Analisi piezoresistiva di una struttura
policristallina
I risultati fin qui ottenuti hanno permesso di ricavare una relazione quadratica fra l’angolo e la variazione di resistenza di una trave sollecitata a torsione, che rappresenta una delle due molle di sostegno di un microrisonatore torsionale in SiGe. Benché la struttura fosse policristallina, si è scelto inizialmente di simulare, per semplicità, un materiale monocristallino, attribuendogli i coefficienti di piezoresistività del silicio. Il comportamento piezoresistivo di un materiale monocristallino cambia con l’orientazione del cristallo [18]; risulta facilmente intuibile, quindi, come in un materiale policristallino le proprietà piezoresistive dipendano dalla forma, dalle dimensioni e dalle orientazioni dei grani che lo compongono.
In questo capitolo si simulerà un dispositivo policristallino e si controllerà se, anche in questo caso, esiste una relazione tra angolo e variazione di resistenza, e se questa è quadratica. Si lasceranno invariati i dati di progetto (dimensioni, costanti elastiche, coefficienti di piezoresistività, forze e correnti applicate), ma si cambierà la configurazione cristallina del materiale: la struttura sarà, cioè, suddivisa in grani e ad ogni grano sarà associata una particolare orientazione, di cui si parlerà nel paragrafo 2 di questo capitolo.
Prima di procedere, è necessario spiegare come il programma ruota il sistema di coordinate. ANSYS permette di utilizzare diversi tipi di sistemi di coordinate, ciascuno con una diversa funzionalità:
• Sistemi di coordinate locali e globali allocano le unità geometriche nello spazio.
• Il sistema di coordinate nodale definisce le direzioni dei gradi di libertà di ciascun nodo e dei corrispondenti risultati.
• Il sistema di coordinate degli elementi determina l’orientazione delle proprietà del materiale e dei corrispondenti risultati.
• Il sistema di coordinate dei risultati è usato per convertire i risultati in un particolare sistema di coordinate, che serve per mostrare i grafici nelle operazioni di postprocessing.
Si crea, quindi, un sistema di coordinate locali con l’orientazione voluta e lo si fa coincidere con il sistema di coordinate degli elementi.
ANSYS ruota gli assi cartesiani nel seguente modo:
Inizialmente, ruota gli assi x (che diventa x1) ed y (che diventa y1) attorno a z
(figura 5.1) y y1 x1 xy θ x z=z1
FIGURA 5.1: Rotazione degli assi cristallini attorno all’asse z.
Successivamente, ruota i nuovi assi y e z attorno al nuovo asse x, che in figura 5.1 è chiamato x1. I nuovi assi diventano x2, y2, z2.
yz θ z2 y1 y2 x1=x2 z1
FIGURA 5.2: Rotazione attorno all’asse x.
Infine, ruota gli assi x2 e z2 attorno all’asse y2; il sistema cartesiano finale è,
dunque, formato da x3, y3, z3. x3 y2=y3 zx θ z3 z2 x2
FIGURA 5.3: Rotazione attorno all’asse y.
La prima parte del capitolo è dedicata ad alcune simulazioni di prova: è stata di nuovo simulata la trave monocristallina dei capitoli 3 e 4, per diverse orientazioni del cristallo; il materiale è stato ruotato attorno all’asse x, y, e z (separatamente), per analizzare il peso dei diversi assi di rotazione sulla variazione di resistenza; i risultati hanno mostrato che le rotazioni attorno all’asse z danno un contributo trascurabile. Nella seconda parte del capitolo è stata simulata e discussa la struttura policristallina citata sopra. I codici sorgente delle simulazioni svolte in questo capitolo si trovano nell’appendice D.
5.1 Simulazioni di travi monocristalline per diverse
orientazioni del materiale
Si consideri di nuovo la trave incastrata ad un estremo, analizzata nel capitolo 3 (figura 3.4):
y
x z
FIGURA 3.4
Si riportano, nella seguente tabella, le costanti utilizzate nelle simulazioni:
Quantità Descrizione
l = 25 µm Lunghezza della trave
h = 4 µm Altezza t = 0.6 µm Spessore 11 -1 11 11 -1 12 11 -1 44 102.2 10 Pa 53.4 10 Pa 13.6 10 Pa π π π − − − ⎫ = − ⋅ ⎪ = ⋅ ⎬ ⎪ = − ⋅ ⎭ Coefficienti di piezoresistività del silicio n A h l t
5 10 Ω×m x y z ρ =ρ =ρ = − Resistività 9 146 10 Pa x y z E =E =E = ⋅ Modulo di Young ' 6 , , 10 , , x y z x y z
E = ⋅E' Modulo di Young del blocco rigido
0.23 xy yz xz ν =ν =ν = Coefficiente di Poisson 10 mA o I = Corrente applicata 1.04166667 V o
V = Valore della tensione in assenza di sollecitazioni meccaniche 104.166667 Ω o o o V R I
= = Valore della resistenza a riposo
TABELLA 5.1
La dimensione degli elementi della griglia è 0.2 µm.
