LucioDemeioDipartimentodiScienzeMatematiche CorsodiAnalisiNumerica

(1)

Splines

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica

Corso di Analisi Numerica

3 - PROBLEMI DI INTERPOLAZIONE

Lucio Demeio

Dipartimento di Scienze Matematiche

Lucio Demeio Dipartimento di Scienze Matematiche Analisi Numerica

(2)

Splines

1

Interpolazione: Polinomio di Lagrange

2

Differenze divise

3

Splines

(3)

Splines

Introduzione

Problemi di interpolazione

Supponiamo di avere un insieme di dati che rappresentano misurazioni della temperatura in una certa localit` a durante il mese di luglio con cadenza bisettimanale.

Rappresentiamo tali dati nella seguente tabella:

Giorno Temperatura

1 27.1

8 27.2

15 23.5

22 28.0

29 29.1

Supponiamo di voler conoscere la temperatura in un giorno del mese diverso da quelli tabulato, o di dover utilizzare la

temperatura in un modello che la richiede continua, o di voler predire la temperatura pi` u avanti nel tempo.

Dobbiamo costruire una funzione continua che passi per i punti della tabella: interpolazione!

(4)

Splines

Interpolazione polinomiale

Problemi di interpolazione

Una classe di funzioni continue molto usate nei problemi di interpolazione sono i polinomi.

Sappiamo che per n + 1 punti assegnati,

{(x

0

, y

0

), (x

1

, y

1

), ..., (x

n

, y

n

)} passa uno ed un solo polinomio P

n

(x) di grado n.

Approssimazione polinomiale delle funzioni

Una propriet` a importante dei polinomi `e che possono approssimare bene quanto si vuole una qualunque funzione continua su un intervallo chiuso. In particolare vale il seguente teorema:

Theorem (Teorema di Weierstrass)

Sia f : [a, b] → R una funzione continua e sia ε > 0 arbitrario. Allora esiste un polinomio P (x) tale che, per ogni x ∈ [a, b], si ha

|f (x) − P (x)| < ε.

(5)

Splines

Interpolazione di Lagrange

Polinomio interpolatore di Lagrange

Supporremo nel seguito che le y

i

siano i valori di una funzione nei punti x

i

, chiamati nodi: y

i

= f (x

i

)

Siano {(x

0

, y

0

), (x

1

, y

1

), ..., (x

n

, y

n

)} n + 1 punti del piano cartesiano. Chi `e il polinomio di grado n che passa per essi?

Cominciamo dalle cose semplici, n = 1: {(x

0

, y

0

), (x

1

, y

1

)}. Allora P

1

(x) = y

0

x − x

1

x

0

− x

1

+ y

1

x − x

0

x

1

− x

0

Si vede facilmente che P

1

(x

0

) = y

0

e P

1

(x

1

) = y

1

. n = 2: {(x

0

, y

0

), (x

1

, y

1

), (x

2

, y

2

)}. Allora

P

2

(x) = y

0

(x − x

1

)(x − x

2

)

(x

0

− x

1

)(x

0

− x

2

) + y

1

(x − x

0

)(x − x

2

) (x

1

− x

0

)(x

1

− x

2

) +y

2

(x − x

0

)(x − x

1

) (x

2

− x

0

)(x

2

− x

1

)

(6)

Splines

Interpolazione di Lagrange

Polinomio interpolatore di Lagrange In generale, per n + 1 punti:

P

n

(x) = y

0

(x − x

1

)(x − x

2

)...(x − x

n

) (x

0

− x

1

)(x

0

− x

2

)...(x

0

− x

n

) + +y

1

(x − x

0

)(x − x

2

)...(x − x

n

) (x

1

− x

0

)(x

1

− x

2

)...(x

1

− x

n

) + ...

+y

k

(x − x

0

)...(x − x

k−1

)(x − x

k+1

)...(x − x

n

) (x

k

− x

0

)...(x

k

− x

k−1

)(x

k

− x

k+1

)...(x

k

− x

n

) + ...

+y

n

(x − x

0

)(x − x

1

)...(x − x

n−1

) (x

n

− x

0

)(x

n

− x

1

)...(x

n

− x

n−1

)

(7)

Splines

Interpolazione di Lagrange

Notazione

I coefficienti delle y

k

si indicano solitamente con L

n,k

(x) e sono polinomi di grado n:

L

n,k

(x) = (x − x

0

)...(x − x

k−1

)(x − x

k+1

)...(x − x

n

) (x

k

− x

0

)...(x

k

− x

k−1

)(x

k

− x

k+1

)...(x

k

− x

n

) cos`ı che il polinomio interpolatore di Lagrange si pu` o scrivere come

P

n

(x) =

n

X

k=0

y

k

L

n,k

(x)

Come son fatti gli L

n,k

?

(8)

Splines

Interpolazione di Lagrange

Esempi degli L

n,k

su [0, 1]

n = 10, k = 5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1 1 2 3

n = 100, k = 5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

(9)

Splines

Interpolazione di Lagrange

Esempio

f (x) = sin 2πx nell’intervallo [0, 1], nodi equispaziati;

n = 3

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 1

n = 5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 1

Mathematica file Interpol1.nb

n = 5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1 1

(10)

Splines

Interpolazione di Lagrange

Theorem (Errore)

Sia f ∈ C

ⁿ⁺¹

[a, b] e siano x

0

, x

1

, ..., x

n

i nodi dell’interpolazione in [a, b], distinti ma altrimenti arbitrari. Allora, ∀ x ∈ [a, b] esiste un numero ξ(x) ∈ [a, b] tale che

f (x) = P

n

(x) + f

ⁿ⁺¹

(ξ(x))

(n + 1)! (x − x

0

)(x − x

1

)...(x − x

n

)

Vediamo che f (x

k

) = P

n

(x

k

) (ovvio!!) e che l’errore `e proporzionale alla derivata di ordine n + 1 ed inversamente proporzionale ad (n + 1)!

Se la derivata (n + 1)-esima `e limitata, allora l’errore va a zero molto rapidamente all’aumentare di n.

(11)

Splines

Interpolazione di Lagrange

Altro esempio

f (x) = tanh x nell’intervallo [−1, 1], nodi equispaziati;

n = 10

-1 -0.5 0.5 1

-1 1

Mathematica file Interpol1.nb

(12)

Splines

Differenze divise

Un metodo molto usato per la generazione del polinomio interpolatore

`e quello delle differenze divise.

Siano x

k

∈ [a, b], k = 0, n i nodi e siano f (x) una funzione continua definita anch’essa in [a, b]. Sia inoltre P

n

(x) il polinomio interpolatore di Lagrange di grado n.

Il polinomio si pu` o scrivere nella forma

P

n

(x) = a

0

+ a

1

(x − x

0

) + a

2

(x − x

0

)(x − x

1

) + ...

+a

n

(x − x

0

)(x − x

1

)...(x − x

n−1

) dove gli a

k

sono dei coefficienti da determinare.

Si vede subito che

a

0

= P

n

(x

0

) = f (x

0

) a

1

= f (x

1

) − f (x

0

)

x

1

− x

0

(13)

Splines

Differenze divise

Differenze divise Continuando

a

2

= f (x

2

) − f (x

0

) − a

1

(x

2

− x

0

) (x

2

− x

0

)(x

2

− x

1

)

= f (x

2

) − f (x

1

) + f (x

1

) − f (x

0

) − a

1

(x

2

− x

0

) (x

2

− x

0

)(x

2

− x

1

)

=

f(x2)−f (x1)

x2−x1

−

^f(x_x¹^{)−f (x}⁰⁾

2−x1

x₂−x₀ x1−x0

− 1 x

2

− x

0

=

f(x2)−f (x1)

x2−x1

−

^f(x_x¹₁^{)−f (x}_−x₀ ⁰⁾

x

2

− x

0

(14)

