Perché Achille la Tartaruga la raggiunge, eccome!

Perché Achille la Tartaruga la raggiunge, eccome!

Fabio Bagagiolo Università di Trento

Dipartimento di Matematica

Il paradosso di Zenone

• Un giorno Achille sfida la Tartaruga in una gara di velocità. Le dà un vantaggio iniziale e le dice: “vediamo se riesci a non farti

raggiungere!”

• Con un balzo Achille raggiunge il punto in cui la Tartaruga si trova inizialmente.

• Ma questa nel frattempo si è spostata un po’ più avanti.

• Con un altro balzo Achille raggiunge questo nuovo punto in cui si trova la Tartaruga. Ma, ancora, questa si è nel frattempo spostata un po’ più avanti.

• Achille fa un ulteriore balzo, ma ancora la Tartaruga è andata un pochino più avanti.

• La gara prosegue quindi in questo modo: Achille raggiunge il punto in cui si trova la Tartaruga quando lui inizia il balzo in avanti, ma nel frattempo la Tartaruga si è spostata un po’ più in là.

• Achille quindi non raggiungerà mai la Tartaruga.

Istante iniziale

Dopo un tempo t

Dopo un tempo t

+t

Dopo un tempo t

+t

+t

Dopo un tempo t

+t

+t

+t

Dopo un tempo t

+t

+t

+t

+t

• Cosa significa affermare che Achille non raggiungerà mai la Tartaruga?

• Significa affermare che qualunque sia il tempo trascorso dall’inizio della gara, Achille starà sempre dietro alla

Tartaruga.

• Ma dire che Achille sta dietro alla Tartaruga è come dire che deve fare ancora qualche balzo in avanti per poterla raggiungere.

• Cioè, qualunque sia il tempo trascorso dall’inizio della gara, Achille ha compiuto un numero (eventualmente molto grande) di balzi in avanti ancora non sufficiente per raggiungere la Tartaruga.

• Ovvero, qualunque tempo noi decidiamo a priori di aspettare, ci sarà un numero di balzi di

Achille, non sufficiente per raggiungere la

tartaruga, e il cui tempo necessario per compierli tutti è maggiore del tempo da noi deciso di

aspettare.

• Cioè, qualunque tempo T decidiamo di aspettare, ci sarà una quantità n di tempi

(dipendente da T) t¹,t²,t³,…,tⁿ corrispondente ai balzi di Achille, tale che t¹+t²+t³+…+tⁿ>T.

• In definitiva, la somma degli infiniti tempi t¹+t²+t³+t⁴+…+t¹⁰⁰⁰+t¹⁰⁰¹+t¹⁰⁰²+…

è “grande quanto si vuole”, ovvero vale infinito.

• In definitiva, la somma degli infiniti tempi t¹+t²+t³+t⁴+…+t¹⁰⁰⁰+t¹⁰⁰¹+t¹⁰⁰²+…

è “grande quanto si vuole”, ovvero vale infinito.







n1

t

Il ragionamento di Zenone (vedremo sbagliato)

• Se la somma dei tempi t¹+t²+t³+t⁴+… vale infinito, allora significa che Achille non

raggiungerà mai la Tartaruga.

• Quella somma consiste in un numero

infinito di addendi positivi (tutti i tempi tⁿ) e quindi la loro somma deve essere

necessariamente infinta.

• Ne segue che, sicuramente, Achille non raggiungerà mai la Tartaruga.

Non facciamo filosofia

• L’intento di Zenone, con questo paradosso, era forse quello di provare che se si assume l’infinita suddivisibilità dello spazio e del tempo (come

facevano i Pitagorici: spazio e tempo sono formati da entità ultime “infinitesime”: punti e istanti) allora il movimento è impossibile.

• In realtà, con altri paradossi, egli provava che il movimento è impossibile anche se si assume vero il contrario.

Non facciamo filosofia

• Queste argomentazioni appartengono

strettamente ad un ambito filosofico, nel quale non vogliamo addentrarci.

• Il nostro intento è solamente quello di prendere a pretesto il paradosso di Zenone per introdurre il concetto matematico di somma di infinti numeri e enunciarne alcune proprietà.

