(4 punti) Data la serie di potenze ∞ X n=1 sinn1 2n x2n+3 a

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Esame di ANALISI MATEMATICA II - 15 Febbraio 2003

A

ESERCIZIO 1 . (3 punti) Studiare la convergenza della serie numerica

∞

X

n=1

log(n²+ 1) − log n².

ESERCIZIO 2 . (4 punti) Data la serie di potenze

∞

X

n=1

sin_n¹ 2ⁿ x²ⁿ⁺³ a. determinarne il raggio di convergenza R

b. determinarne l’insieme di convergenza

c. indicare un intervallo in cui la serie converge totalmente

(2)

ESERCIZIO 3. (4 punti) a. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale (1 + t²)x⁰+ 2x = e−2 arctan t.

b. Determinare la soluzione che risulta infinitesima per t → +∞.

ESERCIZIO 4 . (3 punti) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione x(t) = e⁻^(t−7)2⁵ .

(3)

ESERCIZIO 5 . (3 punti) Calcolare la trasformata di Laplace della funzione x(t) = (2 + t)e^−tsin t.

ESERCIZIO 6 . (4 punti) Scrivere lo sviluppo in serie di McLaurin della funzione f (x) = logx + 2 1 − x.

(4)

ESERCIZIO 7 . (6 punti) Trovare l’integrale generale X = X(t) del seguente sistema di equazioni differenziali:

X⁰ = AX dove A =





3 −1 −1

0 −2 0

−1 5 3





(5)

TEORIA

a. Sia f ∈ ˜C_2π. Che cosa significa che la serie di Fourier di f converge a f in norma quadratica?

b. Assegnare delle condizioni sufficienti a garantire la convergenza puntuale della serie di Fourier di f alla funzione f in un punto x0.

c. Sia f periodica di periodo 2π, pari e tale che

f (x) = (π

2 0 ≤ x < ^π₂ π − x ^π₂ < x < π.

Tracciare il grafico di f e studiare la convergenza quadratica, puntuale e totale della serie di Fourier di f (non `e necessario scrivere la serie esplicitamente).

(6)

B

∞

X

n=1

log(n³+ 1) − log n³.

∞

X

n=1

sin_n² 3ⁿ x²ⁿ⁺² a. determinarne il raggio di convergenza R

(7)

ESERCIZIO 3. (4 punti) a. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale (1 + t²)x⁰− 2x = e^{2 arctan t}.

ESERCIZIO 4 . (3 punti) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione x(t) = e⁻^(t−2)2³ .

(8)

ESERCIZIO 5 . (3 punti) Calcolare la trasformata di Laplace della funzione x(t) = (1 + 2t)e^tsin t.

ESERCIZIO 6 . (4 punti) Scrivere lo sviluppo in serie di McLaurin della funzione f (x) = logx + 3 1 − x.

(9)

X⁰ = AX dove A =





3 0 −1

−1 −2 5

−1 0 3





(10)

TEORIA

f (x) =

( 0 0 ≤ x < ^π₂ x −π

2

π

2 < x < π.

(11)

C

∞

X

n=1

log(n⁴+ 1) − log n⁴.

∞

X

n=1

sin_n³ 4ⁿ x²ⁿ⁺¹ a. determinarne il raggio di convergenza R

(12)

ESERCIZIO 3. (4 punti) a. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale (1 + t²)x⁰+ 3x = e−3 arctan t.

ESERCIZIO 4 . (3 punti) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione x(t) = e⁻^(t+2)2⁴ .

(13)

ESERCIZIO 5 . (3 punti) Calcolare la trasformata di Laplace della funzione x(t) = (3 − t)e^−tcos t.

ESERCIZIO 6 . (4 punti) Scrivere lo sviluppo in serie di McLaurin della funzione f (x) = log1 − x x + 2.

(14)

X⁰= AX dove A =





1 5 5

0 2 0

5 −1 1





(15)

TEORIA

f (x) = (π

2 0 ≤ x < ^π₂ π − x ^π₂ < x < π.

(16)

D

∞

X

n=1

log(n⁵+ 1) − log n⁵.

∞

X

n=1

sin_n⁴ 5ⁿ x²ⁿ⁺⁷ a. determinarne il raggio di convergenza R

(17)

ESERCIZIO 3. (4 punti) a. Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale (1 + t²)x⁰− 3x = e^{3 arctan t}.

ESERCIZIO 4 . (3 punti) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione x(t) = e⁻^(t+7)2⁶ .

(18)

ESERCIZIO 5 . (3 punti) Calcolare la trasformata di Laplace della funzione x(t) = (1 + 3t)e^tcos t.

ESERCIZIO 6 . (4 punti) Scrivere lo sviluppo in serie di McLaurin della funzione f (x) = log1 − x x + 3.

(19)

X⁰= AX dove A =





1 0 5

5 2 −1

5 0 1





(20)

TEORIA

f (x) =

( 0 0 ≤ x < ^π₂ x −π

2

π

2 < x < π.