Splines

Differenze divise

Queste espressioni si possono scrivere pi` u sinteticamente introducendo le differenze divise per la funzione f . La definizione delle differenze divise `e induttiva:

Diff. divisa di ord. ZERO: f [x

i

] = f (x

i

);

Diff. divisa di ord. UNO:

f [x

i

, x

i+1

] = f [x

i+1

] − f [x

i

] x

i+1

− x

i

Diff. divisa di ord. k:

f [x

i

, x

i+1

, ..., x

i+k

] = f [x

i+1

, x

i+2

, ..., x

i+k

] − f [x

i

, x

i+1

, ..., x

i+k−1

] x

i+k

− x

i

(15)

Splines

Differenze divise

Con queste definizioni, possiamo allora scrivere che

a

0

= f (x

0

) = f [x

0

] a

1

= f (x

1

) − f (x

0

)

x

1

− x

0

= f [x

1

] − f [x

0

] x

1

− x

0

= f [x

0

, x

1

] a

2

= f [x

1

, x

2

] − f [x

0

, x

1

]

x

2

− x

0

= f [x

0

, x

1

, x

2

] ...

a

k

= f [x

0

, x

1

, x

2

, ..., x

k

]

Il polinomio interpolatore si pu` o dunque scrivere come P

n

(x) = f [x

0

] +

n

X

k=1

f [x

0

, x

1

, ..., x

k

] (x − x

0

)(x − x

1

)...(x − x

k−1

)

detta formula di interpolazione di Newton alle differenze divise

(16)

Splines

Differenze divise

Mathematica file DiffDiv1.nb

(17)

Splines

Differenze divise

Differenze divise - Legame con le derivate

Dal Teorema di Lagrange: se f (x) `e derivabile, ∃ξ ∈ [x

0

, x

1

] tale che

f [x

0

, x

1

] = f (x

1

) − f (x

0

) x

1

− x

0

= f

^′

(ξ)

Theorem

Sia f ∈ C

ⁿ

[a, b] e siano x

0

, x

1

, ..., x

n

i nodi in [a,b], distinti ma altrimenti arbitrari. Allora ∃ξ ∈ (a, b) tale che

f [x

0

, x

1

, ..., x

n

] = f

⁽ⁿ⁾

(ξ) n!

(18)

Splines

Differenze divise

Proof.

Sia g(x) = f (x) − P

n

(x). Evidentemente g(x

k

) = 0, ∀k. Per il Teorema di Rolle generalizzato, ∃ξ ∈ (a, b) tale che

g

⁽ⁿ⁾

(ξ) = f

⁽ⁿ⁾

(ξ) − P

n⁽ⁿ⁾

(ξ) = 0. Ma P

n⁽ⁿ⁾

(x) = n! f [x

0

, x

1

, ..., x

n

], da cui la tesi.

(19)

Splines

Differenze divise

Differenze divise - Nodi equispaziati

Siano ora i nodi (x

0

, x

1

, ..., x

n

) uniformemente distribuiti in [a, b], cio`e x

i+1

− x

i

= h = cost., con , x

0

= a e x

n

= b, ed

h = (b − a)/n `e detto passo di discretizzazione.

Allora possiamo scrivere che

x

i

= x

0

+ i h x

i

− x

j

= (i − j) h

Se x ∈ [a, b], possiamo scrivere x = x

0

+ s h, dove s `e un numero reale con 0 ≤ s ≤ n;

s = 0 → x = a, s = i → x = x

i

, s = n → x = b i < s < i + 1 → x

i

< x < x

i+1

b

a h

x x₁

x₀ x₂ x₃ x_n

x

(20)

Splines

Differenze divise

Notazione binomiale Avremo dunque

x − x

0

= s h, x − x

1

= (s − 1) h (x − x

0

)(x − x

1

) = s(s − 1) h

²

(x − x

0

)(x − x

1

)...(x − x

k

) = s(s − 1)...(s − k) h

^k+1

Il polinomio interpolatore di Lagrange diventa allora P

n

(x) = P

n

(x

0

+ sh) = f [x

0

] + s h f [x

0

, x

1

]

+s(s − 1) h

²

f [x

0

, x

1

, x

2

] + ...

