Esercizi di Algebra Lineare Funzioni Lineari
Autovettori e autovalori – introduzione
Anna M. Bigatti 11 marzo 2013
Definizione 1. Sia data una trasformazione lineare ϕ : Rn−→Rn (NB: con uguale dominio e codominio!) e siano v ∈ Rn un vettore non nullo e λ ∈ R tali che
ϕ(v) = λ · v
• λ si dice autovalore per ϕ
• v si dice autovettore per λ
• l’insieme di tutti gli autovettori per λ si dice autospazio per λ (formano un sottospazio) Esempio 2. Consideriamo le seguenti funzioni lineari R2−→R2
• ϕ(x, y) = (x, 0) :
ha autovalore 1 perch´e il vettore v = (1, 0) soddisfa ϕ(v) = 1 · v ha autovalore 0 perch´e il vettore v = (0, 1) soddisfa ϕ(v) = 0 · v
Questa funzione lineare rappresenta la proiezione sull’asse delle ascisse: i vettori del sottospazio y = 0 rimangono “fermi” e quelli del sottospazio x = 0 vengono “schiacciati”.
• ϕ(x, y) = (−2x, y) :
ha autovalore -2 perch´e il vettore v = (1, 0) soddisfa ϕ(v) = −2 · v ha autovalore 1 perch´e il vettore v = (0, 1) soddisfa ϕ(v) = 1 · v
i vettori del sottospazio y = 0 mantengono la direzione, ma cambiano verso e vengono
“allungati”; quelli del sottospazio x = 0 rimangono “fermi”.
• ϕ(x, y) = (−y, x) :
non ha autovalori perch´e tutti i vettori non nulli cambiano direzione (rotazione antioraria di π/2 )
Esercizio 3. Scrivere un endomorfismo di R2 (omomorfismo da spazio vettoriale in se stesso) che ha autovalori 3 e 5.
Esercizio 4. Scrivere un endomorfismo che ha autovettori v = (1, 3) e w = (−2, 1) .
1 Calcolo di autovalori e autovettori
Esercizio 5. Calcolare autovalori e autovettori degli omomorfismi R2−→R2 associati alle matrici A =
1 3 3 1
, B =
1 −1
3 2
e C =
1 1 0 1
1