�������� �
�������� �� �������������
�� ����� ������������� ��������� ��� �������� �� �� ��� ��������� ����������
�������������� �� �� ���������� �� ���� ����������� �������� � �� ����� �� ���������
�������� �� ������� ��������� ����� �� ����������
�� ������� ����� ���������� ����������������� �� ��������� � �� ������ ��������
����� ����� ���������� ��� ��������� � ��������� �� ���������� ����� ���������
����������
� �� ������ ����� ��������� ��� ���������� ���� ������ ������������� ���������
�� ����� ��� ���� ����������
� �� ������ �� ��������� ���� ������ �� ����� ����� ����� ��� ������ �� �����
��� �� ������ ��� �����������
� �� ���������� ���� ������ ����������� �� ���� ���� �� ������ ����������
��������������
�� ���������� ����� �������� ���� ����� ���������� �� ���� �� ������������ ��
������� ��� �������� ���������� ������������ ������� ���� ���������� �����������
��� � ��������� ����������� �� ������� �������������� �� ���� ������������ ������
�������� ������ �� ���� �� ������������ ��� ������� �����������
������������ ����������������� ��� ������� ��������������� ������� ������
������� �� ���� �� �������������� ������� �� ��������� ��������������� �� ���� ������
������ ������������� �� �������� �� ���������� ��� ��� ����������� ������� �����
����������� ������� ��� ������ ������ �� ��������� �� ������������� ����������
������� ��� ���� ����������� �� ���������� ��� ��������� �� �������������
��
�� ��������� �� ������������� ���������� � ������ ������������ � ����������
��� ��� ��� ��� �� �����
�� ������ �������� ���� ��������� � �������� �� ���������� � �� �����������
��������� ���� �������� �� ���� ����������������� ���������� ���� ��� � �����
�� ������� ���� ��������� ����������� �� ������������� � ������������� ������ ���
��������� ���������� ���������� ��� � ��� ��
��� ������ �� ������������
� ���� �������� ���������������� ��� ������ �� ���� ������� ����� ������������� ��
���������� �� �� ���� ������� ���������� ��� �� �������� � �� ����������� �������
�� �������� �� ���������������� ����������� ��� ����� ��������� ������ ��� �����
��������� � �� ���������� �� ������������� ���� �� ����������� �������������� ������
��� ������ ��� ������ �� ����� � ���� ����������������� ������������ ����������
�� �������� �������� �� ��������������� ���������� ��� �� ���������� ����
����� ������ ������������ ���� ������������� ����������� ��� ������ �������� �� ����
����� ����� ���������� �� �������� �� ������������� ����� �� � �������� �����������
� ������ �� ������������� ������������ �������� �� ���������� �� ������������ µ
�� �������� ����� ���������� ������� ����� ����� �� ������������ �����
µ(x, y) = ln I0
I(x, y) �����
��� I0 ����������� ����� ��� ������ �� ����� � ��� ���������� ������ I(x, y)
����������� ��� ������ ��� ����� �� ���������� (x, y)�
����� �������� �������� � �������� �� ��������� ��� �� ������ �� ������������
� ������ �� ����������
������ ���� ������ �� ��� ������ ������������ ����������� �� ������ ������������ ��������
�� �������������
� ������ �� ������������ ���� ��������� ����������� ������ �� ��������� ��� ����
��������� ������� �� ��������� �������
� �� �������� �� ����� � ������ �� ��������� I(x, y) �������� �����������������
����������� ��� �������� ��� � ������� �� ��� � �� ���� ���� ��������� ���
��������� ����� �
� �� ������� �� ������ ����� �������������� I0��� ������ ��� ���������� ��������
����� ����������� ��������������� ��� ������ �� ������ ����� ������
� �� ������ �� ����� �� �������� ��� �� ������ Io � �� ������� �� ��������� �����
����� ���������
� ����� �� ������� �� ��������� �������� ����� ����� ������� �� ���������
���� ��������� �� ������ ���� � ������ �� ������������ �����������������
�����������
��� ����������� � ������ ������
��� ��������� �������������� �� ����������� � �� ��� ����������� ��� ����������
�� ��������� �� ������ ��� ��� �������� �� ������ �� ���������� �� ������������
����� �� ����������� ������������ �� ������ Z ������� ����� ���������� �� ��� ����
���������� ������� ���� � ���� ��� ������ �� ��� ���������� ��� ��������� �� ������
��� ������ ��� ��� �� �������������� �� ��� ���������� �� ��� ���� � n� �� ���
