Meccanica Razionale & Meccanica Classica e Analitica Corsi di Laurea Triennale in Matematica (9 CFU) e in Fisica (6 CFU) (A.A. 2020/21 - II anno, II semestre) Docente: Maurizio Serva

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Meccanica Razionale & Meccanica Classica e Analitica

Corsi di Laurea Triennale in Matematica (9 CFU) e in Fisica (6 CFU) (A.A. 2020/21 - II anno, II semestre)

Docente: Maurizio Serva

”Io fingo o suppongo che qualche corpo o punto si muova all’ingi` u e all’ins` u con la nota proporzione et horizzontalmente con moto equabile. Quando questo sia io dico che seguir` a tutto quello che ha detto il Galileo, et io ancora. Se poi le palle di piombo, di ferro, di pietra non osservano quella supposta proporzione, suo danno, noi diremo che non parliamo di esse.” - Evangelista Torricelli (1608-1647)

Programma di Meccanica Razionale (solo matematici)

• Parte A - Princ`ıpi e generalit`a.

I tre principi della dinamica. Reversibilit` a della meccanica in assenza di forze dissipative. Forze posizionali. Forze conservative: energia potenziale e conservazione dell’energia meccanica. Equazioni cardinali della meccanica.

Sistemi isolati: conservazione della quantit` a di moto e del momento angolare. Teorema delle forze vive. Forma normale del primo ordine per il problema differenziale associato alla dinamica di un sistema di punti. Definizione di punto di equilibrio, di equilibrio stabile e di equilibrio asintoticamente stabile. Funzione di Lyapunov e teorema di Lyapunov sulla stabilit` a di un equilibrio. Applicazione alla meccanica: energia come funzione di Lyapunov.

Funzione di Lyapunov per l’oscillatore armonico smorzato.

• Parte B - Moti unidimensionali.

Forze posizionali e conservazione dell’energia meccanica. Riduzione alle quadrature e discussione del segno.

Punti di inversione (raggiunti in un tempo finito) e punti di meta asintotica (non raggiunti in un tempo finito).

Analisi qualitativa delle orbite nel piano delle fasi. Esempi: V = ^kx ₂

, V = ^x ₂

− ^x ₄

, V = (x ² − 8)e ^−x , V = _1+x ^x

, V = ¹ ₄ x ⁴ − ¹ ₂ x ² , V = ^x ₃

− ^x ₂

, V = x ³ , V = _1−x ¹

, V = − cos(x). Descrizione delle curve di livello in prossimit` a della meta asintotica e del punto di inversione. Orbite illimitate e tempi di raggiungimento dell’infinito. Moti periodici: isocronia dell’oscillatore armonico. Teorema delle piccole oscillazioni e suo utilizzo per la stima dei periodi per valori dell’energia strettamente maggiori del minimo del potenziale.

• Parte C - Moti centrali.

Moto di un punto materiale in tre dimensioni: forze conservative ed energia meccanica. Esempi di forze non conservative. Momento angolare. Moto in un campo di forze centrali, conservazione dell’energia, conservazione del momento angolare. Moti radiali (unimensionali). Moti non radiali, piano di Laplace, coordinate polari e seconda legge di Keplero. Metodo del potenziale efficace e i tre schemi per la riduzione alle quadrature.

Equazione dell’orbita e condizione di periodicit` a del moto. Caso del potenziale newtoniano, determinazione

esplicita della geometria delle orbite in coordinate polari e cartesiane, prima e terza legge di Keplero. Potenziale

newtoniano perturbato e (non)chiusura delle orbite.

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Programma comune di Meccanica Razionale & Meccanica Classica e Analitica

• Parte I - Sistemi vincolati ed equazioni di Lagrange.

Definizione e classificazione dei vincoli. Equazioni del moto in presenza di vincoli lisci, olonomi e bilateri.

Velocit` a virtuali: definizione di vincolo ideale o perfetto. Moti naturali e principio di D’Alembert. Derivazione delle equazioni di Lagrange. Il caso conservativo e la lagrangiana (vincoli fissi e mobili). Integrali primi:

energia generalizzata, momenti cinetici coniugati a variabili cicliche. Espressione esplicita della lagrangiana e coincidenza di energia generalizzata e energia meccanica in caso di vincoli fissi. Simmetrie per un sistema lagrangiano, teorema di N¨ other. Separazione delle variabili. Il problema dei due corpi. Trasformazioni naturali q = q(Q, t). Invarianza delle equazioni per l’aggiunta alla lagrangiana di una qualsiasi derivata totale ^dF _dt (q, t).

• Parte II - Piccole oscillazioni dei sistemi lagrangiani.

Equazioni di Lagrange in forma normale del primo ordine. Equilibrio, stabilit` a, teorema di Lyapunov e teo- rema di Dirichlet-Lagrange. Approssimazione quadratica della lagrangiana nell’intorno di un equilibrio stabile con matrice hessiana ˆ V del potenziale definita positiva: lagrangiana ridotta in termini di ˆ V e della matrice dell’energia cinetica ˆ T . Conseguente linearizzazione delle equazioni di Lagrange. Esempi vari. Soluzione delle equazioni di Lagrange nel caso in cui sia ˆ T che ˆ V sono diagonali. Il caso non diagonale: pulsazioni proprie e autovettori ortogonali nella metrica ˆ T . Soluzione generale ed esempi vari. Normalizzazione degli autovettori e diagonalizzazione della matrice ˆ V nella metrica ˆ T : i modi normali.

• Parte III - Principi variazionali.