+s(s − 1)...(s − n + 1) h

ⁿ

f [x

0

, x

1

, ..., x

n

]

=

n

X

k=0

s(s − 1)...(s − k + 1) h

^k

f [x

0

, x

1

, ..., x

k

]

(21)

Splines

Differenze divise

Notazione binomiale - Differenze divise in avanti Ricordando la definizione dei coefficienti binomiali

n k

= n(n − 1)...(n − k + 1)

k! ;

estendendola anche al campo reale, possiamo scrivere P

n

(x) = f [x

0

] +

n

X

k=1

s k

k! h

^k

f [x

0

, x

1

, ..., x

k

]

che `e detta formula alle differenze divise in avanti di Newton

(22)

Splines

Differenze divise

Differenze finite in avanti, formula di Newton

Le formule per le differenze divise si possono mettere in una forma diversa e pi` u utile per sviluppi futuri. A tal scopo introduziame la notazione ∆ di Aitken:

∆f (x

i

) = f (x

i+1

) − f (x

i

).

Abbiamo allora che

f [x

0

, x

1

] = f (x

1

) − f (x

0

) x

1

− x

0

= 1

h ∆f (x

0

) f [x

0

, x

1

, x

2

] = f [x

1

, x

2

] − f [x

0

, x

1

]

x

2

− x

0

= 1 2h

∆f (x

1

) − ∆f (x

0

) h

= 1

2h

²

∆

²

f (x

0

)

(23)

Splines

Differenze divise

Differenze finite in avanti, formula di Newton ed in generale

f [x

0

, x

1

, ..., x

k

] = 1

k! h

^k

∆

^k

f (x

0

)

cos`ı che il polinomio di Newton pu` o ora essere scritto come P

n

(x) = f [x

0

] +

n

X

k=1

s k

∆

^k

f (x

0

)

detta Formula di Newton per le differenze finite in avanti.

(24)

Splines

Differenze divise

Differenze finite all’indietro, formula di Newton Il polinomio di Newton, invece che

P

n

(x) = a

0

+ a

1

(x − x

0

) + a

2

(x − x

0

)(x − x

1

) + ...

+a

n

(x − x

0

)(x − x

1

)...(x − x

n−1

) pu` o anche essere scritto come

P

n

(x) = a

n

+ a

n−1

(x − x

n

) + a

n−2

(x − x

n

)(x − x

n−1

) +... + a

1

(x − x

n

)(x − x

n−1

)...(x − x

2

)

+a

0

(x − x

n

)(x − x

n−1

)...(x − x

2

)(x − x

1

) che equivale a riordinare i nodi di interpolazione all’indietro, (x

n

, x

n−1

, ..., x

1

, x

0

).

(25)

Splines

Differenze divise

Differenze finite all’indietro, formula di Newton

Introducendo il simbolo ∇ tale che ∇f (x

i

) = f (x

i

) − f (x

i−1

) e le differenze divise all’indietro

f [x

n

, x

n−1

] = 1

h ∇f (x

n

) ...

f [x

n

, x

n−1

, ..., x

n−k

] = 1

k! h

^k

∇

^k

f (x

n

)

generalizzando i coefficienti binomiali sui reali negativi,

−s k

= −s(−s − 1)...(−s − k + 1) k!

= (−1)

^k

s(s + 1)...(s + k − 1) k!

(26)

Splines

Differenze divise

Differenze finite all’indietro, formula di Newton

allora il polinomio di Newton pu` o essere scritto come P

n

(x) = f [x

n

] +

n

X

k=1

(−1)

^k

−s k

∇

^k

f (x

n

)

detta Formula di Newton per le differenze finite all’indietro .

Le differenze finite all’indietro, qui introdotte nel contesto dell’interpolazione (ma noi non le useremo a tale scopo), torneranno utili pi` u avanti.

Esistono anche le differenze finite centrate, le vedremo in seguito.