���������� ���� 2n� ������� |Z| = 2n�
�� ������� �������������� ������� �� ������ ��� ����� �� �������� ��� ����
������� �� �� ��� ��������� ���� �� ������ ������ ��������� ���� Z = 216 = 65536�
� ������ �� ������������� �������� ��� ������������ ��������� ����� �������
����������� ���� �������� ��� ��� ���������� �� �� ��� ����� ���� ���� �����
������ ������ ������ �� ��������� �� ������������� ������� �� �������� ��������
��� ������� ��� ���������� �� �� ��� ������� ���� �� ��� ���� ����� � ��������� ���
�� ������ n ∈ [−(2162−1),2162−1]� ��� ���������� � ������ �� ������������ ���������
� ���������� ���������� �� �������� �� �� ��� ���� � �� ��� ������� �� ���������
������ �������� �� ������ �������������������� ������ �� ���������� ��������
� �� �� � �� ��� �� ������ � �� ��� �������
����� �� ���������� � ������ �� ������������ � ���������� ���������� �������
����� � ������ ��� ������� ������� � ������ ��� ������ ���� ������ ����� ��������
��� �� � �� � ������ ��� ��� ����������� ������� � �� ��� ������ �� ������������
���� ������ ������ �������� ��� �� � �� �������� ���� ���������� ��������� ��
���������� ��� �� �� � ������ �� ������������ �� ����� ��� �� ������� �� ����� ���� �
������ �� ���� ��� �� �������� � �� ��� ������ ����� ��� ������ ����������������
��� ������ �� �������������
��� ������������
�� �������� ����������������� ��� ������� ���������� ������� ������ �� �����
�������� ����������� �� ���� �� ��������������
�� ������� � ������ ������������ � ���������� ��� ������� ���������������� ����
� ��� �������� ���� ������������ ��� �� ���� � ������ ������� ������ �����������
����� �������� ��������� ��� ���� ��������� ����� �� ������ � ������������ �����
����� �������� ��� ��������
�� ������� ���������� � ���������� �������� �� ���������� ��������� ���
������ ��������� �� ������ ���������� ����������������� ����� �������� ��� �������
� ������������� ��� ����� ��� �� ������ �������������� �� ��� �� ���� ������ ��
��������������� �������� ����
�� ������� ���� �������� ������ ���������������� ��� ������� ���������� ���
�������� �� ����������� � ������� ����� � ��������� ������������ �����������������
��� ��������
��� ���
��� ���
������ ���� �� ������� �� ����������� �������� ������ ������ �������� �� ���������� ���������
������ � ������ �������� �� ���������� �� ��� ��������� �� ��������������� �utvtwt� � �� ������
�� ����� �� �����
������ �� ���������
� ������ �� ��������� ����� ��������� ��� ���������� �� �� ������ η ��������
�������� u�
� ����� �� ��������� ����� ��������� ��� ���������� �� �� ������ φ ��������
�������� v�
� ����� �� ��������� ����� ��������� ��� ���������� �� �� ������ λ ��������
�������� w�
� δu, δv, δD� �� ���������� ��� ������� ���������� ����� ��������� ��� �� �����
����� ��������� � ������ ������������ ����� ��������� ��� ����������� ��������
�� ������� �� ����������� uvw�
� δd� �� ��������� ����� ��������� ��� ������ �� ��������� ������� �������� �
������ ���������
�� �������� �� ������������ ��� ������� ���������� �������� ��� ����������� �
�������� ���������� �������� �� ����������� �� ��������� ����� �������� ��� ������
�� ���������� ������ ��� ��������� � �� ����������� �� ������� ��� ���������
���� ��������� �� ���� �� ��������������
��� ��������� �� �������������
� �������� ���������� ���� ���� ��� �������� �� ������������� ������� � �������
����� ��������� ��� �������� ����� ������� ����� ���� ��������� �� �������� ��
����������� �� ����� � �� �������� �� ������������� ��� �� ���� ���������������
�� �������� �� �������������� ����������� ��������� ����� ����������� �� ������
��� ������ ������ ����� �� ���� ���������������� ����������� ����� �� ����������
��������� ��� ���� ����� ������������� ������ ���������� � ��������� ���� �� ��
������� �� ��� ��������� ��� ���� ������ � ����� ��������� ���� ��� �� ������
���������� � ���������� �� ���������� �� ��������� ��� ��������� ���������� ����
���������� �� ��� �����
����� ����� ��� ��������� ��������� �� ��������� ���� ��������� �� �����
������ ��� ������ �� �����������
�� ��������� ������ ��� �������� ���� ����������� ������� ������������� ���
������ � ��������� ������ �� ��������� ��� �� ��������� ������ � ������ � ���
��� ��������� � ��� ������ ���������� �������������� ������������ �� ��� ���������
����������� ����� ������� ����������� ������������ ������������
������ ���� ���������������� ����� ���������� �� ����
��� �� ������������� ����� �������� ����������� ��� ��� ��������� ������ �
���������� ���������� ����� ��������� ��� ���������� ����� ��������� �������������
� �������� ���������� �� ������ ��������� �����
� ��� ���� ������ ���������� ������� �� �������� ���������������
� ��� �������� �������� �� ������������� ������� ������ ����������������� ��
�� ������ � ����� ������ � ��������� ��������� � ��������������� �����������
��������������� �� ���������� �������� � ��� ������� ��� �� ���� ������ ��
�������������
�� �������� �� �������������� ��� ��� ��������� ���������� � ������������ ����
��� ��� ����� ���������� �� �������� ���������� �� ���� ����������� �� ���������
����� ��� ������ ��������� � �������� ���������� ����� ��������������� � ���
��������� �������������� �� ��� ��������� ����� ����� � ���������� �� ��������
�����������
����������� ��� �������� �� ������������� ��� ��������� ���������� � ������
�� �������������������� ����� ���� � � �� ��������� �� ��������������� �������
��� ��� ��������� � ���������� �� ����� ���� ��������� ����� ��������������� ���
�� ��������� �������
����� ��������� �� ��������������������
�� ������� �� ������������ � ������������� ������������� ��������� �� ��������
S� �������������� �� �� ������ ��� ��������� ������� ������� �� ������� �� �����
�������� ����� �� ��������� ������� �������� Z� ������� ����������������� ���
�� ����� X � Y � �� ���������� ���������� ����������� ��� ���� ���� ������ ��
����������
������ ���� ���������������� �� �� ������� �������������� �� �� ������� ����� �� ����������
����� ���������������� �����������
� β ������ �������� �� ����������
� α ������ �� ���� ������������� �������� ��� ������ ����������
� �� ������� �� ���������� X�Y�Z���� ������� �������� ���� ���������� XY Z
�� �� ������ β ������� �������� Z� �� �������������� ����� ���������� ���
������� ������� �������� � ������ ���� � �������� ����� �������� ����������
� X� Y� Z�
�
=
� cosβ sinβ 0
−sinβ cosβ 0
0 0 1
� � X Y Z
�
�����
����������� ��� ����� ���� ���������� �� ����������� ����� ��� � ��� ��� ���
�������������� ��������������� �������������� �� ��������������� ������� ��������
��� ��� ��������� ��������� ������ �� ������ �� ������� ����� ������������� ���
������ ��� ��� ��������� ��������� ������������ �� ���������� �������� �����
�� �������������� ����� ��������� ��� ������ �� ����������
f (−→x )∝
2π
ˆ
0
1 U2
σm
ˆ
−σm
p(f )(σ, β) h(σ) D31
�D12+ σ2dσ dβ �����
���� �� ����������
� f(−→x )� �� �������� ���������� ��� �������� �� ��������������
� p(f )� �� ���������� �� �� ����������� ������ β�
� h(σ) � ����������������� �� ������� ��� ����� � ����� ���������� ��� ��
��������������� ��������
� σ � �� ���������� ����� �� ����� X ����� ��������� ��� ���������� ���������
� D1� �� �������� ��� �� �������� � �� ������ �� ���������� ������ U � �������
����� �������� ����������
U (X, Y, β) = D1− X sinβ + Y cosβ �����
� ����������� �� ��������� ��� �� ��������
U (X, Y, β) = D1+ Y� �����
�� ������ �� �������������� �� ���������� ����������� df(−→X�)� ��� −→ X� = (X�, Y�, Z�)� �� ������� �� ��� ��������� ����������� dβ ��� �� ����� ����� ���
����� X�Y�� �� ������� ��������� ����������� �� ���������� X��Y��Z����������� ��
�� ������ α �������� �� ����� ������������ ���� �������� ������������� ���������
������ ���� ������� ����������� ��� ��������
�� ������ ������� �� ���������� �� �������� ��� �� �������� � ��������� �����
���� � ���� ��
D�12= D12+ ρ2 �����
���� ρ � �� ���������� ����� ������ Z ���� �������� �� ����� ����
�� �������� ��� dβ� ������������ �������� ������ �� ��� ��������� ��������
���� ������� � Z����� �� �������� ����������������
D1dβ = D�1dβ� �����
� ����� ��������� ��� �� ��������
dβ�= D1dβ
�D21+ ρ2 �����
���������� �� ���������� df(−→
X�)����������� ���������� �������� �� �����������
