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(1)SOLUZIONI COMPITO dell’8/09/2014 ANALISI MATEMATICA - 10 CFU ENERGETICA Esercizio 1 Osserviamo, innanzitutto, che la serie proposta `e a termini di segno non negativo

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SOLUZIONI COMPITO dell’8/09/2014 ANALISI MATEMATICA - 10 CFU

ENERGETICA Esercizio 1

Osserviamo, innanzitutto, che la serie proposta `e a termini di segno non negativo; possiamo quindi procedere utilizzando, ad esempio, il criterio della radice. In tal caso otteniamo

n

s (1 + 2x2)n

(2n + 1)(n + 2) ∼(1 + 2x2)

n

2n · n → (1 + 2x2) .

Pertanto, la serie risulter`a essere convergente se (1 + 2x2) < 1, che `e impossibile, e sar`a, invece, divergente se (1+2x2) > 1, ovvero per x 6= 0. Infine, per x = 0, il criterio non fornisce alcuna informazione, ma sostituendo nel termine generale della serie otteniamo an = (2n+1)(n+2)12n12, che fornisce una serie convergente, per confronto asintotico con la serie armonica generalizzata di esponente 2 > 1.

In conclusione, la serie proposta converger`a se e solo se x = 0, mentre diverger`a per ogni x ∈R\ {0}.

Esercizio 2

Utilizzando il teorema di riduzione degli integrali doppi otteniamo ZZ

D

xy cos(y2) dx dy = Z π/2

0

x Z x

0

y cos(y2) dy

! dx =

Z π/2 0

x 2

 sin(y2)

x 0

 dx

= 1 2

Z π/2 0

x sin x dx = 1

2 −x cos x

π/2 0 +

Z π/2 0

cos x dx

!

= 1 2sin x

π/2 0 = 1

2. Esercizio 3

Poich´e l’arcotangente `e una funzione definita su tutto l’asse reale, l’unica condizione da imporre affinch´e f sia ben definita `e che il denominatore non si annulli, ovvero x 6= 0; 1. Quindi C.E. = (−∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞).

Inoltre,

x→±∞lim f (x) = lim

x→±∞

π/2

x(x − 1)= lim

x→±∞

π/2 x2 = 0

=⇒ y = 0 `e asintoto orizzontale per x → ±∞;

x→0lim±f (x) = lim

x→0±−2x(x + 3)

x = lim

x→0±−6x x = −6

=⇒ quindi x = 0 `e un punto in cui f `e prolungabile con continuit`a;

x→1lim±f (x) = lim

x→1±

arctan 8 x − 1 = ±∞

=⇒ x = 1 `e asintoto verticale per x → 1±.

Osserviamo che nel secondo limite abbiamo utilizzato il fatto che arctan y ∼ y, per y → 0, con y = 2x(x + 3).

Esercizio 4

Osserviamo, innanzitutto, che il problema di Cauchy proposto `e relativo ad un’equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea. L’equazione caratteristica associata `e λ2+ 2 = 0, che ha come soluzioni λ = ±√

2i; pertanto, l’integrale generale dell’omogenea associata sar`a y0(x) = C1cos(√

2x) + C2sin(√

2x). Utilizzando, inoltre, il metodo di somiglianza, si ricava subito che una soluzione particolare `e yp(x) = 1/2, pertanto l’integrale generale dell’equazione proposta sar`a y(x) = C1cos(√

2x) + C2sin(√

2x) + 1/2. Imponendo, ora, le condizioni iniziali, si ricava

y(0) = C1+ 1/2 = 1/2 =⇒ C1= 0 , y(0) =√

2C2= 0 =⇒ C2= 0 .

Quindi, la soluzione cercata sar`a y(x) = 1/2, cio`e coincide con la soluzione particolare.

1

(2)

Esercizio 5

Osserviamo che l’unica affermazione corretta `e la D), in quanto applicando il criterio della radice otteniamo

n→+∞lim

p(an nbn)n= lim

n→+∞(anbn) = 0 < 1 ,

dove, nell’ultima uguaglianza, abbiamo utilizzato l’ipotesi che le due successioni sono infinitesime. Invece le altre affermazioni sono false, poich´e prendendo, ad esempio, an= bn= 1/√

log n si ottiene che la A) `e falsa in quanto

X

n

anbn =X

n

√ 1

log n ·√

log n=X

n

1

log n = +∞

e la C) `e falsa in quanto X

n

 anbn

n



=X

n

 1

n√

log n ·√ log n



=X

n

 1

n log n



= +∞ .

Infine, la B) `e falsa, in quanto prendendo a1= b1= 1, a2= b2= 2 e an= bn = 0, per n ≥ 3, si ricava X

n

anbn= 1 + 4 = 5 6= (X

n

an)(X

n

bn) = 3 · 3 = 9 .

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