Scritto di Geometria. Anno Accademico 2010–2011. 3 Marzo 2011
Cognome: Nome: Matricola: Immatricolato nel
ISTRUZIONI: Prima di tutto, su ogni foglio che consegnerai devi scrivere nome, cognome e numero di matricola. Devi riconsegnare anche il testo dell’esame (cio`e questo foglio). Le soluzioni degli esercizi non vanno scritte qui, ma su fogli protocollo a quadretti. Dev’essere ben chiaro dove comincia e dove finisce la soluzione di ciascun esercizio; se possibile, evita di consegnare la brutta copia.
Le prime tre domande qui di seguito sono un filtro: se pi`u di una risposta `e sbagliata, lo scritto `e considerato insufficiente (due risposte mezze giuste contano quanto una risposta interamente giusta). Le risposte devono essere giustificate: non basta rispondere “Si” o “No”.
Poni a uguale all’ultima cifra del tuo numero di matricola: a =
1. Esiste un’applicazione lineare T : R3 → R3 tale che T (e1− e3) = ae1+ e2+ e3, T (e2+ e3) = ae2+ e3 e T (2e1+ e2− e3) = 2e2+ ae3? (dove {e1, e2, e3} `e la base canonica)
2. Se U = Span(e1+ ae2+ e3) ⊆ R3, `e vero che U⊥ ha dimensione 3?
3. Esistono valori di k ∈ R per cui il sistema kx + ky = a
x + y = k ammette un’unica soluzione?
Il resto dello scritto consiste nei tre esercizi qui di seguito. Leggi attentamente i testi, e poi risolvili nell’ordine che preferisci, scrivendo la soluzione quanto pi`u chiaramente possibile. Buon lavoro!
A. Data l’applicazione h , i : R4× R4 → R definita da:
hv, wi = av1w1+ 2v1w4+ 2v4w1− v2w3− v3w2+ av4w4 (i) Dimostra che h , i `e un prodotto scalare su R4;
(ii) scrivi la matrice S associata a tale prodotto scalare rispetto a una base a tua scelta;
(iii) stabilisci se h , i `e degenere e determina se `e (semi)-definito positivo, negativo o indefinito;
(iv) stabilisci se S `e congruente alla matrice diagonale i cui termini sulla diagonale sono 7, a − 2, −1, a + 1.
B. Al variare di k ∈ R considera la matrice Ak=
k 2k 2
0 2k 1
1 −1 − k2 0
(i) Trova gli autovalori di Ak e stabilisci per quali valori di k la matrice Ak `e diagonalizzabile;
(ii) per i valori di k per cui Ak `e diagonalizzabile trova una base di autovettori.
(iii) Trova, se ce ne sono, tutti i valori di k per cui Ak non `e invertibile.
C. Data l’applicazione lineare T : R2[t] → R3, definita da T (p(t)) =
p(2) p0(1) p00(0)
(i) Calcola la dimensione di Ker T e di Im T e stabilisci se T `e iniettiva, suriettiva, invertibile;
(ii) se `e possibile scrivi l’applicazione inversa di T .
Data l’applicazione lineare S : R3[t] → R2[t], definita da S(p(t)) = p0(t), considera l’applicazione lineare composta P = T ◦ S : R3[t] → R3.
(iii) Calcola la dimensione di Ker P e di Im P e stabilisci se P `e iniettiva, suriettiva, invertibile;
(iv) trova una base di U = Ker P e stabilisci se W = Span(1 + t, a + t2, 5 − a + t3) `e un supplementare di U in R3[t].
Corso di laurea Ingegneria: Scelta turno orale:
