descrivere univocamente la posizione di un oggetto

o Moto su linea (anche curva!): una coordinata necessaria e sufficiente o Moto su piano: due coordinate necessarie e sufficienti

o Moto in spazio: tre coordinate necessarie e sufficienti

o Moto in n-dimensioni: n coordinate necessarie e sufficienti!!!!

• # di coordinate fissato

ma possibili ≠ tipi di coordinate equivalenti

o Origine

o Sistema di assi o direzioni

• Unità di misura per ogni asse

o Definizione per individuare UNIVOCAMENTE

un punto qualunque dello spazio rispetto al sistema

(6)

Sistemi di coordinate

(7)

Sistemi di coordinate Coordinate cartesiane

• Origine

• N assi

• Tracciare le parallele/perpendicolari agli assi

passanti per il punto è N coordinate

(8)

Sistemi di coordinate Coordinate polari

• Origine

• 1 asse mobile e n assi fissi

• Distanza OP su asse mobile e 1(2) angoli (antiorario>0)

(9)

Conversione

tra sistemi di coordinate

• Cartesiane ó Polari

• Definizioni univoche, collegate ed invertibili

P → C x = r cos ϑ y = r sin ϑ C → P tan ϑ = y

r = x ² + y ²

(10)

Conversione

tra sistemi di coordinate

• Estensione a 3D

(11)

Espressioni

• Operazioni elementari

• Espressioni elementari

• Espressione complessa

+ −

∗ ÷

(...)

ⁿ ⁿ

...

e

^...

ln(...)

sin(...) arcsin(...)

d...

dx ∫ ...dx

k (cost) x

x

²

x

ⁿ

e

^x

ln(x) sin(x) arcsin(x)

...

3x

²

+ 4sin(x)∗e

^x³

ln

_e

(3 ∗x

⁻³

) −0.5

(12)

Funzioni ó Curve

• Si consideri il piano XY

• Si individuino i punti del piano per mezzo di un sistema di riferimento cartesiano XY

• Per ogni curva che si può disegnare sul piano, esiste una funzione matematica che la descrive

analiticamente

(13)

Funzioni ó Curve

(14)

Funzioni elementari ó Curve elementari

(15)

Equazioni

(16)

Disequazioni >0

(17)

Disequazioni <0

(18)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-15 -10 -5 0 5 10 15

y=f(x)

Limite 𝐿 = lim

&→& ₍ 𝑓(𝑥)

• Data una funzione y=f(x), esiste il limite 𝐿 = 𝑦 _. 𝑥 _/ ⇔ ∀𝜖 > 0, ∃𝛿 > 0: 𝑓 𝑥 − 𝑦 _. 𝑥 _/ < 𝜀 𝑝𝑒𝑟 ∀𝑥: 𝑥 − 𝑥 _/ < 𝛿

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-15 -10 -5 0 5 10 15

y=f(x)

-15 -10 -5 0 5 10

-15 -10 -5 0 5 10 15

y=f(x)

-100000 0 100000 200000 300000 400000 500000 600000

-10 -5 0 5 10

y=f(x)

(19)

Limite 𝐿 = lim

&→& ₍ 𝑓(𝑥)

• Data una funzione y=f(x), esiste il limite 𝐿 = 𝑦 _. 𝑥 _/ ⇔

∀𝜖 > 0, ∃𝛿 > 0: 𝑓 𝑥 − 𝑦 _. 𝑥 _/ < 𝜀 𝑝𝑒𝑟 ∀𝑥: 𝑥 − 𝑥 _/ < 𝛿

(20)

Significato geometrico derivata

f (t) = x(t) ↔ d

dt [x(t)] = x '(t) = D[x(t)] d

dt [x(t)] = lim

t₂→t₁

x(t

₂

) − x(t

₁

)

t

₂

− t

₁

= lim

Δt→0

Δx(t) Δt

Δx(t)

Δt = tg(α

_secante

) ⇒ d

dt [x(t)] = tg(ϑ

_tang

)

(21)

Derivata e derivate successive

y = f (t) = − 8

10t²+ 8t

y' = d

dt

[

f (t)

]

^{= −}¹⁶₁₀^{t + 8}

y'' = d²

dt²

[

f (t)

]

^{= −}¹⁶₁₀

(22)

