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(i) Vérifions que les 3-cycles sont dans An

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Academic year: 2021

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(1)

An simple pour n ≥ 5

Références : Algèbre, Serge Lang

Théo. Pour n ≥ 5, An est simple.

Lemme.

(i) Pour n ≥ 3, An est engendré par les 3-cycles.

(ii) Pour n ≥ 5 les 3-cycles sont conjugués dans An.

Démonstration. (i) Vérifions que les 3-cycles sont dans An. (i j k) = (i j)(j k) donc la signature d’un 3-cycle est 1.

Soit σ ∈ An, on a donc forcément σ = τ1...τ2k, c’est un produit de doubles transpositions.

Montrons que les doubles transpositions sont produit de 3-cycles.

Soit i, j, k, l ∈J1, nK. Posons τ = (i j ) et σ = (k l).

• Si Supp(τ ) = Supp(σ), alors τ σ = id

• Si |Supp(τ ) ∩ Supp(σ)| = 1 alors τ σ est un 3-cycle.

• Sinon τ σ = (i j)(j k)(j k)(k l) = (i j k)(j k l).

(ii) Soit (j1, j2, j3, i1, i2, i3) ∈ J1, nK, alors il existe σ ∈ Sn tel que (j1 j2 j3) = σ(i1 i2 i3−1.

• σ ∈ An, alors le résultat est montré.

• Sinon, soit k, l 6= i1, i2, i3 alors σ0 = σ(k l) ∈ An et (j1 j2 j3) = σ0(i1 i2 i30−1

Démonstration. Soit NE An\ et N 6= {Id}. Montrons que N = An. Si N contient un 3-cycles alors, N contient tous les 3-cycles et s’il contient tous les 3-cycles alors N = An. Montrons que N contient un 3-cycle. Soit σ la permutation ayant le plus de points fixes de N \{id}

(i.e la permutation de support minimal).

1. Montrons que σ n’est pas un produit de transpositions disjointes.

Supposons que σ est un produit de transpositions disjointes.

Comme σ ∈ An, il y a donc au moins deux transpositions (i j) et (k l). Soit m 6= i, j, k, l, posons τ = (k l m) et

σ0 = τ στ−1

| {z }

∈N

σ−1

|{z}

∈N

∈ N

Les points fixes de σ, différents de m, sont fixes par σ0.

De plus, σ0(j) = j et σ0(i) = i donc σ0 a plus de points fixes que σ Absurde.

On obtient donc σ = c1c2...cr produit de cycles disjoints. Il existe donc cp = (i j k ...).

2. Montrons que σ = (i j k)

Par l’absurde, supposons σ 6= (i j k).

Il existe l, m 6= i, j, k déplacés par σ. Soit τ = (k l m)

σ0 = τ στ−1

| {z }

∈N

σ−1

|{z}∈N

∈ N

j est un point fixe supplémentaire de σ0. Absurde.

Leçons possibles : 103 - 104 - 105 - 108

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