Capitolo 1 1.1 PRESENTAZIONE DEL MODELLO

Capitolo 1

1.1 PRESENTAZIONE DEL MODELLO

Continuando il lavoro di colleghi degli anni passati si adotta il metodo agli Elementi Finiti per la valutazione del Fattore di Intensità degli Sforzi agli apici della fessura. Il codice di calcolo ANSYS è adeguato per questo tipo di operazioni.

Tralasciando la presentazione del metodo agli Elementi Finiti come strumento per la valutazione di K, ampiamente discusso in letteratura, si passa subito alla presentazione del modello geometrico utilizzato. Ancora una volta si adotta il modello prescelto per lavori precedenti, con pannello di dimensioni sufficientemente grandi da rendere accettabile l’assunzione dell’ipotesi di pannello infinito nelle immediate vicinanze della fessura.

Per la realizzazione della mesh del pannello sono stati utilizzati elementi a guscio ad 8 nodi denominati in SHELL93 nel codice di calcolo ANSYS. Questi elementi sono particolarmente adatti allo studio delle strutture sottili.

Per realizzare una mappatura efficace nell’intorno dell’apice della fessura si è fatto collassare un lato dell’elemento ad 8 nodi in un punto equivalente all’apice della fessura stessa.

Capitolo 1 Presentazione del modello

______________________________________________________________________ La figura 1.1, rappresentativa del modello di pannello semplice, evidenzia la distribuzione dei nodi derivante dal collassamento sopra descritto.

Allo scopo di garantire un passaggio regolare tra gli elementi triangolari (“collassati”) all’apice della fessura e quelli quadrangolari che mappano il resto del pannello, sono state costruite 2 semicirconferenze racchiuse in 2 quadrati. Considerata la perfetta simmetria del pannello e delle sollecitazioni rispetto all’asse x (asse di propagazione della fessura) si è considerato solo una metà del pannello stesso imponendo, sui nodi della linea di simmetria, la condizione al contorno di spostamento simmetrico

Figura 1.2

Per verificare il buon comportamento del modello creato si valuta il fattore K per diversi valori di fessura (2a), leggasi

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 18 15 12 9 a

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⇒ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1504 1373 1228 5 , 1063 18 15 12 9 0 K a

La scelta del valore σ =200 segue quanto proposto in lavori precedenti ed

assume valore nell’ottica di valutazione rispetto ad un dato presente in letteratura.

La risposta del modello è sintetizzata nel vettore e nelle figure seguenti.

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1510 1378,1 1232,4 9 , 1066 . . .EM F K Figura 1.3

Capitolo 1 Presentazione del modello

______________________________________________________________________

Figura 1.4

La figura 1.3 rappresenta la distribuzione degli sforzi determinata dalla presenza della fessura nel pannello, mentre in figura 1.4 sono confrontati i risultati ottenuti in termini di K con la formula teorica e con il metodo FEM. Anche l’irrigidimento, sia esso di geometria reale o semplicemente a doppia striscia, mantiene le caratteristiche di struttura sottile e può quindi ben essere rappresentato con gli elementi SHELL93.

Non ci sono in questo caso problemi di singolarità, la mappatura può essere completata con regolarità.

I rivetti sono invece rappresentati con elementi BEAM4, elementi tridimensionali elastici.

1.2 VALIDITA’ DEL MODELLO PROPOSTO

Verificata l’attendibilità della rappresentazione del pannello semplice tramite gli elementi SHELL93, sono introdotti adesso gli irrigidimenti.

Nella situazione reale, l’irrigidimento, introdotto dalla rivettatura sul pannello di un corrente di forma opportuna, ha lo scopo di aiutare il pannello a portare il carico cui è sottoposto e, nel caso di rottura del pannello stesso, di garantire comunque la resistenza della struttura. E’ tramite il punto di rivettatura che infatti il flusso delle tensioni passa dal pannello al corrente e viceversa.

Viene preso in considerazione il caso del corrente integro a doppia striscia posto in posizione simmetrica.

Valgono le definizioni

=

a semidimensione di fessura

=

p passo tra i rivetti

A at E A at E 2 2 2 1 ≅ ⋅ ⋅ = λ (1.1)

Può essere interessante valutare il K all’apice di una fessura mantenendo costante l’area dell’irrigidimento. Questa procedura intende simulare la crescita di una cricca formatasi in corrispondenza di un rivetto di collegamento con il corrente.

Sono valutati i casi

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 18 15 12 9 6 a

Il calcolo agli elementi finiti realizzato in ANSYS fornisce i seguenti risultati

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1387 1283 7 , 1164 1029 63 , 855 I K

Capitolo 1 Validità del modello proposto

______________________________________________________________________

Figura 1.5

In figura 1. 5 è riportato l’andamento delle tensioni per a=18mm e A=9mm2 In figura 1.6 sono riportati i valori ottenuti con il metodo FEM con la soluzione di Rooke & Cartwright.

La buona corrispondenza tra quanto presente in letteratura e la risposta del modello FEM è evidenziata dal calcolo dell’errore commesso:

100 % 0 0 & 0 ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = FEM I FEM I C R I K K K K K K Err (1.2) 9 =

A

(

)

(

)

3 , 0 = p a 0.9854 0.979 0.6479 45 , 0 = p a 0.9676 0.956 1.1973 6 , 0 = p a 0.9485 0.934 1.5245 75 , 0 = p a 0.9345 0.915 2.0860 9 , 0 = p a 0.9222 0.901 2.3011 Tabella 1.1

Il modello può ritenersi sufficientemente attendibile limitando l’errore rispetto ai dati in letteratura al 2,3%

La simulazione per le casistiche di corrente rotto si ottengono dal modello integro rimuovendo le condizioni al contorno di spostamento simmetrico sulla linea di simmetria del corrente stesso. Questo corrisponde a considerare l’estremità rotta del corrente “libera”.

Procedendo analogamente a quanto proposto per il corrente integro, il calcolo agli elementi finiti realizzato in ANSYS fornisce i seguenti risultati:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 , 1675 3 , 1549 9 , 1406 7 , 1238 1025 I K

Analogamente a quanto precedentemente esposto si procede al confronto con la soluzione di Rooke & Cartwright.

Capitolo 1 Validità del modello proposto

______________________________________________________________________

Figura 1.7

In figura 1.7 l’andamento delle tensioni per a=18mm e A=9mm2

Procedendo alla valutazione dell’errore si ottiene:

9 =

A

(

)

(

)

3 , 0 = p a 1.1804 1.187 0.5559 45 , 0 = p a 1.1648 1.167 0.1915 6 , 0 = p a 1.1457 1.151 0.4633 75 , 0 = p a 1.1285 1.132 0.3140 9 , 0 = p a 1.1139 1.115 0.0976 Tabella 1.2

Il modello può ritenersi attendibile limitando l’errore rispetto ai dati in letteratura allo 0,55%.