Derivate notevoli Teoremi livello -0-

• Operazioni elementari

• Funzioni elementari

d

dx [y(x) ± z(x)] = d

dx [y(x)]± d

dx [z(x)]

d

dx [y(x)∗ z(x)] = d

dx [y(x)]∗ z(x)

     + y(x)∗ d

dx [z(x)]

    

d dx

y(x) z(x)

"

# $ %

&

' = d

dx [y(x)]∗ z(x) − y(x)∗ d

dx [z(x)]

z

²

(x) d

dx y[z(x)] = d

dz y(z)∗ d

dx z(x) ⇒ ex : d

dx (e

^3x²

)

"

#$

%

&'

d

dx(c) = 0 d

dx(x) = 1 d

dx(xⁿ) = nxⁿ⁻¹ d

dx(sin ax) = a cos x d

dx(cos ax) = −asin x 

d

dx(e^ax) = ae^ax d

dx(ln ax) =1

x 

A (B ± C) = (A * B) ± (A C)

(A B)*

ⁿ

= A

ⁿ

* B

ⁿ

A

B

!

"

# $

% &

n

= A

ⁿ

B

ⁿ

(23)

Integrali ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-15 -10 -5 0 5 10 15

y=f(x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-15 -10 -5 0 5 10 15

y=f(x)

-15 -10 -5 0 5 10

-15 -10 -5 0 5 10 15

y=f(x)

-100000 0 100000 200000 300000 400000 500000 600000

-10 -5 0 5 10

y=f(x)

(24)

Integrali ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

• Area è 𝐴 = ∑ 𝑅 _F _F = ∑ 𝑓(𝑥 _F _F ) G ∆𝑥 _F

(25)

Integrali ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

• Area è 𝐴 = ∑ 𝑅 _F _F = ∑ 𝑓(𝑥 _F _F ) G ∆𝑥 _F

• è lim

∆&→//F→J ∑ 𝑓(𝑥 _K _F ) G ∆𝑥 _F = 𝐹 𝑥 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

(26)

Integrali ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

• Area è 𝐴 = ∑ 𝑅 _F _F = ∑ 𝑓(𝑥 _F _F ) G ∆𝑥 _F

• è lim

∆&→//F→J ∑ 𝑓(𝑥 _K _F ) G ∆𝑥 _F = 𝐹 𝑥 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

(27)

Funzioni – Limiti Derivate - Integrali

• Concetto geometrico/Definizione analitica di:

o Limite

o Derivata ^ó Futuro (usa limite)

o Integrale ^ó passato (usa limite)

(28)

Funzioni – Limiti Derivate - Integrali

• Concetto geometrico/Definizione analitica di:

o Limite

• Significato geometrico: serve per stimare cosa succede ad una funzione in un punto qualunque

o Funziona sempre, anche dove la funzione non è definita

• èdefinizione analitica: 𝐿 = lim

&→&₍𝑓(𝑥) o DerivataóFuturo(usa limite)

• Significato geometrico: velocità di variazione di una funzione (pendenza = 𝑡𝑔𝜗)

• èdefinizione analitica: f^Q x =_S&^S 𝑓 𝑥 = lim

∆&→/

T & UT(&₍)

&U&₍

o Integraleópassato(usa limite)

• Significato geometrico: area sottesa da una funzione

• èdefinizione analitica: 𝐹 𝑥 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim_∆&→/ ∑ 𝑓(𝑥_K _K) G ∆𝑥_K

•

(29)

Funzioni – Limiti Derivate - Integrali

• Concetto geometrico/Definizione analitica di:

o Limite

∆&→/

T & UT(&₍)

&U&₍

(30)

Funzioni – Limiti Derivate - Integrali

• Concetto geometrico/Definizione analitica di:

o Limite

∆&→/

T & UT(&₍)

&U&₍

•

(31)

Funzioni – Limiti Derivate - Integrali

• Concetto geometrico/Definizione analitica di:

o Limite

∆&→/

T & UT(&₍)

&U&₍

• Organizzazione argomenti:

o Limite

• Definizione

• Teoremi di livello 0 (con definizione)

• Teoremi di livello 1 (con teoremi di livello 0) o Derivata(operazione inversa integrale)

• Definizione

• Teoremi di livello 1 (con teoremi di livello 0) o Integrale(operazione inversa derivata)

• Definizione

• Teoremi di livello 1 (con teoremi di livello 0)

o Proprietà simili e differenti: derivata e integrale di un prodotto

(32)

necessarie al corso di Fisica

CONOSCENZE MATEMATICA di