• In realtà, non è nemmeno scontato che Zenone non sapesse che il suo ragionamento fosse

“matematicamente scorretto”. Ma egli era

orientato verso altri scopi, per cui sembrava non curarsene.

Il concetto di serie numerica

• Sia (aⁿ)ⁿ una successione di numeri reali

(positivi, negativi, interi, frazionari decimali,…), cioè una legge che ad ogni numero naturale n (cioè intero non negativo:0,1,2,3,4…) associa un numero reale aⁿ.

• Si dice serie associata alla successione (aⁿ)ⁿ l’espressione:

...

2 ...

1 0 0











^ 

 n

n an a a a a

Il concetto di serie numerica

 

n a

n

a a a

a a

n n n

2 ...

...

, 6 3

, 4 2

, 2 1

, 0 0

: negativi non

pari numeri

dei e

succession

3 2 1

0





















^

















0

...

2 ...

6 4

2 0

n an n

Il concetto di serie numerica

 

a n n

a a a

n n a

n

n n n

1 ...

...

3, 3 1

2, 2 1

, 1 1 1 1

, 1 per

definita

1 ,

3 2 1



















 



 



 

^

















1

armonica serie

1 ...

4 ...

1 3 1 2 1 1

n n

a n

Il concetto di serie numerica

   

n n

n n n n

c a

n

c a

c a

c c

a

c a

c c

a



























...

, 3

, 2

, 1

, 1 0

fissato reale

numero con

3 3

2 2

1 1

0 0

c c c

c c

a ⁿ

n n

ragione di

geometrica serie

...

...

1 ^{2 3}

0













^ 



Il concetto di serie numerica

 

 

a n n

a a a

n n a

n n

n n n n

1 4 3

3 2

2 1

1

) 1 ( ...

...

3, 1 3

) 1 3 (

2, 1 2

) 1 2 (

, 1 1

1 1

, 1 per

definita )

1 (





 



 







 





 





 



 



 

alternata armonica

serie

) ....

1 ... (

4 1 3 1 2 1 1

1

^ 1



 

 











n

n

n n

a

Il concetto di serie numerica

 

1 ,

. ...

...

9, 1 3

3 1

4, 1 2

2 1

, 1 1

1 1

, 1 per

definita

1 ,

2 3 2

2 2 1 2

2

n n

a a a

n n a

n n n





















 



 



 

2 ordine di

ata generalizz armonica

serie

1 ....

16 ...

1 9

1 4

1 1 ₂

1













^ 

 a n

n n

Il concetto di serie numerica

• Il nostro intento è ora quello di dare un significato alla scrittura (somma di infiniti addendi, ovvero somma della serie):

....

3 ...

2 1

0 0













^ 

 n

n an a a a a a

Il concetto di serie numerica

• In particolare vorremmo poter rispondere alle seguenti domande:

• Quanto vale la somma della serie?

• Come calcolarla?

• Ma, prima di tutto bisogna chiedersi:

• Che cosa è la somma della serie?

• Che oggetto matematico è?

• Come posso definirla, in modo adeguato e rigoroso?

Il concetto di serie numerica

• Soltanto dopo aver definito in modo rigoroso cosa

intendiamo per “somma della serie” possiamo andare alla caccia di essa (la somma).

• Il compito di un matematico è quindi prima di tutto dare un senso e una buona definizione degli oggetti che si vanno a considerare.

• Dopo di che, una volta ben definito che cosa si sta cercando, si cercherà di ottenere dei risultati che

garantiscano, sotto opportune ipotesi, l’esistenza degli oggetti in questione e gli eventuali algoritmi per trovarli (calcolarli).

• Un passo ulteriore sarà quello di studiare le proprietà degli oggetti prima definiti e poi verificatane l’esistenza.

Importanza delle serie

• Perché occuparci del concetto di serie, cioè di somma di infiniti addendi?

• Se fosse solo per il paradosso di Achille e la Tartaruga, sarebbe una motivazione un po’

debole.

• In realtà, il bisogno di poter sommare un numero infinito di addendi è molto frequente nella

matematica, soprattutto in quella moderna, che molto spesso si occupa, appunto, dell’infinito.

Importanza delle serie

• Cosa si intende quando, ad esempio, si scrive

? ....

14159 ,

 3



Importanza delle serie

• Cosa si intende quando, ad esempio, si scrive

? ....