È stata applicata una coppia di forze come illustrato nelle figure 3.5 e 3.8 (capitolo 3) del valore di 5 µN ed è stata simulata la struttura, cambiando l’orientazione del cristallo attorno all’asse x (lasciando invariate le rotazioni attorno agli altri due assi); sono stati salvati in un file di testo i valori di R∆ ottenuti e sono stati riportati in una tabella tali valori (tabella 5.2), accompagnati dalle relative orientazioni. La stessa operazione per gli assi y (tabella 5.3) e z. Sono stati realizzati con il programma Matlab, infine, i grafici della R∆ in funzione dell’angolo di rotazione attorno agli assi x, y, z. Poiché si applica torsione attorno all’asse z, per la particolare simmetria cristallina (cubica) è ragionevole supporre che ruotare il materiale attorno a tale asse non modifichi sensibilmente la R∆ . Questa affermazione troverà conferma nei risultati delle simulazioni.
5.1.1 Materiale con assi cristallini ruotati rispetto all’asse x
Si impone, con il codice di programmazione ANSYS, un ciclo di rotazione attorno all’asse x degli assi cristallini del materiale. Il ciclo prevede 37 diverse
orientazioni (in gradi), da 0 a 90 o, in passi di 2.5 o. Si ottengono 37 corrispondenti valori di R∆ , che sono stati riportati nel seguente grafico:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 R ∆ [Ω] x θ [deg] FIGURA 5.4: Rappresentazione grafica della variazione di resistenza (in Ω), in
funzione dell’angolo di rotazione (in gradi) del materiale attorno all’asse x.
In prima approssimazione, sembra che l’andamento della variazione di resistenza sia sinusoidale, con periodo di 90 o. L’appendice D contiene il codice sorgente dell’immagine e una tabella con i valori di R∆ e θx per ogni singolo passo.
5.1.2 Materiale con assi cristallini ruotati rispetto all’asse y
Si ripetono le stesse simulazioni descritte nel paragrafo 5.1.1, nelle quali si impone la rotazione attorno all’asse y. Si riportano, come prima, i risultati in un grafico:
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6x 10 -3 R∆ [Ω] y θ [deg] FIGURA 5.5: Rappresentazione grafica della variazione di resistenza (in mΩ), in
funzione dell’angolo di rotazione del materiale attorno all’asse y.
Si osserva di nuovo una periodicità di 90 o, anche se stavolta l’andamento non è sinusoidale; in questo caso le variazioni di R∆ sono inferiori (a parità di angolo) rispetto a quelle che si hanno se si ruotano gli assi cristallini attorno all’asse x. Si conclude che esistono delle direzioni privilegiate, dal punto di vista del comportamento piezoresistivo, fra i possibili orientamenti che può assumere il materiale.
L’appendice E contiene il codice sorgente dell’immagine e una tabella con i valori di R∆ e θy per ogni singolo passo.
5.1.3 Materiale con assi cristallini ruotati rispetto all’asse z
Si impone, adesso, la rotazione attorno all’asse z. Anche in questo caso la periodicità della variazione di resistenza è 90 o, ma tale quantità non si discosta molto dal valore di R∆ che si ha a 0 o (in assenza di rotazione del materiale). Si
può concludere che, per il particolare modello studiato, le rotazioni del cristallo attorno all’asse z non modificano il comportamento piezoresistivo della struttura. Non si riporta, in questo caso, il grafico Matlab e la tabella, perché i valori in essi contenuti sono all’incirca uguali fra loro: ∆ ≅ −R 6.15 mΩ.
5.2 Simulazione di piezoresistenza in travi policristalline
colonnari.
