Application aux modèles de l’ingénieur

Objectifs de ce cours

Rappels de MMC

M écanique des M ^ilieux C ^ontinus

Application aux modèles de l’ingénieur

Barre & Poutre

Relations

géométriques Relations

géométriques

ε = f u ( )

T = σ n

( ) E ε

( ) σ Σ

( )

F f U u ( )

< Lois de comportement >

< Principe de la dynamique >

( ) σ = D ε

Lois de comportement généralisée

u U∈ f ∈F

ε ∈E σ ∈Σ

Déplacements Forces

Déformations Contraintes

En « MMC » quatre champs inconnus

Champs tensoriels Champs vectoriels

Reliés par

Relations géométriques Relations

géométriques ε = f u( )

T =σ n

( ) E ε

( )σ Σ

( )

F f U u( )

< Lois de comportement >

< Principe de la dynamique >

Lois de comportement généralisée

Géométrie

Do

X x

D

Référentiel

dX dx

f

Gradient de la transformation ^{( , ) ( , )}

^{( )}

x X t

F X t grad x

X

= ∂ =

dx ≅ FdX

Transformation du milieu ∀ ∈ ^{P D x} = ^{f X t ( , )}

Description Lagrangienne

( , )

X

( )

U X t H grad U

X

= = ∂

∂

En pratique

_{P D x}

_{X U X t ( , )} F = + 1 H

Champ de déplacement

Relations géométriques Relations

géométriques ε = f u( )

T =σ n

( ) E ε

( )σ Σ

( )

F f U u( )

< Lois de comportement >

< Principe de la dynamique >

Lois de comportement généralisée

Tenseur des déformations de Green Lagrange

2 2

T T

H H H H

E = + +

2

T

H H

ε

Hypothèse des petites perturbations

11 12 13

12 22 23

13 23 33

ε ε ε

ε ε ε ε

ε ε ε

 

 

  =

   

   

f

e1

e2

'1

e '2

e

π θ2 − θ

ij

/ 2

ε = θ

^{( , e e}

⁾

ε

^e

Déformations

( )

1 . . .

2 dx dx − dX dX = dX E dX

Relations géométriques Relations

géométriques ε = f u( )

T =σ n

( ) E ε

( )σ Σ

( )

F f U u( )

< Lois de comportement >

< Principe de la dynamique >

Lois de comportement généralisée

Contraintes

n

( , ) T P n ds ds =

dF

2

1

T P n ( , )

(N m/ 2)

pression

Vecteur contrainte en P sur une facette de normale n

( , )

T P n = σ n

Tenseur des contraintes de Cauchy

11 12 13

12 22 23

13 23 33

σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ σ

 

 

  =

   

     

σ

= σ

( , )P n

n

T

( ,P n ')

T

' n

σ

σ

contraintes de cisaillement

contraintes normales

Relations géométriques Relations

géométriques ε = f u( )

T =σ n

( ) E ε

( )σ Σ

( )

F f U u( )

< Lois de comportement >

< Principe de la dynamique >

Lois de comportement généralisée

Comportement

( )

f D

σ = ε = ε

6

= 36 coefficients

Le module d’Young et le coefficient de

poisson sont obtenus expérimentalement à partir de l’essai de traction

(1 )(1 2 ) 2(1 )

E E

λ ν ν ν

µ ν

= + −

= +

Hypothèse milieu élastique homogène et isotrope Loi de Hooke

( ) 1 2

σ λ ε = Tr + µε ( , ) λ µ coefficients de Lamé

1

1

( ) ( ) 1

f Tr

E E

ν ν

ε =

σ = − σ + ⁺ σ

Son inverse

Relations géométriques Relations

géométriques ε = f u( )

T =σ n

( ) E ε

( )σ Σ

( )

F f U u( )

< Lois de comportement >

< Principe de la dynamique >

Lois de comportement généralisée

Équations du mouvement PFD

( ) a f div

ρ = + σ

Principe local

Formulation vectorielle

M D

∀ ∈

u f div ρɺɺ= + σ u = u^ud

M D

∀ ∈∂

n Td

σ = n

M D_σ

∀ ∈∂

Td

système d'Équations aux Dérivées Partielles

"EDP"

Solutions analytiques

Relations géométriques Relations

géométriques ε = f u( )

T =σ n

( ) E ε

( )σ Σ

( )

F f U u( )

< Lois de comportement >

< Principe de la dynamique >

Lois de comportement généralisée

Équations du mouvement

PTV

. : . .

D D D D

u u u dV dV f u dV T u dS

δ ρ δ σ δε δ δ

∂

∀ ∫ ^ɺɺ = − ∫ + ∫ + ∫

M D

∀ ∈∂

T = T

M D

∀ ∈∂ T = T

(_M) 0

δ

∀ ∈∂

u = u

Choix soit

. : . .

CA D

D D D D

u u u dV dV f u dV T u dS

σ

δ ρ δ σ δε δ δ

∂

∀ ∫ ^ɺɺ + ∫ = ∫ + ∫

Forme variationnelle du problème

Discrétisation

Solutions numériques

Bilan

2 Principes pour la mise en équations :

PFD : EDP il faut écrire les Conditions aux limites

Solutions analytiques PTV : Forme variationnelle

Solutions numériques

Application du cours

Mise en équations des modèles de l’ingénieur Les barres Treillis

Les poutres Portiques

« PFD » On isole une tranche dx

f

x N+

dx

N dN

Modèle barre

] [ ^0,

x ρ Sudx dN fdx

∀ ∈ ℓ ɺɺ = +

« Comportement » N = ESu _,x

] [ ^0,

x ρ Su ESu f

∀ ∈ ℓ ɺɺ − =

Les conditions aux limites

x d ( )t

ESu

N

D

∂

d ( )t

u = u

sur

( , 0) ( ) ( , 0) ( )

o o

x x

x x

u u

u u

=

 

 ɺ = ɺ

Les conditions initiales

« PTV » Principes des Travaux Virtuels

0 u(M,t) l

F

f

F

,x ,x

+ +

+

o o o

u Su u dx ESu u dx f u dx F u F u

δ ρ δ δ δ δ δ

∀ ∫ = − ∫ ∫

ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ

ɺɺ

( )

2

o

E = ∫ ES u dx

d ℓ

δ E

A W

δ = δ

« PFD »

Modèle poutre

« Comportement » Mf = EIv _,xx

dMf Mf +

Mf x T

dT T + dx

f

T = − Mf

] [ ^0, _{, x}

x ρ Sv EIv f

∀ ∈ ℓ ɺɺ + =

« PTV »

0 M_ℓ

Mo

Fo F_ℓ

ℓ f

x y

,xx ,xx

+ +

+ +

+

o o o

v Sv v dx EIv v dx f v dx F v F v M M

δ ρ δ δ δ δ δ δθ δθ

∀

∫

∫ ∫

ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ ℓ ℓ

ɺɺ

( )

2 _d

o

E =

∫

d ℓ

δ E

Nous utiliserons ces deux modèles Dans les derniers chapitres

Vibrations des milieux continus

&

Méthodes variationnelles discrétisées