14159 ,

 3



...

10 9

10 5

10 1

10 4

10 1

3   ¹   ²   ³   ⁴   ⁵ 

 ^{    }



Importanza delle serie

• Cosa si intende quando, ad esempio, si scrive

? ....

14159 ,

 3



...

10 9

10 5

10 1

10 4

10 1

3   ¹   ²   ³   ⁴   ⁵ 

 ^{    }



...

) 10 9

( ) 10 5

( ) 10 1 ( ) 10 4

( ) 10 1 ( ) 10 3

(  ⁰   ¹   ²   ³   ⁴   ⁵ 

 ^{    }

Importanza delle serie

• Cosa si intende quando, ad esempio, si scrive

? ....

14159 ,

 3



...

10 9

10 5

10 1

10 4

10 1

3   ¹   ²   ³   ⁴   ⁵ 

 ^{    }



...

) 10 9

( ) 10 5

( ) 10 1 ( ) 10 4

( ) 10 1 ( ) 10 3

(  ⁰   ¹   ²   ³   ⁴   ⁵ 

 ^{    }

...

) 10 9

( ) 10 5

( ) 10 1

( ) 10 4

( ) 10 1

( ) 10 3

(

5 4

3 2

1 0

5 4

3 2

1

0           



 ^{    }



































 a a a a a a

Importanza delle serie

• Fin dall’antichità, i matematici si sono trovati a dover fare somme di un numero elevato di

addendi. Per esempio nel calcolare aree di regioni curve, approssimandole con regioni

delimitate da spezzate con un numero molto alto di segmenti.

• Oppure, collegato al precedente, per calcolare valori decimali di π, ottenendolo come rapporto tra il perimetro di poligoni regolari iscritti in una circonferenza con un numero molto elevato di lati e il diametro della circonferenza stessa.

• Archimede di Siracusa.

Importanza delle serie

• Quali sono le funzioni più facili da “maneggiare”:

valutarle in un punto, disegnarne il grafico, derivarle, integrarle?

• I polinomi!

• Se tutte le funzioni fossero polinomi, la vita sarebbe più facile.

• Data una funzione qualunque, è possibile

“approssimarla” con un polinomio?

• E qual è l’errore che si commette con tale approssimazione?

Serie di potenze

reali.

numeri ti

coefficien i

con

, ...

: tipo del

scrittura una

è

reale variabile

nella grado

di polinomio Un

3 3 2

2 1

0

i

n n

a

x a x

a x

a x a a

x n











1 ,

3 ,

1 ,

0 ,

1 ,

2

ti coefficien con

5 grado di

polinomio un

è

3 2

5 4

3 2

1 0

5 4

3

























a a

a a

a a

x x

x x

potenze.

infinite con

polinomio un

di azione generalizz

la come vista

essere può

e

...

...

tipo del

e espression un'

è potenze di

serie Una

3 3 2

2 1

0 0













^ 



n n n

n

nx a a x a x a x a x

a

Approssimazione con serie di potenze

• Sotto opportune ipotesi, ma abbastanza

generali, una funzione (non polinomio) può essere scritta come serie di potenze.

^



     



 

0

7 5

3 1

2 ...

5040 120

6 )!

1 2

(

) 1 ) (

sin(

n

n

n x x x

x n x

x

1

|

| 4 ...

3 2

) 1 ) (

1 log(

4 3

2

1

1      

 

 ^





x x x

x x n x

x

n

n n

x

x ) e

sin(

6 e ) sin(

x3

x

x 

120 6

e ) sin(

5

3 x

x x

x  

Approssimazione con serie di potenze

• I primi studi su questo tipo di

approssimazione sono dovuti a Taylor

• Altri tipi di approssimazioni sono le

cosiddette serie di Fourier, che sostituisce alle serie di potenze le serie

trigonometriche, formate da seni e coseni.

Come definire la (eventuale) somma di una serie

• Cosa sappiamo già fare rispetto all’operazione “somma”?

• Sappiamo già fare la somma di un numero finito di addendi: 1+3+5-6+7=10.

• Cosa ci dice di fare una serie?