Si svolgono alcune simulazioni di una trave policristallina: per approfondimenti sul codice sorgente delle simulazioni svolte, si rimanda all’appendice E. È stata fatta l’ipotesi che le rotazioni attorno all’asse y dei grani siano casuali (con distribuzione uniforme), mentre assumano una direzione prevalente attorno all’asse x (rotazioni attorno all’asse z non sono state considerate, perché ininfluenti). Tale direzione preferenziale non è prevedibile, a meno che non si conosca con esattezza la struttura cristallina dei grani, che dipende dal processo di fabbricazione e può essere rilevata solo con strumenti come il TEM. Si è scelto di suddividere la trave in grani e lanciare un ciclo di simulazioni, dove l’orientazione cristallina globale della trave ruota attorno all’asse x in maniera deterministica, con passi di 15 o (in maniera simile all’esempio descritto nel paragrafo 5.1.1). All’interno del ciclo deterministico è stato annidato un ciclo statistico, nel quale si è assegnata un’orientazione casuale (diversa per ogni grano) al materiale, attorno all’asse y. Per fare questo, è stato utilizzato un particolare strumento di simulazione di ANSYS, detto progetto probabilistico (Probabilistic Design): esso permette di eseguire analisi di fenomeni fisici casuali (nel nostro caso, l’orientazione cristallina dei grani), descrivendo i parametri random con le relative distribuzioni statistiche. Il procedimento di simulazione probabilistica con ANSYS è il seguente:
• Dichiarazione delle variabili casuali in ingresso (ad esempio, l’angolo di orientazione del materiale), delle loro distribuzioni statistiche e di eventuali correlazioni.
• Dichiarazione delle variabili casuali in uscita (ad esempio, la tensione ai capi della trave e la variazione di resistenza), che dipenderanno, ovviamente, da quelle in ingresso.
• Creazione di un file di analisi (Analysis file), che contiene la simulazione del modello deterministico.
• Creazione di un secondo file di simulazione, che sostituisce alle variabili deterministiche del file di analisi le corrispondenti variabili casuali e simula il modello statistico con il numero di cicli voluto, restituendo i valori delle variabili di uscita per ogni ciclo, sotto forma di quantità statistiche (media, deviazione standard, ecc.).
Si è detto che la trave, di materiale policristallino, deve essere suddivisa in grani: è necessario, quindi, scegliere la forma dei grani e la loro disposizione all’interno della molla. Una struttura policristallina è, in generale, formata da un insieme si piccole porzioni monocristalline, separate fra loro da zone di confine, dette bordi di grano. Ciascun bordo di grano, dal punto di vista elettrico, può essere considerato una barriera Schottky1 (in cui l’altezza e lo spessore dipendono dal drogaggio) [19]; l’insieme dei grani e dei bordi che li collegano può essere schematizzato con una serie di resistori, come illustrato in figura 5.6 [19]:
FIGURA 5.6: Modello elettrico semplificato di una struttura policristallina, dove Rg ed Rb sono, rispettivamente, la resistenza del grano e del bordo di grano.
Si richiama il capitolo 2, paragrafo 2.1.1, in cui si afferma che la struttura microcristallina del SiGe idrogenato è prevalentemente colonnare. La crescita dei grani colonnari avviene in direzione y, pertanto si fa l’ipotesi che, lungo tale direzione, la struttura cristallina non cambi. Inoltre, poiché lo spessore t della trave è poco più di un decimo dell’altezza h (figura 3.4), si ipotizza che nello spessore sia contenuto un solo grano. Con queste ipotesi, si può schematizzare il blocco di SiGe con una serie di grani contigui, suddividendolo lungo la sua lunghezza (asse z), come illustrato in figura 5.7:
Incastro della trave Blocco
rigido di torsione
FIGURA 5.7: Immagine (realizzata con ANSYS) della struttura policristallina. I sottovolumi del blocco rappresentano i grani e, ad ogni grano, è associata una diversa orientazione (indicata con un colore).