�� � ������� ����� ����� �������������� �� ������� ������������� ����� ��������
������������� ����������� f(−→ X ) :
fF DK(−→X )∝
2π
ˆ
0
1 U2
σm
ˆ
−σm
p(c)(σ, ρ, β) h(σ) D13
�D12+ ρ2+ σ2dβ dσ �����
���� p(c)(σ, ρ, β)������ �� ���������� ��������� ��� ��� ��������� ����������
������ ����������� � ����������� �� ������������������� ��� ���� ������
���� ��������� ��� � ���� ������ ���� ������������ �� ���������� ����� �� ���
�������� D2��� ������ ����� ����� ������ � ���������� ������������ �� ����������
��� �� ������� �� ����� ��� � �������� ����� ���������� r �� s� ���������������
������� � �������� ��� ������� �� ����������� �������� �� �����������
�
p(c)(s, r, β) = p(c)(σ, ρ, β) D1(D1+ D2)2
�(D1+ D2)2+ s2+ r2 ������
�� ������� ����������������� �������������� �� ������������������� ���� ���
������ ��������� ��� �������� �����
� �� ���������� �� �������� p(c)(σ, ρ, β)��� �� ������� �� ����√ D1(D1+D2)2
(D1+D2)2+s2+r2�
��������� ���� �p(c)(s, r, β)�
� �� ������� �� ������������ ����� ���������� �p(c)(s, r, β)��� �� ����� � �����
h(σ)�
� �� ������� �� ��������������� ��� ���� �������������� ������ ��� �� ����
����� U12�
�� ������ ������������ �� ������ ��������� ������ ��� ������� ��� ������ d�
������� �� ��������� ���� ��� ������� ������ ������������������ �� ����� �������
�� ������� �� ����������� ��� ����������� ��� ��� ����� �������� Z = 0
����������� ������������� �� ��������������� ������� ������ ��� �� ��������� ����
�����
��� �������� �� �������������
�� �������� ���������� � ���������� ��� ��������� �� �������� �� �������������
����� ������� ����������� � ��� ��� ������ �� ������������ ������ ������ �������
��� ������������� ����� ��� ����� ������ ���������� �� ������ ����������
����� ����� ���� �� ��� � �������� �� ����� ��� ������� ����������� �� �������
��� �� ���������� �� ����� �� ��� ��������� ���������� ���� ��� ������ ������ ��
�������������� ����� ����� ���������� ������ ��������� � ����� ����� �� ���� ��
������������ �� ���� �� ����������� ������������� ��� ���� �� ������������
��� �� ���������� � �� ������������ ������ ������� ���� ������ �������� �� ����
�� ������������� ������ �� �������� ��������� ��������� ��������� � ������ ��
��������� �� ���� �� ���������� ����������������� ��������� �� ����� �������� �����
���������� ������ � ���������� ������� ����� � ������ �� 180�� �� �������� � ������
������������ ���� �������� ��� ��������� ������ � �������� � ������ ���������
������ ������ � ������ � ������� �� 180�.
��� ���
������ ���� �� ����� ���������� �� ����� ������� �� 180��
����� ����������� ������
������������� ��� ��������� �� ������������� � �������� ������������� ���������
������ ���� ����������� ������ �����������
�� ���� � �������� ����� ��������� �� ����� �� ����� ��� ���� ��� �������� ��
�������� �����
� ����� �� ������ ������� �� ������� �� ���� �� ��� �� ������������ ������ �� �����
�� �� ���������� �� ��� ��� ���������� ����� �� ���� ��� ������� �� ��������
�������� ������������� ��������� �� ��� ������� �������� �� ���������� ���
���������� �������� ����� � ������ �� ����� �� ������� �� ���������� ��� �����
��������� � � ������� �� mm�� �� ������ �� ����� ��������� �� ���� �����
����� �� ��� � ����� ��������� ��� ������ �� ��������� � �� �������������
���������� �� �� ��������� � ��������� � �����
������ ���� ���� ����� ����
� ����� �� ������ ������� �� ������� ������������� ������ ��� ����������
� ������ �� ������ ������� �� �������� � ������� �� ��������� ��������
����� ��� �������� ����������� ��� ������������� ��������������� ������
��������� �� ���������� ����������������� ��� �������� ��������������� �����
��� ����� �������������� �������� � ��������� �� ������������� �������������
�����������
� �������� �� ������ ������� �� ��������� � ��� �� ������������ �����������
����� �������� ������� �� ������ � �� ������� ��� ��� �� ������� ������ ��
������ ������������ ���������� �� ���� �� ����� �������� �� ������� ��
��� � ����������
������ ���� ������������ ���������� �� ������ � ��� ��������
� ��������� ������� �� ������ ��� ���������� �� ������������ �mm−1 � HU��
� ��������� �� ������ ��� ���������� �� ������������ ���������� �Muwater��
���������� ��� �� ����������� �� ����������� �� mm−1 � HU�
� ��������� �� ������� ��� ��� �������� ����� ��������������
����� ������������ ����������
�� �������� ���� ���� ��� �������� �� ������������ ����� ������ �� �����������
�� ����������� ���������� θ� ��� ������ ���������� θ + π + δθ� �� ��� δθ � ��������
����� �������� ����������� ��� ����� �� ��������� ������ ������ ���������� ��
��������� ��� �� ����������� ������� ��� ������ ������ � ���������� ��� �� �����
�� ��������� ����������������� �������� ��� ������ ��� �������� �� �������������
���� ���������� ���������� �� ������ ���������
������������� ������ ����������������� �� ������������ ���������� � ��������
������������� ���������
������ ����� �������� �� ��������� ��� �������� �� �������������
�� ������� ���� ��������� �� ������� ��� �������� �� ��������� ��� �������� ��
�������������
� ������� ������ ��� ����������� �� ������ ������� � ��������� ��������� �
������ �������� ��� ���������� ��������� ��� ��������� ���� ������������ ����
�������������� ��� �������� �� ��������� ������ ����������� ���� ���������
���� ��������� �� ����� ����� �� ������� ��� �� ��������� ����� ����� � ���
��� �� ���� ��������������� δu � δD� ���� ����� �������� ��� �������� ��
�������������
� ������� ����� �� ��������� �� ������ ������� �� ����������� � ������ ���
��������� ��� �������� �� �������������
� ��� �������� �� ������ ������� �� ��������� �� ���������� � �� ���������
����� ��� ��� �������� �� �������������
���������� ������������� ��� �������� �� ��������� ���������� ���������� ���
������� ���� ��� ����������� �������� ��� � ��������� �������� ����� ������� �������
������� �� ����� ��� �������� � ������ �� �������� ��� ������ �� ������������
������ ���������� ��� ������������� ����������� ���� ��� �����������
�� �������� �� ������������ ������� ��� ���������
�� �������� ���� ����� �� �������� � ������ �������� ������������ �� �����������
����� ������������� ���������
�� ����� ������������ ������ �� �������� �� ������������� �������������� ��� ���
������� ������� ����� ��� ������� �� ������� �������� � ��� ��������
�� �������� �� ������������ ���������� ��������� � ��������� ������� ��� �������
�δu� φ� η�� ��� ����� ������� ������������ �� ����������� ����� �������� �����
�������� ��� ����� ��������� �δv� δD� λ� ���� ��������� �������� ������ �� ����
�������� ����� ����������� ��� ������ ������������ �����
����� �������� �� �������������
��� ����� ��������� ������������ �� ������������ � ��������� �������� ������������
�� �������������� ����������� �� ��� ���� ���� �� ���� �������� � ����� ���������
����� ������� ����
������������ � ��������� ������������ ����������� ����� ������� ������������ ���
������ � ������� ������������ ��� ��� ������� ����������� ������ �������� ����
������� �� ��������� ��� ��������� ��������� �������� ������������� ������������
�� ������� � �������� ����������� �� ��������������� ���������� �� �� �������
����������
������ ����� ��������� ����� ������� ������������ �������� � ������� ������������ �� ����������
����� ����� �������� ������������� � �������� �� �������� �� ���������� ���� �
��������� ����������� � ��������� ��������������� �� ��������������
� ��� ����������� ��� � ��������� ��������� �� ��������� �� ������� �� �����
� �� ������ �� ������ ������������� ������������
� ������������� ����������� ��� ���� ��������� � ������ ��������� ���������
������� �� ���������� ������������������
������������ �� ������������� � ���������� ������� � ������� �������������� �
���������� ��� ������� �� ����������� �� ��������� � ����� �� ���� �� ���������� ���
��������� ���� �� ������� ����������� ����� ���� ���� �� ������� �� ���������� ����
��������� � ������ ���� � �������� ��������������� �� ������ �������� ��� ������
����� ��� �� ������ �� ������ ��� �� �������� � ������������ ������� � ��������� ���
��������� �� ������� ����������� ����� ��� ��� ����������� ���������� ������������
�� ����� ��� ��� ���������� ������ �������������
��� ������ ���� ��� ��������� ���������� ���������� ������������� ����
������� �� �������� ��������� ���� ����������� ������� �� �������� �������