Come definire la (eventuale) somma di una serie

• Una serie ci dice:

• prendi a⁰, e questo lo sappiamo fare;

• poi ci dice: prendi a¹ e sommalo ad a⁰, e anche questo lo sappiamo fare: a⁰+a¹;

• poi ancora: prendi a² e sommalo al risultato prima ottenuto, e anche questo lo sappiamo fare:a⁰+a¹+a²;

• e ancora: prendi a³ e sommalo al risultato prima ottenuto, e anche questo lo sappiamo fare:a⁰+a¹+a²+a³;

• e così via.

• In definitiva, una serie ci dice di fare la somma degli infinti addendi, ma ci dice anche in che ordine dobbiamo

sommarli!

Come definire la (eventuale) somma di una serie

• E’ quindi abbastanza naturale definire le cosiddette somme parziali di ordine k.

• Sia k un numero intero non negativo,

diciamo somma parziale di ordine k della serie, la somma dei primi k addendi:

• s^k=a⁰+a¹+a²+a³+…+a^k

Esempi di somme parziali

20 49 6

1 5

1 4

1 3

1 2

1 1

6 , 11 3

1 2

1 1

1 ,

6 1 3





















^ 



s n s

n

^























 

1 3 6

60 37 6

1 5

1 4

1 3

1 2

1 1

6, 5 3

1 2

1 1

) , 1 (

n

n

s n s

36 12

10 8

4 2

0

, 6 4

2 0

,

2 _{3 6}

0





















^ 



s s

n

n

64 95 64

1 32

1 16

1 8

1 4 1 1

8 , 11 8

1 4 1 1

2 , 1

6 0 3





















 



 



^ 



s s

n

n

Definizione di somma

• Diremo che una serie ha per somma il numero reale S, se la successione delle somme parziali s^k “tende” a S.

• Cioè se, al crescere di k, ovvero al crescere del numero di addendi che vado a sommare, le

somme parziali si “avvicinano” sempre di più a S.

S s_k

k 



lim

Somma finita

• Il numero reale S è la somma della serie se, preso un qualunque intervallo centrato in S, esiste k tale che per ogni k>k s^k sta nell’intervallo

S

s^k+1 s^k+3 s^k+5 s^k+k s^k+2 s^k+4

Somma +∞

• Si dice che la somma della serie è +∞ se, preso un qualunque numero reale M,

esiste k tale che per ogni k>k s^k>M

s^k+1 s^k+3 s^k+5 s^k+k s^k+2 s^k+4 M

Somma -∞

• Si dice che la somma della serie è -∞ se, preso un qualunque numero reale M,

esiste k tale che per ogni k>k s^k<M

s^k+1 s^k+3 s^k+5 s^k+k s^k+2 s^k+4

M

Definizioni

• Se la serie ha per somma un numero reale S, si dice che la serie converge ad S, o che la serie è convergente.

• Se la serie ha per somma +∞, si dice che la serie diverge a +∞, o che la serie è divergente.

• Se la serie ha per somma -∞, si dice che la serie diverge a -∞, o che la serie è divergente.

• Se la serie non ha somma (né finita né infinita) si dice che la serie è oscillante.

Qual è, se esiste, la somma della seguente serie?

   

...

1 1 1 1 1 1 1 ...

...

, 1 )

1 ( 3

, 1 ) 1 ( 2

, 1 )

1 ( 1

, 1 ) 1 ( 0

, ) 1 (

0

3 3

2 2

1 1

0 0























































^



n n

n n n n

a a

a a

a a

...

...

...

...

,0 1 1 1 1

,1 1 1 1

,0 1 1 ,1

3 2 1 0 3

3 0

2 1 0 2

2 0

1 0 1

1 0

0 0

0 0







































































a a a a a s

a a a a s

a a a s

a a s

n n

n n

n n

n n



 

dispari è

se 0

pari, è

se generale 1

in k

s_k k

. 1 e 0 valori i

tra oscilla :

limite ha

non

parziali somme

delle sucessione

la perché

somma ha

non serie

la Quindi

sk

Qual è, se esiste, la somma della seguente serie?

 

^



















0

...

2 ...

8 6 4 2 0

...

8 , 6 , 4 , 2 , 0

negativi non

pari numeri

dei e succession

n n

n n

n a

a

k s

s

k k

s

k i

k k

2

2 2

...

