Materiali didattici per l'insegnamento
dell'Analisi non standard
Derivate.pdf
È scritto a partire dal libro “Il prof. Apotema insegna...”di Giorgio Goldoni
Copre una parte del tutto “standard” del programma di analisi di scuola superiore
Costruisce gradualmente i contenuti e ricorre il più possibile all'intuizione
Fa ampio uso di costruzioni grafiche, esempi, esercizi, limitando all'indispensabile gli aspetti più formali
Derivata
al verificarsi delle condizioni opportune, per
Il rapporto incrementale La derivata in a
Il significato geometrico
Equazione della secante per i punti di ascissa a e
ra=Δ f (x )
Δ x =f (a+Δ x )−f (a) Δ x
f ' (a)= lim
Δx →0 ra= lim
Δx→ 0
Δf (x ) Δx
Df (x), f ' (x ), y ' , ˙y , df (x ) dx , d
dx f (x)
Le notazioni
y =ra(Δx )+f (a)
y =f ' (a)Δ x + f (a) Equazione della tangente in
a +Δ x (a , f (a))
In analisi standard
Δx =x−a
!
Il percorso del
prof.Apotema
1. Le differenze nelle successioni e nelle funzioni per punti5. Le f(x) continue e le differenze infinitesime: il differenziale df(x) è un infinitesimo, è un iperreale
4. Il rapporto incrementale per le funzioni a dominio continuo 2. Il rapporto incrementale (= fra differenze) come tasso
medio di variazione y'
3. ..e come pendenza del segmento fra due punti successivi
6. Il rapporto differenziale è un rapporto fra infinitesimi: è una forma indeterminata
Il percorso del prof.Apotema
I numeri iperreali:
La divisione fra iperreali:
Dal vol um e: I per rea li
Il percorso del
prof.Apotema
7. Se esiste finito e indipendente da dx:10. m è reale, è la pendenza della tangente.
9. La derivata è la sua parte standard:
df ( x )
dx =m +ϵ
8. Esprime la pendenza della secante per due punti infinitamente vicini
Df ( x)=st
(
df ( x )dx)
=m11. Per comodità, scriviamo = invece di Quindi:
f ' (x)= df ( x) dx
Approssimativamente.
Non esattamente.
!
Il percorso del prof.Apotema
df (x)
dx = f ' (a)+ϵ
Non standard
df ( x)=f ' (a) dx + ϵ⋅dx
( supponiamo, per comodità, f derivabile n volte per per x = a) dx= x−a
Quando è
importante non approssimare?
Standard
df ( x )
dx =f ' ( a)=m
f ( x)=f ( a)+ f ' (a) dx + ϵ⋅dx y = ya+f ' ( a)( x −a)+ ϵ⋅( x −a)
Δ f ( x )=f ' (a) Δ x
f ( x)=f ( a)+ f ' (a)( x−a) dx=Δ x= x−a
Per x=a la tangente e la funzione
sono indistinguibili Per x=a la tangente e f(x) coincidono
y = ya+f ' ( a)( x −a)
Il percorso del prof.Apotema
Poniamo
Quando è
importante non approssimare?
f ( x)=f ( a)+ f ' (a)( x−a)+ ϵ( x)⋅( x −a)
trascurabile perché infinitesimo di ordine superiore rispetto a dx
ϵ⋅ dx ϵ=ϵ( x)
Si dice:
cerchiamo di valutare
f ( x)−f (a)−f '( a)( x−a)=ϵ( x)( x−a)
( x−a)=dx
(=NSA – SA!!)
ϵ (x )
(x−a)=f ( x)−f (a)−f '(a)(x−a) (x−a)2
È una forma indeterminata La trattiamo con de L'Hôpital
ϵ (x )
(x−a)=f ( x)−f ( a)−f ' ( a)( x−a)
(x−a)2 ∼f ' ( x)−f ' ( a) 2( x −a) =1
2
df ' ( x )
dx =1
2 f ' ' ( a)+ϵ2(x)
ϵ( x)
rispetto aStiamo misurando!!!
Il percorso del
prof.Apotema
Le differenze finite Il rapporto incrementaleIl differenziale
Il rapporto differenziale La derivata (come approssimazione)
Valutare
l'approssimazione
Il Polinomio di Taylor
La retta secante
La retta tangente
La parabola tangente
Approssimare la funzione con il Polinomio
È un percorso più
accurato e più naturale
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