(27)

Splines

Approssimazione polinomiale a tratti

Una filosofia diversa per l’approccio al problema

dell’interpolazione `e quella di costruire una curva polinomiale a tratti, coincidente con i valori della funzione nei nodi, e

soddisfacente a condizioni di continuit` a ai nodi.

La pi` u semplice `e l’interpolazione lineare, che collega i punti di interpolazione con una spezzata.

b

a h

x x

₁

x

₀

x

₂

x

₃

x

_n

x

(28)

Splines

Approssimazione polinomiale a tratti

Con la spezzata non si ha regolarit` a ai nodi.

Si fa quindi passare per ogni coppia di nodi un polinomio di grado pi` u alto imponendo condizioni di regolarit` a.

L’approssimazione polinomiale a tratti pi` u usata e’ quella cubica, detta approssimazione con gli splines.

(29)

Splines

Approssimazione polinomiale cubica

Sia f definita nell’intervallo [a, b] e siano (x

0

, x

1

, ..., x

n

) i nodi.

Sia S(x) un polinomio di terzo grado; indichiamo con S

j

(x) il polinomio di terzo grado definito nell’intervallino [x

j

, x

j+1

], con j = 0, 1, ..., n − 1. Ciascun S

j

contiene quattro coefficienti da determinare.

Le condizioni ai nodi interni sono:

S(x

j

) = f (x

j

), j = 0, 1, ..., n S

j+1

(x

j+1

) = S

j

(x

j+1

), j = 0, 1, ..., n − 2 S

_j+1^′

(x

j+1

) = S

_j^′

(x

j+1

), j = 0, 1, ..., n − 2 S

_j+1^′′

(x

j+1

) = S

j^′′

(x

j+1

), j = 0, 1, ..., n − 2

...

(30)

Splines

Condizioni agli estremi

... mentre ai nodi estremi si impongono alternativamente una delle due condizioni:

S

^′′

(x

0

) = S

^′′

(x

n

) = 0 detta spline naturale

S

^′

(x

0

) = f

^′

(x

0

) S

^′

(x

n

) = f

^′

(x

n

) spline completa

(31)

Splines

Approssimazione polinomiale cubica

Scriviamo il polinomio j-esimo e le sue derivate come

S

j

(x) = a

j

+ b

j

(x − x

j

) + c

j

(x − x

j

)

²

+ d

j

(x − x

j

)

³

S

_j^′

(x) = b

j

+ 2 c

j

(x − x

j

) + 3 d

j

(x − x

j

)

²

S

j^′′

(x) = 2 c

j

+ 6 d

j

(x − x

j

)

e notiamo che S

j

(x

j

) = a

j

, S

j^′

(x

j

) = b

j

e S

j^′′

(x

j

) = 2 c

j

per ogni j = 0, 1, ..., n − 1 (*).

per convenienza, introduciamo h

j

= x

j+1

− x

j

;

la condizione S

j

(x

j

) = f (x

j

) d` a immediatamente a

j

= f (x

j

), per j = 0, 1, ..., n − 1; siano inoltre a

n

= f (x

n

), b

n

= S

^′

(x

n

) e

c

n

= S

^′′

(x

n

)/2;

la condizione S

j+1

(x

j+1

) = S

j

(x

j+1

) d` a allora a

j+1

= a

j

+ b

j

h

j

+ c

j

h

²j

+ d

j

h

³j

per j = 0, 1, ..., n − 1.

...

(32)

Splines

... la condizione S

_j+1^′

(x

j+1

) = S

_j^′

(x

j+1

) d` a b

j+1

= b

j

+ 2 c

j

h

j

+ 3 d

j

h

²j

per j = 0, 1, ..., n − 1.

... la condizione S

_j+1^′′

(x

j+1

) = S

_j^′′

(x

j+1

) d` a c

j+1

= c

j

+ 3 d

j

h

j

per j = 0, 1, ..., n − 1.