6 4 2 0





















M k

k s

k k

M k

k M

k   



 2

2

, ogni

per , ha si

, con

intero preso

reale, sia

qualunque



 a diverge serie

la quindi

Sapendo che la seguente serie converge, calcolarne la somma S

(serie geometrica di ragione ½)

^













 



 





0

16 ...

1 8

1 4

1 2

1 1 2

1

n

n

1 2 16 ...

1 8

1 4

1 2

1 1 2 1 1

16 ...

1 8

1 4

1 2

1 1 16 ...

1 8

1 4 1 2

1 1

S S



 



 



     







 



    

















2 2 1

quindi

e   S  S 

S

Una condizione necessaria per la convergenza

• Condizione necessaria affinché una serie converga è che il suo termine generale

(aⁿ)ⁿ sia infinitesimo.

• Cioè che “diventi sempre più piccolo, in valore assoluto”.

• lim^n→∞ |aⁿ|=0

0

|aⁿ⁺ⁿ|

Una condizione necessaria

• Se infatti fosse, per esempio, aⁿ>1 per ogni n, allora si avrebbe immediatamente che la serie diverge a +∞.

• Questo si avvicina al ragionamento di Zenone:

ogni volta aggiungo una quantità maggiore di

uno e quindi le somme parziali diventano grandi quanto si vuole.

• Attenzione: questa e’ solo una condizione

necessaria, non anche sufficiente: se la serie converge, allora necessariamente aⁿ è

infinitesimo, ma può succedere comunque che aⁿ sia infinitesimo senza che la serie converga.

Esempi

1300) (Oresme

! a

diverge

converge, non

ma mo, infinitesi generale

termine

: armonica serie

4 ....

1 3 1 2 1 1 1

1













^ 



n n

1600) (Mengoli

2 log a converge

: alternata armonica

serie

4 ....

1 3 1 2 1 1 )

1 (

1

1     

^ 





n

n

n

1700) (Eulero

6 a converge

2 ordine di

ata generalizz armonica

serie

16 ...

1 9 1 4 1 1 1

2 1 2



^













n n

Esempi

c c

c c

c c

n

n

ragione di

geometrica serie

...

1 ^{2 3 4}

0











^ 



1 se

a

diverge   c 

1 1

1 se

1 a

converge   

 c

c

1

se

oscilla c  

Dov’è l’errore?

2 1 1

quindi e

1 ....) 1

1 1 1 1 1 ( 1 ....

1 1 1 1 1 1

allora somma,

la sia

...

1 1 1 1 1 1 )

1 (

0















































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

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



^ 



S S

S

S S

S

n

n

esista.

somma la

che

supposto aver

di fatto nel

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"

tipo di

è errore L'

S

esiste!

non che

, oggetto, un

maneggiato abbiamo

sopra, qui

algebrici passaggi

nei te,

Praticamen

S

Il problema delle serie oscillanti

• In realtà, questo errore, se così si può chiamare, fu addirittura fatto anche da Eulero.

• Il fatto è che, con la moderna definizione di serie convergente (Cauchy), le serie oscillanti non sono più “un problema”. Nel

passato si voleva invece dare comunque un senso ad esse, dando un’opportuna “definizione di somma” .

• Anche in epoche più recenti, pur sapendo che quelle serie non

hanno somma, vari matematici cercarono di dare comunque a loro un significato.

• Ad esempio Cesaro (1859-1906) diede una definizione di

convergenza per serie, sostituendo il limite delle somme parziali con il limite delle loro medie aritmetiche.

• E nel caso della serie di prima, questa definizione di somma dà esattamente 1/2

Proprietà della somma di una serie

• Abbiamo visto che, in un qualche modo, il concetto di somma di una serie estende quello di somma di un numero finito di addendi.

• Quindi, al matematico, sorge spontanea una domanda:

• Quali proprietà della usuale somma valgono anche per la somma di infiniti addendi, cioè le serie?

Proprietà della somma di una serie

• Qual è la proprietà più “popolare” per l’operazione somma?

• Forse la commutatività.

cambia non

somma la

addendi degli

ordine l'

scambiando

: addendi di

finito numero

un di

somma una

Per

0 1

3 2

3 2

1

0 a a a a a a a

a       