La struttura in figura 5.7 è stata simulata in maniera probabilistica con ANSYS. I dati di progetto (dimensioni della trave, corrente, forze applicate e condizioni al contorno, costanti strutturali, elettriche e piezoresistive) sono quelli utilizzati nel capitolo 3 di questa tesi (si veda la tabella 5.1); si è scelto di diradare le dimensioni della griglia lungo l’asse z, per limitare il tempo di simulazione, che,
in caso di analisi probabilistica, è in genere molto lungo. Pertanto, gli elementi della griglia hanno una dimensione di 0.2 µm lungo x e y e di 0.5 µm lungo z. Il file di analisi contiene un ciclo di rotazione del materiale attorno all’asse x: il relativo angolo θx, che individua la direzione degli assi cristallini, è uguale per
tutti i grani, e va da 0 o a 90 o, in passi di 15 o. Si è scelto di annidare, dentro al ciclo deterministico, un ciclo statistico; tale ciclo, formato da 50 simulazioni, assegna per ogni simulazione un’orientazione casuale θy , con distribuzione
uniforme, compresa fra 0 o e 90 o e diversa per ogni grano. Per ogni passo del ciclo deterministico si hanno, quindi, 50 passi di ciclo statistico. In uscita si ottiene il valore medio 〈∆R(θy)〉 della variazione di resistenza in funzione della rotazione del materiale attorno all’asse y; si ottiene, inoltre, la sua deviazione standard σ∆R. Dai risultati delle simulazioni si è osservato che, anche in questo
caso, la variazione di resistenza dipende in maniera quadratica dall’angolo; si può, quindi, scrivere in termini di valori medi statistici la relazione 2
R αθ ∆ ≅ : 2 θ α〉 〈 ≅ 〉 ∆ 〈 R ,
dove 〈 R∆ 〉 ed 〈α〉 sono i valori medi statistici di R∆ e di α .
L’esperimento è stato svolto per due valori di forza applicata: F = 5 e 10 µN. Si riportano, nelle tabelle 5.2 e 5.3, i risultati ottenuti dalle simulazioni, per i due valori di F: F = 5 µN, θ = 0.0301 rad x θ 〈∆R(θy)〉 [mΩ] σ∆R(θy) [Ω] 〉 〈α Ω2 rad ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 -5.5744 9.5522⋅10−4 -6.153 15 -27.588 1.8852⋅10−3 -30.45 30 -76.268 5.3388⋅10−3 -84.18 45 -109.51 3.6463⋅10−3 -120.9 60 -91.916 1.8957⋅10−3 -101.5
75 -36.891 4.3556⋅10−4 -40.72
90 -6.0513 3.8472⋅10−8 -6.679
TABELLA 5.2: Valore medio e deviazione standard della variazione statistica di resistenza, per diverse orientazioni degli assi cristallini attorno all’asse x.
Poiché 50 simulazioni statistiche non sono molte, in termini di precisione ottenuta nel calcolo della media e della deviazione standard, si è scelto di lanciarne altre 50, raccogliere i dati ottenuti dai due cicli e calcolare con il programma Matlab la media e la deviazione standard globali, relative a 100 prove statistiche. I risultati, che non differiscono molto da quelli contenuti nella tabella 5.2, non sono riportati. Si riporta un esempio di istogramma, realizzato con il programma ANSYS, che contiene i valori statistici di R∆ , per θx = : 0
FIGURA 5.8: Istogramma delle frequenze assolute (su 50 simulazioni) dei valori di R∆ .
F = 10 µN, θ = 0.0601 rad x θ 〈∆R(θy)〉 [mΩ] σ∆R(θy) [Ω] 〉 〈α Ω2 rad ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 -22.355 0.340851⋅10-2 -6.189 15 -110.49 0.68243⋅10-2 -30.59 30 -305.71 0.13390⋅10-1 -84.64 45 -439.58 0.11397⋅10-1 -121.7 60 -368.72 0.55448⋅10-2 -102.1 75 -147.79 0.11777⋅10-2 -40.92 90 -24.268 0.33890⋅10-6 -6.719
TABELLA 5.3: Valore medio e deviazione standard della variazione statistica di resistenza, per diverse orientazioni degli assi cristallini attorno all’asse x.
Osservazioni:
Sembra che, a parità di θx, il valor medio della variazione di resistenza aumenti in maniera quadratica con la forza applicata (quindi, con l’angolo di torsione della trave); questa ipotesi, se vera, estenderebbe al silicio- germanio policristallino la relazione ottenuta per una struttura torsionale monocristallina: ∆R=αθ2.
5.3 Conclusioni
In questo capitolo è stata analizzata e simulata una struttura torsionale in silicio-germanio policristallino; dai risultati ottenuti con successive simulazioni statistiche, si è osservato che probabilmente esiste una relazione quadratica fra la variazione di resistenza e l’angolo di torsione, anche per travi di materiale policristallino.