Alla fine otteniamo il sistema

a

j+1

= a

j

+ b

j

h

j

+ c

j

h

²j

+ d

j

h

³j

b

j+1

= b

j

+ 2 c

j

h

j

+ 3 d

j

h

²_j

c

j+1

= c

j

+ 3 d

j

h

j

per j = 0, 1, ..., n − 1. Assieme alle condizioni (*) viste prima, queste danno un sistema algebrico lineare nei coefficienti c

j

.

(33)

Splines

Ricaviamo d

j

dalla terza equazione e sostituiamo nelle altre due:

a

j+1

= a

j

+ b

j

h

j

+ h

²_j

3 (2 c

j

+ c

j+1

) b

j+1

= b

j

+ h

j

(c

j

+ c

j+1

) (*)

Dalla prima di queste ricaviamo b

j

: b

j

= a

j+1

− a

j

h

j

− h

j

2 c

j

+ c

j+1

3 da cui

b

j−1

= a

j

− a

j−1

h

j−1

− h

j−1

2 c

j−1

+ c

j

3 Sostituendo nella (*) con j → j − 1 otteniamo il sistema

(34)

Splines

h

j−1

c

j−1

+ 2 (h

j−1

+ h

j

) c

j

+ h

j

c

j+1

= 3 a

j+1

− a

j

h

j

− 3 a

j

− a

j−1

h

j−1

per j = 1, 2, ..., n − 1.

I membri di destra sono noti, in quanto a

j

= f (x

j

) e h

j

= x

j+1

− x

j

.

Si tratta di un sistema del tipo A x = b, con c

0

e c

n

assegnati dalle condizioni agli estremi: c

0

= c

n

= 0 per la spline naturale, mentre per la spline completa vengono assegnati b

0

= f

^′

(a) e b

n

= f

^′

(b).

La matrice A è tridiagonale e soddisfa le propriet` a richieste per l’esistenza e l’unicità della soluzione del sistema; quindi la soluzione è unica sia per la spline naturale che per la spline completa.

(35)

Splines

Spline naturale

x =





 c

0

c

1

. . . c

n







b =







0 3

^a²_h^−a¹

1

− 3

^a¹_h^−a⁰

...

0

3

^aⁿ_h^−aⁿ⁻¹

n−1

− 3

^aⁿ⁻¹_h^−aⁿ⁻²

n−2

0 





A =







1 0 0 ... ... 0

h

0

2(h

0

+ h

1

) h

1

... ... 0

0 h

1

2(h

1

+ h

2

) h

2

... 0

... ... ... ... ... ...

0 ... ... h

n−2

2(h

n−2

+ h

n−1

) h

n−1

0 ... ... ... ... 1







(36)

Splines

Spline completa

x =





 c

0

c

1

. . . c

n







b =







3

^a¹_h^−a⁰

0

− 3 f

^′

(a) 3

^a²_h^−a₁¹

− 3

^a¹_h^−a₀ ⁰

...

3

n−1

− 3

^aⁿ⁻¹_h^−aⁿ⁻²

n−2

3 f

^′

(b) − 3

n−1







A =







2 h

0

h

0

0 ... ... 0

h

0

2(h

0

+ h

1

) h

1

... ... 0

0 h

1

2(h

1

+ h

2

) h

2

... 0

... ... ... ... ... ...

0 ... ... h

n−2

2(h

n−2

+ h

n−1

) h

n−1

0 ... ... 0 h

n−1

2 h

n−1







(37)

Splines

Theorem (Stima dell’errore) Sia f ∈ C

⁴

[a, b] e sia

M = max

x∈[a,b]

|f

⁽⁴⁾

(x)|.

Allora, se S(x) `e la spline completa (unica) per la funzione f sui nodi a = x

0

< x

1

< x

2

< ... < x

n

= b allora

x∈[a,b]

max |f (x) − S(x)| ≤ 5 M 384 max

0≤j≤n−1

(x

j+1

− x

j

)

⁴

Applicazioni

La costruzione degli algoritmi di interpolazione tramite splines implica la risoluzione di un sistema lineare, che vedremo in futuro.

Per ora accontentiamoci di qualche esempio elementare.