Il problema del bagnino (rifrazione). Spazi delle traiettorie e funzionali. Punto stazionario di un funzionale.

Funzionale d’azione e condizione di stazionariet` a: equazioni di Eulero-Lagrange. Stazionariet` a dell’azione e non unicit` a della lagrangiana. Principi variazionali in ambiti diversi dalla meccanica. Geodetiche su superfici:

piano, paraboloide, iperboloide, superficie generata dalla traslazione di una parabola, cilindro. Brachistocrone sul piano dove ` e definito un campo di velocit` a scalare v = v(x, y). Il caso in cui la velocit` a dipende da una sola variabile: v = v(y). Soluzione completa per il caso lineare (v = y) e per la brachistocrona classica (v = √

2gy).

• Parte IV - Sistemi hamiltoniani.

Derivazione delle equazioni di Hamilton dalle equazioni di Lagrange. Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton in assenza di vincoli e altri esempi con e senza dipendenza esplicita dal tempo. Definizione di parentesi di Poisson e parentesi di Poisson fondamentali. Integrali primi e parentesi di Poisson. Hamiltoniana come energia generalizzata del sistema, condizioni per la sua conservazione. Conservazione dei momenti cinetici coniugati alle variabili cicliche. Propriet` a delle parentesi di Poisson. Identit` a di Jacobi ed eventuali ulteriori integrali primi. Hamiltoniane H(q ₁ , p ₁ , .. q _l , p _l , g(q _l+1 , p _l+1 , .. , q _n , p _n ), t) che ammettono separazione di variabili e relativi integrali primi. Completa separabilit` a.

• Parte V - Trasformazioni canoniche.

Definizione di trasformazione canonica e completamente canonica, esempi e controesempi. Invarianza delle par- entesi di Poisson fondamentali come condizione necessaria e sufficiente per la completa canonicit` a di una trasfor- mazione indipendente dal tempo (con dimostrazione), esempi e controesempi. Lagrangiana L(q, p, ˙ q, ˙ p, t) = p ˙ q − H(q, p, t) con relative equazioni identiche alle equazioni di Hamilton. Trasformazioni che conservano l’identit` a tra equazioni di Lagrange e di Hamilton: criterio sufficiente per la canonicit` a basato sul confronto tra due forme differenziali (con dimostrazione). Funzioni generatrici delle trasformazioni canoniche, esempi vari.

Il caso delle trasformazioni naturali.

• Parte VI - Approfondimenti sui sistemi hamiltoniani.

Moti periodici: librazioni e rotazioni. Definizione delle variabili azione-angolo per i moti periodici di sistemi a un grado di libert` a. Energia come funzione dell’azione e viceversa. Variabili azione-angolo come nuove variabili hamiltoniane e la trasformazione completamente canonica che le determina. Esempi: oscillatore armonico, potenziale quartico, gas unidimensionale. Completa separabilit` a e variabili azione-angolo per sistemi con pi` u gradi di libert` a. Esempio: i moti kepleriani. Invarianti adiabatici. Invarianza dell’azione. Esempio: gas unidimensionale. Sistemi hamiltoniani e conservazione dei volumi nello spazio delle fasi: teorema di Liouville.

Teorema di ricorrenza di Poincar´ e come importante conseguenza del teorema di Liouville.

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Testi di riferimento

M. Serva, Briciole di Meccanica Classica.

Scaricabile da http://people.disim.univaq.it/∼serva/teaching/briciole.pdf E. Olivieri, Appunti di Meccanica Razionale, UniTor, 1990.

R. Esposito, Appunti dalle lezioni di Meccanica Razionale, Aracne, 1998.

Disponibile anche su http://people.disim.univaq.it/∼serva/teaching/teaching.html.

A. Celletti, Esercizi e complementi di Meccanica Razionale, Aracne, 2003.

Testi di consultazione

V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, 1989.

L. Benfatto, R. Raimondi, E. Scoppola, Meccanica Hamiltoniana, 2006-2007.

Disponibile su http://people.disim.univaq.it/∼serva/teaching/teaching.html.

G. Benettin, Appunti per il corso di Meccanica Analitica, 2014-2015.

Disponibile su http://people.disim.univaq.it/∼serva/teaching/teaching.html.

A. Giorgilli, Note dell’A.A. 2013-2014.

Disponibile su http://www.mat.unimi.it/users/antonio/meccanica/meccanica.html.

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Short Syllabus

• A - Principles and generalities.

• B - One-dimensional systems.

• C - Motion under central forces.

• I - Constrained systems and Lagrange equations.

• II - Small oscillations of Lagrangian systems.

• III - Variational principles.

• IV - Hamiltonian systems.

• V - Canonical transformations.

• VI - More about hamiltonian systems.

Course objectives:

This course aims to enable the students to understand Classical and Analytical Mechanics and to handle the most important related mathematical tools.

Learning outcomes (Dublin descriptors):

On successful completion of this course, the student should

• have acquired the basic notions of Classical and Analytical Mechanics,

• be able to handle the related mathematical tools,

• have acquired the ability of reading and understanding more advanced topics in Mechanics,

• be able to face subsequent topics in Physics as Quantum and Statistical Mechanics,

• be able to recognize when the acquired notions are useful for the comprehension of other topics,

• be able to face novel problems with a similar mathematical modeling.

Prerequisites and learning activities:

Differential Equations, Elementary Linear Algebra.

Teaching methods:

Lectures and exercises.

Assessment methods and criteria:

Written and, if necessary, oral examination.