UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PISA - FACOLTA' DI INGEGNERIA INGEGNERIA AEROSPAZIALE:

Appello n. 1 - 21/06/2011 Soluzioni

PROBLEMA I 1)

Per la simmetria sferica il campo elettrico è centrale:

EHrL = ErHrL e` (1) r

identico a quello generato da una carica puntiforme posta nell'origine e di valore pari a tutta la carica con- tenuta nella sfera di centro l'origine e raggio r.

Carica superficiale complessivamente presente al raggio R1: Q_s= 4 p R₁²s (2)

Carica volumetrica complessivamente presente tra i raggi R₁ e R₂, in funzione dell’incognita r:

QvHR2L =4 (3)

3pIR23- R₁³M r

Campo elettrico inizialmente presente per raggi r> R₂ in funzione dell’incognita r, tenendo conto della nota iniziale:

Er= 1 (4)

4p e₀

Q_s+ Q_vHR2L r²

Confrontando la (4) con l’equazione del campo per r> R₃ data nel testo IEr= hër²M si ottiene:

Q_s+ Q_vHR2L 4p e₀ = h

dalla quale, con le (2) e (3), si ricava immediatamente r:

r = 3e0h- R12s (5)

R23- R₁³

Carica volumetrica complessivamente presente tra i raggi R1 e r, con R1< r < R₂: Q_vHrL =4 (6)

3pIr³- R₁³M r = 4

3p r³r - Q₁ R₁< r < R₂ dove Q1=⁴

3p R₁³r.

Tenendo conto della nota iniziale e delle cariche calcolate in (2) e (6), si ha:

ErHrL =

0 r< R₁

1 4p e0

Q_s+Q_vHrL

r² R1< r < R₂ h

r² R2< r

ErHrL = (7)

0 r< R₁

1 4p e0

Qs-Q₁ r² + r

3e0 r R1< r < R₂ h

r² R2< r

2)

Per simmetria sferica VHrL = VHrL, dalla definizione di potenziale e dalla (1) segue VHrL = Ÿ_r^¶E_r„ r.

Dalla (7), per R2< r:

VHrL = ‡ (8) r

¶ h

r'² „ r' =h r per R₁< r < R₂: VHrL = ‡

r R2 1

4p e₀

Q_s-Q₁ r'² + r

3e0

r' „ r' + ‡

R2

¶ h

r'² „ r' VHrL = 1

4p e0

HQs-Q₁L 1 r - 1

R2

+ r

6e0

IR22- r²M + h R2

per r< R₁, poiché il campo elettrico è ivi nullo, il potenziale è quello di R₁: VHrL = V HR1L = 1

4p e0

HQs-Q₁L 1 R1

- 1 R2

+ r

6e0

IR22- R₁²M + h R2

3)

Dalla densità volumetrica di energia elettrica e dalla (7):

U= ‡

6

e0E²

2 „6 =e0

2 ‡

R1

R2

E_rHrL²4p r²„ r +e0

2 ‡

R2

¶

E_rHrL²4p r²„ r

U= 1 (9)

8p e0

HQs-Q₁L² 1 R1

- 1 R2

+ 2p 45e0

r²IR25- R₁⁵M + 1 6e0

HQs-Q₁L r IR22- R₁²M + 2 p e0

h² R2

4)

Dalla (8) risulta che, prima di inserire il generatore, VHR2L - VHR3L = h ^R_R^3-R2

2R3 .

Questa è proprio la f.e.m. del generatore che, quindi, al momento della chiusura dell’interruttore si troverà all’equilibrio e non sposterà alcuna carica.

Di conseguenza il lavoro erogato è nullo.

5)

Non c’è alcun movimento di cariche, quindi l’energia dissipata per effetto Joule è nulla.

PROBLEMA II 1)

Simmetrie del sistema:

- simmetria per riflessione rispetto al piano x= 0

- simmetria per riflessione rispetto a ciascun piano ortogonale all’asse z - simmetria CP rispetto a ciascun piano ortogonale all’asse y

- simmetria per traslazione parallela all’asse y - simmetria per traslazione parallela all’asse z

Si noti inoltre che, per x∫0, rot B = 0 e per le leggi di Maxwell la distribuzione di corrente può essere presente solo sul piano x= 0. La relativa densità di corrente j_s, per le proprietà sotto riflessione, deve avere la direzione dell’asse y e, per le proprietà sotto traslazione, non può variare con y né con z e deve quindi essere uniforme su tutto il piano x= 0: js= jse`

y.

