STRUTTURA DI STRUTTURA DI

STRUTTURA DI

STRUTTURA DI

Argomenti della lezione Argomenti della lezione

 Prodotto scalare in Prodotto scalare in R R

 Distanza in R Distanza in R

 Topologia di R Topologia di R

Vettori di

Vettori di R R ^{n n}

Vettore colonna Vettore colonna

X = X =

X X

X X

X X

••

••

••

X X

Vettore riga Vettore riga

(X (X

X X

X X

X X X X

) ) ) ) = X = X

X X

= =

X X

Prodotto scalare Prodotto scalare

in uno spazio vettoriale in uno spazio vettoriale

V sul corpo R

V sul corpo R

Un prodotto scalare Un prodotto scalare

è un’applicazione bilineare è un’applicazione bilineare

simmetrica simmetrica

definita positiva definita positiva

su V x V a valori in R

su V x V a valori in R

s: V x V

s: V x V R R

soddisfa le seguenti proprietà soddisfa le seguenti proprietà

Simmetria Simmetria Omogeneità Omogeneità

Additività Additività Positività Positività

s: V x V

s: V x V R R

soddisfa le seguenti proprietà soddisfa le seguenti proprietà (S1) x, y V s(x, y) =

(S1) x, y V s(x, y) = A A s(y, x)s(y, x)

 

(S2) x, y V

(S2) x, y V ^{A A}

  



 

^{ }

 

simmetria simmetria

omogeneità omogeneità

s: V x V

s: V x V R R

(S3) x, y, z V s (x + z, y) = (S3) x, y, z V s (x + z, y) =A A

 

additività additività

positività positività s (x, y) + s (z, y)

s (x, y) + s (z, y)

s (x,x) > 0 e s (x,x) s (x,x) > 0 e s (x,x) (S4) x

(S4) xA A

 

⇒

= 0 x = 0

= 0 x = 0

 

Il prodotto scalare su V si indica solitamente con le notazioni

Il prodotto scalare su V si indica solitamente con le notazioni

nella quale si fa riferimento al prodotto righe per colonne

delle matrici

nella quale si fa riferimento al prodotto righe per colonne

delle matrici

In RIn Rⁿⁿ si ha pure la notazione si ha pure la notazione

x,yx,y = x y = x = x y = x^{•• TT} y = y =

 

s(x, y) =

s(x, y) = x, yx, y = (x, y) = x y = (x, y) = x y^••

 

i = 1 i = 1

xx_{i i} yy_ii xx^TTy = (xy = (x₁₁ x x₂₂ x x_{3 3} ^{•••• • • • •} xx^••••_nn)) ^••••

yyyy1111

yyyy2222

yyyy3333

••••

••••

••••

yyyynnnn

==

Disuguaglianza di Buniakovski

Cauchy Schwarz

Disuguaglianza di Buniakovski

Cauchy

Schwarz

Indicheremo con x o con x

Indicheremo con x o con x

x x     V V V V (x (x (x (x     R R R R

) ) ) ) la norma o modulo

del vettore

la norma o modulo del vettore

In particolare, in R In particolare, in R



CASO DI CASO DI

R R ^{2 2} o R o R ^{3 3}

u v < u v u v < u v

uu

vv



u v= u v cos  u v= u v cos 

Distanza Distanza

in R in R ^{n n}

Proprietà

della distanza Proprietà

della distanza

(D1) (simmetria)(D1) (simmetria)

(D2) (positività)(D2) (positività)

(D3) (disuguaglianza triangolare)

(D3) (disuguaglianza triangolare)

xx⁰⁰₂₂

xx⁰⁰₁₁

s s _xx⁰⁰

xx⁰⁰ = (x= (x⁰⁰₁₁, x, x⁰⁰₂₂))^TT

Sfere e intervalli in R

. In generale, in R

.

Sfere e intervalli in R

.

In generale, in R

.

bb₂₂ aa₂₂

aa₁₁ bb₁₁

Sfere e intervalli in R

. In generale, in R

.

Sfere e intervalli in R

.

In generale, in R

.

Topologia Topologia

di R di R ^{n n}

Punti distinti di R

(R

) hanno intorni disgiunti

Punti distinti di R

(R

) hanno intorni disgiunti

.yy xx

è punto interno è punto interno

è punto esterno è punto esterno

è punto di frontiera è punto di frontiera

per _per  

internointerno esternoesterno

di frontieradi frontiera

per è punto per è punto