Per determinare j_s è sufficiente applicare la legge di Ampère alla curva chiusa g (bordo di un rettangolo) che unisce, nell’ordine, i punti H-x, y, zL, Hx, y, zL, Hx, y, z + hL, H-x, y, z + hL, con x > 0:

®gBÿ‚ l = m₀Ig

Nel caso in questione:

®gBÿ‚ l = 2 B h e

m₀Ig= m₀F_gH jsL = -m0 jsh

Il segno negativo deriva, nel calcolo del flusso, dal versore normale al rettangolo che, in accordo all’orien- tazione di g, è -e`

y

In conclusione:

js= -2 B (10)

m₀

Naturalmente la (10) è in accordo con la legge che lega la discontinuità della componente parallela di B alla densità lineare di corrente su una superficie (legge che si potrebbe usare, in alternativa al metodo presentato, per determinare js) :

DB_»»= m₀ js

2)

Quando la spira è completamente immersa nel semispazio x< 0 oppure in quello x > 0, per l’uniformità del campo magnetico essa risente di una forza risultante nulla e si muove di moto rettilineo uniforme.

Inizialmente ha una velocità v0= ^J_m⁰ e`

x e la velocità resta costante finché la spira inizia a penetrare nel semispazio x> 0.

Quando la spira è penetrata parzialmente nel semispazio x> 0, le forze applicate ai lati paralleli all’asse x continuano ad annullarsi a vicenda, mentre quelle applicate ai lati paralleli all’asse y danno una risultante parallela all’asse x. Di conseguenza la velocità della spira, pur cambiando in modulo, continua a mantenere la direzione dell’asse x: v= v e`

x

In conclusione è sempre:

v= vHtL e` (11)

x= x^◊HtL e`

x

Per identificare la posizione della spira è sufficiente dare le coordinate Hx, y, zL del suo centro di massa. Per quanto detto precedentemente le coordinate y e z rimangono costanti.

Scegliendo come verso di riferimento della corrente nella spira quello orario quando osservato dal semiasse z> 0, il versore normale alla superficie quadrata della spira risulta n`= -e`

z.

Poichè il campo magnetico non fa lavoro, l’energia della spira, costituita da una parte cinetica e una magnet- ica, si conserva:

1 (12)

2m v²+1

2L IS2=1 2m v02

Da cui:

I_SHx, vL = m (13)

L J₀² m² - v²

La corrente è positiva per la legge di Lenz: infatti, mentre la spira penetra nel semispazio x> 0, il flusso del campo magnetico esterno, secondo l’orientamento della normale n`, diminuisce (può anche annullarsi, poi

cambiare segno) e il campo generato da I_S tende a compensare tale diminuzione.

Vale la pena osservare che, fissata v, la corrente nella spira non varia al variare di x.

3)

Quando la spira ha raggiunto la massima penetrazione, la sua velocità è nulla. Pertanto, dalla (13):

ISHxmax, 0L = J0 (14)

m L

Poiché la spira è superconduttrice (resistenza nulla), il flusso complessivo del campo magnetico attraverso di essa deve rimanere costante: ^„FHB_„t^totL = 0.

Tenendo conto che IS inizialmente è nulla:

FHBtotL = B a² x< -^a₂ -2 B a x + L I_S -^a₂ < x < ^a₂ Pertanto:

-2 B a x + L I_S= B a² (15)

da cui, sostituendo la (14), si può ottenere la massima penetrazione xmax: -2 B a x_max+ L J0

m L

= B a²

xmax= -a (16)

2+ 1 2 B a

L m J0

Naturalmente la formula precedente vale solo se xmax<^a₂, altrimenti la spira penetra completamente nel semispazio x> 0 e prosegue indefinitamente.

4)

Per la (15), al momento in cui la spira viene espulsa dal semispazio in oggetto, x=

-

Mentre -^a₂ < x <^a₂ la forza risultante sulla spira, dovuta ai due lati paralleli all’asse y, vale Fx= -2 a ISB, l’equazione del moto è -2 a I_SB= m x^◊◊ dalla quale, sostituendo la corrente ricavata dalla (15), si ottiene:

m x^◊◊= -4B²a² (17)

L Kx +a 2O

che è l’equazione di un moto armonico con pulsazione w = 4 ^B_{m L}^2a2 = ^{2 B a} m L .

La spira compie quindi mezza oscillazione e viene espulsa dal semispazio x> 0. Dalla pulsazione si ricava il semiperiodo:

T (18)

2 = p

w = p

2 B a m L

5)

La soluzione della (17) si ottiene come somma di una soluzione particolare x= -^a₂, e della soluzione ge- nerale dell’equazione omogenea associata:

xHtL = -a (19)

2+ A₁cosHw tL + A2sinHw tL x^◊HtL = -w A1sinHw tL + w A2cosHw tL (20)

Scegliendo l’origine dei tempi nel momento in cui la spira inizia la penetrazione del semispazio x> 0, le condizioni iniziali sono xH0L = -^a₂ e x^◊H0L = v0 che, sostituite nelle equazioni (19) e (20), permettono di trovare le costanti A1 e A2:

-^a₂ = -^a₂ + A₁ v0= w A₂

(21)

A₁= 0 A2=^v0

w